专题18 全等与相似模型之十字模型（原卷版）.docx

1、专题18 全等与相似模型之十字模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。模型1.正方形的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AEBF；则 AE=BF。 2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AEGF；则 AE=GF。3）如图3，在正方形A

2、BCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EHGF；则 HE=GF。 模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.例1（2223下广东课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（）A13B14C15D16例2（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 例3（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接下列结论：；正确的有（）A1个B2个C3个D4个例4（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图，

3、在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：（2）探究：如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O若E为AB中点，求GH的长（3）应用：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BF，AE相交于点G若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为_，的周长为_模型2.矩形的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通

4、过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DEAC，则.如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EFAC，则.如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EFMN，则.例1（2223下广西九年级期中）如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长例2（2223下河北九年级期中）如图，在矩形中，、分别为、边上的点，当时，证明：例3（22-23贵港中考真题）已知：在矩形中，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为（1）如图1，当

5、点与点重合时，则线段_，_；（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，求证：四边形是平行四边形：当时，求四边形的面积例4（2022年四川乐山中考数学适应性试卷）解答(1)如图1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，ABC90，ABAD10，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如图1，已知等边AB

6、C，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60，ABC。 2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：如图2，在ABC中，AB=BC，ABBC，D为BC中点，BFAD，AF：FC=2：1，BDA=CDF，AFB=CFD，AEC=135，以上七个结论中，可“知二得五”。3）直角三角形中的十字模型：如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，ABBC，D为BC中点，BFAD，则AF：FC=2：k2，（相似）例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BDCE，AD与BE相交于点P下列结论：AECD；APBE；PAEABE；APB

7、120，其中正确的结论是_（填序号）例2（2223下淄博一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，连接AF，BE，相交于点P(1)求的度数；(2)求证：例3（2223下无锡阶段练习）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则 ；则的周长为 例4（2223下六安一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长例5（2223上深圳期中）如图，在中，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F则的长为 例6（222

8、3下沧州二模）如图，在中，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（）A B若点D是AB的中点，则C当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D若，则例7（2223广东期中）如图，在中，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长例8（22-23下深圳一模）如图，在Rt中，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接(1)若，求证：；(2)如图，若，求的值例9（2223上长春阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图，在正方形中，点、分别是、上的两点

9、，连接，则的值为_【类比探究】(2)如图，在矩形中，点是边上一点，连接，且，求的值【拓展延伸】(3)如图，在中，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点若，则_课后专项训练1（2223下杭州一模）如图，在等边的AC，BC边上各取一点M，N使，AN，BM相交于点O若，则BO的长是（）A5B6C7D82（2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN若CE的长为7cm，则MN的长为（ ）A10B13C15D无法求出3（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BEAP于点E，延长

10、CE交AD于点F，过点C作CHBE于点G，交AB于点H，连接HF，下列结论正确的是（）ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EFCF4（黑龙江省牡丹江市2021年中考数学真题试卷）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）A2B2C6D55（2223下东营中考模拟）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BGCD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：；若点D是AB的中点，则AF

11、=AB；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；若，则 其中正确的结论序号是（）ABCD6（2223下江门模拟预测）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CGAD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE则= ；7（2223下山西一模）如图，在RtABC中，ABC90，ABBC2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 8（山东2022-2023学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，C

12、E、DF交于G，连接AG、HG下列结论：AG=AD；AGGH；DAG=60；AGE=BCE其中正确的有 9（江西2023-2024学年九年级月考数学试题）在矩形纸片中，将纸片折叠(1)如图1，若沿对折，使点C恰好落在上得到点E，求的长(2)如图2，若沿对角线折叠，使点C落在点F处，与交于点E，求的长(3)如图3，若沿折叠，使点C与点A重合，求折痕的长10（2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接(1)如图1，过作交边于点，交于点i）若为的中点，为的中点，求的长；）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明(2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，

13、调整点和点的位置使得线段始终经过顶点i）若点到的距离，求的长；）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由11（四川省成都市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于的一条直线，垂足为G，交于点F小明发现可以通过证明：得（不需证明）【模型探究】（1）如图2，在正方形中，P为边上一点（不与点B、C重合），M为线段上一点（不与C、D重合），过点M作，垂足为G，交于点N，请直接写出与及线段、之间的数量关系（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为的中点，连接，交于点H，

14、连接并延长交边于点I，再连接，请探究线段、的数量关系；【拓展应用】（3）如图4，若正方形的边长为8，点M、N分别为边、上的点，过A作，已知，将正方形沿着翻折，的对应边恰好经过点A，连接交于点Q.过点Q作，垂足为R，求线段的长（直接写出结论即可）12（成都市锦江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形，点，分别在边，上，于点，点，分别在边、上，判断与的数量关系： ； 推断：的值为： ；（无需证明）（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图

15、3，四边形中，点，分别在边、上，求的值（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，求的长13（2223下江苏九年级期中）平行四边形中，分别是边、上的点，G为垂足（1）如图1，当，时，求证：（2）如图2，当，求的最小值（3）如图3，当，E为的中点，直接写出的值14（2022年湖北中考模拟）知矩形ABCD中，点E是BC边上一点，于点O，分别交AB、CD于点F、G(1)特例发现：如图1，若，则_；(2)类比探究：如图2，若，请探究的值，并写出探究过程；(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形ABCD沿CF折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，得到四边形PEFG，PE与CD交于点H，

16、连接PC已知，求PC的长15（成都市锦江区2022-2023学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若，则的值为_；（2）如图2，在矩形ABCD中，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若，则的值为_；（3）如图3，在四边形ABCD中，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；（4）如图4，在中，将沿BD翻折，点A落在点C处，得到，点F为线段AD上一动点，连接CF，作交AB于点E， 垂足为点G，连接AG设，求AG的最小值16（2023年广东省深圳市中考模拟数学试题

17、）【问题解决】如图1，已知正方形中，分别是，边上的点，与交于点当时，求证：；【类比迁移】如图2，在菱形中，分别是，边上的点，与交于点若，求证：【拓展延伸】如图3，在四边形中，分别是，边上的点，与交于点，若，请求出的值17（2223下安徽模拟预测）如图1，在等边中，点D，E分别在边上，且，连接相交于点F(1)求的度数；(2)如图2，连接，当时，求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折，使点C落在点G处，连接并延长交于点H，交于点I当时，求的长18（2223下深圳期中）课本再现如图1，在等边中，E为边上一点，D为上一点，且，连接与相交于点F（1）与的数量关系是 ，与构成的锐角夹角的度数是

18、；深入探究（2）将图1中的延长至点G，使，连接，如图2所示求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰中，D，E分别是边，上的点，与相交于点F若，且，求值19（22-23下太原期末）综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系已知：在RtABC中，ACBC，ACB90，D是射线CB上的一个动点，连接AD，过点C作AD的垂线，垂足为点E，过点B作AC的平行线交CE的延长线于点F独立思考：(1)如图1，当点D与点B重合时，小颖发现BFAC，请你帮她说明理由；(2)如图2，当点D为BC中点时，直接写出线段BF与AC的数量关系；合作交流：(3)如图3，当点D在线段CB上（不与C、B重合），请探究线段BF、BD与AC之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）如图4，当点D在线段CB延长线上，请探究线段BF、BD与AC之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）20（2223下渝北阶段练习）是等边三角形，点、分别在、上，且，连接、交于点(1)如图1，求的度数；(2)如图2，以为边作等边，连接，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，点在线段上，且，连接交于点，若，直接写出的值（提示：可过点作交于点，过点作于点，作于点）