专题15.6 等腰三角形中的分类讨论思想七大考点（沪科版）（解析版）.docx

1、专题15.6 等腰三角形中的分类讨论思想七大考点【沪科版】【题型1 与边分类讨论】1【题型2 与角分类讨论】3【题型3 与高分类讨论】7【题型4 与直平分线分类讨论】11【题型5 与中线分类讨论】16【题型6 与动点、动线段需分类讨论】19【题型7 构造等腰三角形需分类讨论】23【题型1 与边分类讨论】【例1】（2023春重庆渝中八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足a-22+|b-3|=0，则此等腰三角形的周长为（）A7或8B6或10C6或7D7或10【答案】A【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，

2、再分类讨论，可得结论【详解】解：根据题意得，a-2=0，b-3=0，a=2，b=3，当a=2是腰时，三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长为：2+2+3=7当b=3是腰时，三边分别为3、3、2，能组成三角形，周长为：3+3+2=8所以等腰三角形的周长7或8故选：A【点睛】本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题【变式1-1】（2023春山东威海八年级统考期末）用一条长20cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 【答案】4cm【分析】设较短的边长为xcm，则较长的边为2xcm，分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时

3、；当较长的边为底边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案【详解】解：设较短的边长为xcm，则较长的边为2xcm，当较短的边为底边，较长的边为腰时，则x+2x+2x=20，解得：x=4，此时三角形三边长分别为4cm，8cm，8cm，能组成三角形；当较长的边为底边，较短的边为腰时，则2x+x+x=20，解得：x=5，此时三角形三边长分别为5cm，5cm，10cm，5+5=10，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形；综上所述，三角形底边的长为4cm，故答案为：4cm【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形任意两边之和大于第三边，

4、采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键【变式1-2】（2023春安徽六安八年级校考期中）已知等腰ABC的周长为18，BC=8，若ABCDEF，则DEF中一定有一条边等于（）A7B2或7C5D2或5【答案】D【分析】分BC为腰、BC为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答【详解】解：当BC=8为腰时，等腰ABC的周长为18，另两边为8或2， 当BC=8为底时，另两边为5或5， ABCDEF， DEF中有一条边等于2或5， 故选：D【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键【变式1-3】（2023春陕西西安八年级西安市第八十

5、三中学校考阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”若等腰三角形的周长为13cm，AB=5cm，则它的“优美比”k为（）A54B35C54或35D45或53【答案】C【分析】分两种情况：AB为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k.【详解】解：当AB腰时，则底边=3cm；此时，优美比k=35；当AB为底边时，则腰为4cm；此时，优美比k=54；故选：C【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键【题型2 与角分类讨论】【例2】（2023春八年级课时练习）过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两

6、个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 【答案】36或1807【分析】分两种情况画出图形，当BC=BD=AD，AB=AC时，设A=，得C=CDB=2ABC=C=2由A+ABC+C=180，则+2+2=180，即可得到=36；当AD=BD，BC=DC，AB=AC时，设A=得ABC=C=3则A+ABC+C=180，则+3+3=180，得=1807【详解】解：分两种情况讨论：如图（1），当BC=BD=AD，AB=AC时，设A=BD=AD，ABD=A=，CDB=ABD+A=2BC=BD，C=CDB=2AB=AC，ABC=C=2A+ABC+C=180，+2+2=180，解得=36如图（2），

7、当AD=BD，BC=DC，AB=AC时，设A=AD=BD，A=ABD=BDC=A+ABD=2BC=DC，CBD=BDC=2，ABC=ABD+CBD=3AB=AC，ABC=C=3A+ABC+C=180，+3+3=180，解得=1807综上，原等腰三角形顶角的度数为36或1807故答案为：36或1807【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键【变式2-1】（2023春安徽亳州八年级统考期末）一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是2:5，它的三个内角可能是（）A30，30，120B50，50，80C75，75，30D80，80，20【

8、答案】C【分析】分两种情况，然后根据三角形的内角和列方程，即可得到结论【详解】解：两个内角的度数的比是2:5，设一个内角等于2x，另一个内角等于5x，三角形是等腰三角形，2x+2x+5x=180或5x+5x+2x=180，解得：x=20或x=15，三个内角是40，40，100或75，75，30，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键【变式2-2】（2023春八年级课时练习）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰ABC中，A=80，则它的特征值k为（）A85或14B58或14C85或4D58或

9、4【答案】A【分析】分A为顶角和底角两种情况,利用等腰三角形的两底角相等求出底角或顶角，然后根据k的定义求解即可【详解】解：当A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：12（180-80）=50k=8050=85当A为底角时，顶角的度数为：180-80-80=20.特征值k=2080=14综上所述，k为85或14故答案为A【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，A是顶角还是底角的分类讨论是正确解答本题的关键【变式2-3】（2023春山东枣庄八年级统考期中）如图，在ABC中，ABC=40，BAC=80，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则BCD的度数是 【答案】10或100【

10、分析】分两种情况：当点D在BA上时，当点D在BA的延长线上时，由等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质进行计算即可得到答案【详解】解：如图，,当点D在BA上时，由作图可得：AD=AC，ADC=ACD，ADC+ACD+BAC=180，BAC=80，ADC=ACD=180-BAC2=180-802=50，在ABC中，ABC=40，BAC=80，ACB=180-ABC-BAC=180-40-80=60，BCD=ACB-ACD=60-50=10，当点D在BA的延长线上时，由作图可得：AD=AC，ADC=ACD，DAC=ABC+ACB=40+60=100，ADC+ACD+DAC=180，

11、ADC=ACD=40，BCD=ACB+ACD=60+40=100综上所述：BCD的度数是：10或100，故答案为：10或100【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键【题型3 与高分类讨论】【例3】（2023春广东深圳八年级校考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（）A15B75C15或75D无法确定【答案】C【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数【详解】解

12、：当ABC为锐角三角形时，作CDAB于点D，取AC的中点E，连接DE，如图：则ADC=90，E为AC的中点，DE=CE=12AC，CD=12AC，CD=CE=DE，CDE为等边三角形，DCE=60，A=90-60=30，AB=AC，B=ACB=75；当ABC为钝角三角形时，作BDCA，交CA的延长线于点D，取AB的中点E，连接DE，如图：则ADB=90，E为AB的中点，BE=DE=12AB，BD=12AB，BDE为等边三角形，ABD=60，DAB=90-60=30，BAC=150，AB=AC，ABC=C=15；综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是15或75，故C正确故选：C【点睛】本题考查

13、解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答【变式3-1】（2023春河南南阳八年级统考期末）在等腰三角形中有一个角为40，则腰上的高与底边的夹角为 【答案】20或50【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算【详解】当40角为底角时，如图，CA=CB，CAB=B=40，过点A作ADCB，交BC的延长线于点D，ADC=90，DAB=90-B=50；当40角为顶角时，如图，CA=CB，CAB=B=180-402=70，过点A作AGCB，交BC于点G，AGB=90，GAB=90

14、-B=20；故答案为20或50【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算，熟练掌握分类思想是解题的关键【变式3-2】（2023春全国八年级课堂例题）已知ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF=AC，则ABC的度数为_【答案】图见解析，45或135【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案【详解】解：作图区当ABC为锐角时，如图当ABC为钝角时，如图解答区若ABC为锐角三角形时，ABC为锐角，如图，ADBC，BEAC，BDF=ADC=BEC=90，C+CBE=90，C+CAD=90，CBF=CAD，BDFADCAAS，BD=AD，ABD=45，即ABC=

15、45；若ABC为钝角三角形时，ABC为钝角，如图，同理可证BDFADCAAS，BD=AD，ABD=45，ABC=135，综上所述，ABC的度数为45或135故答案为：45或135【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键【变式3-3】（2023山东泰安统考二模）在平行四边形ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，EBD=30，则A的度数为 【答案】60或30【分析】首先求出ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出A的度数【详解】解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，BE是AD边上的高，EBD=30，

16、ADB=90-30=60，AD=BD，A=ABD=180-602=60；情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，BE是AD边上的高，EBD=30，BDE=60，AD=BD，A=ABD=12BDE=30故答案为：60或30【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高等知识，得出ADB的度数是解题关键【题型4 与直平分线分类讨论】【例4】（2023春山东泰安八年级统考期末）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若ADB=80，CAD=10，则ACB=（）A80B90C60或100D40或90【答案】C【分析】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线

17、段垂直平分线的性质得到DADB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出DABDBA50，当C点在线段DE上，CAD10时，则CAB40，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算ACB100；当C点在ED的延长线上，CAD10时，则CAB60，根据等边三角形的性质易得ACB60【详解】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，DADB，DABDBA=12（180ADB）=12（18080）50，当C点在线段DE上，CAD10时，则CAB501040，CACB，CABCBA40，ACB1804040100；当C点在ED的延长线上，CAD10时，则CAB50+1060，CACB，ACB6

18、0，综上所述，ACB的度数为60或100故选：C【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等也考查了等腰三角形的性质【变式4-1】（2023春湖北武汉八年级统考期末）已知，在OPQ中，OP=OQ，OP的垂直平分线交OP于点D，交直线OQ于点E，OEP=50，则POQ= 【答案】65或115【分析】OPQ为锐角三角形时，根据线段垂直平分线的定义得到ODE=PDE=90，从而求得OED=PED=12OEP，继而可得EOD=90-25=65，问题得解；OPQ为钝角三角形时，同理可得EOD=90-25=65，即POQ=180-EO

19、D，问题得解【详解】解：如图1，OPQ为锐角三角形时，DE垂直且平分OP，ODE=PDE=90，OE=PE，OED=PED=12OEP，又OEP=50，OED=PED=25，EOD=90-25=65；如图2，OPQ为钝角三角形时，DE垂直且平分OP，ODE=PDE=90，OE=PE，OED=PED=12OEP，又OEP=50，OED=PED=25，EOD=90-25=65，POQ=180-65=115；故答案为：65或115【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的定义以及等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握这些性质及定理，准确作出图形是解题的关键【变式4-2】（2023春上海八年级专题练习）

20、在ABC中，BAC=，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E，连接AD，AE，则DAE的度数为 （用含的代数式表示）【答案】2-180或180-2【分析】先根据线段垂直平分线的性质，得到B=BAD，C=CAE，进而得到B+C=BAD+CAE=180-，再分两种情况：BAC为钝角；BAC为锐角进行讨论，利用角的和差关系进行计算即可得出答案【详解】解：分两种情况：如图所示，当BAC为钝角时，DM垂直平分AB，EN垂直平分ACBD=AD，AE=CEB=BAD，C=CAEB+C=BAD+CAE，又B+C+BAC=180，BAC=B+C=BAD+CAE=180-BAC=BAD+C

21、AE+DAEDAE=BAC-BAD+CAE=2-180如图所示，当BAC为锐角时，DM垂直平分AB，EN垂直平分ACBD=AD，AE=CEB=BAD，C=CAEB+C=BAD+CAE，又B+C+BAC=180，BAC=B+C=BAD+CAE=180-BAC=BAD+CAE-DAEDAE=BAD+CAE-BAC=180-2故答案为：2-180或180-2【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键【变式4-3】（2023春黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）ABC中，AB的垂直平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE垂直直线BC于E

22、，若AC=7，CE=2，则BC的长是 【答案】11或3【分析】分点E在BC上或点E在BC的延长线上两种情形，分别利用HL证明RtADFRtBDE，得BE=AF，同理可得CE=CF，从而解决问题【详解】解：如图，当点E在BC上时过点D作DFAC，交AC的延长线于F，连接AD=BD，AB的垂直平分线与ACB的外角平分线交于点D，AD=BD,DE=DF，在RtADE和RtBDE中，AD=BDDF=DE，RtADFRtBDE(HL)，BE=AF，同理可得CE=CF，AF=7+2=9，BC=BE+CE=9+2=11，当点E在BC的延长线上时，如图，同理可得AF=BE=AC-CF=7-2=5，BC=BE-

23、CE=5-2=3，综上：BC=11或3，故答案为：11或3【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键【题型5 与中线分类讨论】【例5】（2023春湖北恩施八年级校考阶段练习）若等腰三角形一腰上的中线分周长为9和12两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长【答案】这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8【分析】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可【详解】解：如图，当AD+AC=9时，CD是AB边的中线，AD=12A

24、C， 32AC=9，AC=6，BC=9；当AD+AC=12时，则32AC=12，AC=8；BC=5，答：这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；解题时主要利用了分情况讨论的思想及列二元一次方程组求解，也是正确解答本题的关键【变式5-1】（2023春重庆九龙坡八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）在周长为10的ABC中，AB=AC，BD为ABC的中线，且BD将ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 【答案】2或143【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为两部分，但已知没有明确是哪两部分，因此有两种情况，需

25、要分类讨论【详解】解：在ABC中，AB=AC，BD为ABC的中线，设AB=AC=x,则AD=CD=12x,同时设BC=y当CABD-CBCD=2时，(x+12x+BD)-(12x+y+BD)=2x+x+y=10,解得，x=4y=2BC=2;当CBCD-CABD=2时，(12x+y+BD)-(x+12x+BD)=22x+y=10解得，x=83y=143,BC=143,综上，ABC的底边BC的长为2或143【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算在解题时要注意找出等量关系是解题的关键【变式5-2】（2023春江苏八年级专题练习）在ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把ABC的周长分为24 c

26、m和30 cm的两部分，则BC的长为 ()cmA14B16或22C22D14或22【答案】D【分析】根据点D为AC中点，得出AD=DC=12AC，根据AB=AC，得出AB=2AD，分两种情况当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，可求BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，可求BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm即可【详解】解：点D为AC中点，AD=DC=12AC，AB=AC，AB=2AD，分两种情况，当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，解得AD=8cm，BC+CD=30cm，BC=30cm-CD

27、=30cm-8cm=22cm，当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，解得AD=10cm，BC+CD=24cm，BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm，BC的长为14cm或22cm故选D【点睛】本题考查等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用，掌握等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用是解题关键【变式5-3】（2023春辽宁沈阳八年级沈阳市第一二六中学校考期末）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3:2的两部分，则这个等腰三角形的底长为 【答案】9cm或21cm【分析】本题可分别设出等腰三

28、角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分，x+12x=2712x+y=18或x+12x=1812x+y=27，解得x=18y=9或x=12y=21，经检验，都符合三角形的三边关系因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm故答案为：9cm或21cm【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确32两部分是哪一部分

29、含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键【题型6 与动点、动线段需分类讨论】【例6】（2023江苏八年级假期作业）如图，直线a，b交于点O，=40，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则OAB= 【答案】40或70或100【分析】根据OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：当OB=AB时，当OA=AB时，当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解【详解】解：要使OAB为等腰三角形分三种情况讨论：当OB1=AB1时，OAB=40；当OA=AB2

30、时，OAB=180-240=100；当OA=OB3时，OAB=OBA=12（180-40）=70；故答案为：40或70或100【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键【变式6-1】（2023春浙江杭州八年级开学考试）如图，在ABC中，AB=AC,BAC=40，边AB绕点A逆时针旋转m（0m360）得到线段AD，连接BD，DC若BDC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 【答案】20，80，200，320.【分析】以点A为圆心，以AB长为半径作圆A，分别以B，C为圆心，以BC长为半径作圆B和圆C，BC的中垂线交圆A于D1，D2两点，圆B与圆A交于点D3，圆

31、C与圆A交于点D4，D1，D2，D3，D4四点即为所求.【详解】如图，以点A为圆心，以AB长为半径作圆A，分别以B，C为圆心，以BC长为半径作圆B和圆C，BC的中垂线交圆A于D1，D2两点，圆B与圆A交于点D3，圆C与圆A交于点D4，D1，D2，D3，D4四点即为所求，根据等腰三角形性质，BAD2=20，BAD4=80，BAD1=200，BAD3=320.故答案为20，80，200，320.【点睛】考核知识点：等腰三角形性质，圆周角定理.【变式6-2】（2023全国八年级专题练习）如图，点O是等边ABC内一点将BOC绕点C顺时针方向旋转60得ADC，使得BOCADC，连接OD已知AOB=110

32、，设BOC=(1)发现问题：发现OAD的大小不变为 (2)分析问题：当=150时，分析判断AOD的形状是 三角形(3)解决问题：请直接写出当为 度时，AOD是等腰三角形【答案】(1)50(2)直角(3)125或110或140【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到OBA+OAB=70，再由等边三角形的性质推出OBC+OAC=50，由旋转的性质可得DAC=OBC，则OAD=OAC+DAC=OAC+OBC=50；（2）由旋转的性质可得CO=CD，OCD=60，则OCD是等边三角形，得到COD=60，由此求出AOD=AOC-COD=40，则ADO=180-OAD-AOD=90，即可得到AOD是直角三

33、角形；（3）分OA=DA，OA=OD，AD=OD三种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出AOD的度数，进而求出AOC的度数，即可利用周角的定义求出答案【详解】（1）解：AOB=110，OBA+OAB=180-AOB=70，ABC是等边三角形，BAC=ABC=60，BAC+ABC=120，即OBA+OBC+OAB+OAC=120，OBC+OAC=50，将BOC绕点C顺时针方向旋转60得ADC，DAC=OBC，OAD=OAC+DAC=OAC+OBC=50，故答案为：50（2）解：将BOC绕点C顺时针方向旋转60得ADC，CO=CD，OCD=60，OCD是等边三角形，COD=60，AOC=36

34、0-AOB-BOC=100，AOD=AOC-COD=40，ADO=180-OAD-AOD=90，AOD是直角三角形，故答案为：直角；（3）解：当OA=DA时，则AOD=ADO=180-OAD2=65，AOC=AOD+COD=125，=360-AOB-AOC=125；当OA=OD时，则OAD=ODA=50，AOD=180-OAD-ODA=80，AOC=AOD+COD=140，=360-AOB-AOC=110；当AD=OD时，则DAO=DOA=50，AOC=AOD+COD=110，=360-AOB-AOC=140；综上所述，的度数为125或110或140时，AOD是等腰三角形【点睛】本题主要考查了

35、旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键【变式6-3】（2023春广东茂名八年级校考期中）如图，在ABC中，ACB=90，BAC=30，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个【答案】6【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可【详解】如图，AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2； 以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）

36、；以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）故符合条件的点有6个故答案为：6【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏【题型7 构造等腰三角形需分类讨论】【例7】（2023春江西上饶八年级校考阶段练习）有一三角形纸片ABC，A70，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两个纸片均为等腰三角形，则C的度数可以是 【答案】20或35或27.5【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出ADB，再求出BDC，然后根据等腰三角形两底角相

37、等列式计算即可得解【详解】由题意知ABD与DBC均为等腰三角形，对于ABD可能有ABBD，此时ADBA70，BDC180ADB18070110，C12（180110）35，ABAD，此时ADB12（180A）12（18070）55，BDC180ADB18055125，C12（180125）27.5，ADBD，此时，ADB18027040，BDC180ADB18040140，C12（180140）20，综上所述，C度数可以为20或35或27.5故答案为：20或35或27.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论【变式7-1】（2023春八年级课时练习）过等腰三角形底角顶点的一条直

38、线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 【答案】36或1807【分析】分两种情况画出图形，当BC=BD=AD，AB=AC时，设A=，得C=CDB=2ABC=C=2由A+ABC+C=180，则+2+2=180，即可得到=36；当AD=BD，BC=DC，AB=AC时，设A=得ABC=C=3则A+ABC+C=180，则+3+3=180，得=1807【详解】解：分两种情况讨论：如图（1），当BC=BD=AD，AB=AC时，设A=BD=AD，ABD=A=，CDB=ABD+A=2BC=BD，C=CDB=2AB=AC，ABC=C=2A+ABC+C=180，+2+2=180，解得=36如图（2），当AD=BD，BC=DC，AB=AC时，设A=AD=BD，A=ABD=BDC=A+ABD=2BC=DC，CBD=BDC=2，ABC=ABD+CBD=3AB=AC，ABC=C=3A+ABC+C=180，+3+3=180，