专题15 几何最值之将军饮马（知识精讲）-冲刺2021年中考几何专项复习.docx

1、几何最值之将军饮马知识精讲什么是将军饮马？传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题。如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮（yn）马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究.一、两点一线1.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PAPB的值最小？思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PAPB的值最小

2、，即为AB的长度.构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：2.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PAPB的值最小？思路：和上题相比，这个问题就难在PAPB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.构图：作点A关于的对称点A，连接AB，AB与直线的交点即为点P，如图所示：3.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：4.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？构图：

3、作点B关于直线的对称点B，连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：5.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：二、一定两动1.如图，点P在AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PCD的周长最小？构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP，交OA、OB于点C、D，此时PCD的周长最小，PP即为PCD的周长最小值，如图所示：2.如图，点P在AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PDCD的值最小？构图：作点P关于OB的对称点P，过点P作PCOA交OB于点D，交OA于点C，此时PDCD的值最小，PC即为PDCD的值最小.3.如图，点P在AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得PCD的周长最小？构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P、Q，连接PQ分别交OA、OB于点C、D，此时PCD的周长最小值为PQPQ，如图所示：三、两点两线在直线m、n上分别找两点P、Q，使得PAPQQB的值最小.（1）A、B两点都在直线的外侧（2）一个点在内侧，一个点在外侧（3）两个点都在内侧