专题13 三角形相似——5年（2018~2022）中考1年模拟数学分项汇编（北京专用）（解析版）.docx

1、专题13 三角形相似一、填空题1（2018北京中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，则的长为_【答案】【解析】解：四边形是矩形，/，在中，是中点，/，故答案为：二、解答题2（2021北京中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明【答案】（1），理由见详解；（2），理由见详解【解析】（1）证明：，由旋转的性质可得，点M为BC的中点，；（2）证明：，理由如下：过点E作EHAB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：，由（

2、1）可得，3（2021北京中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接若的半径为5，求和的长【答案】（1）见详解；（2），【解析】（1）证明：是的直径，；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，点O是BG的中点，的半径为5，一、填空题1（2022北京市三帆中学模拟预测）如图，在ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点若SAPQ=1，则S四边形PBCQ=_【答案】3【解析】P，Q分别为AB，AC的中点， ，故答案为：32（2022北京市师达中学模拟预测）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DEBC，若AD=1，AB=4

3、，则_【答案】【解析】解：DEBC，ADEABC，故答案为：3（2022北京通州一模）如图，在ABC中点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD只需添加一个条件即可证明ACD与ABC相似，这个条件可以是_（写出一个即可）【答案】ACD=B（答案不唯一，或ADC=ACB或均可）【解析】解：A=A添加ACD=B或ADC=ACB或故答案是：ACD=B或ADC=ACB或（答案不唯一）4（2022北京二模）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为_【答案】【解析】解：根据题意可知：AB3，ACBD，AC2，BD3，AECBED，解得AE故答案为：5（2

4、022北京朝阳一模）如图，在中，点D在上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是_（写出一个即可）【答案】A=CBD或ABC=BDC或或BC2=ACDC（答案不唯一）【解析】解：C=C添加A=CBD或ABC=BDC或或BC2=ACDC故答案为：A=CBD或ABC=BDC或或BC2=ACDC（答案不唯一）6（2022北京东城二模）据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是_

5、cm【答案】4【解析】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形的性质得到：解得x4即蜡烛火焰的高度是4cm故答案为：47（2022北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC10，点E在边BC上，DFAE，垂足为F，若DF6，则线段EF的长为_【答案】3【解析】解：四边形ABCD为矩形，ABCD3，BCAD10，AEBDAF，AFDEBA，DF6，AE5，EFAFAE853，故答案为：38（2022北京北京二模）如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且若测得的长为，则的长为_m【答案】20【解析】解：，又，

6、，故答案为：209（2022北京房山二模）如图，切于A，B两点连接，连接交于点C，若，则半径为_，的长为_【答案】 【解析】解：切于A，B两点，OAP=OBP=90，OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP（HL），AOC=BOC，又OA=OB，OCAB，AC=BC=4，在RtOAC中，OCA=OAP=90，AOC=AOP，AOCPOA，即，解得：PA=，故答案为：，10（2022北京大兴一模）如图，ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE，请你添加一个条件，使ADEABC，则你添加的这一个条件可以是_（写出一个即可）.【答案】【解析】根据“两角对应相等的两三角形相似”，可添加故

7、答案为11（2022北京清华附中一模）如图，O的半径为3，A，P两点在O上，点B在O内，tanAPB，ABAP如果OBOP，那么OB的长为_【答案】1【解析】解：如图，连接OA，作AMOB交OB的延长线于M，作PNMA交MA的延长线于N则四边形POMN是矩形POBPAB90，P、O、B、A四点共圆，AOBAPB，tanAOMtanAPB，设AM4k，OM3k，在RtOMA中，（4k）2+（3k）232，解得k（负根已经舍弃），AM，OM，ANMNAM，MAB+ABM90，MAB+PAN90，ABMPAN，AMBPNA90，AMBPNA，BM，OBOMBM1故答案为112（2022北京朝阳模拟预

8、测）如图，AB90，AB7，AD2，BC3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则满足条件的AP长_【答案】2.8或1或6【解析】设AP=x，则有PB=ABAP=7x，当PDACPB时, ,即，解得：x=1或x=6，当PDAPCB时, ,即，解得：x=.故答案为x=1或x=6或2.8.13（2022北京昌平模拟预测）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.

9、5米，则AC_m【答案】25【解析】解：EFCD，AEFACD，即，即AE+15+CG5AE，GHAB，CGHCAB，即，即AE+15+CG5CG，AECG5，AC5+15+525（m）故答案为2514（2022北京北理工附中模拟预测）如图，正方形，是上一点，于，则的长为_【答案】【解析】四边形 是正方形，故答案为二、解答题15（2022北京十一学校一分校模拟预测）如图1，在中，于点，连接在上截取，使连接 直接判断与的位置关系如图2，延长交于点，过点作交于点，试判断与之间的数量关系，并证明；在的条件下，若，求的长【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）1【解析】解：（1）；理由如下：如图，即

10、，故答案为：；（2）；过点作交于点，为等腰直角三角形， ，又， ，；（3），为等腰直角三角形，设，经检验：符合题意16（2022北京二模）如图，在四边形中，过点D作于E，若（1）求证：；（2）连接交于点，若，求DF的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，DEB=ABC=G=90，DE=BE，四边形BEDG为正方形，BE=DE=DG，BDE=BDG=45，ADC=90，即ADE+CDE=CDG+CDE=90，ADE=CDG，又DE=DG，AED=G=90，ADECDG（ASA），AD=CD；（2）ADE=30，AD=6，AE=CG=3，

11、DE=BE=，四边形BEDG为正方形，BG=BE=，BC=BG-CG=-3，设DF=x，则EF=-x，DEBC，AEFABC，即，解得：x=，即DF的长为17（2022北京中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图，在ABC中，ACB=90，以BC为直径的O交AB于点D，E是AC中点，连接DE（1）判断DE与O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长【答案】（1）DE与O相切，证明见解析；（2）【解析】（1）DE与O相切，连接OD、CD、OEBC为O的直径CDACDB90E是AC中点EDECOCOD，OEOEOCEODE（HL）ODEOCE90ODDE

12、DE与O相切（2）ACB=90，AB=10，BC=6AC=8，E是AC中点，为的中点，由勾股定理可得：DE、CE与O相切DE=CE，CEO=DEO又垂直平分又，18（2022北京昌平模拟预测）如图，ABC中，ABAC，BAC90，点D在BC上，满足BD2DC，BPAD，说明：BPCAPC135【答案】见解析【解析】解：过点C作CEAD，交AD的延长线于点E，BAC90，CAE+BAE=90，ABP+BAE=90，CAEABP，APBAEC90，ABAC，ABPCAE（AAS），APCE，BPAE，BPAD，CEAD，BPCE，BPDCED，BP2CE，AEAP+PE2CE，PECE，EPC45

13、，BPCBPD+EPC90+45135，APC36090135135，即BPCAPC13519（2022北京顺义一模）如图，在四边形ABCD中，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，求BC的长【答案】(1)证明见解析(2)BC的长为【解析】(1)证明：，在四边形ABCD中，四边形ACED是平行四边形；(2)解：在中，设，在中，即，解得（舍弃）或，20（2022北京西城一模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M(1)

14、求证：HF是O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：连接OF，CDAB，AEG=90，A+AGE=90，HG=HF，HFG=HGF，HGF=AGE，HFG =AGE，OA=OF，A=OFA，OFA+HFG=90，即OFH=90，HF是O的切线；(2)解：如图，连接BF，由（1）得：OFM=90，BFO+BFM=90，AB是O的直径，AFB=90，A+ABF=90，OB=OF，ABF=BFO，BFM=A，M=M，BFMFAM， ，BM=1，OB=OF，解得：OF=4，OM=5，AM=9，AB=8，FM=，解得： 21（2022北京丰台一模）如图，AB

15、是O的直径，C是O上一点，连接AC过点B作O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AEAB，连接BE，交O于点F，连接AF(1)求证：BAFEBD；(2)过点E作EGBD于点G如果AB5，BE2，求EG，BD的长【答案】(1)证明见解析(2)，【解析】(1)证明：是的直径是的切线，(2)解：如图，即解得在中，由勾股定理得，即解得EG的长为2，BD的长为22（2022北京石景山一模）如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE/AB交CB的延长线于点E(1)求证：直线DE是O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长【答案】(1)见

16、解析(2)AD=5，BE=【解析】(1)证明：连接OD，AB为O的直径，点D是半圆AB的中点，AOD=AOB=90，DEAB，ODE=90，ODDE，直线DE是O的切线；(2)解：连接CD，AB为O的直径，ADB=ACB=90，=，DB=AD，ABD是等腰直角三角形，AB=10，AD=10sinABD=10sin45=10=5，AB=10，BC=6，AC=8，四边形ACBD是圆内接四边形，CAD+CBD=180，DBE+CBD=180，CAD=DBE，由（1）知AOD=90，OBD=45，ACD=45，DEAB，BDE=OBD=45，ACD=BDE，ACDBDE，解得：BE=23（2022北京

17、东城二模）如图，在中，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作(1)求证：是A的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)过点作于，如图所示，在和中，且为的半径，是的半径，是的切线(2)，解得，的长为24（2022北京北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使PQC90，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”，称RtPCQ为其对应的“联络三角形”如图为点P关于图形G的一个“直角联络点”及其对应的“联络三角形”的示例（1）已知点A（4，0），B（4，4）在点Q1（2，2），Q2（4，1）中，

18、点O关于点A的“直角联络点”是 ；点E的坐标为（2，m），若点E是点O关于线段AB的“直角联络点”，直接写出m的取值范围；（2）T的圆心为（t，0），半径为，直线yx+2与x，y轴分别交于H，K两点，若在T上存在一点P，使得点P关于T的一个“直角联络点”在线段HK上，且其对应的“联络三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围【答案】（1）点Q1；（2）【解析】解：（1）如图1，作Q1HOA于H，A（4，0），Q1（2，2），Q1H=AH=OH=2，OQ1A90，点Q1是点O关于点A的“直角联络点”，A（4，0），Q2（4，-1），O A Q290，O Q2A90，点Q2不是点O关于

19、点A的“直角联络点”，故答案是：点Q1如图2，当点E1是点O关于线段AB的“直角联络点”时，由可知，点E1与点Q1关于OA对称，所以当点E1的坐标是（2，-2）；当点E2是点O关于线段AB的“直角联络点”时，O E2B90，作BPQ1H于P，O E2H+BE2P90，O E2H+E2OH90，BE2P =E2OH，O E2HE2BP， ，E2H= 或E2H= （不合题意，舍去），m的取值范围是；故答案是：（2）如图3，点P1关于T1的“直角联络点”是点K，对应的“联络三角形”是P1KM，点P2关于T2的“直角联络点”是点H，对应的“联络三角形”是P2HN，直线yx+2与x，y轴分别交于H，K两

20、点，H（2，0），K(0，2)，P1KM是底边长为2的等腰三角形，且P1KM=90，T1P1= T1M= ，T1K是P1M的垂直平分线，P1G=GM=KG=1，T1G= ，T1K= T1G+GK=3+1=4，T1O= ，t1=，同理可得HS=1，T2S=3，T2O=3+1+2=6，t2=6，t的取值范围是25（2022北京朝阳模拟预测）如图，RtABC和RtBDE重叠放置在一起，ABCDBE90，且AB2BC，BD2BE(1)观察猜想：图中线段AD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)探究证明：把BDE绕点B顺时针旋转到图的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，

21、并说明理由；(3)拓展延伸：若BC，BE1，当旋转角ACB时，请直接写出线段AD的长度【答案】(1)AD2CE，ADCE(2)AD2CE，ADCE，见解析(3)4【解析】(1)AB2BC，BD2BE，2，ABCDBE90，BDEBAC，BDEA，DEAC，2，即AD=2CE，B90，ADCE，故答案为：AD2CE，ADCE；(2)AD2DE，ADCE，理由：把BDE绕点B顺时针旋转到图的位置，CBEABD，AB2BC，BD2BE2，BCEBAD，2，BECBDA，AD2CE，延长CE交AD于H，CEB+BEH180，BEH+BDA180，DHE+DBE180，DBE90，DHE90，CEAD；

22、(3)如图，过D作DGAB于G，由（2）知，BCEBAD，CBEABD，BC，BE1，AB，BD2，AC5，CBEACBABD，DGBABC90，ABCDGB，BG，DG，AG，AD426（2022北京一七一中一模）如图，在中，是的角平分线.的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作，交AB于点F.(1)求证：BC是的切线；(2)若，求的半径的值.【答案】(1)证明见详解(2)【解析】(1)连接OE，的垂直平分线交AB于点O，平分，.，是的切线.(2)中，设，则，即，解得.的半径r的值为27（2022北京朝阳模拟预测）如图，在等腰直角ABC中，B90，ABBC4动点P以每秒2个单位长

23、度的速度沿射线AB运动，过点P作PFAC于点F，以AF，AP为邻边作FAPG；FAPG与等腰直角ABC的重叠部分面积为y（平方单位），y0，点F与点C重合时运动停止，设点P的运动时间为x秒(1)直接写出点G落在BC边上时x的值(2)求y与x的函数关系式(3)直接写出点G与ABC各顶点的连线平分ABC面积时x的值【答案】(1)；(2)；(3)或1【解析】(1)解：解：如图1，点G在BC上，B90，ABBC，AC45，PFAC，AFP90，AAPF45，AFPF；四边形FAPG是平行四边形，PGAC，AFPG，AFPGPF，BPGA45，BGPC45，PA2x，AFPGPFAPsin452xx，P

24、BBGPGsin45xx，PA+PBAB4，2x+x4，解得，x(2)解：解：B90，ABBC4，AC，当点F与点C重合时，则x，解得，x4，当点P与点B重合时，则2x4，解得x2当0x时，如图2，yS平行四边形FAPGAFPFxx，即y2x2；当x2时，如图3，PG交BC于点M，FG交BC于点N，作PQFG于点Q，BMPC45BPG，MBPB42x；FPGAFP90，PGPF，FGAP2x，FQGQ，PQFG2xx；FGAB，BPQPQF90，BBPQPQN90，四边形BPQN是矩形，BNPQx，GA45，NMGC45，GNMG，GNMNx（42x）3x4，yS平行四边形FAPGSNMG2x2（3x4）2，即yx2+12x8；当2x4时，如图4，CFNAC45，FNCN4x，CNFABC90，ySABCSNCF44（4x）2，即yx2+4x综上所述，(3)解：如图5，点G在ABC的中线CK上，则直线CG平分ABC的面积，PGAC，PKGAKC， ，AK ，PK22x，解得，x ；如图6，点G在ABC的中线BL上，则直线BG平分ABC的面积，BLAC，FPGPFLFLG90，四边形PFLG是矩形，FLPGAFx，ALAC42x+x2，解得，x1，综上所述，x的值为或1