专题12 全等模型-角平分线模型（原卷版）.docx

1、专题12 全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.结论：、. 图1 图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在中，为的角平分线，过点D作.结论：、.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC是COB的角平分线，AC=BC，过点C作CDOA、CEOB。结

2、论：；.例1（2022北京中考真题）如图，在中，平分若则_例2（2022山东泰安中考真题）如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC40，则CAP（）A40B45C50D60例3（2023广东中山八年级校联考期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，则平分；上述结论中正确的是（）ABCD例4（2023秋浙江八年级专题练习）如图，四边形中，点O为的中点，且平分(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：例5（2022河北九年级专题练习）已知OP平分AOB，DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G（1）如图1，若CDO

3、A，CEOB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若AOB=120，DCE=AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线，结论：AOCBOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3条件：如图2，为的角平分线，延长BA，CE交于点F.结论：BECBEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。例1（2023山东淄博校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接若的面积为，则的面积为 例2（2022秋湖北黄冈八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 例3（2022绵阳市

4、九年级期中）在ABC中，AB=AC，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E若AB=BF，求证：BD垂直平分AF（2）如图2，CEBD，垂足E在BD的延长线上试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由（3）如图3，点F为BC上一点，EFC=ABC，CEEF，垂足为E，EF与AC交于点M直接写出线段CE与线段FM的数量关系例4（2022安徽黄山九年级期中）如图，在中，是边上一动点，于（1）如图（1），若平分时，求的度数；延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，之间的数量关系，并证明

5、你的猜想模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）【模型解读与图示】条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.结论：，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，在上截取，连结.结论：，AB+CD=BC。例1（2022秋江苏八年级专题练习）在ABC中，AD为ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若E48，AEADDC，则ABC的度数为 （2）如图2，ACAB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明（3）连接AE，若DAE90，BAC24，且满足AB+ACEC，请求出ACB的度数（要

6、求：画图，写思路，求出度数）例2（2023浙江九年级专题练习）如图，在中，是的平分线，延长至点，试求的度数例3（2022北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点（1）如图（1），若平分，则线段、的长度满足的数量关系为_；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明 例4（2022湖北十堰九年级期末）在ABC中，ACB2B，如图，当C90，AD为BAC的角平分线时，在AB上截取AEAC，连结DE，易证ABACCD（1）如图，当C90，AD为BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如

7、图，当AD为ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明课后专项训练1（2022秋福建厦门九年级校考期中）如图，（是常量）点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：；的值不变；四边形的面积不变；点M与点N的距离保持不变其中正确的为（）ABCD2（2022江苏常州一模）如图，已知四边形的对角互补，且，过顶点C作于E，则的值为（）AB9C6D723（2023成都中考模拟）已知，如图，BC=DC，B+D=180 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，

8、F，连接PE，PF 若AE=4，AF=6，APE的面积为4，则APF的面积是（）A2B4C6D84（2023福建厦门九年级校考期中）如图，（是常量）点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：；的值不变；四边形的面积不变；点M与点N的距离保持不变其中正确的为（）ABCD5（2022安徽合肥一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，则DE的值为（）A1B2CD6（2022福建福州一模）如图，ABC中，ABC=45，CDAB于点D，BE平分ABC，且BEAC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于

9、点G，现给出以下结论：ACDFBD；AE=CE；DGF为等腰三角形；S四边形ADGE=S四边形GHCE其中正确的有_（写出所有正确结论序号）7（2023黑龙江哈尔滨统考模拟预测）如图，四边形中，为上一点，连接，若，则线段的长为 8（2023达州校考一模）如图，已知四边形中，平分，求证：9（2022安徽芜湖九年级期中）如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E求证：10（2022江苏扬州中考真题）如图，在中，分别平分，交于点(1)求证：；(2)过点作，垂足为若的周长为56，求的面积11（2022秋湖北武汉九年级校联考阶段练习）如图，在ABE中，D、C分别在AE、BE上且CDCB，AC平分EAB，

10、CHAB于点H(1)求证：；(2)若AD3，AB8，求AH的长12（2023宁夏银川校考二模）问题提出（1）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，画射线，连接，则图中与全等的是_；问题探究（2）如图，在中，平分，过点D作于点M，连接，若，求证：；问题解决（3）如图，工人刘师傅有块三角形铁板，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形，并要求，刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出的平分线交于点D，作的平分线交于点E，交于点F，得到四边形请问，若按上述作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论13

11、（2022江苏一模）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P（1）求的度数（2）求证：点在的平分线上（3）求证：；14（2022北京西城二模）在ABC中，AB=AC，过点C作射线CB，使ACB=ACB（点B与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且DAE+ACD=90(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是_，若，则CD的长为_；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE用等式表示与之间的数量关系，并证明；用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明15（2022重庆二模）已知：如图1，四边形ABCD中

12、，连接AC、BD，交于点E，(1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长16（2022陕西西安一模）如图，ABD和BCE都是等边三角形，ABC105，AE与DC交于点F（1）求证：AEDC；（2）求BFE的度数；（3）若AF9.17cm，BF1.53cm，CF7.53cm，求CD17（2022自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题(1)如图，AD平分BAC，B+C=180，B=90，易知：DB_DC(2)如图，AD平分BAC，ABD+ACD=180，ABD90，求证：DB=DC 18（2023山东九年级专题练习

13、）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容已知：如图13.5.4，是的平分线，P是上任意一点，垂足分别为点D和点E求证：分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得 【问题解决】请根据教材分析，结合图写出证明的过程【类比探究】（1）如图，是的平分线，P是上任意一点，点分别在和上，连接和，若，求证： ；（2）如图，的周长是12，分别平分和于点D，若 ，则的面积为 19（2023安徽九年级期末）如图，在中，平分（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；（3）如图3，若，求证：20（2023湖北孝感九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则_（选填：“”或“=”）（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，如图3图中全等三角形有_对（不添加辅助线）；猜想，之间的关系为_（拓展延伸）（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由