专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型（原卷版）.docx

1、专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性

2、质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。解决翻折题型的策略：1）利用翻折的性质

3、：翻折前后两个图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分；2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。模型1.矩形中的折叠模型1）常规计算型例1（2022浙江宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、恰好在同一直线上，若，则的长是（）ABCD变式1（2021四川成都中考真题）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_2）线段比值型例1（

4、2022江苏苏州中考真题）如图，在矩形ABCD中动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为_变式1（2022湖北襄阳二模）如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = _3）分类讨论型例1（2022辽宁锦州中考真题）如图，四边形为矩形，点E为边上一点，

5、将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H若点G是边的三等分点，则的长是_变式1（2022河南省实验中学一模）如图，在矩形中，已知，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到作射线与边交于点Q，当时，_4）路径（轨迹）型例1（2022重庆十八中两江实验中学一模）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（）A B C D变式1（2022四川成都模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8

6、，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=_，CEF面积的最小值是 _5）综合证明型例1（2022广东一模）如图，在矩形中，是上一点，沿折叠矩形，的对应边经过点，连接，与、分别交于点、，连接交于点下列结论：是等腰三角形；：；平分；其中结论正确有（）ABCD变式1（2022吉林长春市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（）A2BC3D模型2.特殊三角形中的折叠模型1）常规计

7、算型例1（2021重庆中考真题）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O若，则AD的长为_变式1（2022.广西九年级模拟）如图，在ABC中，ABAC，C45，AB5，BC4，点D在AC上运动，连接BD，把BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，则图中阴影部分的面积是（）ABCD2）分类讨论型例1（2022.重庆九年级期末）如图，在RtABC中，A=90，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交边BC于点F，若CBF为直角三角形，则CB的长为_变式1（20

8、22.河南九年级模拟）如图，定长为的线段端点A，分别在射线，上运动（点A，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的，交于点，当是等腰三角形时，的度数为_3）综合证明型例1（2020江苏淮安中考真题）【初步尝试】（1）如图，在三角形纸片中，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ；【思考说理】（2）如图，在三角形纸片中，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值【拓展延伸】（3）如图，在三角形纸片中，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为求线段的长；若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围 变式1（2022福建三明九年级期中）如图，在

9、平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D求证：；(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由模型3.平行四边形中的折叠模型1）常规计算型例1（2021江苏苏州中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，则的长是（）A1BCD变式1（2021江西中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的周长为_2）分类讨论型例1（2022湖北随州中考模拟）在ABCD中，ABBC，已知B=30，AB=2，将ABC沿AC

10、翻折至ABC，使点B落在ABCD所在的平面内，连接BD若ABD是直角三角形，则BC的长为_变式1在平行四边形 ABCD中，A60，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为，点D的对应点为，若，则AD的长为_.3）综合证明型例1（2022贵州贵阳中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得(1)问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；(2)问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿

11、翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值变式1（2021山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，垂足为，为的中点，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，求图中阴影部分（四边形）的面积请你思考此问题，直接写出结果模

12、型4.菱形中的折叠1）基本计算型例1（2021辽宁大连中考真题）如图，在菱形中，点E在边上，将沿直线翻折180，得到，点B的对应点是点若，则的长是_变式1（2022宁夏银川市二模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，C=60，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（）ABCD2）分类讨论型例1（2022河南潢川县第二中学一模）如图，在菱形中，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、，当为等腰三角形时，的长为_变式1.（2022山西中考模拟）如图在菱形ABCD中，A60，AD3，点P是对角线AC上的一个动点，

13、过点P作EFAC交CD于点E，交AB于点F，将AEF沿EF折叠点A落在G处，当CGB为等腰三角形时，则AP的长为_.3）综合证明型例1（2022河北邢台市二模）如图1，菱形纸片的边长为2，如图2，翻折，使两个角的顶点重合于对角线上一点，分别是折痕，设（），下列判断：当时，的长为；的值随的变化而变化；六边形面积的最大值是；六边形周长的值不变其中正确的是（）ABCD变式1（2022湖北武汉校联考一模）问题背景: 如图1，点E在BC上，ABBC，AEED，DCBC，求证： 尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将ADF沿AF折叠得到AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值 拓展

14、创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，AFED，AEFE，FC2EC6请直接写出的值模型5.正方形中的折叠模型1）常规计算型例1.（2022广西中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_变式1（2022四川成都二模）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，沿直线DF翻折，使点A的对应点A恰好落在线段AE上，分别在AD，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点与点D重合，则线段MN的长为_2）分类讨论型

15、例1（2022浙江二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点当时，的长为_变式1（2022河南民权一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，当是等腰三角形时，BF的长为_3）综合证明型例1（2022四川渠县一模）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BHBH交EF于点M，连接PM下列结论：PB平分APG；PH=AP+CH；BM=BP，若BE=，AP=1，

16、则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（）ABCD变式1（2022福建厦门二模）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM下列结论：BEPE；BPEF；PB平分APG；PHAP+HC；MHMF，其中正确结论的个数是（）A5B4C3D2模型6.圆中的折叠模型1）角度、长度型例1（2021湖北武汉统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点再将沿翻折交于点若，设，则所在的范围是（ ）A B C D变式1（2022浙江嘉兴统考中考真题

17、）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F已知，则的度数为_；折痕的长为_2）面积型例1（2022山西太原统考二模）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（）A B C D变式1（2022山西大同校联考三模）如图，边长为6的正六边形内接于，沿折叠，点F与点O重合，过点E作的切线与的延长线交于点G，则图中阴影部分的面积是（）ABCD课后专题训练1（2022山东烟台一模）如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在A

18、E上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A或B或C或D或2（2022山东模拟预测）矩形纸片中，将纸片折叠，使点B落在边上的处，折痕为延长交的延长线于M，折痕上有点P，下列五个结论中正确的有（）；若，则四边形是菱形A2B3C4D53.（2022.山东中考模拟）如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到，若点恰好在线段上，若，：，则的长度为（）ABCD4（2020江苏镇江中考真题）如图，AB5，射线AMBN，点C在射线BN上，将ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQAB设APx，QDy若y关于x的函数图象（如图）经过点E(9

19、，2)，则cosB的值等于（）ABCD5（2022河南商丘统考三模）如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，C60，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点，当的长度最小时，则点Q的坐标为（）A(1，4)B(2，4)C(3，4)D(0，4)6（2021陕西陕西师大附中校考模拟预测）如图，在菱形中，点P为对角线上的一个动点，过P作交于点E，交于点F，将沿折叠，点A的对应点恰好落在对角线上的点G处，若是等腰三角形时，则的长为（）A或B或2C或4D或7（2022安徽模拟预测）正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、

20、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在处，点B落在处，交BC于G下列结论错误的是（）A当为CD中点时，则 B当时，则C连接，则D当（点不与C、D重合）在CD上移动时，周长随着位置变化而变化8（2022春福建福州九年级阶段练习）如图，AB是O的直径，BC是O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E若，则BCD的度数是（）A22.5B30C45D609（2022秋九年级课时练习）如图，将O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE 若AD2OD，则的值为（）ABCD10.（2022四川成都二模）如图，在矩形中，将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到

21、四边形，连接，若，则_11（2022.河北中考模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B将沿直线翻折得到若点C在反比例函数的图象上，则_12（2022成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是_，当从点运动到点时，点的运动总路径长是_13（2022河南许昌统考二模）如图，在菱形中，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线段的长为_14（2022湖北襄阳一模）如图，正方形的边长为24，

22、点E是对角线上一点，且，F是的中点连接与交点G，将沿翻折，得到，连接，交于点M，则_15（2022秋浙江杭州九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结（1）如图1，若点与圆心重合，则的度数为 _；（2）如图2，若点与圆心不重合，则的度数为 _16（2021浙江金华统考中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B求的度数求AP的长（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长17（2022辽宁沈阳市九年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动(1)迁移探究：如图1

23、，当点M在上时，_，_改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长(2)拓展应用：正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G当时，则的长为_18（2022江苏无锡统考一模）菱形中，点E在边上，F在边上，(1)如图1若点F与点B重合且，以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且，请求出的长(2)如图2以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且过点A，当时，请求出的值 19（2021吉林统考中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点（1）若直接写出的长（用含的代数式表示）；（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图，判断四边形的形状，并说明理由；（3）若，直接写出的度数