专题11相交线、平行线全章复习（9大考点）强化训练（解析版）.docx

1、专题11相交线、平行线全章复习（9大考点）强化训练相交直线两条直线被第三条直线所截同位角、内错角、同旁内角平行直线平行线间的距离平行线间的距离判定方法与性质邻补角垂直对顶角同一平面内两条不同的直线斜交垂直的基本性质点到直线的距离线段的垂直平分线一对顶角、邻补角（共9小题）1（2023春闵行区校级期中）互为邻补角的两个角的大小相差，这两个角的大小分别为、【分析】根据邻补角互补解答即可【解答】解：设这两个角分别为、，根据题意可得：，解得：，故答案为：、【点评】此题考查邻补角，关键是根据邻补角互补解答2（2023春奉贤区校级期中）直线和相交于点，那么这两条直线的夹角是 55度【分析】由邻补角的性质求

2、出的度数即可【解答】解：，两条直线、的夹角是55度故答案为：55【点评】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的性质3（2023春黄浦区期中）如图：直线、相交于点，且，直线与直线夹角的大小为 【分析】利用角的和与差，计算即可还要注意两种情况【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查的是角的和与差，解题的关键是计算准确4（2023春徐汇区校级期中）如图，直线和相交于点，则【分析】先根据角的和差关系可求，再根据对顶角相等可求【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了对顶角，关键是根据角的和差关系可求5（2023春松江区期中）已知，与互为邻补角，且，那么为 144度【分析】先根据题意设出与，再根据补角的和等

3、于列式求解即可【解答】解：设，则，根据题意得，解得：，故答案为：144【点评】本题主要考查了邻补角的和等于的性质，根据题意的设未知数的方法是解题的关键，此设法比较简便且不容易出错6（2023春黄浦区期中）若与是对顶角，与互余，且，那么【分析】由与互余，可求得的度数，再由对顶角相等即得的度数【解答】解：与互余，且，与是对顶角，故答案为：【点评】本题主要考查对顶角，余角，解答的关键是明确互余的两角之和为7（2023春奉贤区校级期中）如图，已知直线、相交于点，平分，如果，那么80度【分析】先根据角平分线的定义，求出的度数，再根据邻补角的和等于求解即可【解答】解：平分，故答案为：80【点评】本题考查了

4、角平分线的定义以及邻补角的和等于，是基础题，比较简单8（2023春普陀区期中）如图，直线与相交于点，平分，平分，那么20【分析】根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可【解答】解：平分，又平分，故答案为：20【点评】本题考查角平分线以及平角，掌握角平分线以及平角的定义是正确解答的前提9（2023春虹口区校级期末）若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则145【分析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解【解答】解：的余角是，的邻补角是，的对顶角是，故答案为：145【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解决本题的根据是熟记对顶角、邻补角的定义二垂线（共7小题）10（2023春浦东新区

5、校级期末）如图所示， 直线、交于点，则【分析】由得，结合已知可以求出，再利用对顶角相等， 求出【解答】解：，与是对顶角，【点评】利用好垂线得直角， 两角互余对顶角相等的性质是解题的关键 11（2023春虹口区期末）已知点在直线上，以点为端点的两条射线、互相垂直，若，则的度数是或【分析】首先根据题意画出图形，然后再根据图形结合邻补角互补，平角定义进行计算即可【解答】解：点在直线上，如图1，如图2，综上所述：的度数是或故答案为：或【点评】此题主要考查了垂线，关键是正确画出图形，分情况进行计算，不要漏解12（2023春松江区期中）如图，已知直线、交于点，则【分析】根据对顶角相等求出，根据垂直定义求出

6、，代入求出即可【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了垂直定义、对顶角相等、角的有关计算等知识点，能求出和的度数是解此题的关键13（2023春黄浦区期中）如果和有公共顶点，且的两边分别垂直于的两边，若时，则或【分析】分两种情况分别画图计算可得答案【解答】解：第一种情况，如图：，第二种情况，如图：，故答案为：或【点评】此题考查的是垂线的性质，掌握余角性质是解决此题关键14（2023春徐汇区期末）如图，直线与直线相交于点，那么的度数是 65度【分析】根据对顶角相等得，然后再根据，即可求出的度数【解答】解：，故答案为：65【点评】本题考查了垂线和对顶角的性质，解决本题的关键是垂线的性质15（202

7、3春长宁区期末）如图，直线、相交于点，于，且，则等于【分析】先根据于，求出的度数，再根据对顶角相等即可得出结论【解答】解：于，与是对顶角，故答案为：【点评】本题考查的是垂线，熟知互相垂直的两条直线组成的角是是解答此题的关键16（2023春闵行区期中）如图，直线平分，则135【分析】根据垂直，角的平分线的定义，对顶角即可求解【解答】解：如图所示，直线平分，（对顶角相等），故答案为：135【点评】本题主要考查角的和、差、倍、分，理解直线之间的关系，垂直的性质，角平分线的定义，对顶角是解题的关键三点到直线的距离（共3小题）17（2023春杨浦区期末）如图，在中，是边上一点，且，下列说法中，错误的是A

8、直线与直线的夹角为B直线与直线的夹角为C线段的长是点到直线的距离D线段的长是点到直线的距离【分析】根据已知角即可判断、；根据点到直线的距离的定义即可判断、【解答】解：、，直线与直线的夹角是，正确，故本选项不符合题意；、，直线与直线的夹角是，正确，故本选项不符合题意；、，线段的长是点到直线的距离，正确，故本选项不符合题意；、和不垂直，线段的长是点到直线的距离，错误，故本选项符合题意；故选：【点评】本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长18（2023春上海期中）如图：，垂足为，则点到直线的距离是线段的长度【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案【解答】

9、解：，垂足为，点到直线的距离是线段的长度故答案为：【点评】此题考查点到直线的距离，解题的关键是根据点到直线的距离及线段的长的意义解答19（2023春黄浦区期中）如图，在中，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长【分析】根据点到直线的距离，即可解答【解答】解：，垂足为点，点到直线的距离是线段的长，故答案为：【点评】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离四同位角、内错角、同旁内角（共5小题）20（2023春普陀区期中）如图，的同位角是ABCD【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可

10、判断【解答】解，的同位角是故选：【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义21（2023春黄浦区期末）如图，下列说法中错误的是A和是同位角B和是同位角C和是内错角D和是同旁内角【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形判断【解答】解：、和不符合同位角的定义，故本选项正确；、和是同位角，故本选项错误；、和是内错角，故本选项错误；、和是同旁内角故本选项错误；故选：【点评】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，属于基础题，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定义和形状，是解题的关键22（2023春黄浦区期中）如图，下列判断中正确的个数是（1）与是同位角；（2）和是同旁内角；（3）

11、和是内错角；（4）和是同位角A1个B2个C3个D4个【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线【解答】解：（1）与是同位角，正确；（2）与是同旁内角正确；（3）与是内错角，正确；（4）与不是同位角，错误故选：【点评】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系23（2023春徐汇区校级期中）如图，下列说法中错误的是A与是同位角B与是内错角C与是同位角D与是同旁内角【

12、分析】根据同位角、内错角、同旁内角定义分别进行判断即可【解答】解：、与是同位角，说法正确；、与是内错角，说法正确；、与是同位角，说法错误；、与是同旁内角，说法正确；故选：【点评】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形24（2023春松江区期中）如图，一共有 4对同旁内角【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁

13、内角，由此即可得到答案【解答】解：图中同旁内角有和，和，和，和，共有4对故答案为：4【点评】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义五平行公理及推论（共2小题）25（2023春奉贤区校级期中）下列说法正确的是A如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等D连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【分析】根据对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质分别进行判断，即可求出答案【解答】、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，所以错误；、经过直线外一点有且只有一条直线与已知

14、直线平行，故本选项错误；、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角不一定相等，应强调是两直线平行，是错误的；、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；故选：【点评】此题考查了平行公理及推论，用到的知识点是对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，是一道基础题26（2023春浦东新区校级期末）已知在同一平面内有三条不同的直线，下列说法错误的是A如果，那么B如果，那么C如果，那么D如果，那么【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可【解答】解：、如果，那么，

15、说法正确；、如果，那么，说法正确；、如果，那么，说法错误；、如果，那么，说法正确；故选：【点评】此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理六平行线的判定（共3小题）27（2023春上海期中）如图，在下列给出的条件中，能判定的是ABCD【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可【解答】解：，故不符合题意；由，不能判定，故不符合题意；，故符合题意；，故不符合题意；故选：【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键28（2023春闵行区期中）如图，下列条件不能判定的是ABCD【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可【解答】解：由，根据内错角相等，两直线平行可判定，不能判定

16、，故符合题意；由，根据内错角相等，两直线平行可判定，故不符合题意；由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故不符合题意；由，根据同位角相等，两直线平行可判定，故不符合题意；故选：【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”是解题的关键29（2023春黄浦区期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，；（1）若，则的度数为 ；若，求的度数 ；（2）由（1）猜想与的数量关系，并说明理由；（3）当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明

17、理由）；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；（2）根据以及，进行计算即可得出结论；（3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得角度【解答】（1），故答案为：；，故答案为：；（2）猜想：，理由如下：，又，即；（3）存在，、理由：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键七平行线的性质（共12小题）30（2023春浦东新区校级期末）如图，已知，、分别平分、，则图中与互余的角共有A3个B4个C5个D6个

18、【分析】先根据补角的定义得出，再由是的平分线，是的平分线，故可得出，故可得出，即，与互余；再由平行线的性质可知，故与互余；根据可知，再根据角平分线的性质即可得出结论【解答】解：，是的平分线，是的平分线，即，与互余；，与互余；，是的平分线，是的平分线，与互余，与互余的角有5个故选：【点评】本题考查的是平行线的性质，余角和补角，熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键31（2023春普陀区期中）如图，已知，下列说法中正确的是ABCD【分析】利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补进行分析即可【解答】解：由已知条件无法求得，故不符合题意；当时，由两直

19、线平行，内错角相等可得，故不符合题意；当时，由两直线平行，同旁内角互补可得，故不符合题意；，（两直线平行，内错角相等），故符合题意；故选：【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用32（2023春嘉定区期末）将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则【分析】过点作，根据矩形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，从而得证【解答】证明：如图，过点作，四边形是矩形纸片，即故答案为：【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，矩形的对边平行，每一个角都是直角的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关

20、键33（2023春嘉定区期末）如图，垂足为点，如果，那么135【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质得到【解答】解：延长交于，故答案为：135【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质得到34（2023春徐汇区校级期中）如图，已知，平分，则【分析】根据平行线性质求出，根据角平分线求出，根据平行线性质求出即可【解答】解：，平分，故答案为：【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型35（2023春徐汇区校级期中）已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少，那么这两个角的度数分别是，或、【分析】根

21、据条件可知这两个角相等或互补，利用方程思想可求得其大小【解答】解：两个角的两边互相平行，这两个角相等或互补，设一个角为，则另一个角为，当这两个角相等时，则有，解得，此时这两个角分别为、；当这两个角互补时，则有，解得，此时这两个角为、；故答案为：、或、【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两个角的两边互相平行则这两个角相等或互补是解题的关键36（2023春虹口区校级期末）如图，则、的关系是 【分析】首先过点作，由此得，然后根据平行线的性质得，据此即可得出答案【解答】解：过点作，即：，故答案为：【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是熟练掌握两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，

22、两直线平行同旁内角互补37（2023春徐汇区期末）如图，已知，点是直线上的点，那么的度数是 33度【分析】根据补角性质可得，再根据两直线平行，内错角相等得出的度数即可【解答】解：如图所示：，且，又，故答案为：33【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等38（2023春浦东新区校级期末）如图，已知，求的度数【分析】由平行线的性质得到，由补角的性质得到，因此，求出的值，即可得到答案【解答】解：，【点评】本题考查平行线的性质，补角的性质，关键是由以上知识点推出39（2023春普陀区期中）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两

23、岸河堤、上安置了、两盏激光探照灯如图所示光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转（1）如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒，如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即；用含的代数式表示光线转动的角度，即如图2，当光线与光线垂直，垂足为时，求的值（2）如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？【分析】（1）根据旋转速度和旋转时间计算即可；（2）根据平行线性质，得到，与关系，再列方程，解出即可；（3）在光线第一次到达之前，可以旋转的时间应小于160秒，此时

24、可能到达并返回，因此需分两种情况讨论，在不同情况下，利用平行线性质得到的角的关系列出方程解出即可【解答】解：（1）由题意，得光线旋转的角度为，光线旋转的角度为，故答案为：，解：过点作，如图，即解得；（2）解：设光线旋转时间为秒，由题意，知，解得，因此，需分三种情况：情况在第一次到达之前，如图，此时，解得；情况在第一次到达之后，未到达，如图，此时，类似地，当时，解得；情况在第一次到达之后，再第一次到达，返回，此时，类似地，当时，解得，此情况无解综上，光线旋转10秒和85秒时，与光线平行【点评】本题考查平行线性质，以动态背景考查一元一次方程的应用，能熟练运用平行线性质是解题的关键40（2023春奉

25、贤区校级期中）已知（1）如图（1）如果平分，平分，请说明的理由；（2）如图（2）如果，试探索与仍然相等吗？为什么？（3）如图（3）如果，请直接写出，与之间的关系【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答；（3）根据平行线的性质解答即可【解答】（1）证明：，平分，平分，设、相交于，则，；（2）解：，理由如下：连接，由（1）可知，若，则：，；（3）解：，理由如下：连接，由（1）可知，若，则：【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答41（2023春闵行区期中）（1）如图1，是直线，内部一点，连接，探究猜想当，则92；猜想图

26、1中，的关系并验证；（2）如图2，已知，求的度数（用含有，代数式表示）（3）如图3，射线与平行四边形的边交于点，与边交于点，图3中，分别是被射线隔开的2个区域（不含边界），是位于以上两个区域内的一点，猜想，的关系（不要求说明理由）【分析】（1）如图所示，过点作，根据平行线的性质即可求解，；（2）如图所示，分别过点，作，根据平行线的性质即可求解；（3）由（1），（2）的证明方法，分类讨论即可求解【解答】解：（1），；猜想，证明过程如下，如图所示，过点作，；（2）如图所示，分别过点，作，由（1）可知，即，；（3）根据题意，如图所示，当点在区域时，过点作，四边形是平行四边形，；如图所示，当点在区域时

27、，过点作，四边形是平行四边形，；综上所述，点在区域时，；点在区域时，【点评】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键八平行线的判定与性质（共14小题）42（2023春上海期中）下列说法中正确的是A两条直线被第三条直线所截，同位角相等B经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C同旁内角相等，两直线平行D如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等【分析】根据平行线的性质、平行公理及推论、垂线的性质、对顶角性质判断即可【解答】解：、两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故结论错误，不符合题意；、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故结论正确，符合题意；、同旁内角

28、相等，两直线不一定平行，故结论错误，不符合题意；、如果两个角不是对顶角，那么它们不一定相等，故结论错误，不符合题意故选：【点评】此题分别考查了平行线的性质与判定、平行公理及对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点43（2023春浦东新区校级期末）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是A一对同位角的平分线互相平行B一对内错角的平分线互相平行C一对同旁内角的平分线互相平行D一对同旁内角的平分线互相垂直【分析】结合角平分线的定义，根据平行线的性质与判定进行分析，从而得到答案【解答】解：如图所示：若两条平行线被第三条直线所截，一对同位角和内错角的平分线互相平行，一对同旁内角的平分线互相垂

29、直，所以错误故选【点评】本题考查两条平行线被第三条直线所截得的角的角平分线之间的关系，可结合图形进行分析44（2023春松江区期中）如图，已知，则【分析】先利用内错角相等，两直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，进行计算即可解答【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键45（2023春徐汇区校级期中）如图，已知平分，且（1）求证：（2）若，求的度数【分析】（1）结合题意、根据角平分线的定义推出，即可判定；（2）根据三角形内角和定理得出，结合垂直的定义得出，根据平行线的性质即可得解【解答】（1）证明：平分，又，；（2）解：，【点评】此题

30、考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键46（2023春奉贤区校级期中）如图，已知，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明解：因为（已知）所以两直线平行，同旁内角互补因为（已知）所以 （两直线平行，同旁内角互补）所以因为、分别是和的角平分线（已知）所以，所以 （等式性质）因为（已知）所以（两直线平行，内错角相等）所以所以【分析】根据平行线的判定与性质求解即可【解答】解：因为（已知），所以（两直线平行，同旁内角互补），因为（已知），所以（两直线平行，同旁内角互补），所以（同角的补角相等），因为、分别是和的角平分线（已知），所以，（角平分线定义），所以（等式性质），因为（已

31、知），所以（两直线平行，内错角相等），所以（等量代换），所以（同位角相等，两直线平行），故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；角平分线定义；等量代换；同位角相等，两直线平行【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键47（2023春杨浦区期末）如图，已知，试说明的理由解：因为（已知），所以两直线平行，同位角相等因为（已知），所以因为（已知），所以即所以所以【分析】由已知平行可证明，由可证明，从而可知，进而可证明两直线平行【解答】解：因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）因为（已知），所以（等量代换）因为（已知），所以（等式性质）即，所以所

32、以（内错角相等，两直线平行）故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；等式性质；内错角相等，两直线平行【点评】本题主要考查了平行的性质和判定本题的关键是证明48（2023春上海期中）如图：已知，垂足为，垂足为，请填写理由说明解：因为，（已知）所以，垂直的定义所以（完成以下说理过程）【分析】由垂直可得，则可判定，即有，再由得，则有，即可求证【解答】解：，（已知），（垂直的定义），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），（已知），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），（等量代换）故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行【点评】本题主要考查平行线的判定与性质

33、，解答的关键是熟记平行线的判定定理及性质并灵活运用49（2023春松江区期中）如图，已知，请你说明为什么解：过点作（请添写辅助线说明），所以，因为（已知），即，所以 ，所以，所以【分析】过点作，由平行线的性质可得，再由，从而求得，即有，从而得【解答】解：过点作，所以（两直线平行，内错角相等），因为（已知），即，所以（等量代换），所以（内错角相等，两直线平行），所以（平行于同一直线的两条直线平行）故答案为：过点作；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用50（20

34、23春黄浦区期中）已知：与互余，平分，求的度数【分析】根据垂直的定义和余角的定义得到，可得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得由余角的性质即可得到结论【解答】解：，与互余，平分，【点评】本题考查了垂线的定义，余角的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键51（2023春越秀区校级期中）填空：如图，已知，说明与平行的理由解：因为（已知）又因为（邻补角意义）所以所以所以因为（已知）所以所以【分析】根据平行线的判定方法和平行线的性质解答即可【解答】解：因为（已知），又因为（邻补角的意义），所以（同角的补角相等），所以（内错角相等，两直线平行），所以（两直线平行，内

35、错角相等），因为（已知），所以（等量代换），（同位角相等，两直线平行）故答案为：；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质的区别是解答此题的关键，即性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关52（2023春上海期中）如图，已知，那么等于多少度？为什么？解：过点作，得，两直线平行同旁内角互补因为，（已知），（所作）所以，得 ，（两直线平行，同旁内角互补）所以，（等式性质）即，因为，（已知）所以（等式性质）【分析】过作平行于，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，再由

36、与平行，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到与平行，利用两直线平行得到又一对同旁内角互补，两等式相加，可得出，将度数代入即可求出的度数【解答】解：过点作，得（两直线平行同旁内角互补），因为（已知），（所作），所以（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）得（两直线平行，同旁内角互补），所以（等式性质）即因为（已知），所以（等式性质）故答案为：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；360；【点评】此题考查了平行线的判定与性质，属于推理型填空题，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键53（2023春普陀区期中）如图，已知在中，为边

37、上一点，交边于点，且，请说明的理由解：因为（已知），所以即因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）因为（已知），所以（等量代换）所以【分析】根据等式的性质得出，进而利用平行线的性质解答即可【解答】解：因为（已知），所以（等式性质），即因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）因为（已知）所以（等量代换）所以（内错角相等，两直线平行），故答案为：；等式性质；3；内错角相等，两直线平行【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据内错角相等，两直线平行解答54（2023春闵行区期中）已知：如图，与互补，试说明解：因为与互补所以同旁内角互补，两直线平行，所以，又因为，所以（等式性质），即，所以

38、，所以【分析】根据平行线的性质与判定定理，完成填空即可求解【解答】解：因为与互补，所以（同旁内角互补，两直线平行），所以（内错角相等，两直线平行），又因为（已知），所以（等式性质），即，所以（内错角相等，两直线平行），所以（两直线平行，内错角相等）故答案为：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；已知；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键55（2023春普陀区期中）如图，已知，试说明【分析】由，根据内错角相等，两直线平行得，根据平行线的性质得，利用等量代换得到，然后根据同位角相等，两直线平行客判定

39、【解答】证明：，【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等九平行线之间的距离（共2小题）56（2022春闵行区校级期中）在同一平面内，设，是三条互相平行的直线，已知与的距离为，与的距离为，则与的距离为或【分析】画出符合的两种情况，再求出两平行线间的距离即可【解答】解：分为两种情况：如图1，与的距离为，与的距离为，与的距离是；如图2，与的距离为，与的距离为，与的距离是；故答案为：或【点评】本题考查了平行线之间的距离的定义，能掌握平行线之间的距离的定义是解此题的关键57（2023春松江区期中）在同一平面内，已知，若直线、之间的距离为，直线、之间的距离为，则直线、间的距离为A或BCD不确定【分析】分两种情况，当直线在直线、之间时，当直线在直线、外部时，即可解决问题【解答】解：当直线在直线、之间时，如图（1），直线、间的距离为；当直线在直线、外部时，如图（2），直线、间的距离为，直线、间的距离是2或故选：【点评】本题考查平行线的距离，关键是要分两种情况讨论