专题16 图形变换中的重要模型之旋转模型（解析版）.docx

1、专题16 图形变换中的重要模型之旋转模型几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。模型1.三角形中的旋转模型1）常规计算型例1（2020四川绵阳中考真题）如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC90，AB2，AD2，将ABC绕点C顺时针方向旋转后得，当恰好经过点D时，CD为等腰三角形，若B2，则A（）AB2CD【答案

2、】A【分析】过作于，则，根据矩形的性质得，根据旋转的性质得到，推出为等腰直角三角形，得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：过作于，则，四边形是矩形，将绕点顺时针方向旋转后得，为等腰三角形，为等腰直角三角形，设，则，（负值舍去），故选：【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键变式1（2022山西中考真题）综合与实践问题情境：在RtABC中，BAC=90，AB=6，AC=8直角三角板EDF中EDF=90，将三角板的直角顶点D放在RtABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，D

3、F分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；（3）如图，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）【分析】（1）由三角形中位线定理得到 ，证明A=AMD=MDN=90，即可证明结论；（2）证明NDC是等腰三角形，过点N作NGBC于点G，证明CGNCAB，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长ND，使DH=DN，证明BDHCDN，推出BH=CN，DBH=C，证明

4、MBH=90，设AM=AN=x，在RtBMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形理由如下：点M为AB的中点，点D为BC的中点，AMD+A=180，A=90，AMD=90，EDF=90，A=AMD=MDN=90，四边形AMDN为矩形；（2）在RtABC中，A=90，AB=6，AC=8 B+C=90，点D是BC的中点，CD=BC=5EDF=90，MDB+1=90B=MDB，1=CND=NC过点N作NGBC于点G，则CGN=90 CG=CD=C=C，CGN=CAB=90，CGNCAB，即，；（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，MDHN，MN

5、=MH，D是BC中点，BD=DC，又BDH=CDN，BDHCDN，BH=CN，DBH=C，BAC=90，C+ABC=90，DBH+ABC=90，MBH=90，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在RtBMH中，BM2+BH2=MH2，(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，线段AN的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题2）最值（范围）型例1（2022江苏常州一模）如图，在RtABC和RtCDE中，BACDCE90，ABAC4，CDCE2，以AB、AD

6、为邻边作平行四边形ABFD，连接AF若将CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是_【答案】【分析】证明当D，E，F共线时，AOF为等腰直角三角形，可得AF= AO，当AO有最小值时，AF最小，由此可得CO=， AO= AF=【详解】解：当D，E，F共线时，AF最小，如图所示，AB=AC，AB=DF，AC=DF，又FDC=ACD=45，DO=OC，OA=OF，AOF=90AF=AO，当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，CD=2，CO= ，AO= AF= 故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，寻找AF最小时的图形的

7、位置是解题的关键变式1（2021四川成都中考真题）在中，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长（2）作交于点D，作交于点E由旋转可得，再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，由三角形面积公式可求出再

8、利用勾股定理即可求出，进而求出最后利用平行线分线段成比例即可求出的长（3）作且交延长线于点P，连接由题意易证明，即得出再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点从而证明DE为的中位线，即即要使DE最小，最小即可根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值【详解】（1）在中，根据旋转性质可知，即为等腰三角形，即，（2）如图，作交于点D，作交于点E 由旋转可得，即，在中，即，（3）如图，作且交延长线于点P，连接，即，又，在和中 ，即点D为中点点E为AC中点，DE为的中位线，即要使DE最小，最小即可根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小

9、值为此时，即DE最小值为1【点睛】本题为旋转综合题考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题正确的作出辅助线为难点也是解题关键3）综合证明型例1（2021黑龙江中考真题）在等腰中，是直角三角形，连接，点是的中点，连接（1）当，点在边上时，如图所示，求证：（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图所示，当，点B在边AE上时，如图所示，猜想图、图中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明【答案】（1）见详解；（2）图中，图中，理由见详解【分析】（1）由

10、题意易得，则有，然后可得，进而可得AD垂直平分BC，则CD=BD，最后问题可求证；（2）取CD的中点H，连接AH、EH、FH，如图，由题意易得，则有EH垂直平分AD，HFA=CBA=45，进而可得EHF=EAF=45，然后可得点A、E、F、H四点共圆，则根据圆的基本性质可求解；如图，取BC的中点G，连接GF并延长，使得GM=CD，连接DM、EM、EG，AG，则有四边形CGMD是平行四边形，DM=CG=AC，进而可得ACDDME，则有CD=EM，EMD=DCA，然后可得EMG是等边三角形，最后问题可求解【详解】（1）证明：，点是的中点，ACB是等腰直角三角形，AD垂直平分BC，CD=BD，；（2

11、）解：图中，图中，理由如下：图：取CD的中点H，连接AH、EH、FH，如图， ，点是的中点，EH垂直平分AD，HFA=CBA=45，EHF=EAF=45，点A、E、F、H四点共圆，HFA=EAF=45，；图：如图，取BC的中点G，连接GF并延长，使得GM=CD，连接DM、EM、EG，AG，ADE是等边三角形，AGC是等边三角形，AC=CG，点是的中点，四边形CGMD是平行四边形，GCD=DMG，ACDDME（SAS），CD=EM，EMD=DCA，EMG是等边三角形，点是的中点，GF=MF，EFGM，【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函数、圆

12、的基本性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函数、圆的基本性质是解题的关键变式1（2021山东潍坊中考真题）如图1，在ABC中，C=90，ABC=30，AC=1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF（1）求证：BDABFE；（2）CD+DF+FE的最小值为 ；当CD+DF+FE取得最小值时，求证：ADBF（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判

13、断MPN的大小是否为定值若是，求出其度数；若不是，请说明理由 【答案】（1）见解答；（2）；见解答； （3）是，MPN=30【分析】（1）由旋转60知，ABD=EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；（2）由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值为CE，再由ACB=90，ABC=30，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，CBE=90，最后根据勾股定理求出CE即可；先由BDF为等边三角形得BFD=60，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，BFE=120=BDA，最后ADF=ADB-BDF=120-60=60，即证

14、；（3）由中位线定理知道MNAD且PNEF，再设BEF=BAD=，PAN=，则PNF=60-+，FNM=FAD=60+-，得PNM=120【详解】解：（1）证明：DBF=ABE=60，DBF-ABF=ABE-ABF，ABD=EBF，在BDA与BFE中，BDABFE（SAS）；（2）两点之间，线段最短，即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，CD+DF+FE最小值为CE，ACB=90，ABC=30，AC=1，BE=AB=2，BC=，CBE=ABC+ABE=90，CE=，故答案为：；证明：BD=BF，DBF=60，BDF为等边三角形，即BFD=60，C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，B

15、FE=120，BDABFE，BDA=120，ADF=ADB-BDF=120-60=60，ADF=BFD，ADBF；（3）MPN的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，MNAD且PNEF，AB=BE且ABE=60，ABE为等边三角形，设BEF=BAD=，PAN=，则AEF=APN=60-，EAD=60+，PNF=60-+，FNM=FAD=60+-，PNM=PNF+FNM=60-+60+-=120，BDABFEMN=AD=FE=PN，MPN=(180-PNM)=30【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线

16、的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 模型2.平行四边形中的旋转模型1）常规计算型例1（2022浙江宁波一模）如图，一副三角板如图1放置，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，此时四边形的面积是_【答案】【分析】延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和AED=75，推出ABCD，从而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出CF长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可【详解】解：如图2，延长CE交AB于点F，又，ABCD，四边形是平行四边形，即，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，平行

17、四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键变式1（2022广东广州一模）如图，将ABCD绕点A逆时针旋转到ABCD的位置，使点B落在BC上，BC与CD交于点E若AB3，BC4，BB1，则CE的长为_【答案】【分析】过点A作AMBC于点M，过点B作BNAB于点N，过点E作EGBC，交BC的延长线于点GBMBM，由勾股定理可得，AM，由等面积法可得，BN，由勾股定理可得，AN，由题可得，AMBEGC，ANBBGE，则，设CGa，则EGa，BG3+a，则，解得a最后由勾股定理可得答案【详解】解：如图，过点A作AMBC于点M，过点B作BNAB于点N，过点E作EGB

18、C，交BC的延长线于点G由旋转可知，ABAB3，ABBABC，ABBABBABC，BB1，AMBB BMBM， AM，SABB，1BN3，则BN，AN，AB/DC，ECGABC，AMBEGC90，AMBEGC，设CGa，则EGa，ABB+ABB+BAB180，ABB+ABC+CBC180，又ABBABBABC，BABCBC，ANBEGC90，ANBBGE，BC4，BB1，BC3，BG3+a，解得aCG，EG，EC故答案为：【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键2）最值（范围）型例1（2022广东深圳九年

19、级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，ABC45，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60得到BF，连接AF，则AF的最小值是_【答案】【分析】以AB为边向下作等边ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT=TK证明ABFKBE（SAS），推出AF=EK，根据垂线段最短可知，当KEAD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题【详解】解：如图，以AB为边向下作等边ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得ATTKBEBF，BKBA，EBFABK60，ABFKBE，ABFKBE（SAS），AFEK，根据垂线段最短可知，当KEAD时，KE的值最小，四边形ABCD是平

20、行四边形，ADBC，ABC45，BAD180ABC135，BAK60，EAK75，AEK90，AKE15，TATK，TAKAKT15，ATETAK+AKT30，设AEa，则ATTK2a，ETa，在RtAEK中，AK2AE2+EK2，a2+（2a+a）24，a，EK2a+a，AF的最小值为：故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题变式1（2022河南洛阳一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BC上运动（含B、C两点）连接A

21、E，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为_【答案】【分析】以AB为边向右作等边ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DMGH于M利用全等三角形的性质证明AGF60，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可【详解】解：如图，以AB为边向右作等边ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DMGH于M 四边形ABCD是平行四边形，B60，BAD120，ABG是等边三角形，BAGEAF60，BAGA，EAFA，BAEFAG，BAEGAF（SAS），BAGF60，点F在在平行于AB的射线GH上运动，HAGAGF60，AHG是等边三角形，ABAGAH

22、6，DHADAH4，DHMAHG60，DMDHsin60，根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题3）分类讨论型例1（2022江西寻乌县二模）如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段若点恰好落在平行四边形的边所在的直线上，则的长为_【答案】16或或【分析】如图1中，当点落在直线上时，作于，于则四边形是矩形解

23、直角三角形得到，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出BQ的长度；如图2中，当点落在上时，作于，交的延长线于设根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，即可求出BQ的长度；如图3中，当点落在上时，易知，即可求出BQ的长度【详解】如图1中，当点落在直线上时，作于，于则四边形是矩形 在中，是等腰直角三角形，；如图2中，当点落在上时，作于，交的延长线于设，在和中，在中，；如图3中，当点落在上时，；综上所述，BQ的长为16或或.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题变式1（2022

24、江苏九年级专题练习）在平行四边形ABCD中，AB5，BC10，高AH4，点E是边AD上任意一点，现将点B绕着点E逆时针旋转90到点，若点恰好在平行四边形的边上，则AE_【答案】1或【分析】分两种情况计算，当点在边BC上时，过点B作，交DA的延长线于点F，根据勾股定理可求得AF，再根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，可证得，即可求得AF；当点在边DC上时，过点作于点G，可证得，可得，再由即可求得【详解】解：当点在边BC上时，如图：过点B作，交DA的延长线于点F， 在中，是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，；当点在边DC上时，如图：过点B作，交DA的延长线于点F，过点作于点G，在

25、与中， ，四边形ABCD是平行四边形，即，解得，综上，AE的长为1或【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，是综合性较强的题，作出辅助线是解决本题的关键4）综合证明型例1（2022广西九年级期中）如图，在中，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：；是等边三角形；当时，；正确的是（）ABCD【答案】A【分析】由绕顶点A逆时针旋转至，得到AEFABC，又由BAD60，即可证明；由ABCD，得到EDHDAB60，又由ADBC，得到AEF120，进一步得DEH60，DHE60，结论

26、得证；过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，证明BHC、DMH和BHM是等边三角形，得到DHHMBHCHBCAD，点H为CD的中点，再证明CKHAKB，进一步得到AD3HK；过点C作CNAB的延长线于点N，分别用AD表示出ACF和的面积，即可得到结论【详解】解：将绕顶点A逆时针旋转至，AEFABC，EAFBAC，BAD60，CAFEAFCADBACCADBAD60，故正确；ABCD，EDHDAB60，ADBC，AEFABC180BAD120，DEH180AEF60，DHE180EDHDEH60，DHEEDHDEH60，DEH是等边三角形，故正确；过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，如图1

27、，EDH是等边三角形，BHCEHD60，ADBCHM，BCHEDH60，DHMBCH60，CBH180BCHBHC60，BHM180DHMBCH60，BHC是等边三角形，HMADBC，DHMBCH60，DMHBHM60，BHCBHMDHMDMH60，DMH和BHM都是等边三角形，DHHMBHCHBCAD，点H为CD的中点，CKHAKB，CHKABK，CKHAKB，AD3HK，2AD3HK错误，故错误；过点C作CNAB的延长线于点N，如图2，则BNC90，ABCD，DCN180BNC90，BCD60，BCN30，BNBCAD，CNBCAD，ANABBN2ADADAD，ACAD，由可知，CAF60

28、，ACAF，ACF是等边三角形，等边三角形ACF的高为ACAD， ,的边AB上的高CNAD，故正确，综上，正确，故选：A 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、图形的旋转、平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键变式1（2022山西阳泉一模）综合与实践【问题背景】如图1，平行四边形ABCD中，B60，AB6，AD8点E、G分别是AD和DC边的中点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F，显然，四边形DEFG是平行四边形【独立思考】(1)线段AE和线段CG的数量关系是：_(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上

29、时，如图2，连接AE和CG求AE的长；猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；【问题解决】(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和APC的度数【答案】(1)3AE4CG或或或等(2)，3AE4CG，或，或等，证明见解析；(3)，APC60【分析】（1）根据平行四边形性质结合中点即可得出结论；（2）利用三角函数值求线段长，再根据勾股定理求解即可；利用三角形相似的判定与性质直接求解即可；（3）利用三角形相似，再结合平行四边形的性质，根据勾股定理求出线段长；利用“8”字形的两个三角形角度关系得到即可

30、求解（1）解：点E、G分别是AD和DC边的中点，在平行四边形ABCD中，ADCB60，CDAB6，AD8，故答案为：3AE4CG或或或等（2）解：如图，过点E作EHAD于点H，在RtEDH中，EDA60，AHADHD826，在RtAHE中，根据勾股定理可得；3AE4CG或或或等，证明如下：由题可知：ADCCDG60，即，ADECDG，即3AE4CG或或或等；（3）过点作于，如图所示：,在平行四边形DEFG中，,即,【点睛】本题考查四边形综合，涉及到平行四边形的性质、中点性质、旋转不变性的运用、相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理求线段长、特殊角度直角三角形三边关系等知识点，熟练掌

31、握相关性质及判定，结合图形准确作出辅助线是解决问题的关键模型3.菱形中的旋转模型1）常规计算型例1（2022安徽黄山二模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，OD2，将BC绕点B逆时针旋转得到BE，交CD于点F，且使得DEBD若AC4DE，则CF_【答案】【分析】首先根据题目已知条件理清各边之间的关系，根据勾股定理求出DE,AC的长，再根据勾股定理求出菱形边长，利用相似：OBFDBE得出OF的长，再利用相似:DEFCMF得出CF的长【详解】设DE的长为x，AC=4DE,AC=4x，四边形ABCD为菱形，AO= ，ACBD,AOD为直角三角形， ，BC=AD,BC=,DEBD，DBE为

32、直角三角形，BE=，又BE=BC,，解得x=2，DE=2，AC=8,AO=OC=4,BC=DC=,设BE与AC交点为M，DEDB，ACDB，DEAC，即DEOM，O为DB中点， ,OM=1,又OC=4,MC=OC-OM=3,DECM, ,故填：【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似，解题本题的关键是利用勾股定理求出边长，再根据平行得出两组相似三角形变式1（2022安徽模拟预测）如图，将边长为3的菱形绕点逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点若，则的长为_【答案】#0.75【分析】延长交BC的延长线于点M，过点C作CNDM交于点N，根据菱形的性质和旋转的性质证明 ABADD

33、CM，求得2，CM1，再根据CNDM，得，代入即可求解【详解】解：如图，延长交BC的延长线于点M，过点C作CNDN交于点N，四边形ABCD是菱形ABBCCDAD3，BADC，ABCDDCMB 由旋转的性质得：， ，ADC， CDM+ADCDA ABDCM，DM，M CNDM CNDMCNEDE CE 故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键2）最值（范围）型例1（2022山东济宁模拟预测）如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着逆时针旋转，得到，连接，则的最小值

34、为（）ABCD【答案】B【分析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E，连接EC，EB，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E点重合，再在RtEBC中，EB=2，BC=4，求EC的长.【详解】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E，连接EC，EB，此时CE的长就是GB+GC的最小值；MNADHM=AE，HBHM，AB=4，A=60，MB=2，HMB=60，HM=1，AE=2，E点与E点重合，AEB=MHB=90，CBE=90，在RtEBC中，EB=2，BC=4，EC=2，故选B【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨

35、迹，是找到对称轴的关键变式1（2022江苏苏州校联考一模）如图，菱形ABCD的边长为，ABC60，对角线AC、BD交于点O点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转BCD的角度后得到对应的线段CF（即ECFBCD），DF长度的最小值为_【答案】3【分析】连接BE，作BHAD，由旋转的性质可得DCFBCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案【详解】解：连接BE，作BHAD交DA的延长线于H，菱形ABCD中，ABC=60，BCD=120ECF=120，BCD=ECF，BCE=DCF 由旋转可得：EC=FC，在BEC和DFC中，DCFBCE（SAS）

36、，DF=BE，即求DF的最小值转化为求BE的最小值在RtAHB中，BAH=60，AB=，BH=3，当E与H重合时，BE最小值是3，DF的最小值是3故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键3）综合证明型例1（2022江苏南京模拟预测）【探究发现】(1)如图1，正方形ABCD两条对角线相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等，在正方形绕点O旋转过程中，边交边AB于点M，边交边BC于点N线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是_；四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是_；【类比探究】(2)如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”

37、改为“含60的菱形ABCD”，即，且菱形与菱形ABCD的边长相等当菱形绕点O旋转时，保持边交边AB于点M，边交边BC于点N请猜想：线段BM、BN与AB之间的数量关系是_；菱形OMBN与菱形ABCD的面积关系是_；请你证明其中的一个猜想【拓展延伸】(3)如图3，把（2）中的条件“”改为“”，其他条件不变，则_；（用含的式子表示）_（用含的式子表示）【答案】(1)；(2)；(3)；或者 【分析】（1）根据正方形的性质可证OBMOCN，即可得答案；（2）连接MN，先证O，M，B，N四点共圆，可得是等边三角形，将绕点O顺时针旋转60得到，可得，再证，即可得答案；（3）由（1）和（2）的结论推导即可得答

38、案(1)解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，NOC+BON=90，OC= BO， ABO=OCB， 四边形A1B1C1O是正方形，MOB+BON=90，NOC=MOB，OBMOCN，BM=CN，BM+BN=CN+BN=BC=AB，BM+BN=AB，SOBM=SOCN S四边形OMBN=S正方形ABCD；(2)如下图，连接MN，四边形ABCD是菱形，O，M，B，N四点共圆，是等边三角形， ，将绕点O顺时针旋转60得到，边BN刚好落在AB上，即为MH，是等边三角形，；(3)由（1）可知：当DAB=A1OC1=90， ，由（2）可知：DAB=B1OD1=60，当DAB=B1OD1=，；由（1）可

39、知：当DAB=A1OC1=90，S四边形OMBN=S正方形ABCD， 即，同理由（2）可知：，即，当DAB=B1OD1=，【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质、菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，圆的性质，解题的关键是理解题意，证OBMOCN和是等边三角形变式1（2022重庆九年级统考期中）如图，在菱形和菱形中，点，在同一条直线上，是线段的中点，连接，（1）如图1，探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明；（2）如图1，若，求菱形的面积（3）如图2，将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，若，请直接写出与的数量关系【答案

40、】（1）线段与的位置关系是，证明见解析；（2）菱形面积为4；（3）【分析】（1）可通过构建全等三角形求解延长GP交DC于H，可证DHP和PGF全等，那么 HP=PG，DH=GF=BG，那么可得出CH=CG，于是CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CPPG；（2）由，得到是等腰直角三角形，则，得到菱形为正方形，即可求出面积；（3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是CHG是个等腰三角形，关键是证CDH和CBG全等，已知条件只有CD=

41、CB，我们可通过其他的全等三角形来得出CDH和CBG全等的条件DHP和FGP中，有一组对顶角，DP=PF，HP=PG，那么这两个三角形就全等，可得出DH=GF=BG，HDP=GFP，根据平行线间的内错角相等可得出，CDP=EFD，那么CDH=EFG=CBG，由此可得CDH和CBG全等，进一步即可证得结论【详解】解：（1）线段与的位置关系是，理由如下：如图1，延长交于点， 是线段的中点，由题意可知，= GB，四边形是菱形，是等腰三角形，（三线合一）；（2），是等腰直角三角形，HCG=90，DCAE，菱形为正方形，菱形面积为：（3） 如图2，延长到，使，连接，是线段的中点，四边形是菱形，点、又在一

42、条直线上，四边形是菱形，即，即【点睛】本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出全等三角形是解题的关键模型4.矩形中的旋转模型1）常规计算型例1（2022江西统考三模）如图，矩形ABCD中，将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转得到矩形AFGE，当点F落在边CD上时，连接BF、DE，则（）ABCD【答案】C【分析】由题意作辅助线过点E作于点H，并利用旋转的性质以及三角函数进行分析求解.【详解】解：如解图，过点E作于点H，在矩形ABCD中，.由旋转的性质可得，.，.，.故选C【点睛】本题考查矩形相关，综合利用旋转的性质以及三角函数相关性质进行求解.变

43、式1（2022江苏无锡校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB5，AD4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形ABCD，AB交CD于点E，且DEBE，则AE的长为 _【答案】【分析】根据旋转不变性得到ABAB5，设AECEx，在中结合勾股定理即可得出结论【详解】解：将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形ABCD，ABAB5，DEBE，AECE，设AECEx，DE5x，D90，AD2+DE2AE2，即，解得：x，即AE的长为（也可以写作4.1），故答案为：【点睛】本题考查了利用旋转的性质结合勾股定理求线段长解题过程中涉及到矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握几何图形旋转不变性及勾股定理求线段长是

44、解决问题的关键2）最值（范围）型例1（2022广东广州中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段BP，连接PP ，CP当点P 落在边BC上时，PPC的度数为_； 当线段CP 的长度最小时，PPC的度数为_【答案】 120#120度 75#75度【分析】由旋转性质及旋转角知BPP为等边三角形，得到PPB=60；当点P 落在边BC上时，PPC=180-PPB=120；将线段BA绕点B逆时针旋转60后点A落在点E，连接BE，得到ABPEBP(SAS)，再证明ABP为等腰直角三角形，进而得到EPB=APB=45，最后当CPEF于H时，

45、CP有最小值，由此可以求出PPC=EPC-EPP=90-15=75【详解】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段BP可知，BPP为等边三角形，PPB=60，当点P 落在边BC上时，PPC=180-PPB=180-60=120；将线段BA绕点B逆时针旋转60，点A落在点E，连接BE，设EP交BC于G点，如下图所示：则ABP=ABE-PBE=60-PBE，EBP=PBP-PBE=60-PBE，ABP=EBP，且BA=BE，BP=BP，ABPEBP(SAS),AP=EP，E=A=90，由点P 落在边BC上时，PPC=120可知，EGC=120，CGP=EGB=180-120=60，EBG与PCG

46、均为30、60、90直角三角形，设EG=x，BC=2y，则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP=CG=y-x，EP=EG+GP=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，EP=AB，又由ABPEBP知：AP=EP，AB=AP，ABP为等腰直角三角形，EPB=APB=45，EPP=60-EPB=60-45=15，当CPEF于H时，CP有最小值，此时PPC=EPC-EPP=90-15=75，故答案为：120，75【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质及等腰三角形的性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键变式1（2022江苏江阴

47、市华士实验中学一模）如图，在矩形ABCD中，点P为边AD上一个动点，连接CP，点P绕点C顺时针旋转得到点，连接并延长到点E，使，以CP、CE为邻边作矩形PCEF，连接DE、DF，则和面积之和的最小值为_【答案】【分析】过点D作DHPC于H，设PD=x，然后利用勾股定理求出PC、CH、EF的长，然后表示出面积，最后利用二次函数的性质求解即可【详解】解：如图，过点D作DHPC于H，设PD=x，四边形ABCD是矩形，AB=CD=3cm，PDC=90，DHPC，四边形PCEF是矩形，当时，有最小值，故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积、二次函数求最值等知识，够熟

48、练掌握相关知识成为解答本题的关键3）分类讨论型例1（2022江苏一模）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转（0360），得到矩形AEFG（1）当点E在BD上时，求证：AFBD；（2）当GCGB时，求；（3）当AB10，BGBC13时，求点G到直线CD的距离【答案】（1）见解析；（2）60或300；（3）25或1【分析】（1）先运用SAS判定FEADAB，可得AFEADEDEF，即可得出AFBD；（2）当GBGC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据DAG60，即可得到旋转角的度数（3）当BGBC时存在两种情况：画图根据勾股定理计算即可【详解】（1）由旋转可得，AEAB，AEFDAB

49、90，EFBCAD，AEBABE，FEADAB（SAS），AFEADB，又ABE+EDA90AEB+DEF，EDADEF，DEFAFE，AFBD；（2）如图1，当GBGC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，连接DG，GCGB，GHBC，四边形ABHM是矩形，AMBHADAG，GM垂直平分AD，GDGADA，ADG是等边三角形，DAG60，旋转角60； 当点G在AD左侧时，如图2，同理可得ADG是等边三角形，DAG60，旋转角36060300综上，的度数为60或300；（3）有两种情况：如图3，当BGBC13时，过G作GHCD于H

50、，交AB于M， AGBCBG，AMBM5，RtAMG中，由勾股定理得：MG12，ABCD，MHBC13，GH13+1225，即点G到直线CD的距离是25；如图4，过G作MHCD于H，交AB于M，同理得GM12，GH13121，即点G到直线CD的距离是1；综上，即点G到直线CD的距离是25或1【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角4）综合证明型例1（2022重庆一模）矩形ABCD中ADB30，AEF中，AFE90，AEF30，AEBD连接EC，点G是EC中点将AEF绕点A顺

51、时针旋转（0360）(1)如图1，若A恰好在线段CE延长线上，CD2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在线段EC上，连接BG证明：2（GCGB）DC；(3)如图3，若点F恰好落在线段BA延长线上，M是线段BC上一点，3BMCM，P是平面内一点，满足MPCDCE，连接PF，已知CD2，求线段PF的取值范围【答案】(1)(2)见解析(3)PF【分析】（1）如图1中，过点F作AHAE于H解直角三角形求出FH，HG，利用勾股定理解决问题即可（2）如图2中，连接AC交BD于M，连接BF，GM证明BAFBMG（SAS），推出BFMG，ABFMBF，推出FBGABM60，推出FBG是等边三

52、角形，可得结论（3）如图3中，连接AC，作线段CM的垂直平分线交EC于O，连接OM以O为圆心，OM为半径作O，作点O关于CM的对称点O，以O为圆心，OM为半径作O，推出MPCECD30，MPCMOC30，推出点P在CM两侧的两段优弧上，再根据rOFPFr+OF，求解即可(1)解：如图1中，过点F作AHAE于H 四边形ABCD是矩形，BAD90，ABCD2，ADB30，BD2AB4，AEBD，AEAB2，ABD903060，ABE是等边三角形，AEBEDE2，A，E，C共线，FHAE，FHEAFE90，AEF30，AFAE1，EF，FH，EH，EGCG1，GH1，FG(2)解：如图2中，连接AC

53、交BD于M，连接BF，GM四边形ABCD是矩形，AMMCBMDM，ABM90ADB60，ABM是等边三角形，AMBBAM60，AMMC，EGCGGMAE，GMAE，AMG+EAM180，AMG+60+FAB+60180，AMG+FAB60，AMG+BMG60，BAFBMG，MGAEAFAE，AFMG，ABMB，BAFBMG（SAS），BFBG，ABFMBF，FBGABM60，FBG是等边三角形，BGFG，GCGBGEFGBFAF，AECD2AF，2（GCGB）DC(3)解：如图3中，连接AC，作线段CM的垂直平分线交EC于O，连接OMEADDAC30，BAC60，BACCAE60，ABAE，A

54、CAC，ACBACE（SAS），ACBACE30，OEOC，MCO60，OMC是等边三角形，MOC60，以O为圆心，OM为半径作O，作点O关于CM的对称点O，以O为圆心，OM为半径作O，MPCECD30MPCMOC30，点P在CM两侧的两段优弧上，由题意，O，O的半径都是rCM，OF，OF，rOFPFr+OF，PF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键是变式1（2022四川眉山市东坡区模拟预测）如图，RtABE中，B=90，AB=BE，将ABE绕点A逆时针旋转45，得

55、到AHD，过D作DCBE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O下列结论：DE平分HDC；DO=OE；H是BF的中点；BC-CF=2CE；CD=HF，其中正确的有（）A5个B4个C3个D2个【答案】B【分析】根据B=90，AB=BE，ABE绕点A逆时针旋转45，得到AHD，可得，并且ABE和AHD都是等腰直角三角形，可证，根据，可得，根据三角形的内角和可得，即DE平分HDC，所以正确；利用，得到四边形是矩形，有，由有DE平分HDC，得，可得,，可证，利用 易证，则有，所以正确；过作于，并延长交于点，得，是的中点，是的中点，是的中点，所以正确；根据是等腰直角三角形，

56、是的中点，是的中点，得到，易证，所以正确；利用AAS证明，则有，易的，则不是直角三角形，并 ，即有：，所以不正确；【详解】解：RtABE中，B=90，AB=BE，又将ABE绕点A逆时针旋转45，得到AHD，并且ABE和AHD都是等腰直角三角形， ， ，,又 由三角形的内角和可得，即：DE平分HDC，所以正确；四边形是矩形，由有DE平分HDC，,在中，所以正确；过作于，并延长交于点，又是等腰直角三角形，是的中点， 四边形是矩形，是的中点，是的中点，所以正确；是等腰直角三角形，又是的中点，是的中点，即有：，所以正确；在和中，不是直角三角形，并 即有：，所以不正确；综上所述，正确的有，故选：B【点睛

57、】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键模型5.正方形中的旋转模型1）常规计算型例1（2022河南平顶山市模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点B在原点，点D的坐标为（4，4），将AB绕点A逆时针旋转60，使点B落在点B处，DEBB于点E，则点E的坐标为（）A B C D【答案】D【分析】分别延长AD和BE交于点F，过点E作EGx轴于点G，利用特殊角的三角函数求出BF、EF的长，进而求出BE，再利用特殊角的三角函数求出EG、BG的长即可得解.【详解】解：分别延长AD和BE交于点F，过点

58、E作EGx轴于点G，四边形ABCD是正方形，点D的坐标为（4，4），BAD=ABC=90，AB=AD=4，AB绕点A逆时针旋转60，点B落在点B处，ABB是等边三角形，ABB=60，EBC=30，F=30，BF=2AB=8，AF=BFsin60=，DF=AF-AD=-4，DEBB于点E，EF=DFcos30=，BE=BF-EF=2+，EG=BEsin30=，BG=BEcos30=，点E的坐标为故选：D【点睛】本题主要考查正方形、等边三角形、旋转的性质以及解三角形，根据旋转的性质判断ABB是等边三角形以及特殊角的三角函数的应用是解题的关键.变式1（2022辽宁辽宁中考真题）如图，在正方形ABCD

59、中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90得到CF，连接EF，点H为EF的中点连接OH，则的值为_【答案】【分析】以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EMCD于M，过F作FNDC，交DC延长线于N，设正方形ABCD的边长为2，从而求出E的坐标，然后根据待定系数法求出直线CE的解析式，即可求出G的坐标，从而可求出GE，根据旋转的性质可求出F的坐标，进而求出H的坐标，则可求OH，最后代入计算即可得出答案【详解】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EMCD于M，过F作FNDC，交DC延长

60、线于N，如图：设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（1，1），E为OE中点，E（，），设直线CE解析式为ykx+b，把C（1，1），E（，）代入得：，解得，直线CE解析式为，在中，令x1得y，G（1，），GE，将线段CE绕点C逆时针旋转90得到CF，CECF，ECF90，MCE90NCFNFC，EMCCNF90，EMCCNF（AAS），MECN，CMNF，E（，），C（1，1），MECN，CMNF，F（，），H是EF中点，H（，0），OH，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，两点间距离公式等知识，以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系是解题的关键2）最值

61、（范围）型例1（2022江苏扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90到EF，连接DF，CF，则DFCF的最小值是（）A4B4C5D2【答案】A【分析】连接BF，过点F作FGAB交AB延长线于点G，通过证明，确定点F在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在AB的延长线上，当D、F、三点共线时，DFCF最小，通过勾股定理即可求得长度【详解】解：如图，连接BF，过点F作FGAB交AB延长线于点G，ED绕点E顺时针旋转90到EF，EDEF，又在中，在和中，FGAE，EGDA，点F在BF的射线上运动，作点C

62、关于BF的对称点，EGDA，EGDA，EGEBDAEB，即BGAE，BGFG，是等腰直角三角形，点在AB的延长线上，当D、F、三点共线时，DFCF最小，在中，AD4，DFCF的最小值为，故选：A【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、轴对称性质、最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键变式1（2022安徽合肥二模）正方形中，点E为边上一动点（不与A、B重合），将绕点D逆时针旋转90得到，过E作交于点G则的最小值为（）A2BCD3【答案】D【分析】设GC=y，AE=x，根据题条件易证得，即有，代入相关数值化简后，有，则可知y的最小值，即GC的最小值得解【详解】设GC=y，

63、AE=x，结合正方形边长为4，即BE=AD-AE=4-x，BG=BC-GC=4-y，根据旋转可知EDF=90，即EDDF，即GED=90，AED+GEB=90，GEB+BGE=90，AED=EGB，B=A=90，即，化简得：，则当x=2时，y有最小值为3，GC的最小值为3，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质和二次函数的最值问题，证得，得到，以此构造二次函数是解答本题的关键3）路径（轨迹）型例1（2022浙江九年级期末）如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C

64、，则点M经过的路径长为（）A2BCD4【答案】B【分析】已知EFAE，当E点在线段BC上运动到两端时，正好是M点运动的两个端点，由此可以判断M点的运动轨迹是BC、CD中点的连线长.【详解】解：取BC、CD的中点G、H，连接GH，连接BD GH为BCD的中位线，即将AE绕点E顺时针旋转90至EF，EFAE，当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C点处时，M点在CD中点处，点M经过的路径长为GH的长，正方形ABCD的边长为4，故选B【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和中位线定理，解题的关键在于找到M点的运动轨迹.变式1（2022山西九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为

65、，点O为正方形的中心，点F为边AB的中点，点G为线段AF上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作，垂足为点E，当点G从点A运动到点F时，点E所经过的路径长是（）ABCD【答案】A【分析】连接OD、OA，由题意易得OD=OA=2，DEO=90，进而可得点E是在以OD为直径的圆上运动，然后根据点G从点A移动到点F时，点E的运动轨迹刚好是四分之一圆，进而可求解【详解】解：连接OA、OD，如图所示： 点O为正方形的中心，OAOD，OAD=45，OAD是等腰直角三角形，AD=，OA=OD=2，点E是以OD为直径的圆的运动轨迹，如图所示：点G从点A移动到点F时，点E的运动轨迹刚好是四分之一圆，点E所经过的

66、路径长为：，故选A【点睛】本题主要考查圆的基本性质及弧长计算公式，关键是根据题意得到动点的运动路径是圆弧，然后根据弧长计算即可4）分类讨论型例1（2022云南昆明统考二模）如图，大正方形中，小正方形中，在小正方形绕点旋转的过程中，当，三点共线时，线段的长为_【答案】或【分析】在正方形中，根据勾股定理求得；在正方形中，根据正方形的性质可得；在RtAGC中，根据勾股定理求得，再分两种情况求CF的长即可【详解】连接AC，正方形中，；正方形中，；当，三点共线时，如图1，在RtAGC中，； 当，三点共线时，如图2，在RtAGC中，综上，CF的长为或故答案为：或【点睛】本题考查了正方形的性质及勾股定理，解

67、决问题时要注意本题有两种情况，不要漏解变式1（2022湖北模拟预测）如图，以AB为边作边长为8的正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ8，若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向D点运动，点Q只能在线段AD上运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长为_【答案】4+8【分析】根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解【详解】（1）当P在AB上，Q在AD上时，AO，由圆的定义可以知O的轨迹为EF这段圆弧（2）同理当P在CD上，Q在AD上时，DO，由圆的定义可以知O的轨迹为EG这段圆弧（3）

68、Q在AD上，P在BC上，可知PQAB，O的运动轨迹为FG这条线段综上分析：O的运动路径长为：4+8 故答案：4+8【点睛】本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题5）综合证明型例1（2022辽宁盘锦中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，ECF为等腰直角三角形，ECF90，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将RtECF绕点C顺时针旋转，旋转角为（0360）(1)如图1，当0时，DG与PG的关系为；(2)如图2，当90时求证：AGDFGM；（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由【答案】(

69、1)且(2)见解析；成立，理由见解析【分析】（1）先判断出，得出，再用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理、三角形外角和定理，即可得出结论；（2）先判断出，再判断出，即可得出结论；由知，得，得出，根据题（1），得出，得，得又根据点是的中点，是的中位线，等量代换得根据得，且，推出，又根据，同旁内角互补，得，即（1）解：四边形ABCD是正方形，为等腰直角三角形CECF，点是的中点为中点，为中点是的中位线，又在中且故且故答案是：DG=PG且DGGP；（2）证明：四边形是正方形，点是的中点在和中解：（1）中的结论且成立证明：由知，又，点是的中点又为中点，为中点是的中位线，又又故且【点睛

70、】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是全等三角形性质，三角形中位线定理，等量代换的转换运用变式1（2022南充中考真题）如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接给出下列四个结论：；点P是直线上动点，则的最小值为；当时，的面积其中正确的结论是_（填写序号）【答案】【分析】根据全等三角形判定即可判断；过D作DMCA1于M，利用等腰三角形性质及折叠性质得ADE+CDM，再等量代换即可判断；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，知P、

71、A、C共线时取最小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断；过点A1作A1HAB于H，借助特殊角的三角函数值求出BE，A1H的长度，代入三角形面积公式求解即可判断【详解】解：四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=90，由旋转知，A1BA2=90，A1B=A2B，ABA1=CBA2，ABA1CBA2，故正确；过D作DMCA1于M，如图所示，由折叠知AD=A1D=CD，ADE=A1DE，DM平分CDA1，ADE+CDM=45，又BCA1+DCM=CDM+DCM=90，BCA1=CDM，ADE+BCA1=45，故正确；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，即PA1+PC=PA+PC

72、，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为，故正确；过点A1作A1HAB于H，如图所示，=ADE=30AE=tan30AD=，DE=，BE=AB-AE=1-，由折叠知DEA=DEA1=60，AE=A1E=，A1EH=60，A1H=A1Esin60=，A1BE的面积=，故错误，故答案为：【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、折叠性质及解直角三角形等知识点，综合性较强课后专项训练1（2022浙江九年级期末）如图，在中，将点绕点逆时针旋转得到点，点落在线段上，在线段BE上取点，使，连结，则的长为（）A2BCD【答案】C【分析】根据已知条件利用勾股定理求得，进而求

73、得，通过角度的计算可得，从而可求得，根据即可求得【详解】过点作于点，四边形是平行四边形，, 故选C【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟悉几何图形的性质是解题的关键2（2022河南模拟预测） 如图，在菱形OBCD中，OB=1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD绕顶点O顺时针旋转90，得到菱形OBCD，则点C的坐标为（）A（，）B（，-）C（，-）D（，）【答案】B【分析】先求出菱形的内角度数，过C作CHy轴于H点，在RtCBH中，利用特殊角度数及边长求解CH和BH长，则C点坐标可求【详解】解：四边形OBCD是菱形，相邻两内角之比为1：2，C=BOD=60，D=OB

74、C=120根据旋转性质可得OBC=120，CBH=60过C作CHy轴于H点，在RtCBH中，BC=1，BH=，CH=OH=1+=所以C坐标为（，-）故选：B【点睛】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，以及坐标与图形变化，解决此类问题要熟知旋转后的不变量，求点D坐标构造直角三角形4（2022山东滕州市一模）在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设AEM= （0 90），给出四个结论：AM CNAME BNEBNAM 2 .上述结论中正确的个数是A1B2C

75、3D4【答案】C【详解】试题解析：如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EFBC于点F，则有AB=AE=EF=FC，AEM+DEN=90，FEN+DEN=90，AEM=FEN，在RtAME和RtFNE中，AEM=FEN，AE=EF，MAE=NFE，RtAMERtFNE，AM=FN，MB=CN AM不一定等于CN，AM不一定等于CN，错误，由有RtAMERtFNE，AME=BNE，正确，由得，BM=CN，AD=2AB=4，BC=4，AB=2BNAM=BCCNAM=BCBMAM=BC（BM+AM）=BCAB=42=2，正确，如图，由得，CN=CFFN=2AM，AE=AD=2，AM

76、=FNtan=，AM=AEtancos=， ，=1+=1+=1+，=2（1+）SEMN=S四边形ABNESAMESMBN=（AE+BN）ABAEAMBNBM=（AE+BCCN）2AEAM（BCCN）CN=（AE+BCCF+FN）2AEAM（BC2+AM）（2AM）=AE+BCCF+AMAEAM（2+AM）（2AM）=AE+AMAEAM+=AE+AEtantan+=2+2tan2tan+2=2（1+）=，正确故选C5（2020湖北孝感中考真题）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，则的长为（）ABC4D【答案】B【分析】根据正方形性质和已知条

77、件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x，然后再证明ABGCEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可【详解】解：，BC=BG+GC=2+3=5正方形CD=BC=5设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+xAHEF，ABG=C=90HFG+AGF=90，BAG+AGF=90HFG=BAGABGCEF ,即，解得x=CE=CD-DE=5-=故答案为B【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长是解答本题的关键6（2022四川眉山中考真题）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，

78、点，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，以下结论：；其中正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断正确；利用三角形相似的判定及性质可知正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知正确【详解】解：旋转得到，为正方形，在同一直线上，故正确；旋转得到，故正确；设正方形边长为a，即，是等腰直角三角形，即，解得：，故正确；过点E作交FD于点M，故正确。综上所述：正确结论有4个，故选：D【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的

79、关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解7（2022江苏扬州三模）如图，在等边ABC和等边CDE中，AB6，CD4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF若将CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是_ 【答案】【分析】过点F作GFCD，过点C作GCDF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可【详解】如图，过点F作GFCD，过点C作GCDF，二线交于点G， 四边形DFGC是平行四边形，GF=CD=4,点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，当A、F、G三点共线时，AF最小，四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是

80、平行四边形，ABDFCG，AB=DF=CG，四边形ABGC是平行四边形，AB=AC，四边形ABGC是菱形，AG，BC互相垂直平分，设交点为H，ABC是等边三角形，ABC=60，AH=ABsin60=，AG=2AH=，AF=AG-FG=故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的最值性，特殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键8（2022山东济南九年级统考期末）如图，在ABCD中，AB5，AD3，A60，E是边AD上且AE2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60，得到EG，连接BG、DG，则BGDG的最

81、大值为_【答案】1【分析】如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN， GN， 可证明AEN是等边三角形，AEN=FEG=60，EA=EN，从而可证明AEFNEG得到ENG=A=60，进而推出GNB=60，则点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BMNG交CD延长线于M，连接MG，DG，先求出，证明四边形ANTD是平行四边形，得到NT=AD=3，DT=AN=2，然后证明MKTBKN得到MK=BK，MT=BN=3，MD=1，NT垂直平分BM，进而推出当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM【详解】解：如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN， GN， 由旋

82、转的性质可知EF=EG，FEG=60，AE=2DE，AD=3AE=2，DE=1，AE=AN，A=60，AEN是等边三角形，AEN=FEG=60，EA=EN，AEF=NEG，EA=EN，EF=EG，AEFNEG（SAS），ENG=A=60，ANE=60，GNB=180-60-60=60，点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BMNG交CD延长线于M，连接MG，DG，BKN=90，BNK=60，NBK=30，AB=5，AN=AE=2，BN=3，BNK=A=60，四边形ABCD是平行四边形，四边形ANTD是平行四边形，M=KBN，NT=AD=3，DT=AN=2，NK=TK，又MKT=BKN，MKTBKN

83、（AAS），MK=BK，MT=BN=3，MD=1，NT垂直平分BM，BG=MG，MG-DGMD，BG-DGMD，当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM，MG-DG的最大值为1，故答案为1【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形确定点G的运动轨迹是解题的关键9（2022江苏南京市花园中学模拟预测）中， ，对角线AC，BD交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上处，点C落在处，交AD于点P，则的面积是_【答案】【分

84、析】过点作，作，为垂足，根据，可证是直角三角形，可求各边长，以及的长，由可求的长，即可求的面积【详解】解：过点作，作，为垂足，是平行四边形，在中，旋转，且，故答案为【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是灵活运用这些性质解决问题10（2022山西九年级专题练习）如图，菱形ABCD中，AB12，ABC60，点E在AB边上，且BE2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为_【答案】【分析】在上取一点，使得，连接，作直线交于，过点作于，先根据等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理证出，

85、根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此可得点在射线上运动，再根据垂线段最短可得当点与点重合时，的长最小，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，最后在中，解直角三角形即可得【详解】解：在上取一点，使得，连接，作直线交于，过点作于，是等边三角形，是等边三角形，即，在和中，点在射线上运动，由垂线段最短可知，当点与点重合时，的长最小，四边形是菱形，四边形是平行四边形，即长的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确找出点的运动轨迹是解题关键11（2022新疆中考真题）如图，四边形AB

86、CD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则_【答案】【分析】通过DFQ=DAQ=45证明A、F、Q、D四点共圆，得到FDQ=FAQ=45，AQF=ADF，利用等角对等边证明BQ=DQ=FQ=EQ，并求出，通过有两个角分别相等的三角形相似证明，得到，将BQ代入DE、FQ中即可求出【详解】连接PQ，绕点D顺时针旋转与完全重合，DF=DE，EDF=90，DFQ=DEQ=45，ADF=CDE，四边形ABCD是正方形，AC是对角线，DAQ=BAQ=45，DFQ=DAQ=45，DFQ、DA

87、Q是同一个圆内弦DQ所对的圆周角，即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆），FDQ=FAQ=45，AQF=ADF，EDQ=90-45=45，DQE=180-EDQ-DEQ=90，FQ=DQ=EQ，A、B、C、D是正方形顶点，AC、BD互相垂直平分，点Q在对角线AC上，BQ=DQ，BQ=DQ=FQ=EQ，AQF=ADF， ADF=CDE，AQF=CDE，FAQ=PED=45，BQ=DQ=FQ=EQ，DQE=90，故答案为：【点睛】本题综合考查了相似三角形、全等三角形、圆、正方形等知识，通过灵活运用四点共圆得到等弦对等角来证明相关角相等是解题的巧妙方法12（2021江苏宿迁中考真题）已知正方形A

88、BCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周(1)如图，连接BG、CF，求的值；(2)当正方形AEFG旋转至图位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由旋转的性质联想到连接，证明即可求解；（2）由M、N分别是CF、BE的中点，联想到中位线，故想到连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH，则可证即可得到，再由四边形内角和为可得，则可证明，即是等腰直角三角形，最后利用中位线的性质即可求

89、解；（3）Q、N两点因旋转位置发生改变，所以Q、N两点的轨迹是圆，又Q、N两点分别是BF、BE中点，所以想到取AB的中点O，结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答【详解】解：（1）连接 四边形ABCD和四边形AEFG是正方形分别平分 即且都是等腰直角三角形（2）连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH是CF的中点又在四边形BEFC中又即即又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形三角形BEH是等腰直角三角形M、N分别是BH、BE的中点（3）取AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF 在中，O、Q分别是AB、BF的中点同理可得所以QN扫过的面积是以O为圆心，和为半径的圆环的面积【点睛】本题考察旋

90、转的性质、三角形相似、三角形全等、正方形的性质、中位线的性质与应用和动点问题，属于几何综合题，难度较大解题的关键是通过相关图形的性质做出辅助线13（2022江苏南通中考真题）如图，矩形中，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值【答案】(1)见详解(2)或(3)【分析】（1）证明即可得证（2） 分情况讨论，当点E在BC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EGAB于点G，FHAC于点H，借助并利用勾股定理求解即可（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点

91、F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可（1）如图所示，由题意可知，由旋转性质知：AE=AF，在和中， （2）当点E在BC上时 在中，则，在中，则，由（1）可得，在中，则，当点E在CD上时，如图，过点E作EGAB于点G，FHAC于点H，同（1）可得，由勾股定理得；故CF的长为或（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，由（1）知，故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小在与中，即，在与中，即，故的最小值；如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，由题意可知，在与中，故点F在RF上运动，当点F与

92、点K重合时，DF的值最小；由于，故四边形DQRK是矩形；，故此时DF的最小值为；由于，故DF的最小值为【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用14（2022黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣如图，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH将BEF绕点B旋转，

93、线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化当BEF绕点B顺时针旋转90时，请解决下列问题：(1)图中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图中，AB=2，BC=3，则 ；(3)当AB=m , BC=n时 (4)在（2）的条件下，连接图中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得ABC（如图)点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分APN，则CM长为 【答案】(1)，证明见解析(2)(3)(4)【分析】（1）先证明ABFCBE，得AF=CE，再根据

94、中位线性质得GH=，等量代换即可；（2）连接AF，先证明ABFCBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；（3）连接AF，先证明ABFCBE，用含m、n的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；（4）过M作MHAB于H，根据折叠性质得C=MPN，根据角平分线证明出C=PMH，设CM=PM=x，HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用AHMABC，得到，代入解方程即可【详解】（1）解：，理由如下：AB=BC，四边形ABCD为矩形，四边形ABCD为正方形，ABC=CBE=90，E、F为BC，AB中点，BE=BF，ABFCBE，A

95、F=CE，H为DF中点，G为AD中点GH=，（2）解：，连接AF，如图所示， 由题意知，BF=1，BE=，由矩形ABCD性质及旋转知，ABC=CBE=90，ABFCBE，AF：CE=2:3，G为AD中点，H为DF中点，GH=，故答案为：（3）解：，连接AF，如图所示，由题意知，BF=，BE=，由矩形ABCD性质及旋转知，ABC=CBE=90，ABFCBE，AF：CE=m：n，G为AD中点，H为DF中点，GH=，故答案为：（4）解：过M作MHAB于H，如图所示，由折叠知，CM=PM，C=MPN，PM平分APN，APM=MPN，C=APM，AB=2，BC=3 AC=，设CM=PM=x，HM=y，由

96、知，即，HMBC，AHMABC，即，解得：x=，故答案为：【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键15（2022福建泉州九年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，BAD60，以点A为旋转中心，将菱形ABCD逆时针旋转（030）得到菱形，交对角线AC于点M，边AB的延长线交于点N（1）当时，求的度数；（2）如图2，对角线BD交AC于点H，交AN于点G，延长交AD于点E，连接EH，若菱形ABCD的周长为正数a，试探索：在菱形ABCD绕点A逆时针旋转（030）的过程中，的周长是否为定值，若是

97、，试求出此定值；若不是，请说明理由【答案】（1）15；（2）为定值，【分析】（1）先利用SAS判断出ADMABN（SAS），得出DAMBAN，再判断出CAD302，即可得出结论；（2）先判断出ABAD，再判断出ABGADE60，进而利用ASA判断出ABGADE，得出BGDE，AGAE，进而判断出AGHAEH（ASA），得出HEHG，即可得出结论【详解】解：（1）菱形ABCD是由菱形ABCD旋转所得，ABAD，ABNADM，又，ADMABN（SAS），DAMBAN，又AC为菱形ABCD的对角线，且BAD60，CAD30DAM+DAD2，15；（2）菱形ABCD是由菱形ABCD旋转所得，BAGDA

98、E，菱形ABCD的周长为aABAD ，又BADBAD60，ADC120，且ADE60，ABGADE（ASA），BGDE，AGAE，又GAHHAE30，AGHAEH（ASA），HEHG，ABAD，BAD60，ABD是等边三角形，BDAB，EHD的周长HD+HE+DEHD+HG+BGBD，三角形EHD的周长为定值【点睛】此题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，判断出ABGADE是解本题的关键16（2022重庆二模）如图1，在平行四边形中，等腰绕点旋转，连接(1)当，时，求的长(2)如图2，若、分别是、的中点，连接、，猜想线段、的数量关系并证明；(3)如图3，若，在旋转过程中，

99、连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，连接，请直接写出的面积【答案】(1)(2)；理由见详解(3)【分析】（1）过点F作FH BC，垂足为点C，通过平行四边形的性质及等量代换求得ACE =FCB，得到，设FH=x，则CH=2x，通过勾股定理求得BF的长；（2）连接AE、PH，延长BF交AE于点M，先证明ACEFCB（SAS），再由中位线定理得，=，=，最后证得是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）可以得出当，共线时的面积最小，据此解答即可(1)解：如图1，过点F作FH BC，垂足为点C，四边形中是平行四边形，AD=BC，ADBC，ACB=90，ACE+ACF=ACF+FCB，AC

100、E =FCB，RtCFH中，设FH=x，则CH=2x，解得：x=1（负值舍去），FH=1，则CH=2，BH=BC-CH=4-2=2，BH=CH=2，FH是BC的垂直平分线，BF=FC=；(2)如图2，连接AE、PH，延长BF交AE于点M， ，ACE+ACF=ACF+FCB，ACE =FCB，ACEFCB（SAS），EAC =FBC，若、分别是、的中点，=，=，EAC =FBC，且对顶角相等，是等腰直角三角形，(3)如图，连接AE，FH，作CGEF，HMBF，垂足分别为点G，M，由题意可知，当，共线时的面积最小，此时BFC=135，AB=CD=，EF=2，CG=BG=GF=1，BE=4，BF=2

101、，把沿着翻折到与同一平面内得到，FHBC，设BM=t，则FM=2-t，解得：，的面积最小为【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，中位线定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题17（2021山东济南中考真题）在中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形连接（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；（2）当时，如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，当，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；平行

102、四边形，理由见解析；【分析】（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得；（2）根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及的结论可得,根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形【详解】（1）如图1， ，是以为斜边等腰直角三角形，,，即；（2）仍然成立，理由如下：如图2，是以为斜边等腰直角三角形，,，即，即；四边形是平行四边形，理由如下：如图3，过作，连接, 交于点，是以为斜边等腰直角三角形，三点共线， ，由可知，是以为斜边等腰直角三角形，,，即，四边形是平行四边形【

103、点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键18（2020重庆中考真题）ABC为等边三角形，AB=8，ADBC于点D，E为线段AD上一点，AE= 以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；（2）如图2，将AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为，M为线段EF的中点，连接DN，MN当30120时，猜想DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN在AEF绕点A逆时

104、针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出ADN的面积【答案】（1）NG=；（2）DNM的为定值120，证明见详解；（3）AND的面积为【分析】（1）证明CGE=90，求出DE=，EC=2，根据直角三角形性质即可求解；（2）证明BEDN，MNCF，ABEACF，得到因此DGC=BHC，ENM=ECF，ABE=ACF，通过角的代换即可求解；（3）取AC中点P，因为BP+PNBN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大求出BN=，设BP与AD交于O，NQAD于Q，根据ONQOBD，可求得NQ=，问题得解 【详解】解：（1）ABC为等边三角形，AB=8，ADBC于点D，DAC=30,CD=， ， ，

105、，三角形AEF是等边三角形， N为CE的中点（2）DNM的为定值120连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图，D、N、M分别为BC、CE、EF中点，DN、MN分别为BCE、ECF中位线，BEDN，MNCF，ABC、AEF都是等边三角形，AB=AC,AE=AF, ABEACFDGC=BHC，ENM=ECF，ABE=ACF又BHC=ABE+BAH=ABE+60，DGC=ABE+60=ACF+60又DGC=DNC+GCN=DNC+ACF-ECF，DNC=60+ECF=60+ENM，DNE=180-DNC=120-ENM，DNM=DNE+ENM=120（3）AND的面积为，如图，取AC中点P，因为BP+PNBN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大BN=BP+PN=BP+AE= 设BP与AD交于O，NQAD于Q，如图，BO=BP=，ON=，BD=4，由题意得ONQOBD，NQ=，AND的面积为：ADNQ=【点睛】本题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，中位线定理，相似等知识，综合性较强，熟知图形变化规律，根据题意正确画出图形是解题关键