专题17角平分线的四大模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17角平分线的四大模型解题策略经典例题【例1】（2022黑龙江哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习）四边形ABCD中，DA=DC，连接BD（1）如图1，若BD平分ABC，求证：A+C=180（2）如图2，若BD=BC，BAD=150，求证：DBC=2ABD（3）如图3，在（2）的条件下，作AEBC于点E，连接DE，若DADC，BC=2，求DE的长度【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）过点D分别作DFBC于点F，DEBA交BA的延长线于点E，根据角平分线的性质可得ED=FD，结合已知条件HL证明RtDAE RtDCF

2、，继而可得C=EAD，根据平角的定义以及等量代换即可证明BAD+BCD=180；（2）过点D分别作DFBC于点F，DEBA交BA的延长线于点E，过点B作BGDC，根据含30度角的直角三角形的性质可得ED=12AD，根据三线合一，可得DG=12DC，进而可得DE=DG，根据角平分线的判定定理可推出ABD=DBG=12DBC，进而即可证明DBC=2ABD；（3）先证明四边形DMEF是矩形，证明MAD FCD，进而证明四边形DMEF是正方形，设ABD=，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得=15，进而求得DBC=30，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF，进而在RtDEF中，勾股定理

3、即可求得DE的长【详解】（1）如图，过点D分别作DFBC于点F，DEBA交BA的延长线于点E， BD平分ABC，ED=FD DA=DC，在RtDAE与RtDCF中AD=DCED=FD RtDAE RtDCF（HL）C=EADDAB+EAD=DAB+C=180即BAD+BCD=180（2）如图，过点D作DEBA交BA的延长线于点E，过点B作BGDC，BD=BCDG=GC=12DC,DBG=CBG=12DBC BAD=150，EAD=180150=30ED=12ADDA=DCED=DGEDBE,DGBGEBD=GBDABD=12DBC即DBC=2ABD（3）如图，过点D分别作DFBC于点F，DME

4、A交EA的延长线于点M， AEBC，DMME,DFFE四边形DMEF是矩形MDF=90MDA+ADF=90 DADCADC=90ADF+FDC=90FDC=MDA在MAD与FCD中MDA=FDCDMA=DFCDA=DC MAD FCDDM=DF，MDA=FDC四边形DMEF是正方形DF=EF设ABD= DBC=2ABD=2BD=BCBDC=BCD=12(1802)=90MDA=FDC=90BCD=DAE=M+MDA=90+BAD=150BAE=60在BAE中ABE=90BAE=30+ABE=ABD+DBC=+2=3=15DBC=2=30BD=2DF=12BD=122=1在RtDEF中，EF=D

5、F=1DE=EF2+DF2=2【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键【例2】（2022山西交城县教学研究办公室八年级期中）综合与实践：问题情境：已知OM是AOB的平分线，P是射线OM上的一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC,PD(1)初步探究：如图1，当PCOA，PDOB时，PC与PD的数量关系是 ；(2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线OA，OB上运动，且AOB=90，当CPD=90时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；(3)拓展应用：如图3

6、，如果点C在射线OA上运动，且AOB=90，当CPD=90时，点D落在了射线OB的反向延长线上，若点P到OB的距离为3，OD=1，求OC的长（直接写出答案）【答案】(1)PC=PD(2)PC与PD在（1）中的数量关系还成立，理由见解析(3)OC的长为7【分析】（1）根据角平分线的性质进行解答即可；（2）过点P作PEOA，PFOB，垂足分别为E，F，根据“ASA”证明CPEDPF即可得出结论；（3）过点P作PEOA,PFOB，垂足分别为E,F，先证明四边形OEPF为正方形，然后证明CPEDPF(ASA)，根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得结论【详解】（1）解：OM是AOB的平分线，PCOA

7、，PDOB，PC=PD，故答案为：PC=PD；（2）还成立，理由如下：过点P作PEOA，PFOB，垂足分别为E，F，OM平分AOB，PE=PF，PEC=PFD=90，AOB=90，EPF=360DEOAOBDFO=90，CPD=90CPDEPD=EPFEPD，即CPE=DPF，在CPE和DPF中，CPE=DPFPE=PFPEC=PFD，CPEDPFASA，PC=PD；（3）过点P作PEOA,PFOB，垂足分别为E,F，四边形OEPF为矩形，OM是AOB的平分线，PE=PF=3，四边形OEPF为正方形，AOB=90，OEP=90,OFP=90，EPF=90，CPD=90，CPE+EPD=EPD+

8、DPF=90，CPE=DPF，在CPE和DPF中，CPE=DPFPE=PFCEP=DFP，CPEDPF(ASA)，CE=DF，OD=1，DF=OD+OF=1+3=4，OC=OE+CE=3+4=7【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的判定定理以及性质定理是解本题的关键【例3】（2021全国八年级专题练习）如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且BDC=BAC（1）求证：ABD=ACD；（2）求证：AD平分CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+

9、DB，在此过程中，BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出BAC的度数【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60【分析】（1）根据BDCBAC，DFBAFC，再结合ABDBDCDFBBACACDAFC180，即可得出结论；（2）过点A作AMCD于点M，作ANBE于点N运用“AAS”证明ACMABN得AMAN根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；（3）运用截长法在CD上截取CPBD，连接AP证明ACPABD得ADP为等边三角形，从而求BAC的度数【详解】（1）证明：BDCBAC，DFBAFC，又ABDBDCDFBBACACDAFC180，ABDACD；（

10、2）过点A作AMCD于点M，作ANBE于点N则AMCANB90，OBOC，OABC，ABAC，ABDACD，ACMABN （AAS），AMAN，AD平分CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）BAC的度数不变化在CD上截取CPBD，连接APCDADBD，ADPD，ABAC，ABDACD，BDCP，ABDACP，ADAP，BADCAP，ADAPPD，即ADP是等边三角形，DAP60，BACBAPCAPBAPBAD60【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强【例4】（2021贵州九年级专题练习）【特例感知】（1）如图（1

11、），ABC是O的圆周角，BC为直径，BD平分ABC交O于点D，CD=3，BD=4，求点D到直线AB的距离【类比迁移】（2）如图（2），ABC是O的圆周角，BC为O的弦，BD平分ABC交O于点D，过点D作DEBC，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD为O的内接四边形，ABC=90，BD平分ABC，BD=72，AB=6，求ABC的内心与外心之间的距离【答案】（1）125；（2）AB+BC=2BE，理由见解析；（3）5【分析】（1）如图中，作DFAB于F，DEBC于E理由面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理可得DF=DE解决问

12、题；（2）如图中，结论：AB+BC=2BE只要证明DFADEC(ASA)，推出AF=CE，RtBDFRtBDE(HL)，推出AF=BE即可解决问题；（3）如图，过点D作DFBA，交BA的延长线于点F，DEBC，交BC于点E，连接AC，作ABCABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线由切线长定理可知：AN=6+1082=4，推出ON=54=1，由面积法可知内切圆半径为2，在RtOMN中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图中，作DFAB于F，DEBC于E图BD平分ABC，DFAB，DEBC，DF=DE，BC是直径，BD

13、C=90，BC=BD2+CD2=42+32=5， 12BCDE=12BDDC，DE=125，DF=DE=125故答案为125（2）如图中，结论：AB+BC=2BE图理由：作DFBA于F，连接AD，DCBD平分ABC，DEBC，DFBA，DF=DE，DFB=DEB=90，ABC+ADC=180，ABC+EDF=180，ADC=EDF，FDA=CDE，DFA=DEC=90，DFADEC(ASA)，AF=CE，BD=BD，DF=DE，RtBDFRtBDE(HL)，BF=BE，AB+BC=BFAF+BE+CE=2BE（3）如图，过点D作DFBA，交BA的延长线于点F，DEBC，交BC于点E，连接AC，

14、作ABCABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线图BD=72，正方形BEDF的边长为7，由（2）可知：BC=2BEAB=8，AC=62+82=10，由切线长定理可知：AN=6+1082=4，ON=54=1，设内切圆的半径为r，则12r10+12r6+12r8=1268解得r=2，即MN=2， 在RtOMN中，OM=MN2+ON2=22+12=5故答案为5【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

15、题，属于中考压轴题培优训练一、解答题1（2022全国八年级课时练习）已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分ABC，A+C180，BCBA求证：点D在线段AC的垂直平分线上【答案】见解析【分析】在BC上截取BEBA，连接DE，证明ABDBED，可得出CDEC，则DEDC，从而得出ADCD即可证明【详解】证：如图，在BC上截取BEBA，连接DE， BDBD，ABDCBD，BADBED，ADEB，ADDE，A+C180，BED+DEC180，CDEC，DEDC，ADCD，点D在线段AC的垂直平分线上【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关

16、键2（2022全国八年级课时练习）如图，ABC中，ACBC，ACB90，AD平分BAC交BC于点D，过点B作BEAD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由【答案】（1）BE12AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明BAEHAE，得BEHE12BH，再证明BCHACD，得BHAD，则BE12AD；（2）先证明CF垂直平分AB，则AGBG，再证明CABCBA45，则GABGBA22.5，于是EGBGAB+GBA45，可证明BEG

17、是等腰直角三角形【详解】证：（1）BE12AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，BEAD，AEBAEH90，AD平分BAC，BAEHAE，在BAE和HAE中，AEB=AEHAE=AEBAE=HAE，BAEHAE（ASA），BEHE12BH，ACB90，BCH180ACB90ACD，CBH90HCAD，在BCH和ACD中，BCH=ACDBC=ACCBH=CAD，BCHACD（ASA），BHAD，BE12AD（2）BEG是等腰直角三角形，理由如下：ACBC，AFBF，CFAB，AGBG，GABGBA，ACBC，ACB90，CABCBA45，GAB12CAB22.5，GABGBA22.5，E

18、GBGAB+GBA45，BEG90，EBGEGB45，EGEB，BEG是等腰直角三角形【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键3（2022江苏八年级专题练习）在ABC中，AD为ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若E48，AEADDC，则ABC的度数为 （2）如图2，ACAB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明（3）连接AE，若DAE90，BAC24，且满足AB+ACEC，请求出ACB的度数（要求：

19、画图，写思路，求出度数）【答案】（1）108；（2）AC+BPAB+PC，见解析；（3）44或104；详见解析【分析】（1）根据等边对等角，可得E=ADE，DAC=C，再根据三角形外角的性质求出ADE=2DAC=48，由此即可解题；（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造ABPAMP，根据MP+MCPC即可得出答案；（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得GC=EC，可得G=GEC，设ACB=2x，则G=GEC=90x；根据BAC24，AD为ABC的角平分线，可得BAD=DAC=12，可证AGEABE（SAS），得出ABE=G=90

20、x，利用还有 ABE=24+2x，列方程90x=24+2x；当点E在BD上时，EAD90，不成立；当点E在CD上时，EAD90，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得GC=EC，得出G=GEC，设ACB=2x，则G=GEC=x；BAC24，根据AD为ABC的角平分线，得出BAD=DAC=12，证明AGEABE（SAS），得出ABE=G=x，利用三角形内角和列方程x+24+2x=180，解方程即可【详解】解：（1）AEADDC，E=ADE，DAC=C，E=48，ADE=DAC+C，ADE=2DAC=48，AD为ABC的角平分线，即BAC=2DAC，BAC=48；ABC=

21、1804824=108（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在ABP和AMP中，AB=AMBAP=MAPAP=AP ，ABPAMP（SAS），BP=MP，MP+MCPC，MC=ACAM，ACAB+BPPC，AC+BPAB+PC；（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，AB+ACEC，AG+ACEC，即GC=EC，G=GEC，设ACB=2x，则G=GEC=90x；又BAC24，AD为ABC的角平分线，BAD=DAC=12，又DAE90，BAE90BAD=78，GAE=90DAC=78，BAEGAE，在AGE和ABE中，AE=AEGAE=BAEAG=AB

22、，AGEABE（SAS），ABE=G=90x，又ABE=BAC+ACB=24+2x，90x=24+2x，解得：x=22，ACB=2x=44；当点E在BD上时，EAD90，不成立；当点E在CD上时，EAD90，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，AB+ACEC，AG+ACEC，即GC=EC，G=GEC，设ACB=2x，则G=GEC=x；又BAC24，AD为ABC的角平分线，BAD=DAC=12，又DAE90，BAE90+BAD=102，GAE=90+DAC=102，BAEGAE，在AGE和ABE中，AE=AEGAE=BAEAG=AB ，AGEABE（SAS），ABE=G

23、=x，x+24+2x=180，解得：x=52，ACB=2x=104ACB的度数为44或104【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键4（2022全国八年级课时练习）如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DEBA于点E，点F在AC上，且BDDF（1）求证：ACAE；（2）若AB7.4，AF1.4，求线段BE的长【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）证明ACDAED（AAS），即可得出结论；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD

24、，证FADMAD（SAS），得FD=MD，ADF=ADM，再证RtMDERtBDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解【详解】解：（1）证明：AD平分BAC，DAC=DAE，DEBA，DEA=DEB=90，C=90，C=DEA=90，在ACD和AED中，C=DEADAC=DAEAD=AD，ACDAED（AAS），AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，在FAD和MAD中，AF=AMDAF=DAMAD=AD，FADMAD（SAS），FD=MD，ADF=ADM，BD=DF，BD=MD，在RtMDE和RtBDE中，MD=BDDE=DE，RtMDERtBDE（HL），

25、ME=BE，AF=AM，且AF=1.4，AM=1.4，AB=7.4，MB=AB-AM=7.4-1.4=6，BE12BM3，即BE的长为3【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明FADMAD和RtMDERtBDE是解题的关键5（2022江苏八年级专题练习）如图1，在ABC中，CM是AB边的中线，BCN=BCM交AB延长线于点N，2CM=CN （1）求证AC=BN；（2）如图2，NP平分ANC交CM于点P，交BC于点O，若AMC=120，CP=kAC，求CPCM的值【答案】（1）见解析；（2）2kk+1【分析】（1）延长CM至点D，使C

26、M=DM，可证ACMBDM，由全等三角形的性质从而得出AC=BD，根据题目已知，可证DCBNCB，由全等三角形的性质从而得出BN=BD，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作CQ=CP，可证CPOCQO，由全等三角形的性质相等角从而得出1=2=3，进而得出4=5，故可证NOBNOQ等量转化即可求出CPCM的值【详解】（1）如图1所示，延长CM至点D，使CM=DM，在ACM与BDM中，CM=DMAMC=BMDAM=BM，ACMBDM，AC=BD，2CM=CN，CD=CN，在DCB与NCB中，CD=CNDCB=NCBCB=CB,DCBNCB，BN=BD，AC=BN； （2）如图所示，AMC=12

27、0，CMN=60，NP平分MNC，BCN=BCM，PNC+BCN=12AMC=60，CON=120，COP=60，CMN+BOP=180，作CQ=CP，在CPO与CQO中，CQ=CPQCO=PCOCO=CO，CPOCQO，1=2=3，4=5，在NOB与NOQ中，4=5BNO=QNONO=NO，NOBNOQ，BN=NQ，CN=CP+NB，2CM=CP+AC，设AC=a，CP=ka，CM=a(k+1)2，CPCM=2kk+1 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键6（2022全国八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分MON，在射线OM，ON上分别截取线段O

28、A，OB，使OAOB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD求证：ADBD（2）如图2，在RtABC中，ACB90，A60，CD平分ACB，求证：BCAC+AD（3）如图3，在四边形ABDE中，AB9，DE1，BD6，C为BD边中点，若AC平分BAE，EC平分AED，ACE120，求AE的值【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【分析】（1）由题意易得AOD=BOD，然后易证AODBOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得ACD=ECD，B=30，则有ACDECD，然后可得A=CED=60，则根据三角形外角的性质可得EDB=B=30，然后可得DE=

29、BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证ABCAFC，CDECGE，则有ACB=ACF，DCE=GCE，然后可得ACF+GCE=60，进而可得CFG是等边三角形，最后问题可求解【详解】证明：（1）射线OP平分MON，AOD=BOD，OD=OD，OAOB，AODBOD（SAS），ADBD（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：ACB90，A60，CD平分ACB，ACD=ECD，B=30，CD=CD，ACDECD（SAS），A=CED=60，AD=DE，B+EDB=CED，EDB=B=30，DE=BE，AD=BE，BC=CE+BE

30、，BCAC+AD（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：ABCAFC，CDECGE，ACB=ACF，DCE=GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，C为BD边中点，BC=CD=CF=CG=3，ACE120，ACB+DCE=60，ACF+GCE=60，FCG=60，CFG是等边三角形，FG=CF=CG=3，AE=AF+FG+GE=9+3+1=13【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等7（2022全国八年级课时练习）已知：A

31、D是ABC的角平分线，且ADBC（1）如图1，求证：AB=AC；（2）如图2，ABC=30，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且ABG=ACF，连接FG求证：AFG=AFC；若SABG:SACF=2:3，且AG=2，求AC的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；6【分析】（1）用ASA证明ABDACD，即得ABAC；（2）证明BAGCAE可得AG=AE，再用SAS证明FAGFAE，即得AFG=AFC；过F作FKAG于K，由SABG:SACF=2:3，可得SCAE:SACF=2:3，SFAE:SACF=1:3，而FAGFAE，故SFAG:SACF=1:3，即得A

32、G:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6【详解】解：（1）证明：AD是ABC的角平分线，BAD=CAD，ADBC，ADB=ADC，在ABD和ACD中，BAD=CADAD=ADADB=ADC，ABDACDASA，AB=AC；（2）AB=AC，ABC=30，ADBC，BAD=CAD=60，BAG=60=CAD，在BAG和CAE中，BAG=CAEAB=ACABG=ACE，BAGCAEASA，AG=AE，在FAG和FAE中，AG=AEGAF=EAFAF=AF，FAGFAESAS，AFG=AFC；过F作FKAG于K，如图：由知：BAGCAE，SABG:SACF=2:3，SCAE:SACF=2:3，S

33、FAE:SACF=1:3，由知：FAGFAE，SFAG:SACF=1:3，12AGFK:12ACFK=1:3，AG:AC=1:3，AG=2，AC=6【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.8（2022全国八年级）如图1，在ABC中，AF，BE分别是BAC和ABC的角平分线，AF和BE相交于D点（1）求证：CD平分ACB；（2）如图2，过F作FPAC于点P，连接PD，若ACB=45，PDF=67.5，求证：PD=CP；（3）如图3，若2BAF+3ABE=180，求证：BEBF=ABAE【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解

34、析【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作DSAC，DTBC，在AC上取一点Q，使QDP=FDP，通过证明SQDTFD和QDPFDP得到PDC=PCD=22.5，从而根据等角对等边判断即可；（3）延长AB至M，使BM=BF，连接FM，通过证明AFCAFM得到AC=AM，再结合CE=EB即可得出结论【详解】（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，AF，BE分别是BAC和ABC的角平分线，DG=DH=DK，CD平分ACB；（2）证明：如图，作DSAC，DTBC，在

35、AC上取一点Q，使QDP=FDPCD平分ACB，DS=DT，QDP=FDP=67.5，ACB=45，QDF+ACB=135+45=180，在四边形QDFC中，CQD+DFC=180，又DFT+DFC=180，CQD=DFT，在SQD和TFD中，CQD=DFTDS=DTDSQ=DTF=90SQDTFD，QD=FD，在QDP和FDP中QD=FDQDP=FDPDP=DPQDPFDP，QPD=FPD=45又QPD=PCD+PDC，PCD=22.5，PDC=PCD=22.5，CP=PD；（3）证明：延长AB至M，使BM=BF，连接FMAF，BE分别是BAC和ABC的角平分线，2BAF+2ABE+C=18

36、0，又2BAF+3ABE=180，C=ABE=CBE，CE=EB，BM=BF，BFM=BMF=ABE=CBE=C，在AFC和AFM中，C=BMFCAF=BAFAF=AF，AFCAFM，AC=AM，AE+CE=AB+BM，AE+BE=AB+BF，BEBF=ABAE【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键9（2022湖南宁远县至善学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,a)，点B的坐标(b,0)且a，b满足a212a+36+ab=0（1）求A、B两点的坐标；（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，OCOB，BD

37、AC于D，交y轴于点E，求证：OD平分CDB（3）如图（2），点F为AB的中点，点G为x正半轴点B右侧的一动点，过点F作FG的垂线FH，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，SAFHSFBG的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果【答案】（1）A(0，6)，B(6，0)；（2）证明见解析；（3）不变化，SAFHSFBG=9【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求A、B两点的坐标；（2）过点O作OMBD于M，ONAC于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BFBFO=GFH，进而得出

38、OFH=BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可【详解】解：（1）a212a+36+ab0 (a6)2+ab0，a6=0ab=0 ，即a=b=6A(0，6)，B(6，0)（2）如图，过点O作OMBD于M，ONAC于N，根据题意可知ACO+CAO=90BDAC，BCD+CBE=90，CAO=CBEA(0，6)，B(6，0)，OAOB6在AOC和BOE中，CAO=EBOOA=OBAOC=BOE=90 ，AOCBOE（ASA）OEOC，ACBE ，SAOC=SBOE12ACON=12BEOM，OMON，点O一定在CDB的角平分线上，即OD平分CDB（3）如图，连接

39、OF，AOB是等腰直角三角形且点F为AB的中点，OFAB，OFFB，OF平分AOBOFBOFH+HFB90又FGFH，HFG=BFG+HFB=90，OFHBFGFOB=12AOB=45，FOH=FOB+HOB=45+90=135又FBG=180ABO=18045=135，FOH=FBG在FOH和FBG中OFH=BFGOF=BFFOH=FBG ，FOHFBG（ASA）SFOHSFBG，SAFHSFBG=SAFHSFOH=SFOA=12SAOB=1212OAOB=1466=9故不发生变化，且SAFHSFBG=9【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定

40、、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题10（2022全国八年级课时练习）已知：如图，ACBD，AE、BE分别平分CAB和ABD，点E在CD上用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得BEFBED，可得到BFE=D，再由ACBD，可得AFE=C，从而证得AEFAEC，可得AF=AC，即可求解【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：AE、BE分别平分CAB和ABD，EAF

41、=EAC，EBF=EBD，在BEF和BED中，BF=BDEBF=EBDBE=BE，BEFBED（SAS），BFE=D，ACBD，C+D=180，AFE+BFE=180，AFE+D=180，AFE=C，在AEF和AEC中，EAF=EACAFE=CAE=AE，AEFAEC（AAS），AF=AC，AF+BF=AB，AC+BD=AB【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键11（2022全国八年级课时练习）已知点C是MAN平分线上一点，BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且ABC+ADC180过点C作CEAB，垂足为E（1）如图

42、1，当点E在线段AB上时，求证：BCDC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若MAN60，连接BD，作ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G若BG1，DF2，求线段DB的长【答案】（1）见解析；（2）ADAB2BE，理由见解析；（3）3【分析】（1）过点C作CFAD，根据角平分线的性质得到CECF，证明BCEDCF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C作CFAD，根据角平分线的性质得到CECF，AEAF，证明BCEDCF，得到DFBE，结合图形解答即可；（3）在BD上截取B

43、HBG，连接OH，证明OBHOBG，根据全等三角形的性质得到OHBOGB，根据角平分线的判定定理得到ODHODF，证明ODHODF，得到DHDF，计算即可【详解】（1）证明：如图1，过点C作CFAD，垂足为F，AC平分MAN，CEAB，CFAD，CECF，CBE+ADC180，CDF+ADC180，CBECDF，在BCE和DCF中，CBE=CDFCEB=CFD=90CE=CF，BCEDCF（AAS）BCDC；（2）解：ADAB2BE，理由如下：如图2，过点C作CFAD，垂足为F，AC平分MAN，CEAB，CFAD，CECF，AEAF，ABC+ADC180，ABC+CBE180，CDFCBE，在

44、BCE和DCF中，CBE=CDFCEB=CFD=90CE=CF，BCEDCF（AAS），DFBE，ADAF+DFAE+DFAB+BE+DFAB+2BE，ADAB2BE；（3）解：如图3，在BD上截取BHBG，连接OH，BHBG，OBHOBG，OBOB在OBH和OBG中，BH=BGOBH=OBGOB=OB，OBHOBG（SAS）OHBOGB，AO是MAN的平分线，BO是ABD的平分线，点O到AD，AB，BD的距离相等，ODHODF，OHBODH+DOH，OGBODF+DAB，DOHDAB60，GOH120，BOGBOH60，DOFBOG60，DOHDOF，在ODH和ODF中，DOH=DOFOD=

45、ODODH=ODF，ODHODF（ASA），DHDF，DBDH+BHDF+BG2+13【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线12（2022全国八年级）在平面直角坐标系中，点A5,0，B0,5，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作ADBC交y轴于点E （1）如图，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；（2）如图，若点C在x轴正半轴上运动，且OC5，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分ADC （3）若点C在x轴正半轴上运动，当OCB=2DAO时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明【答案】（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=

46、OC+CD【分析】（1）先根据AAS判定AOEBOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；（2）先过点O作OMAD于点M，作ONBC于点N，根据AOEBOC，得到SAOE=SBOC，且AE=BC，再根据OMAE，ONBC，得出OM=ON，进而得到OD平分ADC；（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得PAO=30，进而得到OCB=60，根据SAS判定OPDOCD，得OC=OP，OPD=OCD=60，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD【详解】（1）如图，ADBC，BOAO，AOE=BD

47、E，又AEO=BED，OAE=OBC，A（-5，0），B（0，5），OA=OB=5，AOEBOC，OE=OC，又点C的坐标为（3，0），OC=3=OE，点E的坐标为（0，3）；（2）如图，过点O作OMAD于点M，作ONBC于点N，AOEBOC，SAOE=SBOC，且AE=BC，OMAE，ONBC，OM=ON，OD平分ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，OCB=2DAO，ADC=90PAO+OCD=90，DAC=903=30，DCA=2903=60PDO=CDO，OD=OD，OPDOCD，OC=OP，OPD=OCD=60，POA=PAO=30PA=PO=OCAD=PA+PD=

48、OC+CD即：AD=OC+CD【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解13（2022全国八年级）如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN/PQNAB和ABQ的平分线交于点C（1）求证：BCAC；（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE=A

49、D+AB【分析】(1) 由平行线性质可得NAB+ABQ=180,再由角平分线定义可得BAC=12NAB,CBA=12ABQ,再利用三角形内角和定理即可得C=90,即可证明BCAC;(2) 延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明ACDFCE,即可得AD+BE=AB;方法与相同【详解】解：（1）MNPQNAB+ABQ=180AC平分NAB，BC平分ABQBAC=12NAB,CBA=12ABQ BAC+ABC=12180=90在ABC中，BAC+ABC+C=180C=180- (BAC+ABC) =180-90=90BCAC;（2）延长AC交PQ于点FBCACACB=FCB=90BC平分ABF

50、ABC=FBCBC=BCABCFBCAC=CF，AB=BFMNBQDAC=EFCACD=FCEACDFCEAD=EFAB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE如图3，延长AC交PQ点F,MN/PQ AFB=FAN，DAC=EFCAC平分NABBAF=FANBAF=AFBAB=FBBCACC是AF的中点AC=FC在ACD与FCE中DAC=EFCAC=FCACD=FCE ACDFCE(ASA) AD=EFAB=FB=BE-EFAD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等

51、三角形14（2018湖北武汉八年级期中）在平面直角坐标中，等腰RtABC中，AB=AC，CAB=90，A（0，a），B（b，0）（1）如图1，若2ab+（a-2）2=0，求ABO的面积；（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：ADB=CDE；（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰RtPQC，连接BQ，求证：APBQ【答案】（1）ABO的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；（2）作AF平分BAC交BD于F点，分别证明ACEBAF，C

52、EDAFD，根据全等三角形的性质证明；（3）过C点作CMy轴于M点，过D点作DNy轴于N点，证明ACMBAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案【详解】解：（1）2ab+（a-2）2=0，2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，A（0，2），B（4，0），OA=2，OB=4，ABO的面积=1224=4；（2）作AF平分BAC交BD于F点，AB=AC，CAB=90，C=ABC=DAF=BAF=45，CAE+BAO=ABF+BAO=90，CAE=ABF，在ACE和BAF中，CAE=ABFAC=ABACE=BAF，ACEBAF（A

53、SA），CE=AF，在CED和AFD中，CD=ADC=DAFCE=AF，CEDAFD（SAS）CDE=ADB；（3）过C点作CMy轴于M点，过D点作DNy轴于N点，则AMC=BOA=90，CAM+BAO=ABO+BAO=90，CAM=ABO，在ACM和BAO中，CAM=ABOCMA=AOBAC=AB，ACMBAO（AAS），CM=AO=2，AM=BO=4，A（0，2），P（0，-6），AP=8，PM=AP-AM=4，在PCM和QPN中，CPM=PQNPMC=QNPPC=PQ，PCMQPN（AAS），NQ=PM=4，四边形ONQB为平行四边形，APBQ【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，

54、非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键15（2018辽宁沈阳市第一四三中学八年级期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DEBC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为_.(2)如图二，ABC中，A=120，AB=AC，BD平分ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，ABC中，A=100，AB=AC，BD平分ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.【答案】（1）CD=2AD；（2）CD=3

55、AD；（3）BC=AD+BD.【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据A=90，AB=AC，可得C=45，由DEBC可得DEC是等腰直角三角形，可得CD=2DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明ABDEBD，可得AD=DE，BED=A=120，由等腰三角形的性质可得C=30，利用三角形外角性质可得CDE=90，利用含30角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DFBA于F，DGBC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明DAFDEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出EDC=40，进而可得DE

56、=CE，即可得出结论【详解】（1）A=90，BD平分ABC，DEBC，DE=AD，A=90，AB=AC，C=45，CDE是等腰直角三角形，CD=2DE=2AD，故答案为CD=2AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，BD平分ABC，ABD=DBE，在ABD和EBD中，AB=BEABD=DBEBD=BD，ABDEBD，DE=AD，BED=A=120，AB=AC，C=ABC=30，CDE=BED-C=90，CD=3DE=3AD.（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DFBA于F，DGBC于G，DFA=DGE=90BD平分ABC，DFBA，DGBC，DF=DGBAC=100，AB=

57、AC，FAD=80，ABC=C=40，DBC=20，BE=BD，BED=BDE=80，FAD=BED在DAF和DEG中，DFA=DGEFAD=BEDDF=DG，DAFDEG（AAS），AD=EDBED=C+EDC，80=40+EDC，EDC=40，EDC=C，DE=CE，AD=CEBC=BE+CE，BC=BD+AD【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键16（2019全国九年级专题练习）已知：ABC中，D为BC的中点，AG平分BAC,CGAG于G，连结DG，若AB=6,AC=4，求DG的长【答案】DG=1

58、【分析】延长CG交AB于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC），从而得出DG的长【详解】解：延长CG交AB于点EAG平分BAC，CGAG于G，CG=EG，AE=AC=4，BE=ABAC=2，CG=EG ，D为BC的中点，DG=12BE=1故答案为DG=1.【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键17（2022全国八年级课时练习）在ABC中，BE，CD为ABC的角平分线，BE，CD交于点F（1）求证：BFC=90+12A；（2）已知A=6

59、0如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；如图2，若BF=AC，求AEB的大小【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出FBC+FCB=9012A的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC的度数，（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造BFGBFD（SAS），再证明FECFGC(ASA)，即可得BC=BD+CE，由此求出答案；（3）延长BA到P，使AP=FC，构造BFCCAP（SAS），得PC=BC，P=BCF=12ACB，再由三角形内角和可求ABC=40，ACB=80，进而可得AEB=180(ABE+A)=100【详解】解：（1）B

60、E、CD分别是ABC与ACB的角平分线，FBC+FCB=12(180A)=9012A，BFC=180(FBC+FCB)=180(9012A)，BFC=90+12A，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得BFC=90+12A，BAC=60，BFC=120，BFD=EFC=180BFC=60，在BFG与BFD中，BF=BFFBG=FBDBD=BG ，BFGBFD（SAS）BFD=BFG， BFD=BFG=60，CFG=120BFG=60，CFG=CFE=60在FEC与FGC中，CFE=CFGCF=CFECF=GCF，FECFGC(ASA)，CE=CG，BC=BG+CG，BC=

61、BD+CE；BD=4，BC=6.5，CE=2.5（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，BAC=60，PAC=180BAC=120，在BFC与CAP中，BF=ACBFC=CAP=120CF=PA ，BFCCAP（SAS）P=BCF，BC=PC，P=ABC，又P=BCF=12ACB，ACB=2ABC，又ACB+ABC+A=180，3ABC+60=180，ABC=40，ACB=80，ABE=12ABC=20，AEB=180(ABE+A)=180(20+60)=100【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键18（2022

62、广东金辉学校九年级阶段练习）已知：如图，在RtABC中，C=90，AC=1，BC=3，动点O从点C出发，沿着CBAC的方向运动一周，以O为圆心，r为半径作圆(1)若O分别与AB，BC相切利用直尺和圆规作O（不写作法，保留作图痕迹）；求出此r时的值；(2)当r=1时，设O在运动的过程中与ABC三条边的公共点个数为m，那么m的最小值是_，最大值是_【答案】(1)见解析，233(2)2，4【分析】（1）根据角平分线的判定定理及切线的判定，作ABC的角平分线交AC于O，所作O即满足条件；利用面积法，即SABC=12ACBC=12(AB+BC)r，即可求得半径；（2）根据各边与圆的位置关系即可得到结果【

63、详解】（1）如图：作ABC的角平分线交AC于O，则O即为所求；因为C=90，AC=1，BC=3，所以AB=AC2+BC2=2，SABC=12ACBC=12AB+BCr，即：122+3r=1213=32，所以r=233（2）如图，当点O在CB上时，最多4个公共点，最少2个公共点；当点O在BA上时，最多4个公共点，最少2个公共点；当点O在AC上时，最多3个公共点，最少2个公共点；则m的最小值是2，最大值是4故答案为：2；4【点睛】本题考查了作角平分线，切线的判定，角平分线珠判定定理，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，正确作图是关键19（2022四川石室中学八年级期中）如图，在ABC中，已知AD是

64、BC边上的高，过点B作BEAC于点E，交AD于点F，且AD=65，BD=25，CD=35(1)求BEAB的值；(2)求证：AF=BC；(3)如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G，使BG=BE，请猜想DG与DE的数量关系，并说明理由【答案】(1)22(2)证明见解析(3)DG=2DE，理由见解析【分析】（1）先利用勾股定理求出AB，AC，再利用三角形面积法求出BE的长即可得到答案；（2）先求出CE=5，则AE=10=BE，然后证明AEFBEC即可得到AF=BC；（3）如图所示，过点B作BTEG于T，过点E作EMAD于M，ENBC于N，则GT=ET，由SADESDCE=12ADEM1

65、2CDEN=AEEC，可以推出EM=EN，得到DE平分ADC，则CDE=BDT=45，然后利用勾股定理求解即可【详解】（1）解：在RtADC中，由勾股定理得AC=AD2+CD2=15，在RtABD中，由勾股定理得AB=AD2+BD2=102，SABC=12BCAD=12ACBE，BE=BCADAC=25+356515=10，BEAB=10102=22；（2）证明：在RtBCE中，由勾股定理得CE=BC2BE2=5，AE=ACCE=10=BE，BFD=AFE，AEF=BDF=90，EAF=EBC，在AEF和BEC中，EAF=EBCAE=BEAEF=BEC=90，AEFBECASA，AF=BC；（

66、3）解：DG=2DE，理由如下：如图所示，过点B作BTEG于T，过点E作EMAD于M，ENBC于N，BE=BG，BTGE，GT=ET，SADESDCE=12ADEM12CDEN=AEEC，1265EM1235EN=105，EM=EN，DE平分ADC，CDE=BDT=45，BT=DT，BT2+DT2=BD2，即2BT2=BD2，BT=DT=22BD=10，GT=ET=BE2BT2=310，DG=GT+DT=410，ED=ETDT=210，DG=2DE【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的判定等等，熟知相关知识是解题的关键2

67、0（2022江苏徐州八年级期中）如图，在RtABC中，ACB=90，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为ts(1)直接写出BC=_cm；(2)当AP平分BAC时，求t的值；(3)当ABP为等腰三角形时，求t的值【答案】(1)8(2)t=5(3)t的值为16或10或254【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）如图1中，当AP平分ABC时，过点P作PHAB于点H利用面积法构建方程求解；（3）根据勾股定理先求出BC=8cm，再由ABP为等腰三角形，只要求出BP的长即可，分三类，当AB=AP时，则BP=2BC=16cm；当BA=BP=10cm

68、；当PA=PB时，如图：设BP=PA=x，则PC=8x，在RtACP中，由勾股定理列出方程可求出BP的长【详解】（1）解：在RtABC中，ACB=90，AB=10cm，AC=6cm，BC=AB2AC2=10262=8cm故答案为：8；（2）解：如图1中，当AP平分ABC时，过点P作PHAB于点HPA平分ABC，PHAB，PCAC，PC=PH=8tcm，SABC=SABP+SACP，1268=12108t+1268t，t=5；（3）解：ABP为等腰三角形，当AB=AP时，则BP=2BC=16cm，即t=16；当BA=BP=10cm时，则t=10；当PA=PB时，如图：设BP=PA=x，则PC=8x，在RtACP中，由勾股定理得：PC2+AC2=AP2，8x2+62=x2，解得x=254，t=254综上所述：t的值为16或10或254【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题