专题14 解直角三角形中的背靠背模型(解析版).docx

1、专题14 解直角三角形中的背靠背模型 【模型展示】特点通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在RtACD和RtBCA中，AC为公共边，DC+CB=DB.结论“背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高【题型演练】一、单选题1如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A海里B海里C120海里D60海里【答案】B【分析】过点C作CDAB于点D，先解RtACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB【详解】如图，过点C作CDAB于

2、点D，则ACD=30，BCD=45，在RtACD中，AD=CA=60=30（海里），CD=CAcosACD=60=（海里），BCD=45，BDC=90，在RtBCD中，BD=CD，AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，故选：B【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线2如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30，看这栋高楼底部C点的俯角为60，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A60mB40mC30mD60m【答案】B【分析】作ADBC于D，由俯仰角得出ADB、C

3、AD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出【详解】过A作ADBC，垂足为D在RtABD中，BAD30，AD30m，BDADtan303010（m），在RtACD中，CAD60，AD30m，CDADtan603030（m），BCBD+CD103040（m），即这栋高楼高度是40m故选择：B【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形二、填空题3如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60方向，此时轮船与小岛的距离为

4、_海里【答案】20【分析】过点A作ACBD，根据方位角及三角函数即可求解【详解】如图，过点A作ACBD，依题意可得ABC=45ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)AC=BC=ABsin45=10(海里)在RtACD中，ADC=90-60=30AD=2AC=20 (海里)故答案为：20【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值44月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则

5、AB两点的距离是_米【答案】200（+1）【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可【详解】CDA=CDB=90，A=30，B=45，AD=CD=200，BD=CD=200，AB=AD+BD=200（+1）（米）考点：解直角三角形的应用.5如图所示，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是_海里(结果精确到个位，参考数据：，)【答案】24【分析】作BDAC于点D，在直角ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角BCD中，利用三角函数即可

6、求得BC的长【详解】CBA=25+50=75，作BDAC于点D，则CAB=（9070）+（9050）=20+40=60，ABD=30，CBD=7530=45，在直角ABD中，BD=ABsinCAB=20sin60=20=10，在直角BCD中，CBD=45，则BC=BD=10=10102.4=24（海里），故答案是：24【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确求得CBD以及CAB的度数是解决本题的关键6如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距

7、离约为_海里（精确到1海里，参考数据1.414，1.732）【答案】38【分析】作CDAB于点D，再求得AB、ACD、BCD的值，然后根据锐角三角函数求出CD的长即可解答【详解】解：如图，作CDAB于点D，根据题意可知：AB30（108）60（海里），ACD45，BCD30，在RtACD中，CDAD，在RtCBD中，BDABAD60CD，tan30，即，解得CD38（海里）答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里故答案为38【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键7某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直

8、高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽_【答案】【分析】添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD，且，而，m，又背水坡AD的坡度，故DE=30m，且，坝底，故答案为：49m【点睛】本题主要考查了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边斜边，掌握定义就不会算错三、解答题8如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线ACB行驶，全长68km现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶已知A30，B45，则隧道开

9、通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：1.4，1.7）【答案】14.0千米【分析】首先过点C作CDAB，垂足为D，设CDx，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案【详解】解：如图，过点C作CDAB，垂足为D，设CDx在RtACD中，sinA，AC2x，在RtBCD中，sinB，BCx，AC+BC2x+x68，x，在RtACD中，tanA，AD，在RtBCD中，tanB，BD20，AB20+2054，AC+BCAB685414.0（km）答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米【点睛】

10、本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键9已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：（1）如图1，若，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，求景观桥的长度【答案】（1）；（2）【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可；（2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长【详解】（1）如图，过C作于点D,即 （2），,在中，设，则在中，即: 解得：（不符题意，舍）【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键10为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E

11、处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角ADF=45，条幅底端E点的俯角为FDE=30，DFAB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）【答案】33.1米【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可【详解】解：过点D作DFAB，如图所示：在RtADF中，DF=BC=21米，ADF=45AF=DF=21米 在RtEDF中，DF=21米，EDF=30EF=DFtan30=米 AE=AF+BF=+2133.1米答：条幅的长AE约是33.1米【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长11如图，

12、是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是，底部C点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）【答案】18(+1)m【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解【详解】如图，依题意可得BCA=45，ABC是等腰直角三角形，AB=CE=DBE=30DE=BEtan30=18的高度为CE+ED=18(+1)m【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义12如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条

13、笔直的公路点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，）【答案】不会【分析】过点P作于D，根据角的正切值表示出MD和ND的长，然后列方程求解PD的长度，从而做出判断【详解】解：如图，过点P作于D由题意得在RtPMD中，即在RtPND中，即，即，答：这条公路不会穿越这个住宅小区【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键13如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，米，求河宽（即点

14、A到边的距离）（结果精确到0.1米）（参考数据：，）【答案】河宽约为33.6米【分析】过A作ADBC于D，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到河的宽度 【详解】解：如图，过A作ADBC于D，并设AD=x米， C=45，DAC=90-45=45，CD=AD=x，B=64，BD=，BC=50 米，解之得：x33.6，答：河宽约33.6米【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键14在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30，45，两人

15、间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF（结果保留根号）【答案】()米【分析】在和中，求出公共边的长度，然后可求得【详解】解：，在中，在中，则即由题意知：答：塑像的高为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解15如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）参考数据：（sin67；cos67；tan67；1.73）【答案】地到地之间高铁线路的长约为【分析】

16、过点B作BDAC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论【详解】解：如解图，过点作于点，地位于地北偏东方向，距离地， 地位于地南偏东方向，答：地到地之间高铁线路的长约为【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形16某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得ACD60，ADC37，AD5米，求这棵大树AB的高（结果精确到0.1米）（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75，1.73）【答案】这棵大树AB原来的高度约是9.2米【分析】过

17、点A作AECD于点E，解RtAED，求出DE及AE的长度，再解RtAEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论【详解】过点A作AECD于点E，则AECAED90在RtAED中，ADC37，AD=5，cos370.8，DE4，sin370.6，AE3，在RtAEC中，CAE90ACE906030，CEAEtanCAE=AE，AC2CE2，ABAC+CE+ED2+43+49.2（米）答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键17一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，

18、米，折断部分与斜坡的夹角为75，斜坡与水平地面的夹角为30，求旗杆的高度（, ，精确到1米）【答案】旗杆的高度约为9米【分析】根据题意过点作于点，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案【详解】解：过点作于点，又，答：旗杆的高度约为9米【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键18一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15方向上（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍

19、，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）【答案】（1）灯塔P到轮船航线的距离PD是（10+10）海里；（2）轮船每小时航行（6020）海里【分析】（1）作BCAP于C，根据余弦的定义求出AC，根据等腰直角三角形的性质求出CP，得到AP的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案；（2）根据余弦的定义求出AD，得到BD的长，根据题意列出分式方程，解方程得到答案【详解】解：（1）作BCAP于C，在RtABC中，PAB30，BCAB20，ACABcosPAB20，NBP15，PBD75，CBP180607545，PCBC20，APAC+PC20+20，在RtADP

20、中，A30，PDAP10+10，答：灯塔P到轮船航线的距离PD是（10+10）海里；（2）设轮船每小时航行x海里，在RtADP中，ADAPcosA10+30，BDADAB1010，由题意得，解得，x6020，经检验，x6020是原方程的解，答：轮船每小时航行（6020）海里【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题和分式方程的应用，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、正确列出分式方程是解题的关键19如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30和北偏东45方向，巡逻船A和渔船C相距120海里

21、（结果取整数，参考数据：1.41，1.73，2.45）（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15方向，观测点D的45海里范围内有暗礁若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由【答案】（1）巡逻船B与渔船C间的距离为60海里；（2）没有触礁的危险，理由详见解析【分析】（1）作于，由直角三角形的性质得，证是等腰直角三角形，得出即可；（2）作于，由，得出是等腰直角三角形，则海里，由，即可得出没有触礁的危险【详解】解：（1）作于，如图1所示：则，是等腰直角三角形，答：巡逻船与渔船间的距离

22、为海里；（2）没有触礁的危险；理由如下：由题意得：，即，解得：，（海里）；作于，如图2所示：，是等腰直角三角形，（海里），没有触礁的危险【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键20如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向的B营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥经过测量得知，A、B之间的距离为13 km，A和B的度数分别是37和53，桥CD的长度是0.5 km，图中的区域CDFE近似看做一个矩形区域（1）求CE

23、的长；（2）该考察小组希望到达B营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1位小数）（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】（1）CE的长为；（2）他们的行进速度至少是【分析】（1）设，先根据矩形的性质可得，再解直角三角形分别求出，然后根据线段的和差列出等式，求解即可得；（2）先根据题（1）的结论求出AE、BF、DF的长，再利用勾股定理分别求出AC、BD的长，然后根据速度的计算公式列出不等式，求解即可得【详解】（1）设四边形CDFE是矩形，在中，即解得在中，即解得又解得故CE的长为；（2）由（1）可知，则设他们的行进速度为由题意得

24、：，即解得答：他们的行进速度至少是【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用、勾股定理等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键21一艘渔船从位于A海岛北偏东60方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁（参考数据：）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.【详解】解：（1）过A点作

25、于点D，由题意可得， 在中，渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）在中，在中，即A，C之间的距离为79.50海里.【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.22如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、，测得，千米，求、两点间的距离（参考数据：，结果精确到1千米）【答案】、两点间的距离约为11千米【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得【详解】如图，过点C作于点D在中，千米（千米），（千米

26、）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、两点间的距离约为11千米【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键23共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西方向上，的距离为，求新建管道的总长度（结果精确到，）【答案】新建管道的总长度约为【分析】如图（见解析），先根据方位角的定义求出，设，则，再在中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC、CD的长，然后在中，解直角三角形可得x的值，从而可得AC、BC的长，由此即可得

27、出答案【详解】如图，过点C作于点D由题意得：，设，则是等腰直角三角形在中，即解得经检验，是所列分式方程的解，在中，即解得则答：新建管道的总长度约为【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键24在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67，测得2号楼顶部F的俯角为40，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度（结果

28、精确到0.1）（参考数据sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin670.92，cos670.39，tan672.36）【答案】45.8米【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可【详解】解：过点E、F分别作EMAB，FNAB，垂足分别为M、N，由题意得，EC20，AEM67，AFN40，CBDBEMFN，AB60，AMABMB602040，在RtAEM中，tanAEM，EM16.9，在RtAFN中，tanAFN，ANtan4016.914.2，FDNBABAN6014.245.8，答：2号楼的高度

29、约为45.8米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键25今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30，地面点E的俯角为45点E在线段BD上测得B，E间距离为8.7米楼AB高12米求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1米，1.41，1.73）【答案】10米【分析】作CHAB于H，得到 BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义和等腰直角三角形的性质分别用x表示出HC、ED，然后列出方程，解方程即可【详解】解：作CHAB于H，则四边形HBDC为矩形，BD=CH，由题意得，ACH=30，CE

30、D=45，设CD=x米，则AH=米，在RtAHC中，HC=则BD=CH=ED=在RtCDE中，CD=DE即解得：答：立柱CD的高为10米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键26小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42，测得隧道底端B处的俯角为30（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，1.73）【答案】标语牌

31、CD的长为6.3m【详解】分析：如图作AEBD于E分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可；详解：如图作AEBD于E在RtAEB中，EAB=30，AB=10m，BE=AB=5（m），AE=5（m），在RtADE中，DE=AEtan42=7.79（m），BD=DE+BE=12.79（m），CD=BD-BC=12.79-6.56.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题27如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东66.1方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达

32、位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）参考数据：sin66.10.91，cos66.10.41，tan642.26，取1.414【答案】BP的长为154海里，BA的长为158海里【分析】如图作PCAB于C在RtAPC中，求出PC、AC的长，在RtPCB中求出PB的长，从而可解决问题【详解】解：如图作PCAB于C由题意A=66.1，B=45，PA=120，在RtAPC中，sinA=，cosA=，PC=PAsinA=120sin66.1，AC=PAcosA=120cos66.1，在RtPCB中，B=45，PC=BC，PB=154AB=AC+BC=120cos66.1+120sin66.11200.41+1200.91158答：BP的长为154海里和BA的长为158海里【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想