专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型（原卷版）.docx

1、专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见的有以下四种形式，动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆（对角互补或等弦对等角），上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、动点定长模型（圆的定义）若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 圆的定义：平面

2、内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧例1（2020四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC2，则PM的最小值为（）A2B22C2+2D2例2（2020江苏连云港市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为_例3（2022北京市九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，则_，_例4（2022广东汕头市一模）如图，在ABC中，C90，AC8，AB10，D是AC上

3、一点，且CD3，E是BC边上一点，将DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_模型2、定边对直角模型（直角对直径）固定线段AB所对动角C恒为90，则A、B、C三点共圆，AB为直径 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧例1（2022湖北武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为_例2（2022山东泰安中考真题）如图，四边形为矩形，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，则的最小值为（）ABCD例3（2022内蒙古中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，点从点出发

4、，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为_ 模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）固定线段AB所对同侧动角P=C，则A、B、C、P四点共圆 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相寻找隐圆技巧：AB为定值，P为定角，则P点轨迹是一个圆例1（2021广东中考真题）在中，点D为平面上一个动点，则线段长度的最小值为_例2（2022浙江湖州中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，在66的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM4，BN2若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足MPN45的P

5、MN中，边PM的长的最大值是（）AB6CD例3（2022广西贵港中考真题）如图，在边长为1的菱形中，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（）ABCD的最小值为模型4、四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角 2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆条件：线段同侧张角相等 例1（2022广东九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，ACD30，AD2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长

6、度的最小值为_例2（2022陕西中考模拟）如图，在等边中，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_例3（2022江苏九年级期末）如图，在中，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（）ABCD课后专项训练1（2022江苏无锡中考真题）ABC是边长为5的等边三角形，DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F如图，若点D在ABC内，DBC=20，则BAF_；现将DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是_2（2021湖北鄂州中考真题）如图，中，点为内一点，且满足当的长度最小时，的面积是（）A3BCD3（2020西藏中考真题）

7、如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF若AB10，BC12，则CF的最小值为_4（2022北京清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，则的度数为_5（2022河北唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，BAC=26，CAD=74，则BCD=_，DBC_6（2022安徽蚌埠一模）如图，中，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（）AB2CD7（2022成都市九年级专题练习）如图，在中，cm，cm是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（）A1BC2D8（2022广东九年级课

8、时练习）如图，ACB中，CACB4，ACB90，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AMBP于M当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）ABCD29（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，AB4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（）A2BC2D10（2022山西九年级课时练习）如图，在等腰RtABC中，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的

9、路径长是（）AB2CD411（2022山东烟台九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sinBDC的值是_12（2022湖北九年级期中）如图，中，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为_13（2022浙江九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么_14（2022黑龙江九年级阶段练习）如图，等边ABC中，D在BC上，E在AC上，BDCE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DTCE，AF50，TE16，则

10、FT_15（2020四川成都二模）如图，在矩形ABCD中，AB9，AD6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE1.5，连接OE，过点O作OFOE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则_16（2022成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习）如图，在中，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为_17（2021全国九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是_18（2022全国九年级课时练习）如图，RtABC中，ACB90，CAB60，AB4，点P是BC边上的动点，过点c作直

11、线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_19（2022江苏九年级课时练习）如图，ABC为等边三角形，AB2，若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则点P运动的路径长为_20（2022广东汕头二模）如图，在矩形中，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为_21（2022重庆九年级课时练习）如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CEAD于E，过点E作EFAB交BC于点F，则CF的最大值是 _22（2022湖北二模）如图，等腰RtABC中，ACB90，D为BC边上一点，连接AD（1）如图1，作BEAD延长线于E，连接C

12、E，求证：AEC45；（2）如图2，P为AD上一点，且BPD45，连接CP若AP2，求APC的面积；若AP2BP，直接写出sinACP的值为_23（2020四川眉山一模）问题背景：如图1，等腰中，作于点D，则D为的中点，于是；迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，D，E，C三点在同一条直线上，连接求证：；请直接写出线段之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形中，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，证明是等边三角形；若，求的长24（2021辽宁鞍山中考真题）如图，抛物线交x轴于点，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q（1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围