专题13平行线之猪脚模型（M模型）-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题13平行线之猪脚模型解题策略经典例题【例1】（2022春桐城市期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系【问题解决】（1）如图1，ABCD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE若A42，C28则AEC70【问题探究】（2）如图2，ABCD，线段AD与线段BC交于点E，A36，C54，EF平分BED，求BEF的度数【问题拓展】（3）如图3ABCD，线段AD与线段BC相交于点G，BCD56，GDE20，过点D作DFCB交直线AB于点F，AE平分

2、BAD，DG平分CDF，求AED的度数【分析】（1）延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得AFC28，然后再利用三角形的外角可得AECA+C，进行计算即可解答；（2）利用猪蹄模型可得：AECA+C90，再利用对顶角相等可得BED90，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；（3）利用平行线的性质可求出CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出BAE的度数，再利用平角定义求出EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得AEDBAE+EDH，进行计算即可解答【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，ABCD，AFCC28，AEC

3、是AEF的一个外角，AECA+AFCA+C70，故答案为：70；（2）利用（1）的结论可得：AECA+C36+5490，AECBED90，EF平分BED，BEFBED45，BEF的度数为45；（3）BCDF，CDF180BCD124，DG平分CDF，CDGCDF62，ABCD，BAGCDG62，AE平分BAD，BAEBAD31，GDE20，EDH180CDGGDE98，利用（1）的结论可得：AEDBAE+EDH31+98129，AED的度数为129【例2】（2022春南京期中）已知直线ABCD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点（不在直线AB、CD、EF上），OG平分EOF，射线OHA

4、B，交EF于点H（1）如图，若AEO45，CFO75，则HOG15，（2）如图，若AEO150，HOG20，则CFO110；（3）直接写出点O在不同位置时AEO、CFO和HOG三个角之间满足的数量关系【分析】（1）由ABCD，OHAB可得ABOHCD，利用平行线的性质可得AEOEOH，CFOFOH，由EOFEOH+FOH，等量代换可得AEO+CFOEOF，根据已知条件和角平分线的定义求出EOG60，即可得到HOG的度数；（2）同（1）类似，利用平行线的性质和角平分线的定义计算可以得出CFO的度数；（3）由（1）和（2）的计算方法可以得出结论【解答】解：（1）ABCD，OHAB，ABOHCD，A

5、EOEOH，CFOFOH，AEO+CFOEOH+FOH，即AEO+CFOEOF，AEO45，CFO75，EOF120，OG平分EOF，EOG60，HOGEOGEOH15，故答案为：15；（2）ABCD，OHAB，ABOHCD，AEO+EOH180，CFO+FOH180，AEO+CFO+EOH+FOH360，即AEO+CFO+EOF360，ABOH，AEO+EOH180，AEO150，EOH30，HOG20，EOGEOH+HOG30+2050，OG平分EOF，EOF2EOG100，AEO+CFO+EOF360，AEO150，CFO360150100110，故答案为：110；（3）若点O在直线AB

6、与CD之间，则有|AEOCFO|2HOG；若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有AEO+CFO2HOG；若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的右侧，则有360AEOCFO2HOG【例3】（2022春上城区校级期中）如图，一副三角板，其中EDFACB90，E45，A30（1）若这副三角板如图摆放，EFCD，求ABF的度数（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GHMN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0t180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值（3）将一副三角板如图3所示摆

7、放，直线GHMN，现将三角板ABC绕点A以每秒1的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2的速度顺时针旋转设旋转时何为t秒，如图4，BAHt，FDM2t，且0t150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值【分析】（1）由题意得，EBF90，E45，ABC60，利用平行线的性质可得CDEE45，即可求得答案；（2）当DEBC时，延长AC交MN于点P，分两种情况：当DE在MN上方时或当DE在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；当BCDF时，延长BC交MN于点T，分两种情况：当DF在MN上方时或当DF在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；（3）当D

8、EBC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：DE在MN上方时，DE在MN下方时，FDP2t180，列式求解即可；（2）当BCDF时，延长AC交MN于点I，DF在MN上方时，FDN1802t，DF在MN下方时，FDN1802t，列式求解即可【解答】解：（1）如图，由题意得，EBF90，E45，ABC60，EFCD，CDEE45，ABEABCCDE604515，ABFEBFABE901575；（2）如图，当DEBC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，DEBC，DEDF，ACBC，APDF，FDMMPA，MNGH，MPAHAC，FDMHAC，即2t30，t15；当DE在MN下方时，FD

9、P2t180，DEBC，DEDF，ACBC，APDF，FDPMPA，MNGH，MPAHAC，FDPHAC，即2t18030，t105；当BCDF时，当DF在MN上方时，BCDF，如图，延长BC交MN于点T，根据题意得：FDN1802t，DFBC，FDNBTN，GHMN，BTNABC60，FDN60，即1802t60，t60；当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，根据题意可知：FDN2t180，DFBC，FDNBTM，GHMN，BTNABC60，BTM180BTN120，NDF120，即2t180120，t150，综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或150；（3）由题意

10、得，HACBAH+BACt+30，FDM2t，如图，当DEBC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，DEBC，DEDF，ACBC，APDF，FDMMPA，MNGH，MPAHAC，FDMHAC，即2tt+30，t30，当DE在MN下方时，FDP2t180，DEBC，DEDF，ACBC，APDF，FDPMPA，MNGH，MPAHAC，FDPHAC，即2t180t+30，t210（不符合题意，舍去），当BCDF时，延长AC交MN于点I，当DF在MN上方时，BCDF，如图，根据题意得：FDN1802t，DFBC，ACBC，CIDF，FDN+MIC90，即1802t+t+3090，t120，2t

11、240180，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；当DF在MN下方时，如图，根据题意可知：FDN2t180，DFBC，MICNDF，NDFAQIt+3090t60，即2t180t60，t120，综上所述：所有满足条件的t的值为30或120【例4】（2021春梅江区期末）如图（1），ABCD，点E在AB、CD之间，连接EA、EC；如图（2），ABCD点M、N分别在AB、CD上，连接MN（1）在图（1）中，若A30，C50，则AEC80；若A25，C40，则AEC65（2）图（1）的条件下，猜想EAB、ECD、AEC的关系，并说明你的结论（3）如图（2），点E是四边形ACDB内（不含边界和M

12、N）任意一点，请说明EMB、END、MEN的关系【分析】（1）过点E作EFAB，如图1，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等可得AEGA，CEGC，由AECAEG+CEG，可得AECA+C，代入计算即可得出答案；（2）过点E作EFAB，如图1，根据平行线的性质可得，AEGEAB，CEGECD由AECAEG+CEG，即可得出答案；（3）根据题意画图，如图2，过点E作EFAB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可得，EMB+MEF180，NEF+END180，由EMB+MEF+NEF+END360，根据MENMEF+NEF，即可得出答案【解答】解：（1）过点E作EFAB，如图1，ABC

13、D，GFCD，AEGA，CEGC，AECAEG+CEG，AECA+C，若A30，C50，则AEC30+5080，若A25，C40，则AEC25+4065；故答案为：80，65；（2）AECEAB+ECD理由如下：过点E作EFAB，如图1，ABCD，GFCD，AEGEAB，CEGECDAECAEG+CEG，AECEAB+ECD；（3）ENB+NEN+END360理由如下：根据题意画图，如图2，过点E作EFAB，EMB+MEF180，ABCD，GFCD，NEF+END180，EMB+MEF+NEF+END360，MENMEF+NEF，ENB+NEN+END360培优训练一选择题1（2022黔东南州

14、）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若128，则2的度数为（）A28B56C36D62【分析】过直角的顶点E作MNAB，利用平行线的性质解答即可【解答】解：如下图所示，过直角的顶点E作MNAB，交AD于点M，交BC于点N，则23四边形ABCD是矩形，ABCD，ABMN，MNCD，4128，3+490，3904622362故选：D2（2022临清市二模）如图，若ABCD，CDEF，那么BCE（）A1802+1B18012C221D1+2【分析】先利用平行线的性质说明3、1、4、2间关系，再利用角的和差关系求出BCE【解答】解：ABCD，CDEF，13，2+4180BCE3+41

15、+1802故选：A3（2021春硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，FMAFGC，FEN2NEB，FGH2HGC，下列四个结论：ABCD；EHG2EFM；EHG+EFM90；3EHGEFM180其中正确的结论是（）ABCD【分析】过点F作FPAB，HQAB，设NEBx，HGCy，利用猪脚模型、锯齿模型表示出EHG、EFM，即可分析出答案【解答】解：FMAFGCABCD正确；过点F作FPAB，HQAB，ABCD，FPABHQCD，设NEBx，HGCy，则FEN2x，FGH2yEHGEHQ+GHQAEH+HGCNEB+HGCx+y，EFMBEFFMEBEFAM

16、GBEF（180FGC）x+2x（180yy）3x+3y180，2EFM6x+6y360，EHG2EFM错误；EHG+EFMx+y+3x+3y1804x+4y18090，错误；3EHGEFM3（x+y）（3x+3y180）180，正确综上所述，正确答案为故选：D4（2018春南昌期中）如图，ABCD，130，290，则3的度数是（）A30B45C50D60【分析】作辅助线，过点O做OPABCD，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出3的度数【解答】解：过点O做OPABCD，AAOP30，DPOC，290，即AOC90，POC60，360故选：D5（2018春沂源县期末）如图，ABCD，AB

17、FABE，CDFCDE，则E：F（）A2：1B3：1C3：2D4：3【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得ABEGFHCD，ABFH，ABFBFH，FHCD，CDFDFH，BFDDFH+BFHCDF+ABF；同理可得BEDDEG+BEGABE+CDE；ABFABE，CDFCDE，BFDDFH+BFHCDF+ABF（ABE+CDE）BED，BED：BFD3：2故选：C6（2022春诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，OABCOA72在如图中

18、所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且ODE27则AOD的度数是 45或99【分析】分两种情况：如果AOD是锐角，AODCOACOD；如果AOD是钝角，AODCOA+COD，由平行线的性质求出COA，COD，从而求出AOD的度数【解答】解：DECF，CODODE（两直线平行，内错角相等）ODE22，COD22在图1的情况下，AODCOACOD722745在图2的情况下，AODCOA+COD72+2799AOD的度数为45或99故答案为：45或997（2022春潜山市月考）如图，ABCD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧（1）若M90，则AE

19、M+CFM270；（2）若Mn，BEM与DFM的角平分线交于点N，则N的度数为n（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MPAB，则ABCDMP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQAB，则ABCDNQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案【解答】解：（1）过点M作MPAB，ABCD，ABCDMP，1MEB，2MFD，M1+290，MEB+MFD90，AEM+MEB+CFM+MFD180+180360，AEM+CFM36090270故答案为：270；（2）过点N作NQAB，ABCD，ABCDNQ，3NEB，4NFD，NEB+NFD3+4ENF，BEM与DFM的角

20、平分找交于点N，NEBMEB，DFNMFD，3+4BEN+DFN（MEB+MFD），由（1）得，MEB+MFDEMF，ENFEMFn故答案为：n8（2019大丰区一模）如图，已知：ABCD，150，2113，则363度【分析】如图，作EFAB证明基本结论；AEC1+3即可解决问题【解答】解：如图，作EFABABCD，ABEF，EFCD，1AEF，3CEF，AEC1+3，11350+3，363故答案为63；9（2019秋福田区校级期末）如图，ABCD，BED110，BF平分ABE，DF平分CDE，则BFD125【分析】首先过点E作EMAB，过点F作FNAB，由ABCD，即可得EMABCDFN，然

21、后根据两直线平行，同旁内角互补，由BED110，即可求得ABE+CDE250，又由BF平分ABE，DF平分CDE，根据角平分线的定义，即可求得ABF+CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得BFD的度数【解答】解：过点E作EMAB，过点F作FNAB，ABCD，EMABCDFN，ABE+BEM180，CDE+DEM180，ABE+BED+CDE360，BED110，ABE+CDE250，BF平分ABE，DF平分CDE，ABFABE，CDFCDE，ABF+CDF（ABE+CDE）125，DFNCDF，BFNABF，BFDBFN+DFNABF+CDF125故答案为12510（2022春交城

22、县期中）如图，已知ABCD，AE和CF分别平分BAF和DCE，若AEC57，AFC63，则BAF的度数为 46【分析】延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，设BAEx，FCGy，根据角平分线的定义可得BAF2x，ECG2y，然后利用平行线的性质可得AGC2x，AHCx，再利用三角形的外角性质可得AECx+2y，AFC2x+y，最后列出关于x，y的方程组，进行计算即可解答【解答】解：延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，设BAEx，FCGy，AE和CF分别平分BAF和DCE，BAF2BAE2x，ECG2FCG2y，ABCD，BAFAGC2x，BAHAHCx，AEC是EHC的一个外角，

23、AECAHC+ECGx+2y，AFC是GCF的一个外角，AFCAGC+FCG2x+y，AEC57，AFC63，解得：，BAF46，故答案为：4611（2022春濠江区期末）已知直线ABCD，直线EF分别截AB、CD于点G、H，点M在直线AB、CD之间，连接MG，MH（1）如图1，求证：MAGM+MHC；（2）如图2，若HM平分GHC，在HM上取点Q，使得HGQAGM，求证：M+GQH180；（3）如图3，若GH平分MGB，N在为HD上一点，连接GN，且GNHM，HGN2MHC，求MHG的度数【分析】（1）过点M作MNAB，利用平行线的猪脚模型，即可解答；（2）根据角平分线的定义可得MHGCHM

24、，再利用（1）的结论可得GMHAGM+MHC，从而可得GMHHGQ+MHG，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；（3）设AGM2，CHM，从而可得HGN2，再利用（1）的结论可得GMH2+，从而可得GNH2+，然后利用角平分线的定义可得MGH90，再利用三角形的外角可得CHG3+2，最后利用平行线的性质可得AGH+CHG180，从而可得+30，再利用角的和差关系进行计算即可解答【解答】（1）证明：过点M作MNAB，AGMGMN，ABCD，MNCD，NMHCHM，GMHGMN+NMH，GMHAGM+MHC；（2）证明：HM平分GHC，MHGCHM，由（1）得：GMHAGM+MHC，HGQA

25、GM，GMHHGQ+MHG，GQH+HGQ+MHG180，GMH+GQH180；（3）解：设AGM2，CHM，由（1）可得：GMHAGM+MHC，GMH2+，GNHM，GNH2+，HGN2MHC，HGN2，GH平分MGB，MGHBGM（180AGM）90，CHG是GHN的一个外角，CHGHGN+GNH2+2+3+2，ABCD，AGH+CHG180，AGM+MGH+CHG180，2+90+3+2180，+30，MHGCHGCHM3+22+260，MHG的度数为6012（2022春沂源县期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线a，b且

26、ab和直角三角形ABC，BCA90，BAC30，ABC60操作发现：（1）在图1中，146，求2的度数（2）某同学把直线a向上平移，并把2的位置改变，如图2，发现21120，说明理由【分析】（1）根据直角三角形的性质求出3，根据平行线的性质解答；（2）过点B作BDa，根据平行线的性质得到ABD1802，DBC1，结合图形计算，证明结论【解答】解：（1）BCA90，390144，ab，2344（2）理由如下：过点B作BDa，则ABD1802，ab，BDa，BDb，DBC1，ABC601802+160，2112013（2022春无棣县期末）如图1，已知BAEAECECD，点E在直线AB，CD之间（

27、1）求证：ABCD；（2）若AH平分BAE，FGCE如图2，若AEC84，FH平分DFG，求AHF的度数；如图3，若FH平分CFG，试判断AHF与AEC的数量关系并说明理由【分析】（1）过E作ENAB，可得BAEAEN，BAEAECECD，证得ECDCEN，故EFCDAB；（2）HF平分DFG，设GFHDFHx，根据平行线的性质可以得到AHF的度数；设GFD2x，BAHEAHy，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到AHF与AEC的数量关系【解答】解：（1）如图1，过点E作直线ENAB，BAEAEN，BAEAECECD，BAE+ECDAEC，AEN+CENAEC，ECDCEN，ENCD，C

28、DAB；（2）AH平分BAE，BAHEAH，HF平分DFG，设GFHDFHx，又CEFG，ECDGFD2x，又AECBAE+ECD，AEC84，BAHEAH42x，如图2，过点H作HMAB，BAHAHM，HMAB，HMCD，DFHMHF，AHFBAH+DFH42x+x42；设GFD2x，BAHEAHy，HF平分CFG，GFHCFH90x，由（1）知AECBAE+ECD2x+2y，如图3，过点H作HKAB，BAHAHK，HKAB，HKCD，KHF+CFH180，AHFy+CFH180，即AHFy+90x180，AHF90+（x+y），AHF90+AEC14（2022春墨玉县期末）问题情景：（1）

29、如图，已知ABDE试B、E、BCE有什么关系？小明添加了一条辅助线解决了这道题得到的结果是B+EBCE请你帮他完善证明过程：如图，过点C作CFABB1（ 两直线平行，内错角相等）ABDE，ABCFDECFE2（ 两直线平行，内错角相等）B+E1+2即B+EBCE（2）在图中若BCCE，且B52，请你计算E的度数等于 38（3）问题迁移：如图ADBC当点P在射线AM上运动时，ADP，BCP请你猜想、与CPD之间有怎样的数量关系？并说明理由【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可求解；（2）由（1）可知B+E90，即可求解；（3）由三角形外角性质可得CPD+CDPOCP，从而可得CPD+ADO

30、+BCO，由ADBC可得ADOBCO，即可得出CPD+【解答】解：（1）过点C作CFAB，B1（两直线平行，内错角相等），ABDE，ABCF，DECF，E2（两直线平行，内错角相等），B+E1+2，即B+EBCE，故答案为：B1；两直线平行，内错角相等；DE；CF；2；两直线平行，内错角相等；（2）由（1）可知B+EBCE，BCE90，B52，EBCEB38，故答案为：38；（3）CPD+，理由如下：CPD+CDPOCP，CPD+ADO+BCO，ADBC，ADOBCO，CPD+15（2022春抚远市期末）如图，已知ADBC，ABCD，点E在线段BC的延长线上，AE平分BAD，连接DE，ADC2

31、CDE，AED60（1）求证ABCADC；（2）求CDE的度数【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案（2）根据ADE3CDE，设CDEx，ADE3x，ADC2x，根据平行线的性质得出方程90x+60+3x180，求出x即可【解答】（1）证明：ABCD，ABCDCE，ADBC，ADCDCE，ABCADC（2）解：设CDEx，则ADC2x，ABCD，BAD1802x，AE平分BAD，EADBAD90x，ADBC，BEAEAD90x，BED+ADE180，90x+60+3x180，x15，CDE1516（2022春来宾期末）如图，直线PQMN，直角三角尺ABC的BAC30，ACB90（1）若把三

32、角尺按图甲方式放置，则MAC+PBC90；（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若AENA，求BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分MEG，求的值【分析】（1）延长BC交MN于点D，根据平行线的性质可得PBCADC，再利用三角形的外角可得ACBADC+MAC，然后利用等量代换即可解答；（2）根据已知可得AENA30，再利用对顶角相等可得CEM30，然后利用（1）的结论可得：PDC60，最后利用对顶角相等即可解答；（3）利用角平分线的定义设CEMCEGx，从而利用平角定义可得

33、GEN1802x，再利用（1）的结论可得：PDC90x，然后利用对顶角相等可得BDF90x，进行计算即可解答【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，PQMN，PBCADC，ACB是ACD的一个外角，ACBADC+MAC，ACBPBC+MAC90，故答案为：90；（2）AENA，BAC30，AENA30，CEMAEN30，利用（1）的结论可得：ACBPDC+MEC，PDCACBMEC60，BDFPDC60，BDF的度数为60；（3）CE平分MEG，CEMCEG，设CEMCEGx，GEN180CEMCEG1802x，利用（1）的结论可得：ACBPDC+MEC，PDCACBMEC90x，BDFPDC

34、90x，2，的值为217（2022春咸安区期末）（1）如图1，已知ABCD，AEP40，PFD110，求EPF的度数（2）如图2，ABCD，点P在AB的上方，问PEA，PFC，EPF之间有何数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，已知EPF60，PEA的平分线和PFC的平分线交于点G，求G的度数【分析】（1）延长EP交CD于点G，利用平行线的性质可得PGF40，再利用平角定义可得PFG70，然后利用三角形的外角进行计算即可解答；（2）设AB与PF交于点M，先利用三角形的外角可得PMAPEA+EPF，再利用平行线的性质可得PMAPFC，然后利用等量代换可得PFCPEA+EPF，即可

35、解答；（3）利用（2）的结论可得EPFPFCPEA60，再利用角平分线的性质可得GEAAEP，GFCPFC，然后利用（2）的结论可得GGFCGEA（PFCAEP），进行计算即可解答【解答】解：（1）延长EP交CD于点G，ABCD，AEGPGF40，PFD110，PFG180PFD70，EPF是PFG的一个外角，EPFPGF+PFG110，EPF的度数为110；（2）PFCPEA+EPF，理由：如图：设AB与PF交于点M，PMA是PME的一个外角，PMAPEA+EPF，ABCD，PMAPFC，PFCPEA+EPF；（3）由（2）可得：PFCPEA+EPF，EPFPFCPEA60，EG平分AEP，

36、FG平分PFC，GEAAEP，GFCPFC，由（2）得：GFCG+GEA，GGFCGEAPFCAEP（PFCAEP）6030，G的度数为3018（2022春上虞区期末）如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且ABCD（1）若EMF80，则AEM+CFM80（2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使AENAEM，CFNCFM，设EMF，猜想ENF的度数（用表示），并说明理由（3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若AEPAEM，CFPCFM，BEQBEM，DFQDFM，请直接写出P与Q间的数量关系【分析

37、】（1）过点M作MPAB，利用平行线的性质，把AEM+CFM转化为EMF，从而求得度数（2）过点M作MPAB，过点N作NQAB，利用平行线的性质，把EMF转化为AEM+CFM，把ENF转化为AEN+CFN，得出ENFEMF，从而用表示出ENF的度数（3）利用（2）的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出BEM+DFM+M360，进而找到P与Q间的数量关系【解答】解：（1）过点M作MGAB，ABCD，ABCDMG，AEMEMG，GMFCFM，AEM+CFMEMG+GMFEMF80故答案为：80（2）ENF理由如下：过点M作MGAB，由（1）知，EMFAEM+CFM，过点N作NHAB，ABCD

38、，ABCDNH，AENENH，HNFCFN，ENFENH+HNFAEN+CFN，AENAEM，CFNCFM，ENFAEM+CFM（AEM+CFM）EMF，EMF，ENF（3）nQ+mP360理由如下：由（2）的结论可知，PM，QBEQ+DFQ，BEM+DFM+M360，BEQBEM，DFQDFM，QBEM+DFM，（BEM+DFM）（360M），M360nQ，MmP，360nQmP，即nQ+mP36019（2022春西岗区期末）如图1，ABCD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间连接PE，QE，PEQE（1）直接写出BPE与DQE的数量关系为 BPE+DQE90；（2）如图2，A

39、PE的平分线PG和CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求G的度数；（3）如图3，M为线段PE上一点，连接QM，BPE和MQD的平分线相交于点N，直接写出PNQ和MQE的数量关系为 2PNQMQE90【分析】（1）延长PE交CD于点F，根据垂直定义可得PEQ90，根据平行线的性质可得BPEPFC，然后再利用三角形的外角可得DQE+PFC90，即可解答；（2）过点G作GFCD，从而可得HQCHGF，再利用平行线的性质可得PGF180APG，利用（1）的结论可得APE+CQE270，然后利用角平分线的定义可得APG+CQH135，最后根据HGPPGFHGF180APGHQC，进行计算即可解答；

40、（3）根据角平分线的定义可得BPE2BPN，MQNDQN，再利用猪脚模型可得BPE+DQE90，BPN+DQNPNQ，再利用角的和差关系进行计算即可解答【解答】解：（1）延长PE交CD于点F，PEQE，PEQ90，ABCD，BPEPFC，PEQ是QEF的一个外角，PEQDQE+PFC90，BPE+DQE90，故答案为：BPE+DQE90，（2）过点G作GFCD，HQCHGF，ABCD，ABFG，PGF180APG，由（1）得：BPE+DQE90，APE+CQE360（BPE+DQE）270，PG平分APE，QH平分CQE，APGAPE，CQHCQE，APG+CQH（APE+CQE）135，HG

41、PPGFHGF180APGHQC45，HGP的度数为45；（3）2PNQMQE90，理由：PN平分BPE，QN平分MQD，BPE2BPN，MQNDQN，由（1）可得：BPE+DQE90，2BPN+DQN+EQN90，由（1）可得：BPN+DQNPNQ，PNQ+BPN+MQNMQE90，PNQ+BPN+DQNMQE90，PNQ+PNQMQE90，2PNQMQE90，故答案为：2PNQMQE9020（2022春宜春期末）问题：已知线段ABCD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索APC与A、C之间的关系（1）端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，APC（A+

42、C）0度；如图2，点P在直线AC左侧时，APC+（A+C）360度；（2）端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，APC与AC有怎样的等量关系？写出结论并证明；如图4，点P在直线AC左侧时，APC（AC）180度【分析】（1）过点P作PEAB，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可解答；（2）过点P作PECD，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可解答【解答】解：（1）如图：过点P作PEAB，AAPE，ABCD，PECD，CEPC，APCAPE+EPC，APCA+C，APC（A+C）0度，故答案为：0；如图：过点P作PEAB，A+APE180，ABCD，PECD，C+EPC180，A+APE+C+EPC360，APC+A+C360，APC+（A+C）360度，故答案为：360；（2）APC+AC180，证明：过点P作PECD，CEPC，ABCD，PEAB，A+APE180，A+APCEPC180，A+APCC180，APC+AC180；如图：过点P作PEAB，AAPE，ABCD，PECD，C+EPC180，C+APCAPE180，C+APCA180，APC（AC）180，故答案为：180