专题15导数与函数的极值、最值-2021年新高考数学基础考点一轮复习.docx

1、专题15 导数与函数的极值、最值【考点解析】【考点】一、利用导数解决函数的极值问题角度一根据图象判断函数的极值例1、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【解析】由题图可知，当x3，此时f(x)0；当2x1时，01x3，此时f(x)0；当1x2时，11x0，此时f(x)2时，1x0，由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得

2、极小值【答案】D知图判断函数的极值的情况；先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点 角度二求函数的极值例2、(2020湖南省五市十校联考)已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)令g(x)f(x)(ax1)，求函数g(x)的极值【解】(1)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1，1)，又f(x)1，所以切线斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)f(x)(ax1)ln xax2(1a)x1，则g(x)ax(1a)，当a0时，

3、因为x0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上是增函数，函数g(x)无极值点当a0时，g(x)，令g(x)0得x.所以当x时，g(x)0；当x时，g(x)0.因为g(x)在上是增函数，在上是减函数所以x时，g(x)有极大值gln(1a)1ln a.综上，当a0时，函数g(x)无极值；当a0时，函数g(x)有极大值ln a，无极小值利用导数研究函数极值问题的一般流程角度三已知函数的极值求参数例3、设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围【解】(1)因为f(x)ax2(4a1

4、)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值当a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性

5、【变式】1(2020安徽毛坦厂中学4月联考)已知函数f(x)2ln xax23x在x2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A2BC3ln 2 D22ln 2解析：选B.由题意得，f(x)2ax3，因为f(x)在x2处取得极小值，所以f(2)4a20，解得a，所以f(x)2ln xx23x，f(x)x3，所以f(x)在(0，1)，(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)3.故选B.【变式】2已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)的图象过点P(0，1)的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)mx存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围解：(1)由题意得，函数

6、f(x)的定义域为(0，)，f(x).设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为yxln x01.把点P(0，1)代入切线方程，得ln x00，所以x01，所以过点P(0，1)的切线方程为yx1.(2)因为g(x)f(x)mxln xmx，所以g(x)m，令h(x)mx2xm，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.故只需满足即可，解得0m0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2

7、)满足题设条件的a，b存在()当a0时，由(1)知，f(x)在0，1单调递增，所以f(x)在区间0，1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.()当a3时，由(1)知，f(x)在0，1单调递减，所以f(x)在区间0，1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.()当0a3时，由(1)知，f(x)在0，1的最小值为fb，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1，2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f(x

8、)在0，1的最小值为1，最大值为1. 求函数f(x)在闭区间a，b内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f(x)0在区间a，b内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)若所给的闭区间a，b含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值提醒求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 【变式】已知函数f(

9、x)kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值解：因为f(x)kln x，f(x).(1)若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减所以f(x)minf(e)，f(x)maxfe1.(2)若k0，f(x).若k0，则在上恒有0，由ke，则x0，所以0，所以f(x)在上单调递减所以f(x)minf(e)kln ek1，f(x)maxfek1.综上，k0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值【解】(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点

10、就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0.所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 【变式】(2020河南百校联盟模拟)已知函数f(x)exax，a0.(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；(2)若对任意实数x，恒有f(x)0，求f(a

11、)的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域是(，)，f(x)exa.令f(x)0，得xln a，易知当x(ln a，)时，f(x)0，当x(，ln a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xln a处取极小值，g(a)f(x)极小值f(ln a)eln aaln aaaln a.g(a)1(1ln a)ln a，当0a0，g(a)在(0，1)上单调递增；当a1时，g(a)0)恒成立当x0时，由f(x)0，即exax0，得a.令h(x)，x(0，)，则h(x)，当0x1时，h(x)1时，h(x)0，故h(x)的最小值为h(1)e，所以ae，故实数a的取值范围是(0，ef(a)eaa2，a(0，e，f(a)ea2a，易知ea2a0对a(0，e恒成立，故f(a)在(0，e上单调递增，所以f(0)1f(a)f(e)eee2，即f(a)的取值范围是(1，eee2