专题12费马点问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题12费马点问题 解题策略费马（Ferrmat，1601年8月17日1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse）附近的波蒙德罗曼，被誉为业余数学家之王1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，ABC（三个内角均小于120）的三条边的张角都等于120，即满足APBBPCAPC120的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”下面是“费马点”的证明过程：如图2，

2、将APB绕着点B逆时针旋转60得到APB，使得AP落在ABC外，则AAB为等边三角形，PBPBPP，于是PA+PB+PCPA+PP+PCAC，当A，P，P，C四点在同一直线上时PA+PB+PC有最小值为AC的长度，PBPB，PBP60，PBP为等边三角形，则当A，P，P，C四点在同一直线上时，BPC180PPB18060120，APBAPB180BPP18060120，APC360BPCAPC360120120120，满足APBBPCAPC120的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点；经典例题【例1】如图（1），P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马

3、点（1）如点P为锐角ABC的费马点且ABC60，PA3，PC4，求PB的长（2）如图（2），在锐角ABC外侧作等边ACB连接BB求证：BB过ABC的费马点P，且BBPA+PB+PC（3）已知锐角ABC，ACB60，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出ABC的费马点，并探究SABC与SABD的和，SBCE与SACF的和是否相等【分析】（1）由题意可得ABPBCP，所以PB2PAPC，即PB2；（2）在BB上取点P，使BPC120，连接AP，再在PB上截取PEPC，连接CE由此可以证明PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PCCE，PCE60，CEB120，而ACB为

4、正三角形，由此也可以得到ACBC，ACB60，现在根据已知的条件可以证明ACPBCE，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）作CP平分ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点即费马点；要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从ABC中分出一部分使得与ACF的面积相等，则过A作AMFC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可【解析】（1）PAB+PBA180APB60，PBC+PBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABPBCP，PB2PAPC12，PB2；（2）证明：在BB上取点P，使BPC120连接AP，再在PB上截取PEPC，连接

5、CEBPC120，EPC60，PCE为正三角形，PCCE，PCE60，CEB120ACB为正三角形，ACBC，ACB60，PCA+ACEACE+ECB60，PCAECB，ACPBCE，APCBEC120，PAEB，APBAPCBPC120，P为ABC的费马点BB过ABC的费马点P，且BBEB+PB+PEPA+PB+PC（3）如下图，作CP平分ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；证明：过A作AMFC交BC于M，连接DM、EM，ACB60，CAF60，ACBCAF，AFMC，四边形AMCF是平行四边形，又FAFC，四边形AMCF是菱形，ACCMAM，且MAC60，在BAC与EMC中，

6、CACM，ACBMCE，CBCE，BACEMC，DAMDAB+BAM60+BAMBACMAC+BAM60+BAMBACDAM在ABC和ADM中ABAD，BACDAM，ACAMABCADM（SAS）故ABCMECADM，在CB上截取CM，使CMCA，再连接AM、DM、EM （辅助线这样做AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）易证AMC为等边三角形，在ABC与MEC中，CACM，ACBMCE，CBCE，ABCMEC（SAS），ABME，ABCMEC，又DBAB，DBME，DBCDBA+ABC60+ABC，BMEBCE+MEC60+MEC，DBCBME，DBME，即得到DB与ME平行且相等，故四边

7、形DBEM是平行四边形，四边形DBEM是平行四边形，SBDM+SDAM+SMACSBEM+SEMC+SACF，即SABC+SABDSBCE+SACF【例2】探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离；如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCD+BCDAACBD此为托勒密定理；（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PCPA；根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、

8、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P，连接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PCPA+（PB+PC）PA+PD；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段AD的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、

9、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值【分析】（2）知识迁移问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证 问，借用问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解【解答】（2）证明：由托勒密定理可知PBAC+PCABPABCABC是等边三角形ABACBC，PB+PCPA，PD、AD，（3）解：如图，以BC为边长在ABC的外部作等边BCD，连接AD，则知线段AD的长即为最短距离BCD为等边三角形，BC4，CBD60，BDBC4，ABC30，ABD90，在RtABD中，AB

10、3，BD4，AD5（km），从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，ODB30，OE为BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）等边OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为ABO内的一个动点，设mPA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长【分析】（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在RtOBD中，已知了ODB30，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E

11、是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；（2）过E作EGx轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得AOKAEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在RtOMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在RtAEK中由勾股定理求得，根据AMAKKM或AMAK+KM即可求得AM的长；（3）由于点P到ABO三顶点的距离和最短，那么点P是ABO的费马点，即APOOPBAPB120；易证得OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为

12、AE的长；求AP的长时，可作OBE的外切圆（设此圆为Q），那么Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于Q来说，AE、AH都是Q的割线，根据割线定理即可求得AP的长【解析】（1）过E作EGOD于G（1分）BODEGD90，DD，BODEGD，点B（0，2），ODB30，可得OB2，；E为BD中点，EG1，点E的坐标为（2分）抛物线经过B（0，2）、两点，可得；抛物线的解析式为；（3分）（2）抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，A点的坐标为，在AGE中，AGE90，（4分）过点O作OKAE于

13、K，可得AOKAEGOMN是等边三角形，NMO60；，或；（6分）（写出一个给1分）（3）如图；以AB为边做等边三角形AOB，以OA为边做等边三角形AOB；易证OEOB2，OBE60，则OBE是等边三角形；连接OO、BB、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；OAOB，BOBAOE150，OBOE，AOEBOB；BBOAEO；BOPEOP，而BOE60，POP60，POP为等边三角形，OPPP，PA+PB+POAP+OP+PEAE；即m最小AE；如图；作正OBE的外接圆Q，根据费马点的性质知BPO120，则PBO+BOP60，而EBOEOB60；PBE+POE180，BPO+B

14、EO180；即B、P、O、E四点共圆；易求得Q（，1），则H（，0）；AH；由割线定理得：APAEOAAH，即：APOAAHAE故：m可以取到的最小值为当m取得最小值时，线段AP的长为（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）培优训练1已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足APBBPCCPA120（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）若ABAC，BC2，P为ABC的费马点，则PA+PB+PC5；若AB2，BC2，AC4，P为ABC的费马点，则PA+PB+PC2【分析】作出图形，过B，C分别作DBPD

15、CP30，勾股定理解直角三角形即可；作出图形，将APC绕点A逆时针旋转60，P为ABC的费马点则B，P，P，C四点共线，即PA+PB+PCBC，再用勾股定理求得即可【解析】如图，过A作ADBC，垂足为D，过B，C分别作DBPDCP30，则PBPC，P为ABC的费马点，ABAC，BC2，PD1，PA+PB+PC5；如图：AB2，BC2，AC4，AB2+BC216，AC216，AB2+BC2AC2，ABC90，BAC30，将APC绕点A逆时针旋转60，由旋转可得：APCAPC，APAP，PCPC，ACAC，CACPAP60，APP是等边三角形，BAC90，P为ABC的费马点，即B，P，P，C四点共

16、线时候，PA+PB+PCBC，PA+PB+PCBP+PP+PCBC，故答案为：5，2在ABC中，若其内部的点P满足APBBPCCPA120，则称P为ABC的费马点如图所示，在ABC中，已知BAC45，设P为ABC的费马点，且满足PBA45，PA4，则PAC的面积为4【分析】如图，延长BP交AC于D，先说明ABD是等腰直角三角形，ADP是30的直角三角形，可得PD和AD的长，根据费马点的定义可得APC120，从而可知PDC也是30的直角三角形，可得CD的长，根据三角形的面积公式可得结论【解析】如图，延长BP交AC于D，BACPBA45，ADB90，ADBD，P为ABC的费马点，APBCPA120

17、，BAP1801204515，PAC451530，APD60，RtPAD中，PA4，PD2，AD2，APC120，CPD1206060，RtPDC中，PCD30，CD2，ACAD+CD2+24，PAC的面积为4故答案为：43如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BMCN连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰RtMNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为3+3【分析】根据勾股定理得到关于x的一元二次方程，根据函数的性质求得当BMBN3时，Q点到AD距离最近，此时Q点是AC和BD的交点，过点Q作QMAD于点M，在ADQ内部

18、过A、D分别作MDPMAP30，则APDAPQDPQ120，点P就是费马点，此时PA+PD+PQ最小，根据特殊直角三角形才求出AQ，PA，PD，PQ的长，进而得出答案【解析】设BMx，则BN6x，MN2BM2+BN2，MN2x2+（6x）22（x3）2+18，当x3时，MN最小，此时Q点离AD最近，BMBN3，Q点是AC和BD的交点，AQDQAD3，过点Q作QMAD于点M，在ADQ内部过A、D分别作MDPMAP30，则APDAPQDPQ120，点P就是费马点，此时PA+PD+PQ最小，在等腰RtAQD中，AQDQ3，QMAD，AMQMAQ3，故cos30，解得：PA2，则PM，故QP3，同法可

19、得PD2，则PA+PD+PQ2+33+3，点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为3+3，故答案为3+34如果点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APBAPCBPC120时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF+1【分析】过点D作DMEF于点M，在BDE内部过E、F分别作MEPMFP30，则EPFFPDEPD120，点P就是费马点，求出PE，PF，DP的长即可解决问题；【解析】如图：过点D作DMEF于点M，在BDE内部过E、F分别作MEPMFP30，则EPF

20、FPDEPD120，点P就是费马点，在等腰RtDEF中，DEDF，DMEF，EFDE2EMDM1，故cos30，解得：PE，则PM，故DP1，同法可得PF则PD+PE+PF2+1+1故答案为+15法国数学家费马提出：在ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离经研究发现：在锐角ABC中，费马点P满足APBBPCCPA120，如图，点P为锐角ABC的费马点，且PA3，PC4，ABC60，则费马距离为7+2【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解【解析】如图：APBBPCCPA120，ABC60，1+360，1+260，2+460

21、，14，23，BPCAPB，即PB212PB2PA+PB+PC7+2故答案为：7+2二解答题（共20小题）6定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”【基础巩固】（1）如图1，在等腰RtABC中，BAC90，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足DEC60，AC，求AE+BE+CE12+；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；

22、【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知BDA75，AB6，求三角形AFB“最近值”的平方【分析】（1）CDE为含30角直角三角形，可求出DE、CE的长度，进而得出结果（2）AEF为等边三角形，可得AE+BE+CEEF+BE+GF，故当B、E、F、G四点共线时，EF+BE+GF最小，进而可得AEBAECBEC120，即可求出结果（3）作DMAB于点M，可知EFDMAB，进而可推出ABF为等腰直角三角形，结合（2）中的结论，当点P满足：APFBPFAPB120时，PA+PB+PF最小，进而结合（1）中方法求出结果【解析】（1）

23、ABAC，BAC90，AC，BDCDAD，DEC60，DE4，AEADDE，CEBE2DE8，AE+BE+CE+8212+；故答案为：12+；（2）由题意可得：AEAF，EAF60，EAF为等边三角形，AEEFAF，AE+BE+CEEF+BE+GF，B、G两点均为定点，当B、E、F、G四点共线时，EF+BE+GF最小，AEB120，AECAFG120，BEC120，此时E点为等边ABC的中心，AE+BE+CE3AE12，故等边三角形ABC的“最近值”为12；（3）如图，过点D作DMAB于点M，BDA75，ABAD，DAB30，2DMADAB，ABCD，EFDM，2EFAB，AEBEEF3，AE

24、F与BEF均为等腰直角三角形，ABF为等腰直角三角形，设P为EF上一点，由（2）得：APFBPFAPB120时，PA+PB+PF最小，此时：EP，APBP2EP，FPEFEP3，AP+BP+FP3+，（AP+BP+FP）2，三角形AFB“最近值”的平方为7如图，P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且ABC60求证：ABPBCP；若PA3，PC4，求PB的长（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图求CPD的度数；求证：P点为ABC的

25、费马点【分析】（1）由三角形内角和定理可求PBA+PAB60，可证PBCBAP，可得结论；由相似三角形的性质可得，即可求解；（2）由“SAS”可证ACEADB，可得12，即可求解；通过证明ADFCFP，可得，可证AFPCDF，可得APFACD60，可得结论【解答】（1）证明：点P为锐角三角形ABC的费马点，APBBPCCPA120，PBA+PAB60，ABC60，ABP+PBC60，PBCBAP，又APBBPC，ABPBCP，解：ABPBCP，又PA3，PC4，PB2；（2）解：设AC与BD的交点于F，如图，ABE与ACD都为等边三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAE+BACCA

26、D+BAC，即EACBAD，在ACE和ADB中，ACEADB（SAS），12，34，CPD6560；证明：12，56，ADFCFP，AFPFDFCP，AFPCFD，AFPCDF，APFACD60，APCCPD+APF120，BPC120，APB360BPCAPC120，P点为ABC的费马点8如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F已知AFBD，EDF60（1）证明：EFDF；（2）如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作CMG，连接EG若EGEC+EM，CMGM，GMCGEC，证明：CGCM（3）如图3，在（2）的条件

27、下，当点M与点D重合时，若CDAD，GD4，请问在ACD内部是否存在点P使得P到ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由【分析】（1）可先推出CAFABD，再证ACFBAD，即可得出结论；（2）在EF上截取ENEM，连接MN，可推出EMN是等边三角形，可证NCMEGM，然后推出CMG是等边三角形，从而问题得证；（3）先求得AD，将DPC绕点D顺时针旋转60至DQG，连接AG，可得PDQ是等边三角形，于是AP+PD+CPAP+PQ+QG，故当A、P、Q、G共线时，AP+PD+CP最小AG，最后解斜三角形ADG，从而求得【解答】（1）证明：如图1，ABC是

28、等边三角形，ACAB，ACB60，CAF+DAB60，EDF60，DAB+ABD60，CAFABD，AFBD，ACFBAD（SAS），EFDF；（2）证明：如图2，由（1）知，EFDF，EDF60，DEF是等边三角形，DEF60，在EF上截取ENEM，连接MN，CNCE+ENCE+EMEG，EMN是等边三角形，CNM60，GMCGEC，NCMEGM，CMGM，NCMEGM（SAS），MEGCNM60，CEG180MEGFED60，GMEGEC60，CMGM，CMG是等边三角形，CGCM；（3）解：如图3，由（1）（2）知，DEF和CDG是等边三角形，CFD60，CDGD4，CDAD，CDF90

29、，ADCF，将DPC绕点D顺时针旋转60至DQG，连接AG，ADDQ，CPQG，PDQ是等边三角形，PDPQ，AP+PD+CPAP+PQ+QG，当A、P、Q、G共线时，AP+PD+CP最小AG，作GHAD于H，在RtDGH中，GHDG2，DHDG2，AHAD+DH+2，AG，AP+PD+CP的最小值是9【问题情境】如图1，在ABC中，A120，ABAC，BC5，则ABC的外接圆的半径值为 5【问题解决】如图2，点P为正方形ABCD内一点，且BPC90，若AB4，求AP的最小值【问题解决】如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CEcm，点P是正方形

30、ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120，即BPE120，点A、D为另两个固定岗哨现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值（保留根号或结果精确到1cm，参考数据1.7，10.52110.25）【分析】（1）作出三角形的外接圆O，证明OBA是等边三角形，利用三线合一性质计算即可；（2 ）点P在以BC为直径的圆上，根据圆心，P，A三点共线时AP最小，计算即可；（3）如图3，设BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得BPE所在圆的半径，以点D为旋转中心，将DQA顺时针旋转60，得到DFN，当N，F，Q，P，O共线时，QA

31、+QD+QP最小，构造直角三角形求解即可【解析】（1）如图1，作ABC的外接圆O，作直径AD，连接OB，ABAC，AOBC，BAO60，OAOB，OBA是等边三角形，ABOAOB，设AD与BC交于点E，BEBC，在直角三角形ABE中，sinBAO，sin60，AB5，OA5，故答案为：5；（2 ）如图2，BPC90，点在以BC为直径的圆上，设圆心为点O，则OPBC2，O，P，A三点线时AP最小，在直角三角形ABO中，AO2，PO2，AP的最小值为：AOPO22；（3）如图3，设BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得BPE所在圆的半径为2，以点D为旋转中心，将DQA顺时针旋转60，得到DFN，

32、当N，F，Q，P，O共线时，QA+QD+QP最小，过点N作NGAB交BA的延长线于点G，连接AN，则AND是等边三角形，过点O作OMGN于M交BC于点H，连接OB，四边形ABCD是正方形，ADBCGN，OHBC，BE2，BH，OH1，ADDN，ADN60，AND是等边三形，且AN3，NAD60，GAN30，GNANsin30，AGANcos30，OMOH+AB+AG+1+3+3，MNGNBH，ON11，QA+QD+QP最小值为：1129（cm）10在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线ykx+（k0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC

33、2OA，OB3OA（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PHAR于点H，过点P做PQx轴交抛物线于点Q，过点P做PHx轴于点H，K为直线PH上一点，且PK2PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记lPQ，mIP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MNx轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将MDN沿直线MD翻折为MDN（点M、N、D、N在同一平面内），连接AN、AN、NN，当ANN为等腰三角形时，请直接

34、写出点D的坐标【分析】（1）令二次函数x0，解出C点坐标（0，8），根据已知条件可知点A（4，0）点B（12，0）代入解析式从而求得抛物线和直线解析式（2）设点P坐标的横坐标为p，求出对称轴为直线x4，根据对称性求出点Q的坐标，从而求出PQ的长度，延长PK交直线AR与点M，利用一次函数解析式求出点M的坐标，PM线段长可表示，利用PHMAEO，求出PH的长度，则I可用点p的代数式表示，从而求得最大值，点P坐标也可求出，由mIP+IQ+IK求其最小值可知，点I为PQK的“费马点”（3）由点A平移13个单位可知点M的坐标，则点N的坐标可求为（8，8）可求AN的长度，MN的长度为13，因为翻折可知MN

35、的长度也为13，则N在以点M为圆心13个单位长度为半径的圆上运动，再利用等腰三角形求出点D的坐标【解答】解（1）yax2+bx8与y轴的交点为C，令x0，y8点C（0，8）OC8OC2OA，OB3OAOA4，OB12A（4，0）B（12，0）将点A代入直线解析式可得04k+解得kyx+将点A和点B代入抛物线中解得a，byx2x8（2）设点P的坐标为（p，p2p8）4抛物线的对称轴为直线x4点Q（8p，）PQ2p8PK2PQPK4p16如图1所示，延长PK交直线AR于点M，则M（p，）PM（）PHMMHA，HMPAMHHPMMAH直线解析式为y，令x0，yOEOA4根据勾股定理得AEcosEAO

36、cosHPMPHIPHPQI（）（2p8）（p5）2+85当p5时，I取最大值此时点P（5，）PQ2，PK如图2所示，连接QK，以PQ为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD取I，使PID60，以PI为边做等边三角形IPF，连接IQIPPF，PQPD，IPQFPDIPQFPDDFIQIP+IQ+IKIF+FD+IKDK，此时m最小过点D作DN垂直于KPKPDKPQ+QPD150PDN30DPPQ2DN1，根据勾股定理得PN在KDN中，KN5，DN1，根据勾股定理得KD2m的最小值为2（3）设NM与x轴交于点JAM13，cosMAJAJ12，根据勾股定理得MJ5OA4，OJ8M（8，5）当x

37、8时，代入抛物线中，可得y8N（8，8），MN13在AJN中，根据勾股定理得AN4点D为x轴上的动点，根据翻折，MN13，所以点N在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示当N落在AN的垂直平分线上时tanMNAtanMGJ，MJ5JG，根据勾股定理得MGMD1为GMJ的角平分线D1JD1（，0）MD4也为角平分线D1MD490根据射影定理得MJ2JD1JD4JD4D4（，0）当ANAN时D2与点A重合D2（4，0）MD3为角平分线JD3D3（，0）综上所述D1（，0），D2（4，0），D3（，0），D4（，0）11（1）知识储备如图1，已知点P为等边ABC外接圆的BC上任意一点

38、求证：PB+PCPA定义：在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离（2）知识迁移我们有如下探寻ABC（其中A，B，C均小于120）的费马点和费马距离的方法：如图2，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 AD的长度即为ABC的费马距离在图3中，用不同于图2的方法作出ABC的费马点P（要求尺规作图）（3）知识应用判断题（正确的打，错误的打）：任意三角形的费马点有且只有一个 ；任意三角形的费马点一定在三角形的内部 已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+P

39、C的最小值为，求正方形ABCD的边长【分析】（1）根据已知首先得出PCE为等边三角形，进而得出ACPBCE（SAS），即APAE+EPBP+PEBP+PC；（2）利用（1）中结论得出PA+PB+PCPA+（PB+PC）PA+PD；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解；画出图形即可；也可以将AC绕点C按顺时针旋转60得到AC，连接AB，作APC60，然后在AP上截取PPPC，则PPC是等边三角形，由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；（3）根据费马点和费马距离的定义直接判定即可；将ABP沿点B逆时针旋转60到A1BP1，如图5，根据PA+PB+PC的最小值为，得P1A1+PP1+PC

40、的最小值为，即A1C，设正方形的边长为2x，根据勾股定理列方程得：得：，解出可得正方形的边长【解答】（1）证明：在PA上取一点E，使PEPC，连接CE，ABC是等边三角形，APCABC60，又PEPC，PEC是正三角形，CECP，ACBECP60，ACEBCP，又PBCPAC，BCAC，ACEBCP （ASA），AEPB，PB+PCAE+PEAP；（4分）（2）如图2，得：PA+PB+PCPA+（PB+PC）PA+PD，当A、P、D共线时，PA+PB+PC的值最小，线段AD的长度即为ABC的费马距离，故答案为：AD； （6分）过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE，交点即为P（过AC

41、或AB作外接圆视作与图2相同的方法，不得分） （8分）（3）（）；当三角形有一内角大于或等于120时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点（） （10分）故答案为：i，ii，；解：将ABP沿点B逆时针旋转60到A1BP1，如图5，过A1作A1HBC，交CB的延长线于H，连接P1P，易得：A1BAB，PBP1B，PAP1 A1，P1BPA1BA60，PBP1B，P1BP60，P1PB是正三角形，PP1PB，PA+PB+PC的最小值为，P1A1+PP1+PC的最小值为，A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C，（12分）设正方形的边长为2x，A1BA60，CBA90，130，在RtA1HB中，

42、A1BAB2x，130，得：A1Hx，BH，在RtA1HC中，由勾股定理得：，解得：x11 x21（舍去）正方形ABCD的边长为2 （14分）12皮埃尔德费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”1638年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论定义：若一个三角形的最大内角小于120，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为120，此时该点叫做这个三角形的费马点例如，如图1，点P是ABC的费马点请结合阅读材料，解决下列问题：已知：如图2，锐角DEF（1）尺规作图，并标明字母在DEF外，以DF为一边作等边DFG作DF

43、G的外接圆O连接EG交O于点M（2）求证：（1）中的点M是DEF的费马点【分析】（1）根据作图步骤直接作图即可得出结论；（2）分别求出DMF120，DME120，EMF120，即可得出结论、【解析】根据作图步骤，作出图形，如图1所示：（2）如图2，连接DM，FM，由作图知，DFDGFG，DFG是等边三角形，DFGFDGDGF60，四边形DMFG是圆内接四边形，DGF+DMF180，DMF120，DMGDFG60，DME180DMG120，FMGFDG60，EMF120，DMEDMFEMF120，点M是DEF的费尔马点13背景资料：在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和

44、最小这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”如图，当ABC三个内角均小于120时，费马点P在ABC内部，此时APBBPCCPA120，此时，PA+PB+PC的值最小解决问题：（1）如图，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数为了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACPABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出APB150；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图，ABC中，CAB90，ABAC，E，F为

45、BC上的点，且EAF45，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图，在RtABC中，C90，AC1，ABC30，点P为RtABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把ABE绕点A逆时针旋转90得到ACE，根据旋转的性质可得AEAE，CECE，CAEBAE，ACEB，EAE90，再求出EAF45，从而得到EAFEAF，然后利用“边角边”证明EAF和EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EFEF，再利用勾股定理列式即可得

46、证（3）将APB绕点B顺时针旋转60至APB处，连接PP，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AB2AC，即AB的长，再根据旋转的性质求出BPP是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BPPP，等边三角形三个角都是60求出BPPBPP60，然后求出C、P、A、P四点共线，再利用勾股定理列式求出AC，从而得到PA+PB+PCAC【解析】（1）ACPABP，APAP3、CPBP4、APCAPB，由题意知旋转角PA P60，AP P为等边三角形，P PAP3，A PP60，易证P PC为直角三角形，且P PC90，APBAPCA PP+P PC60+90150；故答案为：150；

47、（2）EF2BE2+FC2，理由如下：如图2，把ABE绕点A逆时针旋转90得到ACE，由旋转的性质得，AEAE，CEBE，CAEBAE，ACEB，EAE90，EAF45，EAFCAE+CAFBAE+CAFBACEAF904545，EAFEAF，在EAF和EAF中，EAFEAF（SAS），EFEF，CAB90，ABAC，BACB45，ECF45+4590，由勾股定理得，EF2CE2+FC2，即EF2BE2+FC2（3）如图，将APB绕点B顺时针旋转60至APB处，连接PP，在RtABC中，C90，AC1，ABC30，AB2，BC，APB绕点B顺时针方向旋转60，APB如图所示；ABCABC+60

48、30+6090，AB2AC2，APB绕点B顺时针方向旋转60，得到APB，ABAB2，BPBP，APAP，BPP是等边三角形，BPPP，BPPBPP60，APCCPBBPA120，CPB+BPPBPA+BPP120+60180，C、P、A、P四点共线，在RtABC中，AC，PA+PB+PCAP+PP+PCAC14如图（1），P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点（1）如果点P为锐角ABC的费马点，且ABC60求证：ABPBCP；若PA3，PC4，则PB2（2）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点如图（2）求C

49、PD的度数；求证：P点为ABC的费马点【分析】（1）根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；（2）根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到12，再由对顶角相等，得到56，即可求出所求角度数；由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角

50、形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到APF为60，由APD+DPC，求出APC为120，进而确定出APB与BPC都为120，即可得证【解答】（1）证明：PAB+PBA180APB60，PBC+PBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABPBCP，解：ABPBCP，PB2PAPC12，PB2；故答案为：2；（2）解：ABE与ACD都为等边三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAE+BACCAD+BAC，即EACBAD，在ACE和ABD中，ACEABD（SAS），12，34，CPD6560；证明：方法一：ADFCFP，AFPFDFCP，AFPCFD，AF

51、PCDFAPFACD60，APCCPD+APF120，BPC120，APB360BPCAPC120，P点为ABC的费马点方法二：由知：CPD60，BPC180CPD120，由知：12，A，P，C，D共圆，APC+ADC180，APC180ADC120，APB360BPCAPC120，P点为ABC的费马点15如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN（1）求证：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为ABC的费马点若点M为ABC的费马点，试求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）

52、小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为ABC的费马点试说明这种作法的依据【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证AMBENB；（2）连接MN，由（1）的结论证明BMN为等边三角形，所以BMMN，即AM+BM+CMEN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）根据（2）中费马点的定义，又ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上因此线段EC与BF的交点即为ABC的费马点【解析】（1）证明

53、：ABE为等边三角形，ABBE，ABE60而MBN60，ABMEBN在AMB与ENB中，AMBENB（SAS）（2）连接MN由（1）知，AMENMBN60，BMBN，BMN为等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小此时，BMC180NMB120；AMBENB180BNM120；AMC360BMCAMB120（3）由（2）知，ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上因此线段EC与BF的交点即为ABC的费马点16如图（1），P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点（1）若点P是等边三角形三条中

54、线的交点，点P是（填是或不是）该三角形的费马点（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且ABC60求证：ABPBCP；（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点如图（2）求CPD的度数；求证：P点为ABC的费马点【分析】（1）依据等腰三角形三线合一的性质可知：MB平分ABC，则ABP30，同理BAP30，则APB120，同理可求得APC，BPC的度数，然后可作出判断；（2）由费马点的定义可知PABPBC，然后再证明PABPBC即可；（3）如图2所示：首先证明ACEABD，则12，由34可得到CPD5； 由CPD60可证明BPC120，然后证明ADFCF

55、P，由相似三角形的性质和判定定理再证明AFPCDF，故此可得到APFACD60，然后可求得APC120，接下来可求得APB120【解析】（1）如图1所示：ABBC，BM是AC的中线，MB平分ABC同理：AN平分BAC，PC平分BCAABC为等边三角形，ABP30，BAP30APB120同理：APC120，BPC120P是ABC的费马点故答案为：是（2）PAB+PBA180APB60，PBC+PBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABPBCP（3）如图2所示：ABE与ACD都为等边三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAE+BACCAD+BAC，即EACBAD，在ACE

56、和ABD中，ACEABD（SAS），12，34，CPD6560；证明：ADFCFP，AFCFDFPF，AFPCFD，AFPCDFAPFACD60，APCCPD+APF120，BPC120，APB360BPCAPC120，P点为ABC的费马点17如图（1），P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点如图（2），在锐角ABC外侧作等边ACB连接BB求证：BB过ABC的费马点P，且BBPA+PB+PC【分析】根据费马点的定义，在BB上取点P，使BPC120，再在PB上取PEPC，然后连接CE，根据等边三角形的判定可以证明PCE是等边三角形，从而得到PCCE，PCE

57、60，根据角的关系可以推出PCAECB，再利用边角边证明ACP与BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得PAEB，APCCEB120，从而可得点P为ABC的费马点，并且BBPA+PB+PC【解答】证明：在BB上取点P，使BPC120，连接AP，再在PB上截取PEPC，连接CE，BPC120，EPC60，PCE为正三角形，PCCE，PCE60，CEB120，ACB为正三角形，ACBC，ACB60，PCA+ACEACE+ECB60，PCAECB，ACPBCE，APCBEC120，PAEB，APBAPCBPC120，P为ABC的费马点，BB过ABC的费马点P，且BBEB+PB+PEPA+PB+PC1

58、8已知抛物线yx2+bx+4的对称轴为x1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形ABOC重叠部分OCD的周长；（3）若点P为AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式【分析】（1）根据对称轴求出b的值，从而求出二次函数解析式，然后求出A，C的值；（2）在ABCD中，OABAOC90，则ABCO，证出CODBOA，先求出AOB的周长为6+2，进而求出COD的周长；（3）判断此点为费马点，根据公式求出

59、最小值，根据点的坐标求出直线CP的解析式【解析】（1）由已知得，x1，则b1，抛物线的解析式为yx2+x+4，A（0，4），令y0，得x2+x+40，x12，x24（2）在ABCD中，OABAOC90，则ABCO，OB2，OCOC2，OCDOCAB，CODBOA，CODBOA，AOB的周长为6+2，COD的周长为（6+2）2+；（3）此点位费马点，设三角形AOB的三边为a，b，c，OC2，OA4，AC2，PA+PO+PC2直线CP解析式为y（1）x+2219（1）阅读证明如图1，在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为

60、ABC的费马距离如图2，已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PCPA（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A，B，C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图3，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D易知P0A+P0B+P0CP0A+（P0B+P0C）P0A+P0D；第三步：根据（1）中定义，在图3中找出ABC的费马点P，线段AD的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的ABC（其中A，B，C均小于120），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A

61、，B，C所铺设的输水管总长度最小求输水管总长度的最小值【分析】（1）根据已知首先得出PCE为等边三角形，进而得出ACPBCE（SAS）即APBEBP+PEBP+PC；（2）利用（1）中结论得出P0A+P0B+P0CP0A+（P0B+P0C）P0A+P0D；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解；（3）在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解【解析】（1）如图2，延长BP至E，使PEPC在等边ABC中，EPCBAC60，PCPE，PCE为等边三角形，PCPE，PCE60，BCP+PCEACB+BCP，ACPBCE，在ACP和BCE中，ACPBCE（SAS）APBEBP+PEBP+PC；

62、（2）由（1）得出：第一步：如图3，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D易知P0A+P0B+P0CP0A+（P0B+P0C）P0A+P0D；第三步：根据（1）中定义，在图3中找出ABC的费马点P，线段AD的长度即为ABC的费马距离故答案为：P0D；AD（3）如图4，以BC为边在ABC的外部作等边BCD，连接ADAD的长就是ABC的费马距离可得ABD90AD5（km）输水管总长度的最小值为5千米20如图1，P是锐角ABC所在平面上一点如果APBBPCCPA120，则点P就叫做ABC费马点（1）当ABC是边长为4的等边三角形时

63、，费马点P到BC边的距离为 （2）若点P是ABC的费马点，ABC60，PA2，PC3，则PB的值为 （3）如图2，在锐角ABC外侧作等边ACB，连接BB求证：BB过ABC的费马点P【分析】（1）延长AP，交BC于D，由等边三角形的性质可知ADBC，BDCD2，BPC30，利用30角的锐角三角函数值即可求出PD的长，即费马点P到BC边的距离；（2）由题意可得ABPBCP，所以PB2PAPC，即PB；（3）在BB上取点P，使BPC120，连接AP，再在PB上截取PEPC，连接CE由此可以证明PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PCCE，PCE60，CEB120，而ACB为正三角形，由此也可以

64、得到ACBC，ACB60，现在根据已知的条件可以证明ACPBCE，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论【解答】（1）解：延长AP，交BC于D，ABACBC，APBBPCCPA120，P为三角形的内心，ADBC，BDCD2，PBD30，BP，APBP，AD2，PDADAP2，故答案为：（2）解：（1）PAB+PBA180APB60，PBC+PBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABPBCP，PB2PAPC，即PB，故答案为：（3）证明：在BB上取点P，使BPC120连接AP，再在PB上截取PEPC，连接CEBPC120，EPC60，PCE为正三角形PCCE，PCE60，CE

65、B120ACB为正三角形，ACBC，ACB60PCA+ACEACE+ECB60，PCAECB，ACPBCE，APCBEC120，PAEB，APBAPCBPC120，P为ABC的费马点BB过ABC的费马点P21数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点例如：菱形ABCD，P是对角线BD上一点，E、F是边BC和CD上的两点，若点P满足PE与PF之和最小，则称点P为类费马点（1）如图1，在菱形ABCD中，AB4，点P是BD上的类费马点E为BC的中点，F为CD的中点，则PE+PF4E为BC上一动点，F为

66、CD上一动点，且ABC60，则PE+PF2（2）如图2，在菱形ABCD中，AB4，连接AC，点P是ABC的费马点，（即PA，PB，PC之和最小），当ABC60时，BP当ABC30时，你能找到ABC的费马点P吗？画图做简要说明，并求此时PA+PB+PC的值【分析】（1）取AB的中点E，连接PE，通过SAS证明BEPBEP，得PEPE，再证四边形AEFD是平行四边形即可得出答案；由知PE+PFEF，EF的最小值为AB与CD之间的距离，则过点C作CHAB于H，利用三角函数即可求出CH的值；（2）将BPC绕点B顺时针旋转60得BPC，连接PP，PA+PB+PCPA+PP+PC，则当P、P在线段AC上时

67、，PA+PB+PC最小值为AC的长，可证出BPAC；将BPC绕点B顺时针旋转60得BPC，连接PP，PA+PB+PCPA+PP+PC，则当P、P在线段AC上时，PA+PB+PC最小值为AC的长，且线段AC在ABC内部的线段即为费马点P，利用勾股定理求出AC的长即可【解析】（1）取AB的中点E，连接PE，四边形ABCD是菱形，BCABCD，ABPCBP，点E，E分别是AB，BC的中点，BEBE，在BEP和BEP中，BEPBEP（SAS），PEPE，PE+PFPE+PF，当E、P、F三点共线时，PE+PF最小值为EF的长，AEDF，AEDF，四边形AEFD是平行四边形，EFAB4，PE+PF4，故

68、答案为：4；由知PE+PFEF，若E、F为动点，则EF的最小值为AB与CD之间的距离，过点C作CHAB于H，在RtBCH中，sinCBH，CH2，点P是BD上的类费马点PE+PF的最小值为2；故答案为：2；（2）如图2，将BPC绕点B顺时针旋转60得BPC，连接PP，BPBP，PCPC，PBP60，BPP是等边三角形，PPPB，PA+PB+PCPA+PP+PC，当P、P在线段AC上时，PA+PB+PC最小值为AC的长，连接AC，AC与BD的交点为P点，ABBC4，ABC120，BAPABP30，AC4，APBP，同理BPCP，BPAC；故答案为：；如图3，将BPC绕点B顺时针旋转60得BPC，连接PP，BPBP，PCPC，PBP60，CBC60，BPP是等边三角形，PPPB，PA+PB+PCPA+PP+PC，当P、P在线段AC上时，PA+PB+PC最小值为AC的长，且线段AC在ABC内部的线段即为费马点P，ABC90，ABBC4，AC，此时PA+PB+PC的最小值为4