专题17 四边形周长求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题17 四边形周长求最值问题1（2021四川遂宁中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），对称轴为直线，直线y2xm经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN2，若将线段MN在直线y1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）【答案】（1）；m=2；（2）存在，或；（3）【

2、分析】（1）根据抛物线的对称性求出A（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A坐标代入直线的解析式，即可求出m的值；（2）先求出E（-5，12），过点E作EPy轴于点P，从而得，即可得到P的坐标，过点E作，交y轴于点，可得，再利用tanADO=tanPE，即可求解；（3）作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN，交直线y=1于点N，在中和 中分别求出EF， ，进而即可求解【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，对称轴为直线，A（1，0），设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，3）

3、代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即：，直线y2xm经过点A，0=-21+m，解得：m=2；（2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=-2x+2，又直线y=-2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E， 当x=0时，y=2，即D（0，2），联立，解得：，点E在第二象限，E（-5，12），过点E作EPy轴于点P，ADO=EDP，DOA=DPE=90，P（0，12）；过点E作，交y轴于点，可得，ED+PED=PE+PED=90，ADO=ED=PE，即：tanADO=tanPE，即：，解得：，（0，14.5），综上所述：点P的坐标为（0，

4、12）或（0，14.5）；（3）点E、F均为定点，线段EF长为定值，MN=2，当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小，作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN，交直线y=1于点N，由作图可知：，又三点共线，EM+FN=，此时，EM+FN的值最小，点F为直线y=-2x+2与直线x=-1的交点，F（-1，4），（-3，4），又E（-5，12），（-5，-10），延长F交线段E于点W，F与直线y=1平行，FWE，在中，由勾股定理得：EF=，在中，由勾股定理得：=，四边形MEFN的周长最小值=ME+FN+EF+MN=【点睛】本

5、题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键2（2021新疆沙依巴克中考三模）如图，抛物线经过点，与轴交于点和点（点在点的右边），且（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图1，点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；（3）如图2，点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3：5两部分，求点的坐标【答案】（1），顶点坐标为（1，4）； （2）四边形的周长的最小值为；（3）点的坐标为（4，5）或（8，45）.【分析】（1）根据待定系数法求得a、b、c的值即可确定抛物线

6、的解析式，再利用配方法得出顶点坐标（2）把向下移1个单位得点，再作关于抛物线的对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点，再在对称轴上点上方取点，使得，连接，此时四边形的周长最小，根据勾股定理即可得出（3）分或两种情况讨论即可【详解】解：（1）点，,把、三点坐标代入，得，解得，抛物线的解析式为：，顶点坐标为（1，4）； （2）把向下移1个单位得点，再作关于抛物线的对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点，再在对称轴上点上方取点，使得，连接，此时四边形的周长最小，则,对称轴是直线，,四边形的周长的最小值为；（3）如图，设直线交轴于点， 直线把四边形的面积分为3：5两部分，又，则或5:3，则或1.5，即点的

7、坐标为（1.5，0）或（0.5，0），将点的坐标代入直线的表达式：，解得：或2，故直线的表达式为：或，联立方程组解得：（不合题意值已舍去），解，解得：8（不合题意值已舍去），故点的坐标为（4，5）或（8，45）.【点睛】本题考查二次函数综合题、涉及待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与性质，勾股定理、轴对称、一次函数等知识，灵活掌握相关知识是解题的关键3（2021山东曹县九年级期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于，两点，与轴交于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，求点的坐标（3）设点，是直线上两动点，且，点在点上方，求

8、四边形周长的最小值【答案】（1）；（2）点的坐标为或或或；（3）【分析】（1）先求得点B的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC的函数表达式，分点M在直线BC的上方和下方两种情况讨论，分别得到一元二次方程，解方程即可求解；（3）根据题意知当最小时，四边形的周长最小过B作BF轴于B，并截取BF=DE=1，过F作FDBE交直线x=3于D，根据轴对称的性质得到CD+ AE的最小值为CF，利用两点之间的距离公式即可求解【详解】解：（1）点B与点A关于直线x=3对称，点B的坐标为(8，0)，解得，抛物线的函数表达式为；（2）当x=0时，y=4,点的坐标为(0，4)，设直线的函数表达式为，则

9、解得，设点的坐标为，则点的坐标为当点M在直线BC的上方时，则，整理得，解得，,点的坐标为(2，6)或 (6，4)；当点M在直线BC的下方时，则，整理得，解得，的坐标为或；所以点的坐标为(2，6)或 (6，4)或或；（3），C(0，4)，又，当最小时，四边形的周长最小点B与点A关于直线x=3对称，AE=BE，过B作BF轴于B，并截取BF=DE=1，连接CF，点F的坐标为(8，1)，过F作FDBE交直线x=3于D，四边形FDEB是平行四边形，FD=EB=AE，CD+ AE= CD+ FDCF，CD+ AE的最小值为CF，C(0，4)，F (8，1)，CF=，四边形ACDE的周长最小值为AC+DE+

10、CF=【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象与性质，轴对称的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件4（2021四川岳池中考三模）抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点（1）如图1，连接，求线段的长；（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标【答案】（1）；（2）四边形周长的最小值为，对应的点的坐标为【分析】（1）根据抛物线解析式即可求出点C和点D坐标，再利用两点的距离公式即可求出结果（2）

11、根据题意可求出，从而求出直线的解析式，即可设，由此即可用x表示出PF和EF的长在中，利用勾股定理可求出，即说明，从而得出，即可用x表示AE的长再利用，即可用x表示的长为：，根据二次函数的顶点式即可知，当的值最大时，此时，由此可求出的长，由题意可知，即要使四边形周长的最小，即的值最小即可将点向右平移个单位长度得点，连接，则，再作点关于轴的对称点，则，由所做图形易得，即求出的长即可求出四边形的周长最小值，最后利用点为的中点，即可求出坐标，从而得到坐标【详解】（1）当时，代入抛物线解析式得：，将抛物线一般式改为顶点式为：，；（2）在中，令，则，解得：，易得直线的解析式为：，设，在中，当的值最大时，此

12、时，要使四边形周长的最小，即的值最小，如图，将点向右平移个单位长度得点，连接，则，再作点关于轴的对称点，则，连接与轴的交点即为使的值最小时的点，即将向左平移个单位长度即得点，在中，对应的点的坐标为，即四边形周长的最小值为【点睛】本题为二次函数综合题考查抛物线图象与坐标轴的交点问题，抛物线的顶点式与最值问题，利用待定系数法求一次函数解析式，两点的距离公式以及轴对称变换等知识，为压轴题，困难题型利用数形结合的思想是解答本题的关键5（2021山东济南外国语学校九年级月考）如图，抛物线yax2bx3经过A (1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，在抛物线的对称

13、轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小?若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；不存在，请说明理由(3)在(2)的条件下，点Q是线段OB上一动点，当BPQ与BAC相似时，求点Q的坐标【答案】（1）；（2）存在，9；（3）（，0）或（，0）【分析】（1）将A（1，0）、B（4，0）代入线y=ax2+bx+3，求出a、b即可；（2）四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC=1+3+5=9；（3）分两种情况讨论：当BPQBCA，当BQPBCA【详解】解：（1）把A (1，0)、B(4，0)代入yax2bx3得，解得 所以，抛物线的解析式为；（2）A、B关于对称轴对称，如图，连接BC，与

14、对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），OA=1，OC=3，BC=5，OC+OA+BC=1+3+5=9；在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）如图，设对称轴与x轴交于点DA（1，0）、B（4，0）、C（0，3），OB=4，AB=3，BC=5，直线BC：，由二次函数可得，对称轴直线x=，P（，），BP=，当BPQBCA，当BQPBCA，BQ=，OQ=OB-BQ=4-=，Q2（，0），综上，求得点Q的坐标（，0）或（，0）【点睛】本题考查了二

15、次函数，熟练运用二次函数的性质与相似三角形的性质是解题的关键6（2021云南曲靖市九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，交轴于点（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的坐标；（3）如图2，连接、，点在线段上（不与、重合），作直线轴交抛物线于点，是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）；（3）存在，或【分析】（1）根据点B、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出顶

16、点D的坐标；（2）设点，可得，矩形的周长，即可求解；（3）设点，则，根据相似三角形的性质,可得关于 m 的方程，可得 M 点的坐标，要分类讨论,以防遗漏【详解】解：（1）抛物线经过点和点，交轴于点，将B，C代入解析式得： 解得：b=2，c=3抛物线的表达式为：，点；解析式为，顶点坐标（2）设点，则，顶点坐标，矩形的周长，故当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为；将-2，代入得y=3坐标为；（3）设点，则，令y=0,得 解得：点A（-3,0），AM=m+3 ,OB=1,OC=3，当时即，解得:(舍去)，当时即，解得：(舍去)综上所述：存在点，即或者，使得与相似【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉

17、及到待定系数求函数解析式、三角形相似和二次函数的最值；(1)的关键是顶点是函数解析式；解(2)的关键是利用已知条件把表示出来；(3)的关键是利用相似三角形的性质得出关于 m 的方程,要分类讨论，以防遗漏7如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点点A坐标的为，点C的坐标为（）求抛物线的解析式；（）点M为线段上一点（点M不与点A、B重合），过点M作i轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N若点P在点Q左边，当矩形的周长最大时，求的面积；（）在（）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点F作y

18、轴的平行线，与直线交于点G（点G在点F的上方）若，求点F的坐标【答案】（）；（）；（）或【分析】（）将点A，点C坐标代入解析式可求解；（）设M（x，0），P（x，-x2-2x+3），利用对称性可求点Q（-2-x，-x2-2x+3），可求MP=-x2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x，则可用x表示矩形PMNQ的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ的周长最大时，点P的坐标，即可求点E，点M的坐标，由三角形面积公式可求解；（）先求出点D坐标，即可求DQ=，可得FG=4，设F （m，-m2-2m+3），则G （m，m+3），用含有m的式子表示FG的长度即可求解【详解】解:（）依题意解得所以

19、（）抛物线的对称轴是直线，其中P、Q关于直线对称设Q的横坐标为a则，周长当时，d取最大值，此时，设直线的解析式为则，解得设直线的解析式为将代入，得，（）由（）知，当矩形的周长最大时，此时点，与点C重合，过D作轴于K，则，是等腰直角三角形， 设，则，解得，当时，当时，或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键8（2021山东济南市济阳区中考模拟预测）如图，抛物线y2x3经过点A（2，a），与x轴相交于B、C两点（B点在C点左侧）（1）求a的值及B、C两点坐标；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD

20、沿直线BD翻折得到BD，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标；（3）设P（m，-3)是该抛物线上一点，点Q为抛物线的顶点，在x轴、y轴分别找点M、N，使四边形MNQP的周长最小，请求出点M、N的坐标【答案】（1）5；（-1,0），（3,0） （2）（1，）；（1，） （3）（，0）；（0，）【分析】（1）把A（-2，a）代入yx22x3可得a的值，分别 令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，从而可得B、C点坐标；（2）设对称轴于BC的交点为E，先求出点C，点E坐标，可求BC=4，BH=CH=2，由折叠的性质可得BC的长，由勾股定理可求CH，DH的长，即可求解；（4）作Q点关于y轴的对称

21、点Q（-1，-4），作点P（2，-3）关于x轴的对称点P（2，3），连接QP分别交x、y轴于点M、N，此时，四边形QPMN的周长最小，即可求解【详解】解：（1）把A（-2，a)代入yx22x3，得a=5；当y=0时，x22x3=0 解得x1=3, x2=-1 B点在C点左侧B(-1,0)，C(3,0) (2)如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH2， 由翻折得CBCB4，在RtBHC中，由勾股定理，得， 点C的坐标为（1，2），tan， CBH60，由翻折得DBHCBH30， 在RtBHD中，DHBHtanDBH2tan30，点D的坐标为（1，） （3）如图2，Q

22、为抛物线的顶点，Q（1，4），Q关于y轴的对称点Q（1，4），P（m,-3）在抛物线上，P（2，3），点P关于x轴的对称点P（2，3）， 连接Q、P分别交x、y轴于点M、N，此时，四边形OPMN的周长最小，设直线QP的解析式为y=kx+b，则有 ，解得，直线PQ的解析式为yx，当x=0时，y=；当y=0时，x=;M（，0），N（0，）【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质等知识，其中（3），利用对称点性质求解是此类题目的一般解法，需要掌握9（重庆市九年级月考）如图1，抛物线yx22x+3与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于

23、点C，顶点为D（1）求直线AC的解析式与点D的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点E，作EFx轴，与抛物线交于点F，作EMx轴于M，作FNx轴于N，长度为2的线段PQ在直线AC上运动（点P在点Q右侧），当四边形EMNF的周长取最大值求四边形DPQE的周长的最小值及对应的点Q的坐标；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在直线AD上移动，点D平移后的对应点为D，点A平移后的对应点为A，ADC是否能为直角三角形？若能，请求出对应的线段DC的长；若不能，请说明理由.【答案】（1）直线AC的解析式为：，；（2）四边形DPQE的周长的最小值是，对应的点Q的坐标为；（3）=或或3.【分析】(1)

24、抛物线与x轴从左到右交于A、B两点，只要令y=0，即可求出A、B两点；与y轴交于点C，只要令x=0，即可求出点C；由点A、C的坐标可得直线AC的解析；D的坐标用顶点公式或者先求出对称轴代入解析式，即可求出；(2)作点E关于直线AC的对称点E(0,1)，将点E沿AC方向平移个单位得到E(2,3)，连接ED交直线AC于点P，将点P向下平移个单位得到Q，则点Q为所求点即可求解，再根据个点坐标求出四边形的边长，进而计算周长；(3)分AD是斜边、AC是斜边、CD是斜边三种情况，分别求解即可【详解】解：(1)抛物线与x轴从左到右交于A、B两点，令y=0，即，解得：，则抛物线与y轴交于点C，由点A、C的坐标

25、得，直线AC的解析式为：；D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴为：，；(2)设点，抛物线的对称轴为：，轴，四边形的周长，当时，最大，此时点；，；且P、Q在上P、Q两点横纵坐标差为2，作点关于直线的对称点，将点沿方向平移个单位得到，由点坐标得，直线的解析式为：；联立直线AC、直线的解析式并解得：，故点，将点沿着直线CA向左向下平移个单位得到点；，；，；此时四边形的周长最小；(3)由待定系数法求得直线AD的解析式为：，则设抛物线向右平移m个单位，则向上平移2m个单位，、，而点，；当是斜边时，如图2， 分别过点、作y轴的垂线交于点N、M，则，则，即，解得：(舍去)或；当是斜边时，如图3，过点作x轴的平行

26、线交y轴于点N，交过点作y轴的平行线于点M，同理可得：，则，即，解得：；当是斜边时，同理可得：，解得：，故或1或 1则=或或3【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、解直角三角形等，其中第（3）问，要注意分类求解，避免遗漏10（2021广东广州市第五中学九年级期中）如图，过原点的抛物线与轴交于点，为抛物线的顶点，连接，点是线段上的一个动点，过点作，垂足为点（1）将绕着点按顺时针方向旋转，得，当点落在抛物线上时，求点的坐标（2）当时，将线段绕平面某点旋转得到线段，若点、都落在抛物线上，求点和的坐标（3）当（1）中的点落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移个单位，点

27、、平移后对应的点分别记为、，是否存在，使得以、为顶点的四边形周长最短？若存在，请直接写出的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由【答案】（1）（，0）；（2），；（3）存在，抛物线向左平移【分析】（1），过点B作BQx轴于Q，过点作于D，先证明OQB是等腰直角三角形，得到BOP=45，从而可以证明OCP是等腰直角三角形，OC=CP，OPC=45，设P（m，0），则，代入抛物线解析式求解即可；（2）过点C作CDOA于D，求出C（1，1），将线段PC绕平面某点旋转180得到线段EF，设这个点的坐标为（a，b），则，从而得到，再根据E、F在抛物线上，求解即可；（3）将沿平移，使得与B点重合，点A

28、落在处，以过B的直线y=2为对称轴，作的对称点，连接，当点M为与直线y=2的交点时，此时以O、M、N、A为顶点的四边形周长最短，先求出，则，再求出M的坐标即可得到答案【详解】解：（1）如图所示，过点B作BQx轴于Q，过点作于D，点B是抛物线的顶点，B（2，2），OQ=BQ=2，OQB是等腰直角三角形，BOP=45，又PCOB，OCP=90，OCP是等腰直角三角形，OC=CP，OPC=45，由旋转的性质可得，设P（m，0），则，在抛物线上，即，解得或（舍去），P（，0）；（2）如图所示，过点C作CDOA于D，B（2，2），PBOA，OP=PB=2，OBP为等腰直角三角形，P（2，0），由（1）得

29、PC=OC，又CDOA，OD=CD=PD=1，C（1，1），将线段PC绕平面某点旋转180得到线段EF，设这个点的坐标为（a，b），又E、F都在抛物线上，解得，；（3）存在，抛物线向左平移，理由如下：由（1）可知，如图将沿平移，使得与B点重合，点A落在处，以过B的直线y=2为对称轴，作的对称点，连接，当点M为与直线y=2的交点时，此时以O、M、N、A为顶点的四边形周长最短，A是抛物线与x轴的交点，A（4，0），且，B（2，2），设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，M在直线y=2上，解得，存在，抛物线向左平移【点睛】本题主要考查了二次函数综合，旋转的性质，平移的性质，中心对称，等腰直角三角形

30、的性质，一次函数，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解11（重庆中考招生考试）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，连接点为抛物线的顶点，点为（1）点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴交抛物线于点，作轴于点，作轴于点，点在点右边点是直线上一个动点，点是直线上一个动点，当四边形的周长最大时，求的最小值；（2）如图2，将原抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得新的抛物线，点，的对应点分别记为，把抛物线沿直线平移，的对应点分别记为，是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）的最小值为；（2）存在，或或【分析

31、】(1) 设，则然后再确定抛物线的对称轴以及开口方向,即可确定最值；（2）由题意知，抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得抛物线，点的对应与点重合设，然后利用勾股定理得到；然后就和分别解答即可【详解】解：（1），设，则抛物线的对称轴为，矩形的周长此函数的图象为抛物线，其对称轴为，且，当时，矩形的周长最大，此时点的坐标为作点关于的对称点，作于交于，此时最小，的最小值延长交于，可求得，的最小值（2）由题意知，抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得抛物线，点的对应与点重合设，则，当时，即化简后解得当时，即化简后解得综上所述，或或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了矩形的性质、二次函数图像的性质、勾股定理等知识，掌握二次函数图像的性质和根据勾股定理列方程是解答本题的关键