专题14 几何变换之旋转巩固练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、几何变换之旋转巩固练习1如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）（1）先将ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到A1B1C1，点A、B、C对应点分别是A1、B1、C1，请画出A1B1C1；（2）将A1B1C1绕B1点顺时针旋转90，得A2B1C2，点A1、C1对应点分别是A2、C2，请画出A2B1C2；（3）连接CA2，直接写出CA2的长29【分析】（1）将点A、B、C分别向上平移6个单位、向右平移3个单位得到平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；（2）将点A1、C1分别绕B1点顺时针旋转90得到对应点，再与点B1首尾顺次连接

2、即可；（3）利用勾股定理求解即可【解答】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求（2）如图所示，A2B1C2即为所求（3）CA2=22+52=29，故答案为：29【点评】本题主要考查作图平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点2如图，ABC90，P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），将ABP绕点A逆时针旋转60得到AED，延长DE交BP于点F，连接BE、DP求证：（1）ABE和APD都是等边三角形；（2）EFBF【分析】（1）根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形证明即可（2）想办法证明BEFEBF，可得结论【解答】证明：（1）由旋

3、转可知，DAEPAB，BAEPAD60，ABAE，APAD，ABE和APD是等边三角形（2）ABE是等边三角形，ABEAEB60，DAEPAB，ABPAED90，ABPAEF90，ABPABEAEFAEB，BEFEBF，BFEF【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题3已知：如图，在ACB中，ACB90，ACBC，直线l经过点A，BDl于点D，连接CD（1）证明A，C，B，D四个点在同一个圆上并画出圆（提示：取AB中点O）；（2）求证：ADC45（3）以点C为旋转中心，把CDB逆时针方向旋转90，画出旋转后的图形【

4、分析】（1）取AB的中点O，连接OC，OD，只要证明OAOBODOC即可；（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证得结论；（3）利用旋转的性质得出得出对应点位置进而得出答案【解答】（1）证明：取AB的中点O，连接OD，OCACBADB90，OBOA，OAOBODOC，A，B，C，D四个点在同一个圆上；（2）证明：在ACB中，ACB90，ACBC，ABC45，ADCABC45；（3）如图所示：ACD，即为所求【点评】本题考查了作图旋转变换，点和圆的位置关系，三角形斜边直线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，（3）正确得出对应点位置是解题关键4如图，过等边ABC的顶点B在ABC内部作射线BP

5、，ABP（060且30），点A关于射线BP的对称点为点D，直线CD交BP于点E，连接BD，AE（1）依据题意，补全图形；（2）在（060且30）变化的过程中，AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出AEB的大小；（3）连接AD交BP于点F，用等式表示线段AE，BF，CE之间的数量关系，并给予证明【分析】（1）根据题意补全图形，即可得出结论；（2）先判断出ABPDBP，BDBA，在判断出ABACBC，ABCACB60，进而得出BDBC，CBD60+2，BDCBCD60+，即可得出结论；（3）先判断出AME是等边三角形，得出AEAMEM，EAM60，在判

6、断出BAMCAE，进而判断出ABMACE（SAS），得出BMCE，再判断出AFE90，得出EAF30，EF=12AE，即可得出结论【解答】解：（1）补全图形如图1所示，（2）AEB不发生变化，AEB60；点A关于射线CP的对称点为点D，ABPDBP，BDBA，ABC是等边三角形，ABACBC，ABCACB60，BDBC，CBD60+2，BDCBCD60+，BDCBEC+DBEBEC+60+，BEC60，AEBBEC60，AEB不发生变化，AEB60；（3）如图2，线段AE，BF，CE之间的数量关系为：BFCE+12AE；证明：如图2，在BE上取一点M，使EMAE，连接AM，AEB60，AME是

7、等边三角形，AEAMEM，EAM60，BAM+CAMCAM+CAE60，BAMCAE，ABAC，ABMACE（SAS），BMCE，点A关于射线CP的对称点为点D，AEDEEM，AFE90，AEB60，EAF30，EF=12AE，BFBEEFCE+AECE+12AE，即BFCE+12AE【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键5如图1，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为D，E，AD8cm，DE5cm（1）求BE的长；（2）其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到ABC的外部（如图2），

8、请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC中，ACBC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有BECADCBCA，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出EBCDCA，进而判断出CEBADC，得出BEDC，CEAD8cm，即可得出结论；（2）同（1）的方法得出BEDC，CEAD，进而得出结论（3）同（1）的方法，即可得出结论【解答】解：（1）BECE，ADCE，EADC90，EBC+BCE90BCE+ACD90，EBCDCA在CEB和ADC中，E

9、=ADCEBC=DCABC=AC，CEBADC（AAS），BEDC，CEAD8cmDCCEDE，DE5cm，DC853（cm），BE3cm；（2）AD+BEDE，证明：BECE，ADCE，EADC90，EBC+BCE90，BCE+ACD90，EBCDCA在CEB和ADC中，E=ADCEBC=DCABC=AC，CEBADC（AAS），BEDC，CEAD，DECE+DEAD+BE；（3）、（2）中的猜想还成立，证明：BCE+ACB+ACD180，DAC+ACB+ACD180，ADCBCA，BCECAD，在CEB和ADC中，BCE=CADBEC=CDACB=CA，CEBADC（AAS），BECD，E

10、CAD，DEEC+CDAD+BE【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键6人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在ABC中，如果ABAC，那么我们可以将ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则CADEADEB（想一想为什么），CB（1）请证明上文中的ADEB；（2）如图2，在ABC中，如果ACBB，能否证明ABAC？同学小雅提供了一种方法：将ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于

11、点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；（3）如图3，在ABC中，C2B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若BEA110，求DEM的度数【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；（2）先由折叠得出BFCF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；（3）先判断出BBED，再判断出MAEMEA，进而求出B+BAE70，即可得出结论【解答】（1）证明：ADEB+BED，ADEB；（2）证明：由折叠知，BFCF，在ACF中，AF+FCAC，AF+BFAC，ABAC；（3）由折叠知，MAEEAC，ADEC，C2B，ADE2B，ADE

12、B+BED，BBED，MEAC，MEAEAC，MAEEAC，MAEMEA，BEA110，B+BAE180BEA18011070，BED+MEAB+BAM70，DEMBEA（BED+MEA）1107040【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，判断出MAEMEA是解本题的关键7如图，ABC是等边三角形，AC2，点C关于AB对称的点为C，点P是直线CB上的一动点.（1）若点P是线段CB上任意一点（不与点C，点B重合）如图1，作PAE60交BC于点E，AP与AE相等吗？请证明你的结论；如图2，连接AP，作APD60交射线BC于点D，PD与

13、PA相等吗？请证明你的结论（2）若点P在线段CB的延长线上连接AP，作APD60交射线BC于点D，依题意补全图3；直接写出线段BD、AB、BP之间的数量关系【分析】（1）由“ASA”可证PABEAC，可得APAE；由“ASA”可证PBDPEA，可得PDPA；（2）根据要求画出图形即可解决问题；结论：BDBP+AB如图3中，在BD上取一点E，使得BEPB由“SAS”可证BPAEPD，可得ABDE，可得结论【解答】解：（1）APAE，理由如下：ABC是等边三角形，ABC60BAC，ABAC，点C与点C关于AB对称，CBACBA60，PAEBAC60，PABEAC，PABEAC（ASA），APAE；

14、PDPA，理由如下：如图2中，作BPE60交AB于点E，ABC是等边三角形，ABC60，点C与点C关于AB对称，CBACBA60BPE，PEB60PBE是等边三角形，PBPE，AEP120PBDBPD+DPE60，APE+DPE60，BPDAPE，在PBD和PEA中，BPD=APEPB=PEPBD=PEA，PBDPEA（ASA）PDPA；（2）解：补全图形，如图3所示：解：结论：BDBP+AB，理由：如图3中，在BD上取一点E，使得BEPBEBP60，BEBP，EBP是等边三角形，BPEAPD60，APBEPD，PBPE，PAPD，BPAEPD（SAS），ABDE，BDBE+EDBP+AB【点

15、评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题8如图1，D为等边ABC外一点，ADB120，连接DB，并延长DB至点E，使BEAD，连接CD，CE（1）求证：CADCBE；（2）求证：CDE为等边三角形；（3）在图1的基础上作D点关于AC，BC的对称点M，N，连接CM，CN，MN，过C点作CFMN于点F，如图2求证：CD2CF【分析】（1）利用等角的补角相等，证明即可（2）证明CADCBE（SAS），推出CDCE，ACDECB，推出DCEACB60，可得结论DCE是等边三角形（3）由D点关于AC，BC的对称点

16、M，N，推出CDCMCN，DCAACM，DCBBCN，由ACD+DCBACB60，推出MCN2ACB120，即可解决问题【解答】（1）证明：ABC是等边三角形，ACB60，ADB120，ACB+ADB180，CAD+CBD180，CBD+CBE180，CADCBE（2）证明：ABC是等边三角形，ACBC，ACB60，CADCBE，ADBE，CADCBE（SAS），CDCE，ACDECB，DCEACB60，DCE是等边三角形（3）证明：如图2中，D点关于AC，BC的对称点M，N，CDCMCN，DCAACM，DCBBCN，ACD+DCBACB60，MCN2ACB120，CMCN，CMNCNM30，

17、CFMN，CFM90，CM2CF，CMCD，CD2CF【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型9如图1，ABC和DEF都是等腰直角三角形，A90，E90，DEF的顶点D恰好落在ABC的斜边BC中点，把DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系（1）于是他把DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想如图2，当MNBC时，通过计算BMD和NMD的度数，得出BMDNMD（填，

18、或）；设BC22，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC2，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是AM+MNCN（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明【分析】（1）由“SAS”可证BMDCND，可得BMDDNC，由外角的性质和平行线的性质可证BMDCNDBDMCMN；由等腰三角形的性质可求BMBD=2=NC，再求出AM2-2，MN=2AM22-2，即可得结论；（2）在CN上截取CHAM，连接AD，DH，由“SAS”可证AMDCHD，可得MDDH，ADMCDH，再由“SAS”可证MDNHDN，可得MNHN，可得结

19、论【解答】解：（1）ABC和DEF都是等腰直角三角形，A90，E90，BCEDF45，ABAC，BC=2AB，MNBC，AMNB45ANMC，DMNBDM，AMAN，BMCN，点D是BC中点，BDCD，在BMD和CND中，BM=CNB=CBD=CD，BMDCND（SAS），BMDDNC，MDBC+DNCMDN+BDM，BDMCND，BMDCNDBDMCMN，故答案为：；BC22，BC=2AB，ABAC2，BMDCNDBDM，BDBM=12BC=2，NC=2，AM2-2，AMAN，A90，MN=2AM22-2，AM+MN2-2+22-2=2=NC，故答案为：2；AM+MNNC；（2）如图1，在C

20、N上截取CHAM，连接AD，DH，ABC是等腰直角三角形，点D是BC中点，ADCD，BADACD45，ADBC，又AMCH，AMDCHD（SAS），MDDH，ADMCDH，ADM+ADNMDN45，ADN+CDH45，HDN45MDN，在MDN和HDN中，DN=DNMDN=HDNDM=DH，MDNHDN（SAS），MNHN，NCCH+NHAM+MN【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键10在等边ABC中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且OAOD（1）如图1，若点O为BC中点，求证：COD

21、的度数（2）如图2，若点O为BC上任意一点，求证：AD2BO+OC（3）如图3，若点O为BC上任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断AOP的形状，并说明理由【分析】（1）由等边三角形的性质得出CAO30，求出AOD的度数即可得出答案；（2）如图1，过O作OEAB，OE交AD于E，证明COE为等边三角形，根据AAS证明AOEDOC，得出CDEA，则ABAC，可得出答案；（3）如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，证明OPEOPF，得出POFDOF，OPOD，则AOP为等腰三角形，过O作OEAB，OE交AD于E，证得AOPCOE60，则结论得证【解答】解：（1）AB

22、C为等边三角形，BAC60，O为BC中点，CAO=12BAC=30，且AOBC，AOC90，OAOD，AOD中，DCAO30，AOD180DCAO120，CODAODAOC30；（2）如图1，过O作OEAB，OE交AD于E，OEABEOCABC60CEOCAB60，COE为等边三角形，OEOCCEAEO180CEO120DCO180ACB120，又OAOD，EAOCDO，在AOE和COD中，AOE=DOCEAO=CDOOA=OD，AOEDOC（AAS），CDEA，EAACCE，BOBCCO，EABO，BOCD，又ADAC+CD，ABBC，ADAB+BOBC+BOBO+CO+BO2BO+CO；（

23、3）AOP为等边三角形证明：如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，P、D关于OC对称，PFDF，PFODFO90，在OPE与OPF中，PF=DFPFO=DFOOF=OF，OPEOPF（SAS），POFDOF，OPOD，AOP为等腰三角形，过O作OEAB，OE交AD于E，由（2）得AOEDOCAOEDOC，AOEPOF，AOE+POEPOF+POE，即AOPCOE60，AOP是等边三角形【点评】本题是三几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出辅助线11在RtABC中，ABA

24、C，OBOC，A90，MON，分别交直线AB、AC于点M、N（1）如图1，当90时，求证：AMCN；（2）如图2，当45时，求证：BMAN+MN；（3）当45时，旋转MON至图3位置，请你直接写出线段BM、MN、AN之间的数量关系【分析】（1）如图1，连接OA，由等腰直角三角形可得AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45，由“ASA”可证AOMCON，可得AMCN；（2）如图2，在BA上截取BGAN，连接GO，AO，由“SAS”可证BGOAON，可得OGON，BOGAON，由“SAS”可证GMONMO，可得GMMN，则BMBG+GMAN+MN；（3）如图3，过点O作OGON，连接A

25、O，由“ASA”可证NAOGBO，可得ANGB，GOON，由“SAS”可证MONMOG，可得MNGM，则MNAN+BM【解答】证明：（1）如图1，连接OA，ABAC，BAC90，OBOC，AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45，MONAOC90，AOMCON，且AOCO，BAOACO45，AOMCON（ASA）AMCN；（2）证明：如图2，在BA上截取BGAN，连接GO，AO，ABAC，BAC90，OBOC，AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45，BGAN，ABONAO45，AOBO，BGOAON（SAS），OGON，BOGAON，MON45AOM+AON，AOM+

26、BOG45，AOB90，MOGMON45，MOMO，GONO，GMONMO（SAS），GMMN，BMBG+GMAN+MN；（3）MNAN+BM，理由如下：如图3，过点O作OGON，连接AO，ABAC，BAC90，OBOC，AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45，GBONAO135，MOGO，NOG90AOB，BOGAON，且AOBO，NAOGBO，NAOGBO（ASA），ANGB，GOON，MOMO，MONGOM45，GONO，MONMOG（SAS），MNMG，MGMB+BG，MNAN+BM【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当

27、辅助线构造全等三角形是本题的关键12如图，在平面直角坐标系中，有RtABC，ACB90，BAC30，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是ABC的角平分线，若点B的坐标为（3，0）（1）如图1，求点C的横坐标；（2）如图2，将RtABC绕点A逆时针旋转一个角度（0180）得到RtABC，直线AC交直线BD于点P，直线AB交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使APQ为等腰三角形？若存在，直接写出APQ的度数；若不存在，请说明理由【分析】（1）如图1中，过点C作CHAB于H首先证明DADB，想办法求出CH，OH即可解决问题（2）分三种情形：当APAQ时，当PAPQ时，当APAQ时

28、，根据等腰三角形的性质分别求解即可【解答】解：（1）如图1中，过点C作CHAB于HABC90，CAB30，ABC903060，BD平分ABC，ABD=12ABC30，DABDBA30，DADB，DOAB，OAOB，B（3，0），OAOB=3，AB23，BC=12AB=3，CHAB，CHB90，BH=12BC=32，CH=3BH=32，OHOBBH=32，C（32，32）（2）如图2，连接PQ，PAQ是等腰三角形，PAQ30，当APAQ时，APQ=12（18030）75，当PAPQ时，APQ120，当PQAQ时，APQPAQ30，当点Q在Y轴的负半轴上时，等腰三角形的顶角为150，此时APQ15

29、，综上所述，满足条件的APQ的值为75或120或30或15【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型13如图1，将ABC绕点A逆时针旋转90得到ADE，将BC绕点C顺时针旋转90得CG，DG交EC于O点（1）求证：DOOG；（2）如图2，若ABC135，AC=2，求DG的长；（3）如图3，若ABC90，BCAB且DGAC=455时，直接写出ABBC的值【分析】（1）如图1，延长CB交DE于H先判断出DECG，进而判断出DOEGOC，即可得出结论；（2）先判断出D，B，C在同一条直线上，进而

30、判断出四边形CDEG是矩形，得出DGCE，再用勾股定理得出CE即可；（3）先判断出四边形ABCF是矩形，进而得出DFG是等腰直角三角形，即可得出DG=2DF=2（AB+BC），再用勾股定理得出AB2+BC2AC2，再用DGAC=455，建立等式即可得出结论【解答】解：（1）如图1，延长CB交DE于HABC+ABH180，ABCADH，ADH+ABH180，DAB+DHB180，DAB90，DHB90，DHBHCG90，DECG，EDOG，DEBCCG，DOEGOC，DOEGOC（AAS），EOOC（2）如图2，连接EG，BD，由旋转知，ADAB，BAD90，ABD45，ABC135，ABD+A

31、BC180，点D，B，C在同一条直线上，由（1）知，EDGCGD，DECG，DECG，四边形CDEG是平行四边形，将BC绕点C顺时针旋转90得CG，DCG90，平行四边形CDEG是矩形，DGCE，由旋转知，CAE90，AEAC=2，CE=2AC2，DG2；（3）如图3，延长DA，CG相交于点F，由旋转知，BADBCG90，BAFBCF90，ABC90，四边形ABCF是矩形，AFBC，CFAB，FDFG，在RtDFG中，DG=2DF=2（AD+AF）=2（AB+BC），在RtACF中，AF2+CF2AC2，AB2+BC2AC2，DGAC=455，DG2AC2=165，2(AB+BC)2AB2+BC2=165，(AB+BC)2AB2+BC2=95，2AB25ABBC+2BC20，（2ABBC）（AB2BC）0，2ABBC0或AB2BC0，ABBC=12或ABBC=2（舍弃），即ABBC=12【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的旋转，平行四边形的旋转和判定，矩形的判定和旋转，三点共线的方法，勾股定理，全等三角形的判定和性质，判断出DOEGOC，是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题