专题14二次函数解答压轴题（共32题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）.docx

1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题14二次函数解答压轴题（共32题）姓名：_ 班级：_ 得分：_一、解答题1（2021北京中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上若，比较的大小，并说明理由【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：，解得：，抛物线解析式为，抛物线的对称轴为；（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由

2、可得：当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；当时，抛物线始终过定点，此时抛物线的对称轴的范围为，点在该抛物线上，它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，开口向上，由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键2（2021江苏南京市中考真题）已知二次函数的图像经过两点（1）求b的值（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是_（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围【答案】（1）；（2）1；（3）或【分析】（1）将点代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵

3、坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得【详解】解：（1）将点代入得：，两式相减得：，解得；（2）由题意得：，由（1）得：，则此函数的顶点的纵坐标为，将点代入得：，解得，则，下面证明对于任意的两个正数，都有，（当且仅当时，等号成立），当时，则（当且仅当，即时，等号成立），即，故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由得：，则二次函数的解析式为，由题意，分以下两种情况：如图，当时，则当时，；当时，即，解得；如图，当时，当时，当时，解得，综上，的取值范围为或【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识

4、点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键3（2021安徽中考真题）已知抛物线的对称轴为直线（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比【答案】（1）；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大当时，y1随x1的增大

5、而减小，时，时，同理：时，y2随x2的增大而增大时， 时， （3）令 令 AB与CD的比值为【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4（2021浙江绍兴市中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯

6、脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长【答案】（1）；（2）【分析】（1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD 与杯高 OD 之比为0.6，求出OD ，接着利用抛物线解析式求出B或A横坐标即可完成求解【详解】解：（1）设，杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，将，代入，得，（2），当时，或，即杯口直径的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等5（2021湖北恩施土家族苗族自治州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛

7、物线经过点，两点，且与直线交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，为顶点的四边形是以为边的菱形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，探究是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；（2）设点，当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分

8、当时，当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解【详解】解：（1）四边形为正方形，OB=1，把点B、D坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，点D与点E关于抛物线的对称轴对称，由两点距离公式可得，设点，当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：当时，如图所示：由两点距离公式可得，即，解得：，点F的坐标为或；

9、当时，如图所示：由两点距离公式可得，即，解得：，点F的坐标为或；综上所述：当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，DM=EM，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，四边形BOMP是平行四边形，OM=BP，若使的值为最小，即为最小，当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：，的最小值为，即的最小值为，设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，线段OD的解析式为，【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及

10、轴对称的性质是解题的关键6（2021四川南充市中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线

11、，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0x4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，B（4，0），C（0，4），设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，抛物线的解析式为：；（2）B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则

12、Q（x，），（0x4），PQ=-x+4-()=，当x=2时，线段PQ长度最大=4，此时，PQ=CO，又PQCO，四边形OCPQ是平行四边形；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），D是OC的中点，D（0，2），QNy轴，又，即：，设E（x，），则，解得：，（舍去），E（5，4），设F（0，y），则，当BF=EF时，解得：，当BF=BE时，解得：或，当EF=BE时，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1） 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三

13、角形，是解题的关键7（2021四川广元市中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：x0123y03430（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）是，1【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方

14、式，将的长转化为，再利用两点之间线段最短确定的最小值等于CE的长，加1后即能确定的最小值；（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值【详解】解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：，将点（0,3）代入解析式得：3=a+4，抛物线解析式为：，顶点坐标（2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3），如图3，将A点向上平移一个单位，得到，则四边形是平行四边形，作关于MQ的对称点E，则，当P、E、C三点共线时，最短，设直线CE的解析式为：，将C、E两点坐标代入

15、解析式可得：，直线CE的解析式为：，令，则，当时，P、E、C三点共线，此时最短，的最小值为（3）是；理由：设，因为A、B两点关于直线x=1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设的外接圆的圆心为，作，垂足为点N，则，由轴，且由表格数据可知，化简得：，点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为，即的长不变，为1【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求

16、，本题蕴含了数形结合的思想方法等8（2021湖北荆州市中考真题）已知：直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一动点，连接，为锐角，在上方以为边作正方形，连接，设（1）如图1，当点在线段上时，判断与的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点的坐标（用含的式子表示）；（3）若，经过点的抛物线顶点为，且有，的面积为当时，求抛物线的解析式【答案】（1）BEAB，理由见解析；（2）（）；（3）【分析】（1）先求出点A、B的坐标，则可判断AOB是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明AOCBOE（SAS），可得OBE=OAC=45，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证MOC

17、NEO，可得CM=ON，OM=EN，由（1）的结论可得AC=BE=t，然后解等腰直角ACM，可求出，进而可得答案；（3）由抛物线过点A结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x=2，然后由（2）可求出当时k=1，进一步即可求出点P的纵坐标，从而可得顶点P的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）BEAB，理由如下：对于直线y=-x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，B（0，1），A（1，0），OA=OB=1，OBA=OAB=45，四边形OCDE是正方形，OC=OE，COE=90，AOB=90，AOC=BOE，AOCBOE（SAS），OBE=OAC=45，EBC=EBO+OBA=45+45

18、=90，即BEAB；（2）作CMOA于点M，作ENx轴于点N，如图1，则CMO=ENO=90，EON+NEO=EON+COM=90，NEO=COM，又OC=OE，MOCNEO，CM=ON，OM=EN，在ACM中，CMA=90，MAC=45，AC=BE=t，点E在第二象限，点E的坐标是（）；（3）抛物线过点A（1，0），a+b+c=0，消去c可得b=-4a，抛物线的对称轴是直线x=2，如图1，当时，由（2）可得，即k=1，POA的面积为，即，解得，a0，顶点P的纵坐标是-1，点P（2，-1），设，把点A（1，0）代入，可求得a=1，抛物线的解析式是【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析

19、式、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键9（2021四川资阳市中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结当的值最小时，求的长【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，先利用待定系

20、数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）对于二次函数，当时，解得或，设点的坐标为，点的坐标为，解得，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，将点代入得：，解得或，当时，此时，当时，此时，综上，点的坐标为或；（3）二次函数的顶点坐标为，设点的坐标为，解得，则平移后的二次函数的解析式为，设直线的解析

21、式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，轴，由两点之间线段最短得：的最小值为，由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，则点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，解得，则，【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键10（2021四川南充市中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元（1）求苹果的进价（2）如果购进这种苹果不超

22、过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量（利润销售收入购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当x100时， 当x1

23、00时，分别列出函数解析式，即可；（3）分两种情况：若x100时，若x100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克，由题意得：，解得：x=10，经检验：x=10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克；（2）当x100时，y=10x，当x100时，y=10100+（10-2）（x-100）=8x+200，；（3）若x100时，w=zx-y=，当x=100时，w最大=100，若x100时，w=zx-y=，当x=200时，w最大=200，综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大，答：要使超市销售苹果利润w最大，一

24、天购进苹果数量为200千克【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键11（2021湖北十堰市中考真题）已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连交抛物线于M，连、（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作于D，若，求N点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）将点和点代入解析式，即可求解；（2）由想到将放到直角三角形中，即过点A作交CM的延长线于点E，即可知，再由想到过点E作轴，即可得到，故点E的坐标可求，

25、结合点C坐标可求直线CE解析式，点M是直线CE与抛物线交点，联立解析式即可求解；（3）过点M作L的垂线交于点D，故设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标可表示，且MD的长度也可表示，由可得即可结合两点间距离公式表示出MN，最后由即可求解【详解】解：（1）将点和点代入得，解得： （2）点A作交CM的延长线于点E，过作轴于 如下图轴，又即当时，即即设直线CE的解析式为，并将C、E两点代入得解得点M是直线CE与抛物线交点解得（不合题意，舍去） 点M的横坐标为（3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m则对称轴P、Q、N的横坐标为，即当时，点D的纵坐标为4即，即，不符合题意

26、，舍去，当时， 解得，由题意知【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想12（2021湖北十堰市中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/）与时间x（天）之间的函数关系式为：且x为整数，且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x（天）13610日销量142138132124填空：（1）m与x的函数关系为_；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销

27、售的前20天中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润（）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围【答案】（1）；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）【分析】（1）设，将，代入，利用待定系数法即可求解；（2）分别写出当时与当时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴，求解即可【详解】解：（1）设，将，代入可得：，解得，；（2）当时，销售利润，当时，销售利润最大为1568元；当时，销售利润，当时，销售利润最大为1530元；综上所

28、述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：，时，随x的增大而增大，对称轴，解得【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键13（2021四川达州市中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克（1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最

29、大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【答案】（1），9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令可解出对应的的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的的值即可【详解】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，整理得：，当时，每天的利润为9600元；（2），当时，取得最大值，最大值为9800，降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令，得：

30、，解得：，要让利于民，（元）定价为43元【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键14（2021湖南怀化市中考真题）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天

31、售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？【答案】（1）A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元；（2）超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A型号水杯为

32、x元，B型号水杯为y元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A、B型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为个，根据：利润=（售价-进价）数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A型号水杯为20元，B型号水杯为30元设10000元购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即

33、可求出b，W【详解】（1）解：设A型号水杯进价为x元，B型号水杯进价为y元，根据题意可得：，解得：，A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元（2）设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，根据题意可得：，化简得：，当时，超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元（3）设购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，根据题意可得：将代入可得：，化简得：，使得A，B两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则，得，当时，A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元【点睛】题目主要考察二元一次方程

34、、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用15（2021湖北黄冈市中考真题）已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G过点P作于点D，当n为何值时，；（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线_；当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标【答案】（1）；（2）；（3）；或【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析

35、式，从而可得点的坐标，然后分别求出的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；先求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得【详解】解：（1）将点，代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）由题意得：点的坐标为，对于二次函数，当时，即，设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，则直线的解析式为，即，解得或（与不符，舍去），故当时，；（3）如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，则点

36、的坐标为，点的横坐标为3，设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，则直线的解析式为，由平移的性质得：直线的解析式为，当时，即，故答案为：；由题意得：，则设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立，解得，即直线与直线的交点坐标为，设点的坐标为，则，解得，即，将点代入得：，整理得：，解得或，则点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键16（2021湖北黄冈市中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量

37、就减少万件其中月销售单价不低于成本设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值【答案】（1）；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范

38、围；（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得【详解】解：（1）由题意，当时，当时，解得，综上，；（2）设该产品的月销售利润为万元，当时，由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为；当时，由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90，因为，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是

39、90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），设该产品捐款当月的月销售利润为万元，由题意得：，整理得：，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为，因此有，解得【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键17（2021新疆中考真题）已知抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；（3）设点，在抛物线上，若，求a的取值范围【答案】（1）直线；（2）或；（3）【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴公式求解即可；（2）先求出原抛物线的顶点坐标，然后求出平移

40、后新抛物线的顶点坐标，再根据题意建立方程分情况讨论即可；（3）分别讨论a的情况，根据二次函数中利用对称性比较函数值大小的方法建立关于a的不等式求解即可【详解】（1）根据抛物线对称轴公式：，原抛物线的对称轴为：直线；（2）将代入解析式得：，原抛物线的顶点坐标为：，把抛物线沿y轴向下平移个单位，则平移后新抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点落在x轴上，若，则，解得：，若，则，解得：，或；（3）若，则原抛物线开口向上，要使得，则应使得点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，即：，即：，或，解得：或，；若，则原抛物线开口向下，要使得，则应使得点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，即：，即：，解

41、得：，与矛盾，故不成立，a的取值范围为【点睛】本题考查二次函数的性质以及平移问题，熟记二次函数中的基本性质和结论是解题关键18（2021湖南长沙市中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”根据该约定，完成下列各题（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则_，_，_（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于的“T函数”（，且，是常数）经过坐标原点，且与直线（，且，是

42、常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由【答案】（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为【分析】（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得；（2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”；（3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的

43、两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案【详解】解：（1）由题意得：点与点关于轴对称，将点代入得：，故答案为：；（2）由题意，分以下两种情况：当时，假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”，则，解得，与相矛盾，假设不成立，所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”；综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）由题意，将代入得：，设点与点是“函数”图象上的一对“点”，则，解得，联立得：，“函数”与直线交于

44、点，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，即，解得，则直线的解析式为，当时，因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“函数”和“点”的定义是解题关键19（2021四川广安市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒（1）求、的值；（2）在、运动的

45、过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PEx轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=SABC-SAPQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明PFMQEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式

46、，求出t值，即可算出M的坐标【详解】解：（1）抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：AP=，过点P作PEx轴，垂足为E，AE=PE=t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），S四边形BCPQ=SABC-SAPQ=当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=，AB=4，0t3，当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；（3）点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F

47、，PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，MPQ=90，MPF+QPE=90，又MPF+PMF=90，PMF=QPE，在PFM和QEP中，PFMQEP（AAS），MF=PE=t，PF=QE=4-2t，EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，点M的坐标为（3-2t，4-t），点M在抛物线y=-x2+2x+3上，4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），M点的坐标为（，）【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键20（2021陕西中考真题）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧

48、），与y轴交于点C（1）求点B、C的坐标；（2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）存在，或【分析】(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标；（2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定的坐标为（2，8），计算C=2，利用直角相等，两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可.【详解】解：（1）令，则，令，则（2）存在由已知得，该抛物线的对称轴为直线点与点关于直线对称，点P在y轴上，当时，设，i）当时，则，ii）当时，则，iii）当时，则，与矛盾点P不存在或

49、【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对称轴的意义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用三角形的相似和进行一元二次方程根的求解是解题的关键21（2021浙江杭州市中考真题）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由（3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，若，求证【答案】（1），顶点坐标是；（2），理由见解析；（3）见解析【分析】（1）把点和代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；（2）根据

50、二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；（3）由题意，得，则有，进而问题可求解【详解】解：（1）把点和代入得：，解得，则化为顶点式为，该函数图象的顶点坐标是；（2）例如，此时；因为，所以函数图象与轴有两个不同的交点；（3）由题意，得，由题意，知，所以【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键22（2021重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C （1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线

51、沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PEy轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出APD的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对

52、角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，C（0，-4），抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为点D与点C关于直线l对称，D（3，-4），A（-1，0），设直线AD的解析式为y=kx+b；，解得：，直线AD的函数关系式为：y=-x-1，设P（m，m2-3m-4），作PEy轴交直线AD于E，E（m，-m-1），PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，当m=1时，的面积最大，最大值为：8（3）直线AD的函数关系式为：y

53、=-x-1，直线AD与x轴正方向夹角为45，抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为则，解得：，平移后y1=x2-11x+20，抛物线y1的对称轴为：，P（1，-6），E（5，-10），以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（，y），当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函

54、数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想23（2021四川遂宁市中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），对称轴为直线，直线y2xm经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN2，若将线段MN在直线y1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小

55、值（结果保留根号）【答案】（1）；m=2；（2）存在，或；（3）【分析】（1）根据抛物线的对称性求出A（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A坐标代入直线的解析式，即可求出m的值；（2）先求出E（-5，12），过点E作EPy轴于点P，从而得，即可得到P的坐标，过点E作，交y轴于点，可得，再利用tanADO=tanPE，即可求解；（3）作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN，交直线y=1于点N，在中和 中分别求出EF， ，进而即可求解【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，对称轴为直线，A（1，0

56、），设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即：，直线y2xm经过点A，0=-21+m，解得：m=2；（2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=-2x+2，又直线y=-2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E， 当x=0时，y=2，即D（0，2），联立，解得：，点E在第二象限，E（-5，12），过点E作EPy轴于点P，ADO=EDP，DOA=DPE=90，P（0，12）；过点E作，交y轴于点，可得，ED+PED=PE+PED=90，ADO=ED=PE，即：tanADO=tan

57、PE，即：，解得：，（0，14.5），综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）；（3）点E、F均为定点，线段EF长为定值，MN=2，当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小，作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN，交直线y=1于点N，由作图可知：，又三点共线，EM+FN=，此时，EM+FN的值最小，点F为直线y=-2x+2与直线x=-1的交点，F（-1，4），（-3，4），又E（-5，12），（-5，-10），延长F交线段E于点W，F与直线y=1平行，FWE，在中，由勾股定理得：EF=，在中，由勾股定理得：

58、=，四边形MEFN的周长最小值=ME+FN+EF+MN=【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键24（2021四川泸州市中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：ACB=90（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F求DE+BF的最大值；点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标【答案】（1）（2）9；或【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定

59、理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；（2）先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可【详解】解：（1）令x=0，得令得，（2）设直线BC的解析式为：，代入，得设即DE+BF的最大值为9；点G是AC的中点，在中，即为等腰三角形，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，则又，或经检验：不符合题意，舍去，又整理得，或，同理：不合题意，舍去，综上所述，或【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与

60、性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键25（2021云南中考真题）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，（1）求b、c的值：（2）求证：；（3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论【答案】（1）b=-16，c=-2；（2）见解析；（3）m1，证明见解析【分析】（1）根据抛物线经过（0，-2）得到c值，再根据增减性得到对称轴，可得b值；（2）根据r是抛物线与x轴的交点得到r是方程的解，代入得到，计算出，可

61、得，从而可得；（3）由变形可得，再证明r0，根据不等式的性质可得结果【详解】解：（1）抛物线经过点（0，-2），即c=-2，当x-4时，y随x的增大而增大，当x-4时，y随x的增大而减小，直线x=-4是抛物线的对称轴，解得：b=-16，b=-16，c=-2；（2）证明：b=-16，c=-2，r是抛物线与x轴交点的横坐标，r是方程的解，即，则，=，；（3）m1正确，证明：由（2）可知：，即，在中，令，解得：或，r0，即m1【点睛】本题考查了二次函数综合，还涉及的二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点，解一元二次方程，解题的关键是根据r是抛物线与x轴的交点得到关于r的方程，进行等式的变形26（

62、2021山东泰安市中考真题）二次函数的图象经过点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D（1）求二次函数的表达式；（2）连接，当时，求直线的表达式；（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；（2）设与y轴交于点E，根据轴可知，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；（3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M由A

63、、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，设，则，根据二次函数性质求解即可【详解】解：（1）由题意可得：解得：，二次函数的表达式为；（2）设与y轴交于点E，轴，设，则，在中，由勾股定理得，解得，设所在直线表达式为解得直线的表达式为（3）设与交于点N过B作y轴的平行线与相交于点M由A、C两点坐标分别为，可得所在直线表达式为M点坐标为，由，可得，设，则，当时，有最大值0.8，此时P点坐标为【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴

64、题27（2021江苏连云港市中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标【答案】（1），；（2），；（3）【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P；（3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果；【详解】（1）将代入，化简得，

65、则（舍）或，得：，则设直线对应的函数表达式为，将、代入可得，解得，则直线对应的函数表达式为（2）如图，过点A作BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，由（1）得直线BC的解析式为，直线AG的表达式为，联立，解得：（舍），或，由直线AG的表达式可得，直线的表达式为，联立，解得：，（3）如图，取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，AD=CD，又，又，则，设，由，则，即，解之得，所以，又，可得直线对应的表达式为，设，代入，得，又，则所以【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键28（2021重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中

66、，抛物线经过A（0，1），B（4，1）直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点过点P作PDAB，垂足为D，PEx轴，交AB于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和PDE周长的最大值；（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点PM是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来【答案】（1）；（2）t=2时，PDE周长取得最大值，最大值为， 点P的坐标为（2，4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，4），（6，12），（

67、2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0t4，则E，证明PDEAOC，根据周长之比等于相似比可得，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况若AB是平行四边形的对角线；若AB是平行四边形的边，1）当 MNAB时；2）当 NMAB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可【详解】解（1）抛物线经过点A（0，1），点B（4，1），解得，该抛物线的函数表达式为；（2）A（0，-1），B（4，1），直线AB的函数表达式为，C（2，0），设P，其中0t4，点E在直线上，PEx轴，E，OCA=DEP，PE=，PDAB

68、，EDP=COA，PDEAOC，AO=1，OC=2，AC=，AOC的周长为3+，令PDE的周长为l，则，当t=2时，PDE周长取得最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（2，4），（3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，4），（6，12），（2，12）由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，即MN经过AB的中点C（2，0），点N的横坐标为2，点M的横坐标为2，点M的坐标为（2，-4）；若AB是平行四边形的边，1）MNAB时，四边形ABNM是平行四边形，A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，点

69、M的横坐标为24=2，点M的坐标为（2，12）；2）当 NMAB时，四边形ABMN是平行四边形，A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，点M的横坐标为2+4=6，点M的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M的坐标有（2，4），（6，12），（2，12）【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算29（2021浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5

70、.76万人（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】（1）20%；（2）798万元，当丙种门票

71、价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，则四月份的游客为人，五月份的游客为人，再列方程，解方程可得答案；（2）分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收人为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得 解这个方程，得（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%（2）由题意，丙种门票价格下降10元，得：购

72、买丙种门票的人数增加：（万人），购买甲种门票的人数为：（万人），购买乙种门票的人数为：（万人），所以：门票收入问；（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收人为万元，由题意，得化简，得， ，当时，取最大值，为817.6万元 答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键30（2021湖北武汉市中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若

73、用900元收购原料会比用900元收购原料少生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒 （1）求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）；（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润【答案】（1）每盒产品的成本为30元（2）；（3）当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元然后再根据“用900元收购

74、原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润销售数量”列出解析式即可；（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元依题意，得解得，经检验，是原方程的根每盒产品的成本为：（元）答：每盒产品的成本为30元（2）；（3）抛物线的对称轴为=70，开口向下当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键31（2021四川乐山市

75、中考真题）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可（2）根据抛物线图像分析得在范围内，的最大值只可能在或处取得，进行分类讨论若时，若，计算即可（3）先利用待定系数法写出直线AB的解析式，再写出平移后的解析式，若线段与抛物线仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可【详解】（1）抛物线过点，（2）由（1）可

76、得，在范围内，的最大值只可能在或处取得当时，当时，若时，即时，得，得若，即时，得，此时，舍去，即时，得，舍去综上知，的值为（3）设直线的解析式为，直线过点，将线段向右平移2个单位得到线段，的解析式满足，即又抛物线的解析式为，又线段与抛物线在范围内仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，整理得在的范围内仅有一个根，即抛物线在的范围内与轴仅有一个交点只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可即时，得，当时，得， 综上的取值范围为【点睛】本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x轴的交点与方程的根的情况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键32（2021四

77、川自贡市中考真题）如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C（1）直接写出的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）OCA=45，AB= a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）【分析】（1）根据二次函数解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可证明OCA是等腰直角三角形，可得OCA=45，根据线段的和差关系可表示AB的长；（2）如图，作ABC的外

78、接圆D，根据等腰直角三角形的性质可得AC=，利用两点间距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得D=2OAC=90，可得DBC是等腰直角三角形，即可证明DBCOCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；（3）如图，过点D作DHAB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OGAC于G，连接AP交CF于E，可得OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根据，BHD=ACE=90可证明BHDACE，根据相似三角形的性质可求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定

79、系数法可得直线AE解析式，联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案【详解】（1）抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C当x=0时，y=-a，当y=0时，解得：，A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），OB=1，OA=OC=a，OCA是等腰直角三角形，OCA=45，AB=OA+OB=a+1（2）如图，作ABC的外接圆D，点D为的外心，DB=DC，OCA是等腰直角三角形，OA=a，OAC=45，AC=，BDC和BAC是所对的圆心角和圆周角，BDC=2BAC=90，DBC=45，DBC=OAC，DBCOCA，与的周长之比为，即，解得：，经检验：是原方程的根，,a=2，抛物线

80、解析式为：=（3）如图，过点D作DHAB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OGAC于G，连接AP交CF于E，a=2，C（0，-2），A（2，0），AC=，OCA=45，OCF=45，OCF是等腰直角三角形，F（-2，0），设直线CF的解析式为y=kx+b，解得：，直线CF的解析式为，OCA是等腰直角三角形，OGAC，OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点，点D为的外心，点D在直线OG上，A（2，0），C（0，-2），G（1，-1），设直线OG的解析式y=mx，m=-1，直线OG的解析式y=-x，点D为ABC的外心，点D在AB的垂直平分线上，点D的横坐标为=，把x=代入y=-

81、x得y=-，D（，-），DH=，BH=1+=，BHD=ACE=90，BHDACE，即，解得：，点E在直线CF上，设点E坐标为（n，-n-2），CE=，解得：，（，），（，），设直线AE1的解析式为y=k1x+b1，解得：，直线AE1的解析式为，同理：直线AE2的解析式为，联立直线AE1解析式与抛物线解析式得，解得：，（与点A重合，舍去），P1（，），联立直线AE2解析式与抛物线解析式得，解得：，（与点A重合，舍去），P2（1，-2）综上所述：存在点P，使得，点P坐标为P1（，），P2（1，-2）【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键