专题12 二次函数的图象及性质（10个高频考点）（举一反三）（全国版）（解析版）.docx

1、专题12 二次函数的图象及性质（10个高频考点）（举一反三） 【考点1 二次函数的定义】1【考点2 二次函数的图象与性质】3【考点3 二次函数的图象与系数的关系】6【考点4 二次函数的对称性】11【考点5 二次函数的最值】21【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】29【考点7 二次函数图象的平移】42【考点8 二次函数与一元二次方程】50【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】58【考点10 二次函数与不等式】65【要点1 二次函数的概念】一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项

2、系数，c是常数项y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式【考点1 二次函数的定义】【例1】（2022安徽合肥校考一模）已知y=m+2xm+2是关于x的二次函数，那么m的值为_【答案】2【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可；【详解】解：y=m+2xm+2是y关于x的二次函数，m=2且m+20，解得m=2，故答案为：2【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键【变式1-1】（2022湖南怀化中考真题）下列函数是二次函数的是（ ）Ay=2x+1By=2x+1Cy=x2+2Dy=12x2【答

3、案】C【详解】根据二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是y=x2+2故选C【变式1-2】（2022重庆永川统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（）A正比例函数关系B一次函数关系C反比例函数关系D二次函数关系【答案】D【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，

4、设总费用为y元，由题意得：y=162x2+4x(x+50)=96x2+3200x，这是关于一个二次函数故选：D【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式【变式1-3】（2022江苏徐州统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象同时满足下列条件：开口向下；当x2时，y随x的增大而减小这样的二次函数的解析式可以是_【答案】答案不唯一，只要满足b4a，a0即可，如yx24x3，y2x28x3等【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果.答案不唯一，如y(x1)2或y(x1)22考点：二次函数的性质点评：

5、二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.【要点2 二次函数的图象与性质】二次函数的图象是一条抛物线。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a0x0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a0x0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴

6、的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【考点2 二次函数的图象与性质】【例2】（2022湖北荆门统考中考真题）抛物线yx2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1y2，则下列结论正确的是()A0x1x2Bx2x10Cx2x10或0x1x2D以上都不对【答案】D【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定【详解】抛物线yx2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2，|x1|x2|，0x1x2，或x2x10，或x20，x10且x2+x10，或x20，x10且x2+x10，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握

7、和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键【变式2-1】（2022湖南郴州统考中考真题）关于二次函数y=x12+5，下列说法正确的是（）A函数图象的开口向下B函数图象的顶点坐标是1,5C该函数有最大值，是大值是5D当x1时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可【详解】解：对于y=（x-1）2+5，a=10，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，最小值是5，故C错误；当x1时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点

8、、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征【变式2-2】（2022青海西宁统考中考真题）如图，ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EFBC设点E到BC的距离为x，DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）ABCD【答案】A【分析】过点A向BC作AHBC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案【详解】解：过点A向BC作AHBC于点H，根据相似比可知：EFBC=3x3，即EF6=3x3，解得：EF=2（3-x），则DEF的面积y=122（3-x）x=-x2+3x=-(x-32)2+94，故y关于x的函

9、数图象是一个开口向下、顶点坐标为(32，94)的抛物线故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键【变式2-3】（2022江苏盐城统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是_【答案】1n10【分析】先判断2m2，再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=m+12+1，再利用二次函数的性质求解n的范围即可【详解】解：点P到y轴的距离小于2，2m2，点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，n=m2+2m+2=m+12+1，当m=1时，n有最小值为1当m=2时

10、，n=2+12+1=10，n的取值范围为1n10.故答案为：1n10【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键【要点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置【考点3 二次函数的图象与系数的关系】【例3】（2022辽宁朝阳统考中考真题）如图，二次函数yax2+bx+c（a为常数，且a0）的图象过点(1，0)，对称轴为直线x

11、1，且2c3，则下列结论正确的是（）Aabc0B3a+c0Ca2m2+abma2+ab（m为任意实数）D1a23【答案】D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【详解】解：A抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab0，而c0，故abc0，不正确，不符合题意；B函数的对称轴为直线x=-b2a=1，则b=-2a，从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，故不正确，不符合题意；C当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，am2+bm+ca+b+c（m为任意实数），am2+bma+b，a0，a2m2+abma2+ab（m为任意实数）故不正确，不符合题意；D-b2a=1，故b=-2a，x

12、=-1，y=0，故a-b+c=0，c=-3a，2c3，2-3a3，-1a23，故正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型【变式3-1】（2022内蒙古中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)），下列结论：abc0时，x的取值范围是1x3；点2,y1，2,y2都在抛物线上，则有y100时，是x轴上方的图像，可判断错误，求出y1=4a2b+c，y2=4a+2b+c，结合的结论即可判断出正确【详解】抛物线的开口向下，a0，抛物线交于y轴正半轴，c0，abc

13、0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，y0时，有1x3，故错误；抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，当x=-2时，y1=4a2b+c，当x=2时，y2=4a+2b+c，b=2a，3a+c=0，a0，y1=4a22a+3a=5a0，y2=4a+22a+3a=3a0，y10y2，故正确，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等【变式3-2】（2022湖北荆门统考中考真题）抛物

14、线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x2，过点（1，2）和点（x0，y0），且c0有下列结论：a0；对任意实数m都有：am2+bm4a2b；16a+c4b；若x04，则y0c其中正确结论的个数为()A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x2，过点（1，2）且c0，即可判断开口向下，即可判断；根据二次函数的性质即可判断；根据抛物线的对称性即可判断；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断【详解】抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x2，过点（1，2），且c0，抛物线开口向下，则a0，故正确；抛物线开

15、口向下，对称轴为x2，函数的最大值为4a2b+c，对任意实数m都有：am2+bm+c4a2b+c，即am2+bm4a2b，故错误；对称轴为x2，c0当x4时的函数值大于0，即16a4b+c0，16a+c4b，故正确；对称轴为x2，点（0，c）的对称点为（4，c），抛物线开口向下，若-4x00)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：c2；当x0时，一定有y随x的增大而增大；若点D横坐标的最小值为5，点C横坐标的最大值为3；当四边形ABCD为平行四边形时，a=12其中正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0

16、，c）可以判断出c的取值范围，可判断；根据二次函数的增减性判断；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断【详解】解：点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，C-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故正确；抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，当x1时，一定有y随x的增大而增大，故错

17、误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故正确；令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2=(ba)24ca=b24aca2，根据顶点坐标公式，4acb24a=2，4acb2a=8，即b24aca=8，四边形ACDB为平行四边形，CD=AB=1-（-3)=4，8a=42=16，解得a=12，故正确；综上所述，正确的结论有故选：D【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数

18、的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况【变式4-1】（2022四川成都统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（）Aa0B当x1时，y的值随x值的增大而增大C点B的坐标为(4,0)D4a+2b+c0【答案】D【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即a1，y随x的增大而减小；当x1，y随x的增大而增大，故当1x1，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；C、根据二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相

19、交于A(1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，可得对称轴x=xB+(1)2=1，解得xB=3，即B(3,0)，故该选项不符合题意；D、根据B(3,0)可知，当x=2时，y=4a+2b+c0，故该选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x轴交点A(1,0)得到B(3,0)是解决问题的关键【变式4-2】（2022北京昌平统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx1(a0)(1)若抛物线过点(4,1)求抛物线的对称轴；当1x0时，图像在x轴的下方，当5xy1y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范

20、围【答案】(1)x=2；y=15x245x1(2)3t32【分析】把(4，-1)代入解析式，确定b=-4a，代入直线x=b2a计算即可根据对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，判定抛物线经过（-1,0）和（5,0），代入解析式确定a，b的值即可（2）方法一：根据x=b2a=t，得到b=-2at，从而解析式变形为y=ax22atx1(a0)，把4,y1，2,y2，1,y3分别代入解析式，根据y3y1y2，列出不等式组，解不等式组即可方法二：根据每个点的横坐标离对称轴的远近判断y的大小（1）解：把(4，-1)代入解析式y=ax2+bx1(a0)，得1=16a+4b1，解得b=-4a，对称轴为

21、直线x=b2a=4a2a=2根据题意，画图像如下：当1x0时，图像在x轴的下方，当5x0)，把4,y1，2,y2，1,y3分别代入解析式，得y3=a2at1,y1=16a+8at1,y2=4a+4at1，y3y1y2，a2at116a+8at1a2at14a+4at116a+8at14a+4at1，解得t32t12t3，故t的取值范围是3t32方法二：若4,y1，2,y2，1,y3为抛物线上的三点且y3y1y2，对称轴为x=t， y=15x245x1，a=150，开口向上，当t4，则y1y2y3，不符合题意，当4ty1y2t42t解得t33t2当2ty1y2t2t4解得t12，t322t0，当

22、抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m的值【答案】(1)y=x22x(2)B1,3(3)00A3,3观察图形可知，当m3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当PQ经过抛物线的对称轴x=1时，MQ=PQ=2m,m02m=1解得m=12，观察图形可知，当0m12时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；综上所述，m的取值范围为00时，当1x1时，y随x的增大而减小，当1x4，

23、y随x的增大而增大， 当x=1时，y取得最小值， y=a112a=4，a=4；（2）当a0)的图像上，且x2x1=3(1)若二次函数的图像经过点(3,1)求这个二次函数的表达式；若y1=y2，求顶点到MN的距离；(2)当x1xx2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围【答案】(1)y=2x28x+7；92(2)190)中即可求出二次函数表达式；当y1=y2时，此时MN为平行x轴的直线，将Mx1,y1,Nx2,y2代入二次函数解析式中求出x2+x1=4，再由x2x1=3求出直线MN为y=72，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；（2）分两种情形：若M，N在对称

24、轴的异侧，y1y2；若M、N在对称轴的异侧，y1y2，x10)中，1=a(32)21，解得a=2，二次函数的表达式为：y=2(x2)21=2x28x+7；当y1=y2时，此时MN为平行x轴的直线，将Mx1,y1代入二次函数中得到：y1=2x128x1+7，将Nx2,y2代入二次函数中得到：y2=2x228x2+7，y1=y2，2x128x1+7=2x228x2+7，整理得到：(x1+x2)(x1x2)4(x1x2)=0，又x2x1=3，代入上式得到：x2+x1=4，解出x1=12,x2=72，y2=y1=2(12)2812+7=72，即直线MN为：y=72，又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，

25、顶点(2,-1)到MN的距离为72+1=92；（2）解：若M，N在对称轴的异侧，y1y2，x1+32，x1-1，x2x1=3x112，-1x112，函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，y-（-1）=1，a=1x122，94x1229，19a49；若M、N在对称轴的异侧，y1y2，x112，12x12，函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，y-（-1）=1，a=1x1+12，94x1+129，19a49，综上所述，a的取值范围为19a49【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值

26、离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) 【变式5-2】（2022山东济南济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w=SABG:SBGP，则w的最小值是（）A2425B2524C58D14516【答案】A【分析】根据已知条件设P(m,m22m3)，其中0m3，求得直线AP的解析式，直线BE的解析式，联立即可求得点G的坐标，根据w=12AB|yG|12AB|yp12AB|yG=83m2+8m+3，令z=3m2+8m+3=3m432+2

27、53，根据二次函数的性质求得z的最大值，即可求得w的最小值【详解】点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，如图，当y=0时，x22x3=0，解得x1=1，x2=3，即A(1,0)，B(3,0)，D为抛物线顶点，D1,4，设直线AD的解析式为y=ax+b，A(1,0)，D1,4，a+b=0a+b=4，解得：a=2b=2，直线AD的解析式为y=2x2，当x=0时，y=2，E(0,2)，设P(m,m22m3)，其中0m3，设直线AP的解析式为y=cx+d，A(1,0),P(m,m22m3)，c+d=0m22m3=cm+d，解得：c=m3d=m3，直线AP的解析式为y=(m3)x+m3设直线BE

28、的解析式为y=ex+f，B(3,0),E(0,2)，3e+f=0f=2，解得e=23f=2，直线BE的解析式为y=23x2，联立方程组，得：y=m3x+m3y=23x2，解得：x=33m3m11y=248m3m11，yG=248m3m11，0m0，3m110，248m3m110，w=SABGSBGP=12AB|yG|12AB|yP12AB|yG=8m33m11248m3m11m2+2m+3=83m2+8m+3，令z=3m2+8m+3=3m432+253， 30，当m=43时，z取得最大值 253，w取得最小值为 8253=2425，w有最小值，最小值为 2425故选：A【点睛】本题是二次函数综

29、合题，考查了待定系数法与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，运用转化思想是解题的关键【变式5-3】（2022天津滨海新统考二模）已知：抛物线y=13x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值【答案】(1)y=13x2+43x+4(2)（3，5）(3)25+210+2【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；(2)首先点

30、B的坐标，再求出直线BC的解析式，过点P作PFx轴于F，交BC于点Q，设点P（m，13m2+43m+4），Q（m，23m+4）,当m=3时，SPBC有最大值,即可求出点P的坐标；（3）由四边形AMNC的周长=AM+MN+CN+AC，得到当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小，得出AM+CN=AM+DM，求出AM+DM的最小值即可得到结论.【详解】（1）解：抛物线y=13x2+bx+c经过点A（-2，0），C（0，4），432b+c=0c=4解得b=43c=4该抛物线的解析式： y=13x2+43x+4（2）解：点B是抛物线y=13x2+43x+4与x轴的交点， 13x2+43x+4=0，

31、x1=2，x2=6，点B的坐标为（6，0），设直线BC的解析式为y=kx+n，点B（6，0），C(0，4)6k+n=0n=4解得k=23n=4 ，直线BC解析式为：y=23x+4，如图，过点P作PFx轴于F，交BC于点Q，设点P（m，13m2+43m+4），Q（m，23m+4）PQ=13m2+43m+423m+4=13m2+2m，SPBC=12OBPQ=12613m2+2m=m32+9当m=3时，SPBC有最大值，点P的坐标为（3，5）（3）解：A（-2，0），C（0，4），AC=22+42=25，四边形AMNC的周长=AM+MN+CN+AC，MN=2，当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长

32、最小.将CN向下平移2个单位长度，得到对应线段DM，点C的对应点D的坐标为（0，2），AM+CN=AM+DM，可知抛物线y=13x2+bx+c的对称轴为直线x=2， 如图，作点D关于对称轴x=2的对称点D，可求得D（4，2），连接AD，则AD=AM+MD=AM+DM，过点D作DEx轴于点E，DE=2，AE=6， AM+DM的最小值为AD=62+22=210，四边形AMNC周长的最小值为AC+MN+AD=25+210+2【点睛】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识点，正确作出辅助线是解题的关键【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】【例6】（202

33、2内蒙古中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D2,52两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）【答案】(1)y=12x2+x+32，C0,32(2)M32,158，当m=32时，S有最大值为2716(3)满足条件的点P坐标为P14,52，P24,212，P32,32【分析】（1

34、）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC，过M点作MNy轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-12m2+m+32），则N（m，-12m+32），可得SMBC=12MNOB=34m322+2716，再求解即可；（3）设Q（0，t），P（m，- 12m2+m+32），分三种情况讨论：当AB为平行四边形的对角线时；当AQ为平行四边形的对角线时；当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可（1）解：把点B(3,0)和D2,52分别代入y=ax2+x+c可得9a+3+c=04a2+c=52，解得a=12c=32抛物线的解析式为y=12x2+

35、x+32把x=0代入y=12x2+x+32可得y=32C0,32；（2）解：作直线BC，作MNy轴交直线BC于点N设直线BC的解析式为y=kx+b（k0）把点B(3,0)和C0,32分别代入y=kx+b可得3k+bb=32解得k=12b=32直线BC的解析式为y=12x+32设点M的横坐标为mMm,12m2+m+32，Nm,12m+32MN=12m2+m+3212m+32=12m2+32mSBCM=12MNOB=1212m2+32m3=34m2+94m=34m322+2716（0m3）当m=32时，S有最大值为2716把x=32代入y=12x2+x+32可得y=158M32,158；（3）解：

36、当以AB为边时，只要PQAB，且PQ=AB=4即可点P的横坐标为4或-4把x=4代入y=12x2+x+32可得y=52把x=4代入y=12x2+x+32可得y=212此时P14,52，P24,212当以AB为对角线时，作P3Hx轴于点H四边形AQ3BP3是平行四边形AQ3BP3，AQ3=BP3Q3AB=P3BA在AOQ3和BHP3中Q3AB=P3BAAOQ3=BHP3=90AQ3=BP3AOQ3BHP3OA=HB=1OH=OBBH=31=2点P的横坐标为2把x=2代入y=12x2+x+32可得y=32此时P32,32综上所述，满足条件的点P坐标为P14,52，P24,212，P32,32【点睛

37、】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键【变式6-1】（2022四川巴中统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y0时，1x3(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【答案】(1)y=x2+2x+3(2)4；是，定值为8

38、，理由见解析【分析】（1）由当y0时，1x3，可知x1=1，x2=3是ax2+2x+c=0的两根，代入方程可得a,c从而得解；（2）把x=2代入抛物线解析式可得D点坐标，再x=0代入抛物线解析式可得C点坐标，从而得知线段CDx轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用S四边形ACFD=SFCD+SACD=12CDyFyA求面积；设Dm,m2+2m+3(1m3)，用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再令x=1得yM，yN，从而得出ME，NE的长，从而得到NE+ME是定值8【详解】（1）解：当y0时，1x3，x1=1，x2=3是ax2+2x+c=0的两根，A(1,0)，B(3,0)，a2+c=0

39、9a+6+c=0，解得：a=1c=3，抛物线的表达式为：y=x2+2x+3；（2）把x=2代入y=x2+2x+3得：y=3，D(2,3)又当x=0，y=3，C(0,3)，线段CDx轴y=x2+2x+3=(x1)2+4，F(1,4)，S四边形ACFD=SFCD+SACD=12CDyFyA=4；设Dm,m2+2m+3(1m916,n1)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)（x1916,n1)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)（x11时，CD位于AB的上方，A(2,0)、B(12,54)，AE=2329

40、4+4n2=52+94+4n2，BF=32+94+4n212=52+94+4n2，AE=BF，当916n158时，解得：xP=4t+18t154，xQ=4t+1+8t154， NB=t+324t+1+8t154=58t154，AM=4t+18t154(t1)=58t154，AM=BNAM+3BN=2，AM=BNAM=BN=12，58t154=12，解得:t=3方法二：设P、Q平移前的对应点分别为P、Q，则PQPQ则PQAB，A、B平移前的对应点分别为A、B，由（2）及平移的性质可知，AM=BNAM+3BN=2，AM=BN=12，B(12,54)到y轴的距离为12，点O是y轴与二次函数y=x2+

41、2x的图像的交点，平移后点O的对应点即为点Q二次函数y=x2+2x图像的顶点为(1,1)，二次函数y=(xt)2+2的图像的顶点为(t,2)，新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的Q(t+1,3)，将点Q的坐标代入y=12x+1中，解得t=3另解：AM+3BN=2，AM=BN=12，B(12,54)的对应点为B(t+32,174)BN=12，点Q的横坐标为t+1，代入y=12x+1，得y=12t+32Q(t+1,12t+32)将点Q的坐标代入y=(xt)2+2中，解得t=3【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的

42、坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键【要点4 二次函数图象的平移变换】（1）平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”【考点7 二次函数图象的平移】【例7】（2022四川巴中统考中考真题）函数y=ax2+bx+ca0,b24ac0的图象是由函数y=ax2+bx+ca0,b24ac0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如

43、图所示，则下列结论正确的是（）2a+b=0 ；c=3；abc0；将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点ABCD【答案】D【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为b2a=1，进而可得2a+b=0，故正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），y=ax2+bx+ca0,b24ac0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成可知c-3，故错误；根据对称轴求出b0，进而可得abc0，故正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得正确【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为1和3，对称轴为x=1+32=1，即b2a=1，整理得：2a

44、+b=0，故正确；y=ax2+bx+ca0,b24ac0与y轴的交点坐标为（0，3），y=ax2+bx+ca0可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，c-3，故错误；y=ax2+bx+ca0,b24ac0中a0，b2a=1，b0，又c-30，abc0，故正确；设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=ax+1x3，代入（0，3）得：3=3a，解得：a1，y=x+1x3=x2+2x+3=x12+4，顶点坐标为（1，4），点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故正确；故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质

45、，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键【变式7-1】（2022上海统考中考真题）已知：y=12x2+bx+c经过点A2，1，B0，3(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为Pm,n（m0）倘若SOPB=3，且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围；P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，BPQ=120时，求P点坐标【答案】(1)y=12x23(2)k2P的坐标为（23，3）或（-23，3）【分析】（1）把A2，1，B0，3代入y=12x2+bx+c，求解即可；（2）由y=12x23，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位

46、，根据SOPB=123m=3，求得m=2，在x=k的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；把P（m，n）代入y=12x23，得n=12m23，则P（m， 12m23），从而求得新抛物线解析式为：y=12(x-m)2+n=12x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=m2+(12m23+3)2=m2+14m4，PQ2=m2+(12m23)(m23)2=m2+14m4，即可得出BP=PQ，过点P作PCy轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=12BQ=12m2，BPC=12BPQ=12120=60，再根据tanBPC= tan 60

47、=BCPC=12m2|m|=3，即可求出m值，从而求出点P坐标（1）解：把A2，1，B0，3代入y=12x2+bx+c，得1=22b+c3=c，解得：b=0c=3，函数解析式为：y=12x23；（2）解：y=12x23，顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为Pm,n（m0）抛物线向右平移了m个单位，SOPB=123m=3，m=2，平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，在x=k的右侧，两抛物线都上升，又原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，k2，把P（m，n）代入y=12x23，得n=12m23，P（m， 12m23）根据题意，得新抛物线解析式为：y=12(x-m)

48、2+n=12x2-mx+m2-3，Q(0，m2-3)，B（0，-3），BQ=m2，BP2=m2+(12m23+3)2=m2+14m4，PQ2=m2+(12m23)(m23)2=m2+14m4，BP=PQ，如图，过点P作PCy轴于C，则PC=|m|，BP=PQ，PCBQ，BC=12BQ=12m2，BPC=12BPQ=12120=60，tanBPC= tan 60=BCPC=12m2|m|=3，解得：m=23，n=12m23=3，故P的坐标为（23，3）或（-23，3）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考

49、常考试题目，难度一般【变式7-2】（2022浙江嘉兴统考中考真题）已知抛物线L1：ya(x1)24（a0）经过点A(1，0)(1)求抛物线L1的函数表达式(2)将抛物线L1向上平移m（m0）个单位得到抛物线L2若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值(3)把抛物线L1向右平移n（n0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1y2，求n的取值范围【答案】(1)y=x2+2x3(2)m的值为4(3)n3【分析】（1）把A(1,0)代入y=a(x+1)24即可解得抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x3；（2）将抛物线L1向上平移m(m0

50、)个单位得到抛物线L2，顶点为(1,4+m)，关于原点的对称点为(1,4m)，代入y=x2+2x3可解得m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n(n0)个单位得抛物线L3为y=(xn+1)24，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线L3上，当y1y2时，可得(2n)24(4n)24，即可解得n的取值范围是n3【详解】（1）解：把A(1,0)代入y=a(x+1)24得：a(1+1)24=0，解得a=1，y=(x+1)24=x2+2x3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x3；（2）解：抛物线L1:y=(x+1)24的顶点为(1,4)，将抛物线L1向上平移m(m0)个单位得到抛物线L

51、2，则抛物线L2的顶点为(1,4+m)，而(1,4+m)关于原点的对称点为(1,4m)，把(1,4m)代入y=x2+2x3得：12+213=4m，解得m=4，答：m的值为4；（3）解：把抛物线L1向右平移n(n0)个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=(xn+1)24，点B(1,y1)，C(3,y2)都在抛物线L3上，y1=(1n+1)24=(2n)24，y2=(3n+1)24=(4n)24，y1y2，(2n)24(4n)24，整理变形得：(2n)2(4n)20，(2n+4n)(2n4+n)02(62n)0，62n3，n的取值范围是n3【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对

52、称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式【变式7-3】（2022湖南岳阳统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A3,0和点B1,0(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）求点C和点D的坐标；若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值【答

53、案】(1)y=x2+2x3(2)y=x2+2x+3(3)C2,3或D2,5；16【分析】（1）将点A3,0和点B1,0代入y=x2+bx+c，即可求解；（2）利用对称性求出函数F1顶点1,4关于原点的对称点为1,4，即可求函数F2的解析式；（3）通过联立方程组y=x2+2x+5y=x2+2x3，求出C点和D点坐标即可；求出直线CD的解析式，过点M作MFy轴交CD于点F，过点N作NEy轴交于点E，设Mm,m2+2m3，Nn,n2+2n+5，则Fm,2m+1，Nn,2n+1，可求MF=m2+4，NE=n2+4，由S四边形CMDN=SCDN+SCDM=2MF+NE，分别求出MF的最大值4，NE的最大

54、值4，即可求解（1）解：将点A3,0和点B1,0代入y=x2+bx+c，93b+c=01+b+c=0，解得b=2c=3，y=x2+2x3（2）y=x2+2x3=(x+1)24，抛物线的顶点1,4，顶点1,4关于原点的对称点为1,4，抛物线F2的解析式为y=(x1)2+4，y=x2+2x+3（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y=(x1)2+6=x2+2x+5，联立方程组y=x2+2x+5y=x2+2x3，解得x=2或x=2，C2,3或D2,5；设直线CD的解析式为y=kx+b，2k+b=32k+b=5，解得k=2b=1，y=2x+1，过点M作MFy轴交CD于点F，过点N作NEy轴交于点E，如

55、图所示：设Mm,m2+2m3，Nn,n2+2n+5，则Fm,2m+1，Nn,2n+1，MF=2m+1m2+2m3=m2+4，NE=n2+2n+52n1=n2+4，2m2，2n2，当m=0时，MF有最大值4，当n=0时，NE有最大值4，S四边形CMDN=SCDN+SCDM=124MF+NE=2MF+NE，当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键【要点5 二次函数与一元二次方程之间的关系】判别式情况b24ac0b24ac0b24ac0二次函数yax2bxc(a0)与x轴的交点a0a0一元

56、二次方程ax2bxc0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1x2没有实数根【考点8 二次函数与一元二次方程】【例8】（2022湖北恩施统考中考真题）已知抛物线y=12x2bx+c，当x=1时，y0；当x=2时，y2c；若c1，则b32；已知点Am1,n1，Bm2,n2在抛物线y=12x2bx+c上，当m1m2n2；若方程12x2bx+c=0的两实数根为x1，x2，则x1+x23其中正确的有（）个A1B2C3D4【答案】C【分析】利用根的判别式可判断；把x=1，代入，得到不等式，即可判断；求得抛物线的对称轴为直线x=b，利用二次函数的性质即可判断；利用根与系数的关系即可判断

57、【详解】解：a=120，开口向上，且当x=1时，y0；当x=2时，y0，b22c；故正确；当x=1时，y0，12-b+c12+c，c1，b32，故正确；抛物线y=12x2bx+c的对称轴为直线x=b，且开口向上，当xb时，y的值随x的增加反而减少，当m1m2n2；故正确；方程12x2bx+c=0的两实数根为x1，x2，x1+x2=2b，当c1时，b32，则x1+x23，但当c3的结论不成立，故不正确；综上，正确的有，共3个，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学知识解决问题【变式8-1】（2022山西中考真

58、题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（b2a，4acb24a）和一元二次方程根的判别式=b24ac，分别分a0和a0时，抛物线开口向上当=b24ac0时，有4acb2

59、0，顶点纵坐标4acb24a0，顶点纵坐标4acb24a=0顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根当=b24ac=0时，（2）a0时的分析过程，写出中当a0,0时，抛物线开口向上当=b24ac0a0，顶点纵坐标4acb24a0顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)无实数根（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横

60、坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键【变式8-2】（2022四川自贡统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+ca0(1)若a=1，且函数图象经过0,3，2,5两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点的坐标；(2)在图中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y3时自变量x的取值范围；(3)若a+b+c=0且abc，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于ac，函数图象经过P12c,y1，Q1+3c,y2两点，试比较y1,y2的大小 【答案】(1)1,0，3,0；1,4；(2)见详解；2x0；(3)y2y

61、1【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；（2）由题意画出图象，结合图象写出x的取值范围；（3）根据题意分别求出a=1，b=1c，将点P点Q的坐标代入分别求出y1,y2，利用作差法比较大小即可【详解】（1）解：a=1，且函数图象经过0,3，2,5两点，a=1c=35=4a+2b+ca=1c=3b=2，二次函数的解析式为y=x22x+3，当y=0时，则0=x22x+3，解得x1=1，x2=3，抛物线与x轴交点的坐标为1,0，3,0，y=x22x+3=x+12+4，抛物线的顶点的坐标为1,4（2）解：函数的大致图象，如图所示：当y=3时，则3=x22x+3，解得x1=0

62、，x2=2，由图象可知：当2x0时，函数值y3（3）解：a+b+c=0且abc，a0，c0，b=ac，且一元二次方程0=ax2+bx+c必有一根为x1=1，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于ac，且x1x2=cac，a=1，b=1c，y=x21+cx+cP12c,y1，Q1+3c,y2，y1=12c21+c12c+c=2c2+12c14，y2=1+3c21+c1+3c+c=6c2+3c，y2y1=6c2+3c2c2+12c14=4c+5162964，bc,-1-cc,c0，y2y1【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关

63、系是解题的关键【变式8-3】（2023福建泉州泉州五中校考三模）已知抛物线y=ax2+bx+ca0，a、b、c为实数(1)当a=1且b=c+1时若抛物线的对称轴为直线x=2，求抛物线的解析式；若1x3中，恒有y0，求c的取值范围；(2)若抛物线与x轴只有一个公共点M2,0，与y轴交于0,23；直线y=kx+232k与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值【答案】(1)y=x24x5；c3(2)证明见解析【分析】（1）把a=1且b=c+1代入y=ax2+bx+ca0得y=x2+c+1x+c，根据中对称轴x=2求出c即可求

64、解；根据中1x3，恒有y0，列不等式组求解即可（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，联立抛物线与直线y=kx+232k消去y得，32x223x+23=kx+232k，设直线y=kx+232k与抛物线交于点PxP,yP、QxQ,yQ，由一元二次方程根与系数的关系，得xP+xQ=4+233k，xPxQ=433k，yP+yQ=kxP+xQ+434k=233k2+43；设直线MQ的解析式为y=mx+n，将M2,0，QxQ,yQ代入，求出m，n，将点N的横坐标代入即可求得N的纵坐标，问题得解（1）解 把a=1且b=c+1代入y=ax2+bx+ca0得y=x2+c+1x+c，抛物线的对称轴为直线x=2，

65、c+12=2，c=5，y=x24x5在1x3中，恒有y0，12+c+11+c032+3c+1+c0，c3；（2）解：抛物线与x轴只有一个公共点M2,0，与y轴交于0,23，设抛物线解析式为y=ax22，将0,23代入，得：23=a022，解得：a=32，抛物线解析式为y=32x22=32x223x+23，如图，设直线y=kx+232k与抛物线交于点PxP,yP、QxQ,yQ，32x223x+23=kx+232k，整理得：3x243+2kx+4k=0，xP+xQ=4+233k，xPxQ=433k，yP+yQ=kxP+xQ+434k=233k2+43，设直线MQ的解析式为y=mx+n，将M2,0，

66、QxQ,yQ代入，得：2m+n=0mxQ+n=yQ，解得：m=yQxQ2n=2yQxQ2，直线MQ为y=yQxQ2x2yQxQ2，当x=xP时，yN=yQxQ2xP2yQxQ2=yQxP2xQ2=32xQ22xP2xQ2=32xPxQ2xP+xQ+4=32433k24+233k+4=23故对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值23【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程及不等式的关系，一元二次方程根据与系数的关系，利用二次函数与一元二次方程的关系是解本题的关键【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根

67、】【例9】（2022山东聊城统考三模）观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x5=0的正数解在（）x101234x2+3x575151323A1和0之间B0和1之间C1和2之间D2和3之间【答案】C【分析】令y=x23x5根据x=1和x=5时的函数值，即可得到答案【详解】解：令y=x23x5，当x=1时，y=10，x23x5=0的一个正数x的取值范围为1x2，故选C【点睛】本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键【变式9-1】（2022浙江金华统考一模）方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x

68、=1的实数根x所在的范围是（）A1x12B12x13C13x14D14x0【答案】B【分析】按照提示方法，方程x3+2x=1的根可视为函数y=x2+2的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据两个函数的图象的交点位置范围，确定原方程的根x的所在范围【详解】解：发现x3+2x=1的根不为0，方程两边同除以x，得到x2+2=1x，方程的根可视为函数y=x2+2的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图象看出，两个函数的图象交点在点12，2和点13，3之间，方程x3+2x=1的实数根x所在范围是12x0时，满足条

69、件的x的取值范围是_(4)在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线y=1根据图象直接写出方程12x32x=1的近似解（结果保留一位小数）【答案】(1)1516(2)见解析(3)2x2(4)x1=1.7,x2=0.5,x3=2.2【分析】（1）将x=12代入函数解析式即可求得m的值，（2）根据（1）中表格数据，通过描点、连线的方法画出函数图象即可；（3）根据函数图象直接写出x的取值范围；（4）根据函数图象与直线y=1求近似解即可【详解】（1）当x=12时，y=12x32x =12123212=1161=1516即m=1516故答案为：1516（2）根据（1）中表格数据，通过描点、连线，如图，（3）

70、观察图象，当12x32x0时，满足条件的x的取值范围是2x2（4）如图，x1=1.7,x2=0.5,x3=2.2【点睛】本题考查了求函数值，列表，描点，连线画函数图象，根据函数图象求不等式的解集，根据函数图象求方程的近似解，数形结合是解题的关键【变式9-3】（2022江苏宿迁统考一模）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解如图（甲），把方程x21x的解看成函数yx2的图象与函数y1x的图象的交点的横坐标，求得方程x21x的解为x1.5(1)如图（乙），已画出了反比例函数y=1x在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x22x10的正数解（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）(2)选

71、择：三次方程x3x22x+10的根的正负情况是 A，有两个负根，一个正根B有三个负根C有一个负根，两个正根D有三个正根【答案】(1)1.4；见解析；(2)C【分析】（1）根据题意可知，方程2x22x1=0的解可看作是函数y=1x与函数y=2x2的交点坐标，所以根据图象可得正数解约为1.4；（2）方程x3x32x+1=0变形为x2x2=1x，在坐标系中画出函数y=x2x2与函数y=1x的图象，根据图象的交点情况即可判断(1)x0，将2x22x1=0两边同时除以x，得2x21x=0，即 1x=2x2，把2x22x1=0的正数解视为由函数y=1x与函数y=2x2的图象在第一象限交点的横坐标如图：正数

72、解约为1.4；(2)关于x的方程x3x32x+1=0变形为x2x2=1x，在坐标系中画出函数y=x2x2与函数y=1x的图象如图：由图象可知，函数y=x2x2与函数y=1x的交点在第三象限一个，第四象限两个，关于x的方程x3x32x+1=0有两个正根，一个负根，故选：C【点睛】本题考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系，一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解【考点10 二次函数与不等式】【例10】（2022浙江宁波一模）已知A，B两点的坐标分别为2，3，0，1，线段AB上有一动点Mm，n，过点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x1)2+2于Px1，y2，Qx2，y2两点

73、（P在Q的左侧）若x1mx2恒成立，则a的取值范围为（）Aa5Ba3C5a0D3a0【答案】D【分析】根据A、B两点的坐标，得出线段AB（B除外）位于第四象限，再根据抛物线解析式，得出抛物线y=a(x1)2+2的顶点坐标为1，2，此顶点位于第一象限，得出a0，再结合图象，得出若x1m3；当x=0时，二次函数的函数值y1，即可联立不等式组，解出即可得出结论【详解】解：如图，由题意得：线段AB（B除外）位于第四象限，过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，抛物线y=a(x1)2+2的顶点坐标为1，2，此顶点位于第一象限，a0，结合图象可知，若x1m3；当x=0时，二次函数的函数值y1，即a212+23

74、a012+21，解得：a3，又a0，3a0故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解x1m的解集是2x的解集是x4Cax2+(bk)x+c的解集是xkx+h，即ax2+(bk)x+c的解集为：x4；方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(bk)x+c=的解为x=2或x=4据此即可求解【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+ckx+h，即ax2+(bk)x+c的解集为：x4；故A、B、C不符合题意；方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(bk)x+c=的解为x=2或x=4，故D符合题意；故选：D【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的

75、联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键【变式10-2】（2022新疆乌鲁木齐乌鲁木齐市第九中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx与直线y=x+b（m、b均为常数）交于点A2,0和点B(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mxx+b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即MNy轴），且MN=2，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围【答案】(1)m=2，b=2(2)x2(3)点M的横坐标xM的取值范围为1xM2或1xM0【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）求出点B的坐标为(1

76、,3)，再观察函数图象即可求解；（3）根据题意确定出m22mm且m22mm+2，根据二次函数与不等式的关系求出m的取值范围即可【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4+2m，解得：m=2，将点A的坐标代入直线表达式得：0=2+b，解得b=2；故m=2，b=2；（2）解：由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y=x+2，y=x22x，联立上述两个函数表达式并解得x=1y=3，或x=2y=0（不符合题意，舍去），即点B的坐标为1,3，从图象看，不等式x2+mxx+b的解集为x2；（3）解：由题意设点M的坐标为m,m+2，则点Nm,m，线段MN与抛物线只有一个公共点，m22mmm22m

77、m+2，解得：1m2或1m0，点M的横坐标xM的取值范围为1xM2或1xM0【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的性质、二次函数的性质、根据图像的交点坐标解不等式，其中（3），求不等式组的解集是解题的关键【变式10-3】（2022河南洛阳统考一模）如图，抛物线y1=ax22x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D0,3，与直线y2=x3交点为A和C(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标，并结合函数图象直接写出当y1y2时x的取值范围；(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EF

78、GH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围【答案】(1)y=x22x+3(2)3x2(3)225xE221【分析】（1）先求得A3,0，然后将A3,0，D0,3代入y1=ax22x+c，即可求函数的解析式；（2）联立方程组y=x22x+3y=x3，可求C点坐标，借助图象可求x的范围；（3）设点E的横坐标xE，分别求出，FxE，4，GxE+4，4，HxE+4，0，当F点在抛物线上时，xE=1+22或xE=122，当G点在抛物线上时，xE=5+22或xE=522，结合图象可得225xEy2时x的取值范围是3x2（3）解：点E的横坐标xE，ExE，0，由题可知，FxE，4，GxE+4，4，HxE+4，0，当F点在抛物线上时，xE22xE+3=4，解得xE=1+22或xE=122，当G点在抛物线上时，（xE+4）22（xE+4）+3=4，解得xE=5+22或xE=522，225xE221时，四边形EFGH与抛物线有公共点【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键