专题13 最值模型：瓜豆原理-主从动点问题（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）（解析版）.docx

1、专题13 最值模型；瓜豆原理-主从动点问题（知识解读）【专题说明】 初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题【方法技巧】瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”）满足条件：1.两动一定；2.动点与定点的连线夹角是定角；3.动点到定点的距离比值是定值方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动

2、点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值“瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似涉及的知识和方法：知识：相似；三角形的两边之和大于第三边；点到直线之间的距离垂线段最短；点到圆上点共线有最值模型一：运动轨迹为圆弧引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:A

3、P=1:2【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半

4、径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM引例3：如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹

5、角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩模型二：运动轨迹为线段引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线【引例】如图，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q

6、点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于PAQ（当PAQ90时，PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）【典例分析】【典例1】如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE2，F为AB边上的一个动点

7、，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A2B2.5C3D3.5【答案】D【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将EFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到EFBEHG，BEEH，BEH60，GHE90，EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CMHN，则CM即为CG的最小值，作EPCM，可知四边形HEPM为矩形，PEC180PEHBEH180906030，PCCE，则CMMP+CPHE+EC2+，故选：D【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AB5，BC5，点P在线段BC上运动（含B、C

8、两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）ABCD3【答案】A【解答】解：如图，以AB为边向右作等边ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DHQE于H四边形ABCD是矩形，ABPBAD90，ABF，APQ都是等边三角形，BAFPAQ60，BAFA，PAQA，BAPFAQ，在BAP和FAQ中，BAPFAQ（SAS），ABPAFQ90，FAE906030，AEF903060，ABAF5，AEAFcos30，点Q在射线FE上运动，ADBC5，DEADAE，DHEF，DEHAEF60，DHDEsin60，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，D

9、Q的值最小，最小值为，故选：A【变式1-2】如图，长方形ABCD中，AB3，BC4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（）A2B1+C2D【答案】B【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J四边形ABCD是矩形，ABCD3，BBCD90，BETFEG45，BEFTEG，在EBF和ETG中，EBFETG（SAS），BETG90，点G的在射线TG上运动，当CGTG时，CG的值最小，BC4，BE1，CD3，CECD3，CEDBET45，TEJ90ETGJ

10、GT90，四边形ETGJ是矩形，DEGT，GJTEBE1，CJDE，JEJD，CJDE，CGCJ+GJ1+，CG的最小值为1+，故选：B【变式1-3】（2021四川绵阳中考真题）如图，在中，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（）ABCD【答案】A【解答】解：，解得：（负值舍去），过B作于H，当时，PQ的值最小，故选：A【变式1-4】（2021四川广元中考真题）如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是（）AB1CD【答案】B【解答】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：是等边三角形，CDQ是公共角，PDC=QDE，PC

11、DQED（SAS），点D是边的中点，PCD=QED=90，点Q是在QE所在直线上运动，当CQQE时，CQ取的最小值，；故选B【变式1-5】（2022湖北鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（）ABCD【答案】C【解答】解：P是边AD的中点，AD=6，AP=3，如图，连接AM，等边，是边的中点，AM平分EAF，在点运动过程中，点M在EAF的平分线上，当AMPM时，PM取得最小值，是等边的边的中点，PMAM， EAM=30，PAM=60，PM=AP=，故选：C【变式1-6】（2022山

12、东日照中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是_【答案】2【解答】解：将线段PA绕点P顺时针旋转60得到线段PF，APF=60，PF=PA，APF是等边三角形，AP=AF，如图，当点F1在x轴上时，P1AF1为等边三角形，则P1A=P1F1=AF1，AP1F1=60，AOP1F1，P1O=F1O，AOP1=90，P1AO=30，且AO=4，由勾股定理得：，点F1的坐标为，如图，当点F2在y轴上时，P2AF2为等边三角形，AOP2O，AO=F2O=4，点F2的坐标为（0，-4）

13、，OF1F2=60，点F运动所形成的图象是一条直线，当OFF1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y=kx+b，则，解得，直线F1F2的解析式为y=x-4，AO=F2O=4，AOP1F1，在RtOF1F2中，OFF1F2，设点O到F1F2的距离为h，则，解得h=2，即线段OF的最小值为2，故答案为2【变式1-7】（2022福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为_【答案】【解答】设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，.，.，.，令， 点在直线上运动，当时，的值最小.在中，令，则，令，则，在中，令，则，.，即，解得，

14、所以的最小值为.故答案为：【典例2】如图，O的直径AB2，C为O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90得到CD，连结OD，则OD的最大值为 【答案】+1【解答】解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，将CB绕点C逆时针旋转90得到CD，BCCD，DCB90，DBC45，BDBC，OBE是等腰直角三角形，OEBE，OBE45，OBBE1，BEOE，DBCOBE，OBDCBE，又，DBOCBE，ODCE，当CE有最大值时，OD有最大值，当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+，OD的最大值为+1，故答案为：+1【变式2-1】如图，在RtABC中，ACB

15、90，AC16，BC12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 【答案】5【解答】解：ACB90，AC16，BC12，AB20，连接AP，BP，AB是直径，APB90，即APBP，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，在BPC中，M，E为PC、BC的中点，MEBP，ME，在APC中，点M、F为PC、AC的中点，MFAP，MF，MEMF，即EMF90，点M在以EF为直径的半圆上，EFAB10，点M的运动路径长为5，故答案为：5【变式2-2】如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB当点P在O上运动一周时，点B运动的路径长是 【答案】4【解答】解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60，得线段AO，连接OB、OO，AOAO，OAO60，OAO为正三角形，APB为正三角形，PAB60，PABA，PABOABOAOOAB，PAOBAO，在APO与ABO中，APOABO，OPOB2，O即为动点B运动的路径，当点P在O上运动一周时，点B运动的路径长是4，