专题19 最值问题中的费马点模型(解析版).docx

1、专题19 最值问题中的费马点模型 【模型展示】特点费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点如图，点M为锐角ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120时，MA+MB+MC的值最小【证明】以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接ENABE为等边三角形，ABBE，ABE60而MBN60，ABMEBN在AMB与ENB中，AMBENB（SAS）连接MN由AMBENB知，AMENMBN60，BMBN，BMN为等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小此时，BMC180NMB1

2、20；AMBENB180BNM120；AMC360BMCAMB120结论三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点【模型证明】解决方案如图,在锐角ABC外侧作等边ACB,连接BB.求证:BB过ABC的费马点P,且BB=PA+PB+PC.【证明】在BB上取点P,使BPC=120,连接AP,在PB上截取PE=PC,连接CE.BPC=120,EPC=60,PCE为等边三角形,PC=CE,PCE=60,CEB=120.ACB为等边三角形,AC=BC,ACB=60,PCA+ACE=ACE+ECB=60,PCA=ECB,ACPBCE,APC=BEC=120,PA=EB,APB=APC=BPC=120,P为AB

3、C的费马点,BB过ABC的费马点P,且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.如图,在ABC中,以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,CD.求证:BE=DC.【证明】由已知可得AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=60,BAD+BAC=CAE+BAC,即DAC=BAE.在BAE和DAC中,BAEDAC,BE=DC.【题型演练】一、单选题1数学很多的知识都是以发明者的名字命名的，如韦达定理、杨辉三角、费马点等，你知道平面直角坐标系是哪一位法国的数学家创立的，并以他的名字命名的吗？（）A迪卡尔B欧几里得C欧拉D丢番图【答案】A【分析】根据实际选择对应科学家-迪

4、卡尔.【详解】平面直角坐标系是法国的数学家迪卡尔创立的，并以他的名字命名.故选A【点睛】本题考核知识点：数学常识. 解题关键点：了解数学家的成就.2已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point）已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APB=APC=BPC=120时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=（）ABC6D【答案】B【详解】解：如图：等腰RtDEF中，DE=DF=，过点D作DMEF于点M，过E、F分别作MEP=MFP=30，则EM=DM=1，故cos30=，解得：P

5、E=PF=，则PM=，故DP=1，则PD+PE+PF=2+1=故选B点睛：此题主要考查了解直角三角形，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键3已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point）已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APBAPCBPC120时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PDPEPF（ ）A6BCD9【答案】B【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF，由过点D作DMEF于点M，过E、F分别作MEP=MFP=30就可以得到满足条件的点P，易得EM=DM=MF，根据勾股

6、定理列方程求出PM、PE、PF，继而求出PD的长即可求解【详解】解：如图：等腰RtDEF中，DE=DF=6，过点D作DMEF于点M，过E、F分别作MEP=MFP=30，则EPF=FPD=DPE=120，点P就是马费点，EM=DM=MF，设PMx，PEPF=2x，在RtEMP中，由勾股定理可得：，即，解得：，（负数舍去），即PM=，PEPF故DP=DMPM，则PD+PE+PF=故选B【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造直角三角形进而求出PM的长是解题关键4已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点（Fermat point）

7、已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则（）A6BCD9【答案】B【分析】根据题意首先画出图形，过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，求出，的长即可解决问题【详解】解：如图：过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，在等腰中，PEM=30，PME=90，EP=2PM，则，解得：，则，故，同法可得，则故选：【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确画出图形进而求出的长是解题关键二、填空题5已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于

8、120的ABC中，当APB=APC=BPC=120时，P就是ABC的费马点，若P就是ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_【答案】【详解】如图：等腰RtDEF中，DE=DF=，过点D作DMEF于点M，过E、F分别作MEP=MFP=30，则EM=DM=1，故cos30=，解得：PE=PF=，则PM=，故DP=1，则PD+PE+PF=2+1=故答案为6若P为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120，则点P叫做ABC的费马点若点P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4，则PB的值为_【答案】【详解】如图，根据三角形的内角和

9、定理可得PAB+PBA=180-APB=60，再由PBC+PBA=ABC=60，即可得PAB=PBC，又因APB=BPC=120，即可判定ABPBCP，根据相似三角形的性质可得，即，再由PA=3，PC=4，即可求得PB=.7法国数学家费马提出：在ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离经研究发现：在锐角ABC中，费马点P满足APBBPCCPA120，如图，点P为锐角ABC的费马点，且PA3，PC4，ABC60，则费马距离为_【答案】7+2【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解【详解】解：如图：APBBPCCPA120，AB

10、C60，1+360，1+260，2+460，14，23，BPCAPB 即PB212 故答案为：【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质8已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）若，P为的费马点，则_；若，P为的费马点，则_【答案】 5 【分析】作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可【详解】如图,过作，垂足为,过分别作, 则, P为的费马点5如图：

11、 .将绕点逆时针旋转60由旋转可得：是等边三角形， P为的费马点即四点共线时候，=故答案为：5，【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键本题旋转也可，但必须绕顶点旋转三、解答题9如图（1），P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且ABC60求证：ABPBCP；（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点如图（2）求CPD的度数；求证：P点为ABC的

12、费马点【答案】（1）是；（2）见解析；（3）60，见解析【分析】（1）由等边三角形的性质证明 可得 同法可得： 从而可得结论；（2）由为锐角ABC的费马点，且ABC60，证明PABPBC，APBBPC120，从而可得ABPBCP；（3）如图2所示：由ABE与ACD都为等边三角形，证明ACEADB（SAS），利用全等三角形的性质可得CPD6560； 先证明ADFPCF，可得 再证明AFPDFC可得APCCPD+APF120，再证明BPC120，从而可得结论【详解】解：（1）如图1所示：ABBC，BM是AC的中线，MB平分ABC同理：AN平分BAC，PC平分BCAABC为等边三角形，ABP30，B

13、AP30APB120同理：APC120，BPC120P是ABC的费马点故答案为：是（2）为锐角ABC的费马点，且ABC60 APBBPC120， PAB+PBA180APB60，PBC+PBAABC60，PABPBC，ABPBCP（3）如图2所示：ABE与ACD都为等边三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAE+BACCAD+BAC，即EACBAD，在ACE和ABD中， ACEADB（SAS），12，34，CPD6560； 证明： ADFPCF， AFPCFD，AFPDFCAPFACD60，APCCPD+APF120， BPC120，APB360BPCAPC120，P点为ABC的费马

14、点【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，确定图中隐含的全等三角形与相似三角形是解题的关键10背景资料:在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”如图，当ABC三个内角均小于120时，费马点P在ABC内部，此时APBBPCCPA120，此时，PAPBPC的值最小解决问题：（1）如图，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数为了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACP

15、ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出APB= ；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图，ABC中，CAB=90，AB=AC，E，F为BC上的点，且EAF=45，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图，在RtABC中，C=90，AC=1，ABC=30，点P为RtABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值【答案】（1）150；（2）EF2=CE2+FC2，理由见解析；（3）【详解】试题分析：（1）（2）首先把ACE绕点A顺时针旋转90，得到ACE连接EF，由旋转的性质得，AE=

16、AE，CE=BE，CAE=BAE，ACE=B，EAE=90，然后再证明EAFEAF可得EF=EF，再利用勾股定理可得结论；（3）将AOB绕点B顺时针旋转60至AOB处，连接OO，根据已知证明C、O、A、O四点共线，在RtABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据新定义即可得OA+OB+OC =试题解析：（1）ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=60，将ABP绕顶点A逆时针旋转60得到ACP，如图，连结PP，AP=AP=3，PAP=60，PC=PB=4，APB=APC，APP为等边三角形，PPA=60，PP=AP=3，在PPC中，PP=3，PC=4，PC=5，PP2+PC2=PC2，PPC为直

17、角三角形，PPC=90，APC=PPA+PPC=60+90=150，APB=150，故答案为150；（2）EF2=CE2+FC2，理由如下：如图2，把ABE绕点A逆时针旋转90得到ACE，由旋转的性质得，AE=AE，CE=BE，CAE=BAE，ACE=B，EAE=90，EAF=45，EAF=CAE+CAF=BAE+CAF=BACEAF=9045=45，EAF=EAF，在EAF和EAF中， ，EAFEAF（SAS），EF=EF，CAB=90，AB=AC，B=ACB=45，ECF=45+45=90，由勾股定理得，EF2=CE2+FC2，即EF2=BE2+FC2； （3）如图3，将AOB绕点B顺时针

18、旋转60至AOB处，连接OO，在RtABC中，C=90，AC=1，ABC=30，AB=2，BC=，AOB绕点B顺时针方向旋转60，AOB如图所示；ABC=ABC+60=30+60=90，C=90，AC=1，ABC=30，AB=2AC=2，AOB绕点B顺时针方向旋转60，得到AOB，AB=AB=2，BO=BO，AO=AO，BOO是等边三角形，BO=OO，BOO=BOO=60，AOC=COB=BOA=120，COB+BOO=BOA+BOO=120+60=180，C、O、A、O四点共线，在RtABC中，AC=，OA+OB+OC=AO+OO+OC=AC=【点睛】本题考查了旋转、全等三角形的判定与性质等

19、，是一道综合性题目，正确的作出辅助线是解题的关键.11若P为ABC所在平面上一点，且，则点P叫做ABC的费马点(1)若点P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4，则PB的值为_；(2)如图，在锐角ABC外侧作等边连结求证：过ABC的费马点P，且【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得ABPBCP，所以，即PB=2；（2）在上取点P，使BPC=120，连接AP，再在上截取PE=PC，连接CE由此可以证明PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE，PCE=60，而为正三角形，由此也可以得到，现在根据已知的条件可以证明，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的

20、结论（1）PAB+PBA=180-APB=60，PBC+PBA=ABC=60，PAB=PBC，又APB=BPC=120，PB=；（2）证明：在BB上取点P，使BPC=120连接AP，再在PB上截取PE=PC，连接CEBPC=120，EPC=60，PCE为正三角形，PC=CE，PCE=60，为正三角形，APB=APC=BPC=120，P为ABC的费马点过ABC的费马点P，且【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出

21、所求角的度数12若一个三角形的最大内角小于120，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120，此时该点叫做这个三角形的费马点如图1，当ABC三个内角均小于120时，费马点P在ABC内部，此时，的值最小(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数为了解决本题，小林利用“转化”思想，将ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出_(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD使，求证：(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，点P为直角三角形ABC

22、的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值【答案】(1)150(2)见解析(3)【分析】（1）由全等三角形的性质得到APAP3、CPBP4，APCAPB，再根据旋转性质，证明APP为等边三角形，PPC为直角三角形，最后由APBAPCAPPPPC解答；（2）由费马点的性质得到，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答；（3）将APB绕点B顺时针旋转60至APB处，连接PP，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明BPP是等边三角形，再证明C、P、A、P四点共线，最后由勾股定理解答（1）解：，APAP3、CPBP4，APCAPB，由题意知旋转角PAP60，APP

23、为等边三角形，PPAP3，APP60，由旋转的性质可得：APAPPP=3，CP4，PC=5，32+42=52PPC为直角三角形，且PPC90，APBAPCAPPPPC6090150；故答案为：150；（2）证明：点P为ABC的费马点，又，APD为等边三角形，在APC和ADE中， (ASA)； ，BEPAPBPC；（3）解：如图，将APB绕点B顺时针旋转60至APB处，连接PP，在RtABC中，C90，AC1，ABC30，AB2，把APB绕点B顺时针方向旋转60得到APB，ABCABC60306090，C90，AC1，ABC30，AB2AC2，APB绕点B顺时针方向旋转60，得到APB，ABAB

24、2，BPBP，APAP，BPP是等边三角形，BPPP，BPPBPP60，APCCPBBPA120，CPBBPPBPABPP12060180，C、P、A、P四点共线，在RtABC中，PAPBPCAPPPPCAC【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键13【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶德费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60到，则可以构造出等边，得，

25、所以的值转化为的值，当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”(1)【拓展应用】如图1，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转60得到若，则点与点之间的距离是_；当，时，求的大小；(2)如图2，点是内的一点，且，求的最小值【答案】(1)3；150；(2)【分析】（1）根据旋转的性质即可求出的值；先证ABP，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小；（2）将APC绕C点顺时针旋转60得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可（1）如图，将绕A逆时针旋转60，则，为等边三角形，；ABC为等边三角形，AB=

26、AC，BAP+PAC=60，又是等边三角形，PAC+=60，BAP=，在ABP与中，ABP（SAS），又旋转，；（2）如图，将APC绕C点顺时针旋转60得到，则，在中，又，过作BC交BC的延长线于点D，则，（30所对的直角边等于斜边的一半），为等边三角形，当B、P、四点共线时，和最小，在中，的最小值为【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题14如图1，点M为锐角三角形内任意一点，连接以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转得到，连接（1）求证：；（2）若的值最小，则称点M为的费马点若点M为的费马点，求此时的度数；（3）受以上启发

27、，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由【答案】（1）见解析；（2）：；（3）见解析【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证AMBENB（2）连接MN，由（1）的结论证明BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）根据（2）中费马点的定义，又ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线段EC和BF的交点即为ABC的费马点【详解】解：（1）证明：为等边三角形，而，在与中，（2）连接由（1）知，为等边三

28、角形当E、N、M、C四点共线时，的值最小此时，：；（3）如图2，分别以的，为一边向外作等边和等边，连接，相交于M，则点M即为的费马点，由（2）知，的费马点在线段上，同理也在线段上因此线段与的交点即为的费马点（方法不唯一，正确即可）【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键15如图，在中，在内部有一点P，连接、（加权费马点）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）【分析】（1）将绕点B

29、顺时针旋转得到，则，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可；（2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，由此即可得到答案；（3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，由此即可得到答案；（4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解；（5）将绕点C顺时

30、针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可；（6）由可由（5）得：的最小值为26；（7）由可由（4）得的最小值为；（8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、，共线时的值最小在中，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，为等边三角形，A、P、四点共线时，最小，最小值为同理可证为等边三角形，；的最小值为；（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，当A、P、四点共线时，最小，最小值为ACB=30，过点A再作的垂线，垂足

31、为E，AEC=90，ACE=60，CAE=30，的最小值为；（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到， ，过点C作于E，当A、P、四点共线时，最小，最小值为ACB=30，过点A再作的垂线，垂足为E，AEC=90，ACE=3，的最小值为；（4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接由旋转的性质得，是等边三角形，当，共线时最小，最小为，的最小值为；（5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，共线时最小，最小为，在中，最小为；（6）由（5）得：的最小值为26；（7）由（4）得的最小值为；（8）如图3-

32、12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、，共线时的值最小在中，过点作交BC延长线于E，的最小值为【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小16阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一

33、条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置托里拆利成功地解决了费马的问题后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点问题解决：（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，BAC=90，ACB=30，连接PA，PB，

34、PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，ABC=60，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有BEC=90，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2【分析】（1）连接AE，由两点之间线段最短即可求解；（2）在RtABC中先求出AC，将BPC绕点C顺时针旋转60得到CDE，连接PD、AE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等，根据勾股定理即可求解；（3）在AD

35、E内部取一点P，连接PA、PD、PE，把PAD饶点D顺时针旋转60得到FGD，根据旋转的性质和两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等，再根据圆的特点、菱形与勾股定理即可求出GE，故可求解【详解】（1）连接AE，如图，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值为线段AE的长故答案为：两点之间线段最短；AE；（2）在RtABC中，BAC=90，ACB=30，AB=2BC=2AB=4由勾股定理可得AC=如图2，将BPC绕点C顺时针旋转60得到CDE，连接PD、AE，可得CPD为等边三角形，BCE=60PD=PC由旋转可得DE=PB，CE=BC=4PA+PB+PC=P

36、A+DE+PD由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等ACE=ACB+BCE=30+60=90在RtACE中，AE=即PA+PB+PC的最小值为2；（3）存在在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，如图3，在ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把PAD饶点D顺时针旋转60得到FGD，连接PF、GE、AG，可得PDF、ADG均为等边三角形PD=PF由旋转可得PA=GFPA+PD+PE=GF+PF+PE，两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等BEC=90点E在以BC为直径的O上，如图3则OB=OC=2如图3，连接OG交O于

37、点H，连接CG交AD于点K，连接AC，则当点E与点H重合时，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值为线段GH的长菱形ABCD的边长为4，ABC=60AB=BC=CD=AD=4ABC、ACD均为等边三角形AC=CD=AD=DG=AG=4，ACB=ACD=60四边形ACDG是菱形，ACG=ACD=30CG、AD互相垂直平分DK=AD=2根据勾股定理得CK=CG=2CK=OCG=ACB+ACG=60+30=90在RtOCG中，OG=OH=OC=2GH=OG-OH=2-2即PA+PD+PE的最小值为2-2【点睛】此题主要考查四边形与圆综合的最短距离，解题的关键是熟知旋转的性质、圆周角定理及两点之间的

38、距离特点17综合与实践材料一：“转化思想”是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的“转化”，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想材料二：皮埃尔德费马（如图），世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点的相关结论定义：若一个三角形的最大内角小于则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时的值最小（1）如图2，等边三角形内有一点若点到顶点的距离分别为，求的度

39、数.为了解决本题，小林利用“转化”思想，将绕顶点旋转到处，连接此时这样就可以通过旋转变换，将三条线段，转化到一个三角形中，从而求出 ；（2）如图3，在图1的基础上延长，在射线上取点，连接使求证：；（3）如图4，在中，点为的费马点，连接，请直接写出的值【答案】（1） ；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）根据题意，先证明APD是等边三角形，再证明，得到，然后即可得到结论成立（3）将APB绕点B顺时针旋转60至APB处，连接PP，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求

40、出AB=2AC，即AB的长，再根据旋转的性质求出BPP是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BP=PP，等边三角形三个角都是60求出BPP=BPP=60，然后求出C、P、A、P四点共线，再利用勾股定理列式求出AC，从而得到PA+PB+PC=AC【详解】解：ACPABP，AP=AP=3、CP=BP=4、APC=APB，由题意知旋转角PAP=60，APP为等边三角形，PP=AP=3，APP=60，易证PPC为直角三角形，且PPC=90，APB=APC=APP+PPC=60+90=150；故答案为：；证明:点为的费马点，又为等边三角形在和中，；解：如图，将APB绕点B顺时针旋转60至APB处

41、，连接PP，在RtABC中，C=90，AC=1，ABC=30，AB=2，BC=，APB绕点B顺时针方向旋转60，APB如图所示；ABC=ABC+60=30+60=90，C=90，AC=1，ABC=30，AB=2AC=2，APB绕点B顺时针方向旋转60，得到APB，AB=AB=2，BP=BP，AP=AP，BPP是等边三角形，BP=PP，BPP=BPP=60，APC=CPB=BPA=120，COP+BPP=BPA+BPP=120+60=180，C、P、A、P四点共线，在RtABC中，AC=，PA+PB+PC=AP+PP+PC=AC=【点睛】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三

42、角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题18若点P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点当三角形的最大角小于120时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“即PA+PB+PC最小（1）如图1，向ABC外作等边三角形ABD，AEC连接BE，DC相交于点P，连接AP证明：点P就是ABC费马点；证明：PA+PB+PCBEDC；（2）如图2，在MNG中，MN4，M75，MG3点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是 【答案】（1）证详见解析；详见解析；（2）【

43、分析】（1）如图11中，作AMCD于M，ANBE于N设AB交 CD于O证明ADCABE（SAS）即可解决问题在线段PDA上取一点T，使得PAPT，连接AT证明DATBAP（SAS），推出PDPA+PB即可解决问题（2）以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边OME连接ND，可证GMODME，可得GODE，则MO+NO+GONO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值【详解】（1）如图11中，作AMCD于M，ANBE于N设AB交 CD于OADB，ACE都是等边三角形

44、，ADAB，ACAE，DABCAE60，DABBAE，ADCABE（SAS），CDBE，SDACSABE，ADCABE，AMCD，ANBE，CDAMBEAN，AMAN，APMAPN，AODPOB，OPBDAO60，APNAPM60，APCBPCAPC120，点P是就是ABC费马点在线段PDA上取一点T，使得PAPT，连接ATAPT60，PTPA，APT是等边三角形，PAT60，ATAP，DABTAP60，DATBAP，ADAB，DATBAP（SAS），PBDT，PDDT+PTPA+PB，PA+PB+PCPD+PCCDBE（2）如图2：以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边OME连接ND

45、，作DFNM，交NM的延长线于FMGD和OME是等边三角形OEOMME，DMGOME60，MGMD，GMODME在GMO和DME中，GMODME（SAS），OGDENO+GO+MODE+OE+NO当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，NMG75，GMD60，NMD135，DMF45，MG3MFDF，NFMN+MF4，ND，MO+NO+GO最小值为，故答案为，【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键19如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM

46、绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN（1）求证：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为ABC的费马点若点M为ABC的费马点，试求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为ABC的费马点试说明这种作法的依据【答案】（1）见解析；（2）BMC =120；AMB =120；AMC=120；（3）线段EC与BF的交点即为ABC的费马点【分析】(1)结合等边三角形的性质，根据SAS可证AMBENB；(2)连接MN，由(1)的结论

47、证明BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时AMB、BMC、CMA的度数；(3)根据(2)中费马点的定义，又ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线段EC和BF的交点即为ABC的费马点.【详解】（1）证明：ABE为等边三角形，AB=BE，ABE=60而MBN=60，ABM=EBN在AMB与ENB中，AMBENB（SAS）（2）连接MN由（1）知，AM=ENMBN=60，BM=BN，BMN为等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM当E、N、M、C四点共线时，AM+B

48、M+CM的值最小此时，BMC=180NMB=120；AMB=ENB=180BNM=120；AMC=360BMCAMB=120（3）由（2）知，ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上因此线段EC与BF的交点即为ABC的费马点故答案为（1）见解析；（2）BMC =120；AMB =120；AMC=120；（3）线段EC与BF的交点即为ABC的费马点【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的决定与性质.20(1) 知识储备如图 1，已知点 P 为等边ABC 外接圆的弧BC 上任意一点求证：PB+PC= PA定义：在ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点

49、 P 为ABC的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为ABC 的费马距离(2)知识迁移我们有如下探寻ABC (其中A，B，C 均小于 120)的费马点和费马距离的方法：如图 2，在ABC 的外部以 BC 为边长作等边BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段_的长度即为ABC 的费马距离.在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出ABC 的费马点 P(要求尺规作图).(3)知识应用判断题（正确的打，错误的打）：.任意三角形的费马点有且只有一个（）；.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（）.已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为，求正方形 ABCD 的边

50、长【答案】（1）见解析；（2）AD,见解析；（3）：，：；2【分析】（1）根据已知首先能得到PCE为等边三角形，进而得出ACEBPC，即可得证；（2）仔细阅读新知的概念，结合图形特点，直接有结论判断即可；根据尺规作图，作等边三角形即可求得费马点；（3）.根据作图可知费马点有且只有一个，.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部；将ABP沿点B逆时针旋转60到A1BP1，过A1作A1HBC，交CB的延长线于H，连接P1P，根据等边三角形的判定与性质，得到P1PB是正三角形，进而得出A1BH=30，然后由正方形的性质和30角直角三角形的性质，根据勾股定理求出正方形的边长.【详解】

51、（1）证明：在PA上取一点E，使PE=PC，连接CE，正三角形ABCAPC=ABC=60又PE=PC，PEC是正三角形CE=CP，ACB=ECP=601=2又3=4，BC=ACACEBCP (ASA) AE=BP即：BP+CP=AP.（2）线段 AD 的长度即为ABC的费马距离过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE，交点即为P0（3）.根据作图可知费马点有且只有一个；.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部； 解：将ABP沿点B逆时针旋转60到A1BP1，过A1作A1HBC，交CB的延长线于H，连接P1P，易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1 A1，P1B

52、P=A1BA=60PB=P1B P1BP=60P1PB是正三角形PP1=PBPA+PB+PC的最小值为P1A1+PP1+PC的最小值为A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C=设正方形的边长为2xA1BA=60 CBA=901=30在RtA1HB中，A1B=AB=2x，1=30得：A1H=x，BH=在RtA1HC中，由勾股定理得：，解得：x1=1，x2=1（舍去） 正方形ABCD的边长为2【点睛】此题是一个阅读理解形的题目，关键是认真读题，确定题目中新概念的意义，利用新概念求解进行解题，注意方程思想在解题中的应用，有一定的难度，是新型中考题.21如图（1），P 为ABC 所在平面上一点，且AP

53、B=BPC=CPA=120，则点 P 叫做ABC 的费马点（1）如果点 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC=60求证：ABPBCP；若 PA=3，PC=4，则 PB=_（2）已知锐角ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正ABE 和正ACD，CE 和 BD相交于 P 点如图（2）求CPD 的度数；求证：P 点为ABC 的费马点【答案】（1）证明见解析；（2）60；证明见解析；【分析】（1）根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；（2）根据三角形ABE与三角形ACD为等边

54、三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到1=2，再由对顶角相等，得到5=6，即可求出所求角度数；由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到APF为60，由APD+DPC，求出APC为120，进而确定出APB与BPC都为120，即可得证【详解】（1）证明：PAB+PBA=180APB=60，PBC+PBA=ABC=60，PAB=PBC，

55、又APB=BPC=120，ABPBCP，解：ABPBCP，PB2=PAPC=12，PB=2； （2）解：ABE与ACD都为等边三角形，BAE=CAD=60，AE=AB，AC=AD，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在ACE和ABD中，ACEABD（SAS），1=2，3=4，CPD=6=5=60；证明：ADFCFP，AFPF=DFCF，AFP=CFD，AFPCDFAPF=ACD=60，APC=CPD+APF=120，BPC=120，APB=360BPCAPC=120，P点为ABC的费马点考点：相似形综合题【点睛】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，费马点的定义，以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键