专题14 基本不等式解析.docx

1、专题14 基本不等式第一部分 真题分类1（2021江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）ABC2D4【答案】B【解析】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B2（2021全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A13B12C9D6【答案】C【解析】由题，则，所以（当且仅当时，等号成立）故选：C3（2021浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，故，

2、故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.4（2021全国高考真题（文）下列函数中最小值为4的是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意故选：C5（2019北京高考真题（理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C

3、：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是ABCD【答案】C【解析】由得,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确.由得,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.6（2020海南高考真题）已知a0，b0，且a+b=1，

4、则（ ）ABCD【答案】ABD【解析】对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，所以，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD7（2021天津高考真题）若，则的最小值为_【答案】【解析】，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.8（2020天津高考真题）已知，且，则的最小值为_【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：9（2020江苏高考真题）已知，则的最小值是_【答案】【解析】且，当且仅当，即时取等号.的最小值为.故答案为：.10（2019天津高考真题（文

5、） 设，则的最小值为_.【答案】.【解析】由，得，得，等号当且仅当，即时成立故所求的最小值为11（2021江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【解析】（1），当且仅当时，即取“=”，

6、符合题意；年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）又，当时，.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.12（2020全国高考真题（文）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c中的最大值，证明：maxa，b，c【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1），.均不为，则，；（2）不妨设，由可知，.当且仅当时，取等号，即.第二部分 模拟训练一、单选题1已知定义在上的函数是奇函数，当时，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点中心对称，且，当时，则

7、，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增，因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增，不等式可化为或，即，解得，即，解得，故不等式的解集为，故选：D2已知椭圆方程为，是上下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120，若，则的最小值为（ ）A9B3CD【答案】D【解析】由题可得，椭圆焦点在轴上，且当为左右顶点时，取最大值为120，则，又，则，又为椭圆焦点，则，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为.故选：D.3已知正数m，n满足,则的最小值为（ ）A24B18C16D12【答案】A【解析】由可得，所以，当且仅当，时取等号.故选：A4已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分

8、别交于A，B两点，若为等边三角形，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由双曲线定义知，又，故由双曲线定义知，得，在中，由余弦定理得即，当且仅当即时取等号.故选：D.5已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（ ）A1BC2D【答案】D【解析】平面向量，的夹角为，则，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选：6设函数，若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的最小值为（ ）A1BCD【答案】D【解析】解：函数的导数为，可得函数的图象在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，则，当且仅当即时，取得等号，则的最小值为，故选：7已知三内角的对边分别为，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为( )AB

9、CD【答案】C【解析】由及正弦定理，得，因为，所以，即，因为，所以.如图，所以，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.8在梯形中，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，.取的中点，延长到点，使，连接，.由平面几何知识，易知，.设，.在中，在中，在中，又，的最大值为.故选：B 二、填空题9设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a=_.【答案】【解析】，当且仅当时等号成立，l的倾斜角的取值范围是，解得.故答案为：.10对于任意的正实数，则的取值范围为_.【答案】【解析】法一：转化为斜率先把化作，故可看作与两点的斜率其中点在上，数形结合（如

10、下图），故最小值为相切时取得，设，联立由解得（舍）当时，（极限思想）故的取值范围是.法二：令，则，再令，则原式，当且仅当时取等号，再令，则，当且仅当时取等号，故原式，又时，所以的取值范围是.故答案为：11已知向量|，若，且，则的最大值为_.【答案】【解析】解：，且，与的夹角为，设，则，又，化简得，当且仅当时，等号成立，故答案为：12在正项等比数列中，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为_.【答案】【解析】依题意，依题意存在，使得，即，即，所以，所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为： 三、解答题13已知函数的最小值为1（1）求不等式的解集（2）若，求的最大值【答案】（1）；（

11、2）3【解析】解：（1），当且仅当时，取得最小值又的最小值为1，等价于当时，所求不等式等价于，解得，符合题意；当时，所求不等式等价于，解得，与条件矛盾；当时，所求不等式等价于，解得，符合题意综上，原不等式的解集为（2），当且仅当时，取得最大值314已知函数，且关于的不等式的解集为，设.（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）不等式的解集为，是方程的两个根，解得，.存在，使不等式成立，等价于在上有解，而，当且仅当，即时等号成立，的取值范围为；（2）原方程可化为，令，则，则有两个不同的实数解，其中，或

12、，记，则，解得，或，不等式组无实数解，实数的取值范围为.15已知（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.当时，解得，此时；当时，恒成立，此时；当时，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）由绝对值三角不等式可得，所以的最小值为，即所以当且仅当，时，等号成立，因此，的最小值为.16设，其中常数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；（3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）有对称中心，对称中心为.【解析】（1）当时，所以，为奇函数.当时，因为，所以既不是奇函数也不是偶函数.（2）原问题可化为在区间有解，则，因为函数在区间单调递减，所以，所以，所以a的取值范围是.（3）假设存在对称中心，则恒成立，得恒成立所以，得，所以函数有对称中心.