专题13 二次函数的应用（10个高频考点）（举一反三）（全国版）（解析版）.docx

1、专题13 二次函数的应用（10个高频考点）（举一反三） 【考点1 图形面积或周长问题】1【考点2 图形运动问题】9【考点3 拱桥问题】19【考点4 销售问题】26【考点5 投球问题】32【考点6 喷水问题】40【考点7 增长率问题】48【考点8 车过隧道问题】51【考点9 行程问题】58【考点10 其他问题】65【要点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句

2、抽象为含变量的等式，这就是二次函数；解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；答：写出答案.【考点1 图形面积或周长问题】【例1】（2022江苏扬州统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由【答

3、案】(1)96325dm2 ；(2)20dm；(3)能切得半径为3dm的圆【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解；（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线小脚，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是M与抛物线在y轴右侧的切点即可【详解】（1）由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）设二次函数解析式为y=ax+bx+c，对称轴为y轴，b=0，将A、C代入得，a=12，c=8则二

4、次函数解析式为y=12x2+8，如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，则P点坐标可以表示为（m，2m）代入二次函数解析式得，12m2+8=2m，解得m1=252,m2=252（舍去），2m=454，2m2=4542=96325则正方形的面积为96325dm2；（2）如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）将x=n代入二次函数解析式，得y=12n2+8，则EF=12n2+8，矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+12n2+8）=n2+4n+16=(n2)2+20，当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；（3）若能切成圆，能切得半径为3dm

5、的圆，理由如下：如图，N为M上一点，也是抛物线上一点，过点N作M的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作NPy轴于P，设Nm,12m2+8，由勾股定理得：PM2+PN2=MN2，m2+12m2+832=32解得：m1=22，m2=22（舍去），N22,4，PM=43=1cosNMP=PMMN=MNQM=13QM=3MN=9Q0,12设QN的解析式为：y=kx+bb=1222k+b=4k=22b=12QN的解析式为：y=22x+12与抛物线联立为：12x2+8=22x+1212x222x+4=0=2224124=0所以此时N为M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的

6、圆【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键【变式1-1】（2022山东威海统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）求鸡场面积的最大值【答案】288m2【分析】设与墙平行的一边为xm（x25），则与墙垂直的一边长为47x+12m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x25），则与墙垂直的一边长为47x+12m，设鸡场面积为

7、ym2，根据题意，得y=x47x+12=12x2+24x=12(x24)2+288，当x=24时，y有最大值为288，鸡场面积的最大值为288m2【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式【变式1-2】（2022内蒙古赤峰统考中考真题）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m，宽AB=1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图，以下简称水池2）【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为xmx0，加长后水池1的总面积为

8、y1m2，则y1关于x的函数解析式为：y1=x+4x0；设水池2的边EF的长为xm0x6，面积为y2m2，则y2关于x的函数解析式为：y2=x2+6x0x6，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图【问题解决】(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是_（可省略单位），水池2面积的最大值是_m2；(2)在图字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_，此时的xm值是_；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，xm的取值范围是_；(4)在1x0的函数解析式为：y3=x+bx0若水池3与水池2的面积相等时，xm有唯一值，求b的值【答案】(1)3x6；9(2)C，E；1，

9、4；(3)0x1或4x6(4)94， 52(5)254【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；（3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（5）根据面积相等列出一元二次方程，依据=0，求出b的值即可【详解】（1）y2=x2+6x=x32+9抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，水池2的面积随EF长度的增加而减小，EF长度的取值范围是3x6；水池2面积的最大值是9m2； 故答案为：3x6；9；（2）由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点

10、是C，E；联立方程组y=x+4y=x2+6x 解得，x1=1y1=5,x2=4y2=8x的值为1或4，故答案为：C，E；1或4（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），又直线在抛物线上方时，0x1或4x6，所以，水池1的面积大于水池2的面积时，xm的取值范围是0x1或4x6，故答案为0x1或4x6；（4）在1x4范围内，两个水池面积差M=(x2+6x)(x+4)=x2+5x4=(x52)2+94，10, 函数有最大值，0x6当x=52时，函数有最大值，为94，即，当x=52时，面积差的最大值为94，（5）水池3与水池2的面积相等，x+b=x2+6x，整理得，x25x+b=0 xm有唯一值，

11、=(5)24b=0 解得，b=254【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键【变式1-3】（2022湖南湘潭统考中考真题）为落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成、两块矩形劳动实践基地某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；(2)方案二：如图，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC

12、应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m(2)当BC=72m时，围成的两块矩形总种植面积最大=1474m2【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BCDC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . 【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)3=3m，设CG为am，DG为

13、(12-a)m，那么ADDC-AEAH=32即123-1（12-a）=32解得：a=8CG=8m，DG=4m（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BCDC即y=x(21-3x)y=-3x2+21x=-3(x-72)2+147421-3x12x3当BC=72m时，y最大=1474m2【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程【考点2 图形运动问题】【例2】（2022山东青岛统考中考真题）如图，在RtABC中，ACB=90,AB=5cm,BC=3cm，将ABC

14、绕点A按逆时针方向旋转90得到ADE，连接CD点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/sPQ交AC于点F，连接CP,EQ设运动时间为t(s)(0t5)解答下列问题：(1)当EQAD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使PQCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)165s(2)S=12t23710t+14(3)存在，t=6529s【分析】（1）利用AQEAED得AQAE=AEAD，即t4=45，进而求解；（2）分别过点C，P作CMAD

15、,PNBC，垂足分别为M，N，证ABCCAM得，ABCA=BCAM=ACCM，求得AM=125，CM=165，再证BPNBAC得BPBA=PNAC，得出PN=45t，根据S=S四边形PCDQ=SABC+SACDSAPQSBPC即可求出表达式；（3）当PQCD时AQP=ADC，易证APQMCD，得出APMC=AQMD，则5t165=t135，进而求出t值（1）解：在RtABC中，由勾股定理得，AC=AB2BC2=259=4ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ADEAD=5，DE=3，AE=4，AED=90，BAD=90EQADAQE=AED=90又EAQ=DAEAQEAEDAQAE=AEADt4

16、=45t=165答：当EQAD时，t的值为165s（2）解：分别过点C，P作CMAD,PNBC，垂足分别为M，NB+BAC=90,CAM+BAC=90B=CAM又BCA=AMC=90ABCCAMABCA=BCAM=ACCM54=3AM=4CMAM=125，CM=165B=B，BNP=BCA=90BPNBACBPBA=PNACt5=PN4PN=45tSABC=12BCAC=1234=6,SACD=12ADCM=125165=8SPBC=12BCPN=12345t=65t,SAPQ=12AQAP=12t(5t)S=S四边形PCDQ=SABC+SACDSAPQSBPC=6+812t(5t)65t=1

17、2t23710t+14S=12t23710t+14（3）解：假设存在某一时刻t，使PQCDAD=5,AM=125DM=ADAM=5125=135PQCDAQP=ADC又PAQ=CMD=90APQMCDAPMC=AQMD5t165=t135t=6529存在时刻t=6529s，使PQCD【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题【变式2-1】（2022江苏无锡统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=23，BC=6，点O是BC的中点点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动；点F从点O出发，以每秒2个

18、单位长度的速度沿射线OC匀速运动E，F两点同时出发，运动时间为t秒（0t52），在两点运动过程中，以EF为边作等边三角形EFG，使EFG和矩形ABCD在射线BC的同侧(1)若点G落在边AD上，求t的值；(2)若t=2，求EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；(3)在整个运动过程中，设EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，试求出S与t之间的函数表达式【答案】(1)1(2)11+3(3)s=34t2+332t+934(0t1)23t+23(1t32)23t2+83t532(32t52)【分析】（1）由题意得BE=t，OF=2t，EFt=3t，列出方程求解即可；（2）设EG，FG分别与AD相交于点M

19、，N，FG与CD相交于点K，求出KF=2，KC=3，再求出KN=2，MN=1，ME=4，最后求得EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；（3）分当0t1时、当1t32时、当32t52时，对三种情况进行讨论，分别求出S与t之间的函数表达式(1)由题意，得OB=OC=3，BE=t，OF=2t，EF=OBBEOF=3t2t=3t当G落在AD上时，如图，G到EF的距离为23EF=4，即3t=4，t=1(2)当t=2时（如图），设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，则BE=2，OF=4，EC=4，CF=1在RtCFK中，F=60，KF=2，KC=3CD=23，KC=3，即K是CD的中点

20、KN=2，MN=1，ME=4重叠部分的周长=4+3+2+1+4=11+3(3)(i)当0t1时，由（1）知，S=SEFG=3(t+3)24=34t2+332t+934；(ii)当1t32时，如图，设EG，FG分别与AD相交于点M，N，则MN=t1，S=S四边形MNFE=(t1t3)232=23t+23；(iii)当32t52时，如图，设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，则MN=t1，CF=2t3，CK=3(2t3)，S=S四边形MNFESCFK=(t1t3)2323(2t3)22=23t2+83t532综上所述，S=34t2+332t+934(0t1);23t+23(1

21、t32);23t2+83t532(32t52).【点睛】本题考查了等边三角形的性质、矩形的性质、二次函数与几何动点问题的有关知识以及多边形面积求法，关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论得出【变式2-2】（2022山东临沂统考一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BEx（1）当AM13时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，PDM的周长是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为

22、S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值【答案】（1）x59；（2）不变，MDP的周长为2；（3）S=12t122+38，当t12，即x58时，面积的最小值为38【分析】（1）利用折叠的性质得MEBEx，则AE1x，在根据勾股定理列式求出x的值；（2）连接AM、BO，过点B作BHMN，垂足为H，证明BAMBHM和RtBHPRtBCP，可以得到PDM的周长就等于ADDC，是定值；（3）连接BM，过点F作FQAB，垂足为Q，证明AMBQEF，得到AMEQ，设AMa，根据勾股定理列式得到a与x的关系式，表示出CF和BE长，得到三角形面积表达式，再求出最值【详解】（1）由折叠可知MEBEx，AE

23、1x，在RtAEM中，由AM13，得132+1x2=x2，解得x59；（2）如图，连接AM、BO，过点B作BHMN，垂足为H，EBEM，EBMEMB，EBCEMN，MBCBMN，AMHB，BMBM，BAMBHM，AMHM，BHAB，BCAB，BHBC，BPBP，RtBHPRtBCP，HPPC，MDP的周长MDDPMPMDDPMHHPMDAMDPPCADDC2，MDP的周长为2；（3）如图，连接BM，过点F作FQAB，垂足为Q，则QFBCAB，BEFEBM90，AMBEBM90，BEFAMB，AEQF，AMBQEF，AMEQ，设AMa，则a2+1x2=x2，a2x1，CFx2x1，S12(CFB

24、E)112( x2x1x)12(2 x2x1) ，设2x1t，则2x=t2+1，S=12t2+1t=12t122+38， 当t12，即x58时，面积的最小值为38【点睛】本题考查几何动点问题，解题的关键是掌握勾股定理，折叠性质的运用，全等三角形的性质和判定，二次函数最值的求解，需要掌握数形结合的思想【变式2-3】（2022宁夏吴忠校考一模）已知：如图，在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PDAB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连

25、接PQ设运动时间为t(s)(0t6，若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.636，若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6(41)6，顶点一侧最多可挂4盏灯笼挂满灯笼后成轴对称分布，共可挂8盏灯笼最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是5.6【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键【变式3-3】（2022湖北咸宁统考一模）图示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面的距离为2m(1)若图中的拱形呈抛物线形状，当水面下降1m后，水面宽为多少？(2)若图中的拱形呈圆弧形状，当水面下降1m后，水面宽又为多少？【答案】（1）66m；（2）当水面下降1m后，水面宽为251

26、m【分析】（1）先建立直角坐标系，求出函数解析式，计算当y=-1时的横坐标即可得到答案；（2）设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，设圆的半径为x m，根据勾股定理列方程求出半径，设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，根据勾股定理即可求出答案.【详解】（1）以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则点B（6，0），A（-6，0），（0，2）在抛物线上，设其抛物线为：y=ax2+2，把（6，0）代入得：0=a62+2，a=118， 抛物线为：y=118x2+2 当y=-1时，有1=118x2+2，解得x=36 ，此时水面的宽为：236=66 （m）；（2）

27、如图，设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，则CD=2，BC=6设圆的半径为x m，则OC=(x-2)m由勾股定理得：(x-2)2+62=x2解得：x=10设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，则OM=10-3=7(m)，连接OF，由勾股定理得：MF=10272=51m当水面下降1m后，水面宽为251m.【点睛】此题考查函数解析式的求法，勾股定理，圆的性质，正确理解抛物线和圆的图形特点是解题的关键.【考点4 销售问题】【例4】（2022江苏淮安统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变第一

28、次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元(2)当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利

29、润是980元【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，列出w关于a的函数关系式，求出函数的最值即可【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100，解得x=25y=30，故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，根据题意得，w=54a3020+5a=5a2+100a+480=5a102+980，50，当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品

30、牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键【变式4-1】（2022辽宁锦州中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y=2x+100；(2)40元或20元；(3

31、)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y=kx+b，把点（25，50）和点（35，30）代入，得25k+b=5035k+b=30，解得k=2b=100，一次函数的解析式为y=2x+100；（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，则(x10)(2x+100)=600，解得：x1=40，x2=20，当

32、天玩具的销售单价是40元或20元；（3）解：根据题意，则w=(x10)(2x+100)，整理得：w=2(x30)2+800；20，当x=30时，w有最大值，最大值为800；当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题【变式4-2】（2022辽宁盘锦中考真题）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下

33、表：x（天）123x每天的销售量（千克）101214设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元（利润销售收入成本）(1)将表格中的最后一列补充完整；(2)求y关于x的函数关系式；(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)见解析(2)y12x+19(0x20)9(20x30)(3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，根据关系式填表即可；（2）根据图像写出分段函数即可；（3）根据函

34、数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可【详解】（1）设每天的销量为z，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，zsx+t，当x1时，z10，x2时z12，s+t=102s+t=12，解得s=2t=8，即z2x+8，当x=30时，销售量z=68，则将表格中的最后一列补充完整如下表：x（天）12330每天的销售量（千克）10121468（2）由函数图像知，当0x20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，设ykx+b，10k+b=1420k+b=9，解得k=12b=19，y-12x+19（0x20），当20x30时，y9，y关于x的函数关系式为y12x

35、+19(0x20)9(20x30)；（3）由题意知，当0x20时，w(2x+8)(12x+195)x2+24x+112(x12)2+256，此时当x12时，w有最大值为256，当20x30时，w（2x+8）（9-5）18x+32，此时当x30时，w有最大值为272，综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质及二次函数的应用是解题的关键【变式4-3】（2022浙江金华统考中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该

36、蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y1=ax2+c，部分对应值如表：售价x（元/千克）2.533.54需求量y1（吨）7.757.26.555.8该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y2=x1，函数图象见图117月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1=12t+2，x2=14t232t+3，函数图象见图2请解答下列问题：(1)求a，c的值(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润【答案】(1)a=1

37、5,c=9(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x售价x成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可（1）把x=3,y=7.2，x=4,y=5.8代入y需求=ax2+c可得9a+c=7.2,16a+c=5.8.-，得7a=1.4，解得a=15，把a=15代入，得c=9，a=15,c=9（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，有w=x售价x成本=12t+214t232

38、t+3，化简，得w=14t2+2t1=14(t4)2+3，140,t=4在1t7的范围内，当t=4时，w有最大值答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大（3）由y供给=y需求，得x1=15x2+9，化简，得x2+5x50=0，解得x1=5,x2=10（舍去），售价为5元/千克此时，y供给=y需求=x1=4（吨）=4000（千克），把x=5代入x售价=12t+2，得t=6，把t=6代入w=14t2+2t1，得w=1436+261=2，总利润=wy=24000=8000（元）答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结

39、合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键【考点5 投球问题】【例5】（2022河北石家庄统考一模）如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C1:y=112x2+76x+1，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，

40、小球的飞行路线为一段抛物线C2:y=18x2+bx+c(1)直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；(2)若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于23米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；(3)圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在C1上，其横坐标为14，CFx轴，CD=1.5，DE=1若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围【答案】(1)c=4；b=32；小球离B处的水平距离为12米；(2)98

41、b193120，20932米(3)157104b4328【分析】（1）有题意可得点B坐标，然后代入可求得c的值；先求出C2的函数表达式，根据两个函数值的差为1可求得此时小球离B处的水平距离；（2）先将x=15代入抛物线C1，可得最远着陆点在小山丘外的平地上，再将x=15代入抛物线C2，可得b的取值范围，然后求出C2的顶点坐标，根据函数的增减性求出最值即可；（3）由题意可得，小球恰好落在装置内时，对应的横坐标范围是1314，分别将x=13和x=14代入函数表达式求出对应b的取值范围即可【详解】（1）由题意可得点B的坐标为0,4，将B0,4代入C2:y=18x2+bx+c中，解得c=4；C1与y轴

42、交于点A，A0,1，B0,4由题意可知，抛物线C2:y=18x2+bx+c经过点（4，8），1842+4b+4=8，解得b=32抛物线C2的函数表达式y=18x2+32x+4；小球与小山丘的竖直距离为1米，18x2+32x+4112x2+76x+1=1，解得：x1=4（不合题意，舍去），x2=12，当小球与小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离为12米；（2）将x=15代入抛物线C1，得y=112152+7615+1=142.5，解得b157104，当x=14时，y=18142+14b+41，解得b4328；故b的取值范围：157104b4，小球M能飞过这棵树；（3）小球M在飞行的过程

43、中离斜坡OA的高度=12x42+812x=12(x72)2+498，小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为498【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键【变式5-3】（2022河北邯郸校考三模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m过点A作OABC，垂足为O，OB0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与

44、出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：t（s）00.20.40.60.8x（m）00.511.52y（m）0.250.40.450.40.25(1)当t s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与x之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数关系式；如果不存在，请说明理由；(2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）(3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L：y0.53（xp）（x3.5）的路线运动，小明

45、拿球拍EF与桌面夹角为60接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离CE的取值范围【答案】(1)0.4；y与x之间存在二次函数关系，y=0.2x12+0.45(2)乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；(3)2.5；0.45mCE0.73m【分析】（1）先根据当t=0.2和当t=0.6时y的值相同求出抛物线L的对称轴为直线x=0.4，进而可以求出抛物线L的顶点坐标为（0.4，0.45）即可求出当t=0.4时，乒

46、乓球达到最大高度；再利用待定系数法求出抛物线L的解析式，根据表格中的数据可得t=0.4x进而可以求出y=0.2x12+0.45；（2）先求出点G的横坐标，进而求出当x=1.4m时，t=0.4x=0.56s，y=0.418m，由此求解即可；（3）先求出点D的坐标，然后把点D的坐标代入到抛物线L的解析式中即可求出点p，再分别求出当抛物线L经过点E和点F时点E的坐标即可得到答案；（1）解：从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，且当t=0.2和当t=0.6时y的值相同，抛物线L的对称轴为直线x=0.2+0.62=0.4，又抛物线开口向下，抛物线L的顶点坐标为（0.4，0.45），当t=0.

47、4s时，乒乓球达到最大高度；设y=at0.42，由题意得0.25=a00.42+0.45，a=1.25，y=1.25t0.42+0.45；由表格中的数据可知，t每增加0.2，则x增加0.5，x=0.5t00.2=2.5t，t=0.4x，y=1.250.4x0.42+0.45=0.2x12+0.45，y与x之间存在二次函数关系，y=0.2x12+0.45；（2）解：BC=2.74m，G为BC的中点，BG=12BC=1.37m，OG=OB+BG=1.4m，当x=1.4m时，t=0.4x=0.56s，y=0.21.412+0.45=0.418m GH=0.15m，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为0.

48、418-0.150.27m，乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；（3）解：对于函数y=0.2x12+0.45，当y=0时，0.2x12+0.45=0，解得x=2.5或x=0.25，点D的坐标为（2.5，0），函数y=0.53xpx3.5经过点D，0.532.5p2.53.5=0，p=2.5；抛物线L的解析式为y=0.53x2.5x3.5，对于函数y=0.53x2.5x3.5，当y=0时，0.53x2.5x3.5=0，解得x=2.5或x=3.5，抛物线L与x轴的交点坐标为（2.5，0）和（3.5，0），OB=0.03m，BC=2.74m

49、，OC=2.77m，即点C的坐标为（2.77，0），当抛物线L恰好经过点E时，则点E的坐标为（3.5，0），此时CE=3.5-2.77=0.73m；当抛物线L恰好经过点F时，过点F作FMx轴于M，FME=90，EFM=60，EFM=30，EM=12EF=0.08m，FM=EF2EM2=0.083m，点F的纵坐标为0.083，0.083=0.53x2.5x3.5，解得x=3.3或x=2.7，又点E在点C右侧，即点E的横坐标大于2.77，故点F的横坐标大于2.77点M的坐标为（3.3，0），CE=CM-ME=3.3-2.77-0.08=0.45m，CE=3.3-2.77=0.53m，0.45mCE

50、0.73m【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确求出抛物线L和L的解析式是解题的关键【考点6 喷水问题】【例6】（2022四川南充中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m那么喷头高_m时，水柱落点距O点4m【答案】8【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解

51、析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0，喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a=23，b=23，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，此时的解析式为y=23x2+23x+，将（4

52、，0）代入可得2342+234+=0，解得h=8故答案为：8【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键【变式6-1】（2022河南统考中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度(1)求抛物线的表达式(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动

53、，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离【答案】(1)y=0.1x52+3.2(2)2或6m【分析】（1）根据顶点5,3.2，设抛物线的表达式为y=ax52+3.2，将点P0,0.7，代入即可求解；（2）将y=1.6代入（1）的解析式，求得x的值，进而求与点3,0的距离即可求解【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为5,3.2，设抛物线的解析式为y=ax52+3.2，将点0,0.7代入，得0.7=25a+3.2，解得a=0.1，抛物线的解析式为y=0.1x52+3.2，（2）由y=0.1x52+3.2，令y=1.6，得1.6=0.1x52+3.2，解得x1=1,x2=9，爸爸站在

54、水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为31=2(m)，或93=6(m)【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键【变式6-2】（2022浙江台州统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水喷水口H离地竖直高度为（单位：m）如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m

55、，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）(1)若=1.5，EF=0.5m；求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若EF=1m要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值【答案】(1)y=18x22+2,6m；(2,0)；2d231(2)6532【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线OBd，计算即可；

56、（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可【详解】（1）（1）如图1，由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，设y=a(x2)2+2又抛物线经过点(0,1.5)，1.5=4a+2，a=18上边缘抛物线的函数解析式为y=18(x2)2+2当y=0时，18(x2)2+2=0，x1=6，x2=2（舍去）喷出水的最大射程OC为6m图1对称轴为直线x=2，点(0,1.5)的对称点的坐标为(4,1.5)下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为(2,0)如图2，先看上边缘抛物线，EF=0.

57、5，点F的纵坐标为0.5抛物线恰好经过点F时，18(x2)2+2=0.5解得x=223，x0，x=2+23当x0时，y随着x的增大而减小，当2x6时，要使y0.5，则x2+23当0x0.5，当0x6时，要使y0.5，则0x2+23DE=3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，d的最大值为(2+23)3=231再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OBd，d的最小值为2综上所述，d的取值范围是2d231（2）的最小值为6532由题意得A(2,+0.5)是上边缘抛物线的顶点，设上边缘抛物线解析式为y=a(x2)2+0.5上边缘抛物线过出水口（0，h）y=4a+0.5=解得a=18上边缘

58、抛物线解析式为y=18(x2)2+0.5对称轴为直线x=2，点(0,)的对称点的坐标为(4,)下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，下边缘抛物线解析式为y=18(x+2)2+0.5当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，DE=3设点Dm,0，Em+3,0，Fm+3,18(m+32)2+0.5，D在下边缘抛物线上，18(m+2)2+0.5=0EF=118(m+32)2+0.5=118(m+32)2+0.5 18(m+2)2+0.5=1，解得m=2.5，代入18(m+2)2+0.5=0，得=6532所以的最小值为6532【点睛】本题考查二次函数的实际

59、应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键【变式6-3】（2022北京北京四中校考模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan ）为3：4，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；(3)落点P与坡

60、顶C之间的距离为 m【答案】(1)y=116x2+32x+70(2)1214m(3)50【分析】（1）由待定系数法解答；（2）由正切定义解得OB80，继而求得直线BC的解析式，设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，由dyy1得到二次函数，再利用配方法求最值；（3）求直线与抛物线的交点，转化为求一元二次方程34x60=116x2+32x+70的解，再根据三角形中位线的性质解得HC，PH的长，最后根据勾股定理解答【详解】（1）解：设二次函数的表达式为yax2bxc（a，b，c为常数，a0）将（0，70）（4，75）、（8，78）代入可得，c=7016a+4b+c=7564a+8b+c=78解得a

61、=116b=32c=70二次函数的表达式为y=116x2+32x+70；（2）设线段BC表示的y1与x之间的函数表达式为y1=kxb（k为常数，k0），在RtBOC中，BOC90，tanCBOtan OCOB=34OC60，OB80将C（0，60），B（80，0）代入y1=kxb可得，b=6080k+b=0解得b=60k=34线段BC表示的y1与x之间的函数表达式为y134x60（0x80）设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，则dyy1116x232x70(34x60)116x294x10116 (x18)21214当x18时，d的最大值为1214.答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离

62、为1214 m.（3）y34x60y=116x2+32x+7034x60=116x2+32x+70x236x160=0(x+4)(x40)=0x=40或x=4（舍去）即Px=40，过点P作PH/x轴，PH=40又OB=80HP=12OBHP是OBC的中位线HC=12OC=30PC=302+402=50故答案为：50【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式、配方法、勾股定理、中位线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键【考点7 增长率问题】【例7】（2022山东东营统考一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用

63、于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元【分析】(1)设从2

64、016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解；(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩200a个，所需资金为w万元，列不等式，求出a的范围，再求出w的函数解析式，进而可求出答案.【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据题意得：2560(1+x)2=2560+3200， 解得:x1=0.5=50%，x2=2.5（舍去）.答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%； （2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩200a个，所需资金为w万元.根据题意，得:a1

65、2(200a)，解得:a6623， w=3.5a+4(200a)=0.5a+800， 0.50，由题意得：31+x2=4.32，解得：x=0.2或x=-2.2（舍），答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，由题意得：w=300+a2000050a=50a502+612500，a=-50，抛物线开口向下，当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解【考点8 车过隧道问题】【例8】（20

66、22广东深圳统考二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度PH为8米，宽度OA为16米车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（AB=2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙CD不少于12米如图2，以O点为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：(1)直接写出点A的坐标是_，抛物线顶点P的坐标是_；(2)求出这条抛物线的函数表达式；(3)根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过_米【答案】(1)A16,0,P8,8；(2)y=18x82+8(3)3米【分析】（1）直接根据题意以及图形可知

67、点A、点P的坐标（2）根据图像假设函数表达式，进而根据待定系数法求解即可（3）由图可知，当车高一定时，空隙的最小值CD，在x=14时取得，将x=14代入函数解析式中表示出CD，进而根据“最小空隙CD不少于12米”可求解出答案（1）解：由题意可知：点A的坐标是16,0，抛物线顶点P的坐标8,8（2）解：法1：顶点坐标8,8设y=ax82+8（a0）又图象经过0,0，0=a082+8，a=18，这条抛物线的函数表达式为y=18x82+8，即y=18x2+2x；法2：抛物线与x轴两交点分别为0,0和16,0设y=axx16（a0）又图象经过8,8，8a816=8，a=18这条抛物线的函数表达式为y=

68、18x2+2x，即y=18x82+8；（3）解：通过隧道车辆的高度不能超过3米理由：以下图为例，由图可知，当车高一定时，空隙的最小值CD，在x=14时取得，此时，y=181482+8=72，此时，CD=72，由题意，CD=7212，所以，3所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的性质以及利用数形结合思想将图像与图形对应起来是解决本题的关键【变式8-1】（2022北京房山统考一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75

69、米设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道【答案】(1)见解析(2)直线x=2(3)不能通过隧道【分析】（1）由题意描出点A(0,3)、B(1,3.75)、C(4,3)及点D(3,3.75)，用光滑的曲线连接起来即可得到所画的曲线；（2）（1

70、）（2）由图象知，抛物线的对称轴为直线x=2（3）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c把A、B、C三点的坐标代入得：c=3a+b+c=3.7516a+4b+c=3解得：a=14b=1c=3故函数解析式为y=14x2+x+3当x=2122.4=0.8时，y=140.82+0.8+3=3.643.643.2=0.440.6卡车不能通过隧道【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了建立适当坐标系画二次函数的图象，求二次函数图象的对称轴、解析式及函数值等知识，能够根据实际问题转化为数学问题并解答【变式8-2】（2022湖北武汉统考一模）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，

71、拱高OC6m，跨度AB20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【答案】（1）y350x2+6；（2）70万元；（3）2.

72、9分【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解（2）把x5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可【详解】（1）设yax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，得a=350,c=6y350x2+6（2）当x5时，y35052+692，EF1092112，CD1064，支柱的总造价为2（2112+210+4）70（万元）（3）坦克的高为3米，令y3时，350x2+63，解得：x52，7528，坦克宽为2米，可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为12034160（米），坦克的行驶速度为24km/h

73、400米/分，通过隧道的最短时间为1000+1604002.9（分）【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练掌握根据题目所给条件选取相应表达式，然后运用待定系数法求函数解析式，在解决实际问题中，要正确理解题意结合二次函数的性质加以解决【变式8-3】（2022安徽统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米E（0，8）是抛物线的顶点(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含

74、边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和请解决以下问题：（）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上设点P1的横坐标为m0m6，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）【答案】(1)y16x28(2)（）l12m22m24，l的最大值

75、为26；（）方案一：最大面积27，309P1横坐标30；方案二：最大面积814 2192P1横坐标21【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，16m28），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；（）设P2P1n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围【详解】（1）由题意可得：A（6，2），D（6，2），又E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为yax28，将A（6，2）代入，（6）2a82，解得：a16，抛物线对应的函数表达式为y16x28；（2

76、）（）点P1的横坐标为m（0m6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，P2的坐标为（m，16m28），P1P2P3P4MN16m28，P2P32m，l3（16m28）2m12m22m2412（m2）226，120，当m2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l12m22m24，l的最大值为26；（）方案一：设P2P1n，则P2P3183n，矩形P1P2P3P4面积为（183n）n3n218n3（n3）227，30，当n3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P13，P2P39，令16x283，解得：x30，此时P1的横坐标的取值范围为309P1横坐标

77、30，方案二：设P2P1n，则P2P39n，矩形P1P2P3P4面积为（9n）nn29n（n92）2814，10，当n92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P192，P2P392，令16x2892，解得：x21，此时P1的横坐标的取值范围为2192P1横坐标21【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键【考点9 行程问题】【例9】（2022浙江金华统考一模）如图1是城市平直道路，道路限速60km/h，A路口停车线l1和B路口停车线l2之间相距S400m，A、B两路口各有一个红绿灯在停车线l1后面停着一辆汽车，该汽车的车

78、头恰好与停车线l1平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程S、速度v与时间t的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示某时刻A路口绿灯亮起，该汽车立即启动（车身长忽略不计）(1)求该汽车从停车线l1出发加速到限速所需的时间(2)求该汽车最快需要多少时间可以通过停车线l2(3)若A路口绿灯亮起29s后B路口绿灯亮起，且B路口绿灯的持续时间为23s该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在B路口绿灯期间能顺利通过停车线l2，求该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围【答案】(1)253s(2)2816s(3)不小于8m/s，不大于16m/s【分析】（1）先将限速单位化为m/

79、s，根据图3求得v=2t，代入求解即可；（2）根据（1）的结论求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求得答案；（3）设该汽车匀速行驶过程中速度的为v,根据题意根据（2）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围(1)解：限速为60km/h=503m/s由图3可知当t=1时，v=2，设v=kt，解得k=2 v=2tt=v2 =12503=253s(2)由图2可知当t=1时，S=1，且x=0,S=0，设S=at2解得a=1， S=t2 t0由（1）可知汽车从停车线l1出发加速到限速所需的时间25

80、3s则S=2532=6259m以503m/s行驶的时间为4006259503=1196s253+1196=1696=2816s该汽车最快需要2816s可以通过停车线l2(3)设该汽车匀速行驶过程中速度的为v,即汽车加速到v由（1）可得汽车加速到v所用的时间为t=v2，则汽车从停车线l1出发加速到v m/s的路程为S=v22，匀速所用时间为400v22v，根据题意可得当B路口绿灯亮起时通过则，v2+400v22v =29整理得：v2+16004v=29 解得：v1=16，v2=100（舍），经检验,v=16是原方程的解,可得当B路口绿灯熄灭时候通过，v2+400v22v =29+23解得：v1=

81、8，v2=200（舍），经检验,v=8是原方程的解,综上所述，该汽车匀速行驶过程中速度的为v的范围为：8v16答：该汽车匀速行驶过程中速度的为v的范围为：8v16【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程是解题的关键【变式9-1】（2022内蒙古呼伦贝尔统考一模）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度

82、匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为s=at2+bt，一次函数表达式为v=kt+c，一次函数经过（0，16），（8，8），则8=8k+c16=c，解得：k=1c=16，一次函数表达式为v=t+16，令v=9，则t=7，当t=7时，速度为9m/s，二次函数经过（2，30），（4，56），则4a+2b=301

83、6a+4b=56，解得：a=12b=16，二次函数表达式为s=12t2+16t，令t=7，则s=492+167=87.5，当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；（2）当t=0时，甲车的速度为16m/s，当10v16时，两车之间的距离逐渐变小，当0v10时，两车之间的距离逐渐变大，当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入v=t+16中，得t=6，将t=6代入s=12t2+16t中，得s=78，此时两车之间的距离为：106+20-78=2m，6秒时两车相距最近，最近距离是2米【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提【

84、变式9-2】（2022安徽合肥校考二模）某汽车公司为确定一种型号的新能源汽车在高速公路上紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km）函数关系测得该汽车在速度大小为40km/h时，紧急刹车后滑行的距离为4m；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m已知紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km）函数关系满足y=ax2+bx(1)求a，b的值(2)若两次测量中，刹车时的速度大小之差为20，滑行距离之差为6，求两次测量中，刹车时的速度大小的平均值【答案】(1)a=1800，b=120(2)100km/h【分析】（1）根据40km/时，紧急

85、刹车后滑行的距离为4m；速度大小为80km/时，紧急刹车后滑行的距离为12m，将y=4，x=40，和y=12，x=80代入函数解析式中可得；（2）由（1）知a=1800，b=120，则函数解析式为：y=1800x2+120x，刹车时的速度大小之差为20，滑行距离之差为6，则|x1x2|=20，|y1y2|=6，则可知1800(x1+x2)(x1x2)+120(x1x2)，根据题意可知|1800(x1+x2)(x1x2)+120(x1x2)|=60本别计算当x1x2=20时， 以及x1x2=20时， 可计算出x1+x2的值，即可计算出其平均速度(1)根据40km/h时，紧急刹车后滑行的距离为4m

86、；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m，将其代入函数解析式中可得：4=1600a+40b12=6400a+80b，解得a=1800b=120；(2)由（1）知a=1800，b=120，则函数解析式为：y=1800x2+120x，刹车时的速度大小之差为20，滑行距离之差为6，|x1x2|=20，|y1y2|=6，y1y2=(1800x12+120x1)(1800x22+120x2)，=1800x121800x22+120x1120x2=1800(x12x22)+120(x1x2)=1800(x1+x2)(x1x2)+120(x1x2)|1800(x1+x2)(x1x2)+120

87、(x1x2)|=60当x1x2=20时，|1800(x1+x2)20+12020|=6，解得x1+x2=200或x1+x2=280（舍去），x=x1x22=2002=100km/，当x1x2=20时，|1800(x1+x2)(20)+120(20)|=6，解得x1+x2=200或x1+x2=280（舍去）x=x1x22=2002=100km/，综上所述，两次测量中，刹车时的速度大小的平均值为100km/h【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的实际应用，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键【变式9-3】（2022北京校考一模）某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止

88、滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：时间（秒）00.020.040.060.080.10相邻各点的距离（厘米）00.30.50.70.91.0(1)当时间为0.04秒时，滑行距离是_厘米；(2)请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；(3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道

89、上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度【答案】(1)0.8(2)见解析(3)250米【分析】（1）根据表格即可求得答案；（2）设时间为x秒，滑行距离为y cm，计算出y的对应值，画出图象即可； （3）根据图象求出二次函数解析式，再把x的值代入可得答案（1）解：由表格可知，OA=0.3，AB=0.5，当时间为0.04秒时，滑行距离是0.8厘米；（2）解：如图，（3）根据图象设y=ax2+bx，把（0.02，0.3）和（0.04，0.8）代入得0.0004a+0.02b=0.30.0016a+0.04b=0.8解得a=250b=10y与x的关系式为y=250x2+10x，当x=10时，y=250100+

90、1010=25100，答：滑行10秒时直线斜坡轨道的长度是251m【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练应用待定系数法确定函数关系式是解题关键【考点10 其他问题】【例10】（2022湖北黄石统考中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y=ax2+bx+c(0x8)640,(8x10),数据如下表时间x（分钟）012388x10累计人数y（人）0150280390640640(1)求a，b，c的值；(2)如

91、果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【答案】(1)a=10，b=160，c=0(2)490人(3)从一开始应该至少增加3个检测点【分析】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同

92、学即完成所有同学体温检测；（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果【详解】（1）（1）将(0,0)，(1,150)，(2,280)代入y=ax2+bx+c，得c=0a+b+c=1504a+2b+c=280，解之得a=10，b=160，c=0；（2）设排队人数为w，由（1）知y=10x2+160x0x86408x10，由题意可知，w=y20x，当0x8时，y=10x2+160x，w=10x2+160x20x=10x72+490x=7时，排队人数w的最大值是490人，当8x10时，y=640，w=

93、64020x，w随自变量x的增大而减小，440w480，由480490得，排队人数最大值是490人；（3）在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间=640(45)=32（分钟）设从一开始增加n个检测点，则6404+n520，解得n2.4，n为整数，从一开始应该至少增加3个检测点【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键【变式10-1】（2022湖北黄冈统考中考真题）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种

94、花卉市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2(1)当x100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围【答案】(1)y=30(0x40)y=14x+40(40x100)；(2)甲种花卉种植90m2， 乙种花卉种植270m2时，种植的总费用w最少，最少为5625元；30x

95、40或60x360【分析】（1）根据函数图像分两种情况，x40时y为常数，40x100时y为一次函数，设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；（2）设甲种花卉种植面积为m，则乙种花卉种植面积为360m，根据乙的面积不低于甲的3倍可求出30m90，利用总费用等于两种花卉费用之和，将m分不同范围进行讨论列出总费用代数式，根据m的范围解出最小值进行比较即可；将x按图像分3种范围分别计算总费用的取值范围即可【详解】（1）由图像可知，当甲种花卉种植面积x40m2时，费用y保持不变，为30（元/m2），所以此区间的函数关系式为：y=30(0x40)，当甲种花卉种植面积40x100m2

96、时，函数图像为直线，设函数关系式为：y=kx+b(40x100)，当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得：30=40k+b15=100k+b，解得：k=14,b=40，y=14x+40(40x100)当x100时，y与x的函数关系式应为：y=30(0x40)y=14x+40(40x100)；（2）设甲种花卉种植面积为m（m30），则乙种花卉种植面积为360m，乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，360m3m，解得：m90，m的范围为：30m90当30m40时，w=30m+15(360m)=15m+5400，此时当m最小时，w最小，即当m=30时，w有最小值

97、1530+5400=5850（元），当40m90时，w=m(14m+40)+15(360m)=14(m50)2+6025，此时当m=90时，离对称轴m=50最远，w最小，即当m=90时，w有最小值14(9050)2+6025=5625（元）56255850，当m=90时种植的总费用w最少，为5625元，此时乙种花卉种植面积为360m=270，故甲种花卉种植90m2， 乙种花卉种植270m2时，种植的总费用w最少，最少为5625元由以上解析可知：（1）当x40时，总费用=15x+54001540+5400=6000（元），（2）当40x100时，总费用=14(x50)2+6025，令14(x50

98、)2+60256000，解得：x40或x60，又40x100，60x100（3）当100x360时，总费用=36015=5400（元），综上，在30x40、60x100和100x360时种植总费用不会超过6000元，所以甲种花卉种植面积x的取值范围为：30x40或60x360【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，仔细分情况讨论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法【变式10-2】（2022河北保定校考一模）新型建材（即新型建筑材料）是区别于传统的砖瓦、灰砂石等建材的建筑材料新品种，行业内将新型建筑材料的范围作了明确的界定，即新型建筑材料主要包括

99、新型墙体材料、新型防水保温隔热密封材料和装饰装修材料三大类，某开发商承建一精密实验室，要求全部使用新型建筑材料，经调查发现：新型建筑材料总成本包括装饰装修材料成本、新型墙体材料成本和新型防水保温隔热密封材料成本，其中装饰装修材料成本固定不变为100万元，新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，在建筑过程中，设新型建筑材料总成本为y（万元），获得如下数据：x（单位：m2）2050y（单位：万元）240600(1)求新型建筑材料总成本为y（万元）与建筑面积x（m2）的函数表达式；(2)在建筑过型中，开发商测算出此时每平方米的平均成本

100、为12万元，求此时完成的建筑面积；(3)设建设该厂房每平方米的毛利润为Q（万元）且有Qkx+b（k0），已知当x50时，Q为12.5万元，且此时开发商总纯利润W最大，求k、b的值（纯利润毛利润成本）【答案】(1)y=110x2+5x+100(2)此时完成的建筑面积为20m2或50m2；(3)k=120b=10【分析】（1）根据题意得出y=ax2+bx+100，然后利用待定系数法求解即可；（2）根据每平方米的平均成本为12万元可知总成本为12x万元，然后列方程求解即可；（3）求出纯利润为W=k110x2+b5x100，然后根据二次函数的最值问题结合题意列方程组解答即可（1）解：新型墙体材料成本与

101、建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，设新型墙体材料成本y1=bx，新型防水保温隔热密封材料成本y2=ax2，y=ax2+bx+100，把x20，y240；x50，y600代入得：240=400a+20b+100600=2500a+50b+100，解得：a=110b=5，新型建筑材料总成本y与建筑面积x的函数表达式为：y=110x2+5x+100；（2）由题意得：12x=110x2+5x+100，解得：x1=20，x2=50，答：每平方米的平均成本为12万元，此时完成的建筑面积为20m2或50m2；（3）每平方米的毛利润为Q（万元）且有Qkx+

102、b（k0），总的毛利润为xkx+b=kx2+bx，总的纯利润为：W=kx2+bx110x2+5x+100=k110x2+b5x100，当x50时，Q为12.5万元，且此时开发商总纯利润W最大，b52k110=5012.5=50k+b，解得：k=120b=10【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题等知识，正确理解题意，列出函数关系式及一元二次方程是解答本题的关键【变式10-3】（2022河北承德统考二模）在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，

103、其形状可近似看成抛物线y=120x2+bx+c，已知绳子最低点距离地面74米以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系，如图1所示(1)求立柱AB的长度；(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线F1的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；(3)若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米求MN与CD的距离【答案】(1)3(2)19

104、9(3)4【分析】（1）根据AB=CD，以及抛物线图像的对称轴性可知抛物线的对称轴x=5，据此可得求出系数b和顶点坐标(5,74)，再代入顶点坐标即可求出c，则抛物线与y轴的交点坐标可求，即AB可求；（2）根据题意可得抛物线F1的顶点坐标为(3,2)，则设抛物线F1的解析式为y=a(x3)2+2，再根据A点坐标即可求出抛物线F1的解析式为y=14(x3)2+2，即当x=4时即可求出MN的长；（3）设顶点坐标为(a,1.92)， M点坐标为(m,0)，根据题意有0am10，根据抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，设抛物线F1的解析式为y=112(xa)2+1.92，根据

105、A(0,3)即可求出a=3.6，根据M点坐标为(m,0)，得到N点坐标为(m,2.4)，结合抛物线F1过N点，可求得m-a=2.4，即可求出m，则问题得解【详解】（1）根据题意有B(0,0)、D(10,0)，抛物线y=120x2+bx+c的顶点的纵坐标为74，AB=CD，B(0,0)、D(10,0)，根据题意可知抛物线的对称轴为x=5，b2a=b2120=10b=5，即b=12，即：y=120x2+bx+c=120x212x+c，顶点的纵坐标为74，则抛物线的顶点坐标为(5,74)，将(5,74)代入y=120x212x+c，得：74=12052125+c，解得c=3，即抛物线解析式：y=12

106、0x212x+3，当x=0时，y=3，抛物线与y轴的交点A坐标为：(0,3)，AB=3；（2）根据题意有BM=4，抛物线F1的顶点相对A下降了1米，顶点距离立柱MN也是1米，抛物线F1的顶点的纵坐标为3-1=2，横坐标为4-1=3，抛物线F1的顶点坐标为(3,2)，设抛物线F1的解析式为y=a(x3)2+2，抛物线F1与y轴交于点A(0,3)，代入A点坐标有：3=a(03)2+2，解得a=19，抛物线F1的解析式为y=19(x3)2+2，根据题意有M、N两点的横坐标相同，M(4,0)，当x=4时，y=19(43)2+2=199，N点坐标(4,199)，MN=199；（3）根据题意有抛物线F1的

107、纵坐标为1.92，则设顶点坐标为(a,1.92)，设M点坐标为(m,0)，根据题意有0am10，抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，设抛物线F1的解析式为y=112(xa)2+1.92，抛物线F1过A(0,3)，当x=0时，y=112(0a)2+1.92=3，解得a=3.6，MN=2.4，M点坐标为(m,0)，N点坐标为(m,2.4)，抛物线F1过N点，当x=m时，y=112(ma)2+1.92=2.4，解得m-a=2.4，m=a+2.4=3.6+2.4=6，即BM=6，MD=BD-BM=10-6=4，即MN与CD的距离为4【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，理解两个抛物线开口大小相同即是二次项系数相同以及正确表示出函数解析式是解答本题的关键