专题14 三角函数与解三角形大题训练（学生版）.docx

1、专题14 三角函数与解三角形大题训练题型一、正、余弦定理判定三角形形状 1（2023年浙江省模拟）在中，内角所对的边分别为，已知(1)求角的大小；(2)若，求的值；(3)若，判断的形状 2（2023年广东省模拟）在中，是角所对的边，且满足(1)求角的大小；(2)设向量，向量，且向量共线，判断的形状.3在中，角、所对的边分别为、.已知，且为锐角.(1)求角的大小；(2)若，证明：是直角三角形.4在中，角，所对的边分别是，且(1)若，求；(2)若，试判断的形状.5在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知(1)求角A的大小；(2)若b，a，c成等比数列，判断ABC的形状题型二、证明三角形

2、中的恒等或不等式1在中，.(1)求的大小；(2)若，证明：.2如图，在中，点D在边AB上，BD2AD，ACD45，BCD90（1）求证：；（2）若，求BC的长3（2023年广东省衡水大联考数学试题）在中，角的对边分别为a，b，c，且(1)求B；(2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：4（2023年湖南省模拟）在中，内角，的对边分别为，.(1)求角A的大小；(2)若是角平分线，求证：.5（2023年河北省模拟）已知分别为的三个内角的对边，.(1)求A；(2)若，证明：.6（2023年湖北省模拟）在中，角，的对边为，已知，且.(1)若，求；(2)证明：;题型三、求三角形中的边长或周长的最值1

3、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角C；(2)求ABC的外接圆的半径R，并求ABC的周长的取值范围.2（2023年宁夏月考数学（理科）试题）在中，、分别是角A、B、C的对边，.(1)求B的大小；(2)若，求的周长的取值范围.3（2023届湖南省新高考适应性考试数学试题）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知(1)求角B的值；(2)若，求的周长的取值范围4在中，.(1)求A；(2)若的内切圆半径，求的最小值.5在锐角中，角的对边分别为，且(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围6（2023届山东省模拟）在中，角，的对边分别是，满足(1)求角；(2)若角的平分

4、线交于点，且，求的最小值.题型四、几何图形中的计算1（2020年江苏省高考数学试题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值2如图，已知在中，M为BC上一点，且(1)若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积3如图，在平面四边形ABCD中，(1)若，求的面积；(2)若，求BC4如图，在圆内接四边形ABCD中，的面积为.(1)求AC；(2)求.5如图，在梯形中，(1)若，求梯形的面积；(2)若，求6（2023年广东省模拟数学试题）如图，在平面四边形中，(1)若平分，证明：；(2)记与的面积分别为和，求的最大值7（2023年浙江

5、省名校联盟联考数学试题）如图，平面四边形ABCD中，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围题型五、求三角形面积的最值或范围类型一：用基本不等式求面积最值1的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.2已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求角A；(2)若M为的中点，求面积的最大值3记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求A的大小；(2)若A的角平分线交BC于D，且AD3，求ABC面积的最小值三角函数+基本不等式4在中，角、所对的边分别为、，.(1)

6、求；(2)若，求面积的最小值.类型二：转化为正切函数求面积取值范围1（2023届河北省教学质量检测数学试题）已知内角所对的边长分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.2（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.(1)求的取值范围；(2)若，求三角形ABC面积的取值范围.3（2022年黑龙江省期末考试数学试题）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求角B；(2)求面积的取值范围类型三：转化为正弦函数求面积取值范围1已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且(1)求角C(2)若

7、，为角C的平分线，求的长；(3)若，求锐角面积的取值范围.2（2023年黑龙江省八校联合模拟试题）在锐角中，内角的对边分别为，且满足(1)求角C的大小；(2)若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围.3已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，(1)求A和a的大小；(2)若为锐角三角形，求的面积S的取值范围4在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.题型六、正余弦定理与三角函数性质的结合1已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，试判断的形状

8、2已知函数（）求函数在区间上的值域（）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，且，求面积的最大值3（2022年江西省重点名校联合考试数学（文）试题）已知向量，.(1)求函数的最小正周期；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的面积的最大值.4已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.5设函数，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在中，分别是角，所对的边，已知，的面积为，求的值.6（2023年湖南省名校考前演练试题）已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，

9、C，若，求的最大值.7（2021年北京市模拟数学试题）已知，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，求边上的高的最大值题型七、正、余弦定理求代数式的取值范围问题类型一：求角的三角函数值的代数式的取值范围1（2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题）已知的内角的对边分别为，为钝角若的面积为，且(1)证明：；(2)求的最大值2（2021年辽宁省联合模拟考试文科数学试题）在锐角中，角的对边分别为，已知（1）若，求；（2）求的取值范围.3已知锐角中，.（1）求；（2）求的取值范围.4ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(1)若，且，求ABC的面积；(

10、2)求的最大值5已知的内角，的对边分别为，且.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.6（2023年河南省质量检测（理科）数学试题）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知(1)求A；(2)求的取值范围类型二：求边的代数式的取值范围1（2023年江苏省模拟试题）在中，角A，B，C成等差数列，角A，B，C所对的边分别为a，b，c(1)若，判断的形状；(2)若不是钝角三角形，求的取值范围2在锐角中，角，的对边分别为，已知且（1）求角A的大小；（2）若，求的面积；（3）求的取值范围3在中，A，B为锐角，C为钝角，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且(1)求角B；(2)求的取值范围

11、4（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（五）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求A；(2)若ABC为锐角三角形，求的取值范围5（2023年陕西省模拟数学试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求A；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围6（2023年湖南省部分市大联考数学试题）已知的内角、所对的边分别为、，.(1)求角；(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.7（2023年广东省模拟数学试题）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.题型八、正、余弦定理中的结构不良问题1已知函

12、数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，若为上一点，且满足_，求的面积.请从；为的中线，且；为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）2在中，分别为角所对的边.在；这三个条件中任选一个，作出解答.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.3（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且_. (1)求；(2)求的取值范围.4在，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，的对边分别为，且_，作

13、，使得四边形满足， 求的取值范围.题型九、正、余弦定理的实际应用1.（2023年江苏省模拟数学试题）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击(1) 当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里.(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船.2如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就

14、沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.(1)求、两地之间的距离；(2)求.3由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且

15、米，记(1)当时，求；(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值4（2023年云南省教学质量检测数学试题）“不以规矩，不能成方圆”，出自孟子离娄章句上“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，满足(1)求；(2)若的面积为，且，求的周长5如图，在海岸边点的观测站发现南偏西30方向上，距离点20海里的处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，

16、缉私艇立刻奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从处沿南偏东15方向逃窜. (1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？6（2023年福建省模拟数学试题）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37，测得基站顶端A的仰角为45.(1)求出山高BE（结果保留整数）；(2)如图（

17、第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角ACB最大？参考数据:.7文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，且CD56米(1)求；(2)求塔高AB（结果保留整数）题型十、强化训练第一问1在ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知求角B的值；2已知的内角，的对边分别为，且.求角的大小；3的内角，的对边分别为，已知.求角；4的内角的对边分别为，已知.证明：；5在平面四边形中，求；6在中，内角A，所对的边分别是，且.求；7已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的值；8中，三个内角，所对的边分别为，且若，求内切圆的半径长；