专题2-2基本初等函数、函数与方程（讲义）原卷版.docx

1、专题2-2基本初等函数、函数与方程01专题网络思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析解密高考03高频考点以考定法（五大命题方向+6道高考预测试题，高考必考（18-22）分）考点一 对数函数 命题点 对数函数的定义域考点二 函数的应用 命题点1 分段函数的应用 命题点2 根据实际问题选择函数类型考点三 函数与方程 命题点1 函数的零点与方程根的关系 命题点2 函数与方程的综合运用04创新好题分层训练（ 精选18道最新名校模拟试题+20道易错提升）真题多维细目表考点考向考题对数函数对数函数的定义域2024年春考第1题函数的应用分段函数的应用根据实际问题选择函数类型2024年春考第9

2、题2023年春考第19题函数与方程函数的零点与方程根的关系函数与方程的综合运用2023年春考第9题2024年春考第16题、21题考点一 对数函数命题点 对数函数的定义域 典例（2024上海）的定义域 考点二 函数的应用命题点一 分段函数的应用典例 （2024上海）已知，求的的取值范围 命题点二 根据实际问题选择函数类型典例（2023上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式

3、表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小考点三 函数与方程命题点一 函数的零点与方程的关系典例（2023上海）已知函数，且，则方程的解为 命题点二 函数与方程的综合应用典例01（2024上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（1）存在，；，与有无穷个交点（2）存在，；，与有无穷个交点A（1）（2）都成立B（1）（2）都

4、不成立C（1）成立（2）不成立D（1）不成立（2）成立典例02（2024上海）记（a）（a），（a）（a），（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求证：对于任意，都有（a），且存在，使得（a）（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）” （精选18道最新名校模拟考试题+20道易错提升）A新题速递一、单选题1（2023上海徐汇统考二模）设函数，现有如下命题，若方程有四个不同的实根、，则的取值范围是；方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（）A和均为真命题B和均为假命题C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题二、填空题2（2023上海徐

5、汇统考一模）函数的零点是 3（2023上海徐汇位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为 4（2023上海宝山上海交大附中校考三模）若存在实数，使得是方程的解，但不是方程的解，则实数的取值范围是 .5（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）若的值域为，则至多有 个零点.6（2023上海嘉定上海市嘉定区第一中学校考三模）函数，满足，当，则 .7（2023上海杨浦复旦附中校考模拟预测）若函数为偶函数， 且当时， 则 .8（2023上海杨浦复旦附中校考模拟预测）在财务审计中， 我们可以用 “本福特定律” 来检验数据是否造假. 本福特定律指出， 在一组没有人为编造的自然生成的数据

6、 (均为正实数) 中， 首位非零的数字是这九个事件不是等可能的. 具体来说， 随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字， 则 . 则根据本 福特定律， 首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 (保留至整数).9（2023上海普陀上海市宜川中学校考模拟预测）定义符号函数则方程的解集为 .10（2023上海黄浦上海市大同中学校考三模）已知，若，则满足条件的x的取值范围是 11（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数 .12（2023上海浦东新华师大二附中校考三模）已知函数是上的奇函数，当时，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值

7、范围是 .13（2023上海长宁上海市延安中学校考三模）已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是 .14（2023上海崇明统考二模）若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 15（2023上海虹口华东师范大学第一附属中学校考三模）若存在实数及正整数，使得在区间内恰有个零点，则所有满足条件的正整数的值共有 个三、解答题16（2023上海普陀上海市宜川中学校考模拟预测）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中

8、的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；后每增加5万元，其提成比例也增加一个如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元试求：(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？(2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？17（2023上海浦东新华师大二附中校考三模）某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些

9、人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.18（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）设函数.(1)求函数在点处的切线方程;(2)证明:

10、对每个，存在唯一的，满足；(3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足.B易错提升一选择题（共5小题）1（2023秋宝山区校级期中）幂函数，当时为减函数，则实数的值为ABC或D2（2023秋宝山区校级期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下五个命题：；对于任意的实数，均有；为偶函数；存在无数个实数，使得；若存在三个点，、，、，使得为等边三角形，则其中真命题的序号为ABCD3（2023秋宝山区校级期末）的最小值为3，则实数为A5或8B或5C或D或84（2023秋杨浦区校级期中）已知，则下列命题中正确的个数为（1）若，则；（2）若

11、，则；（3）若，则；（4）若，则A3个B2个C1个D0个5（2023秋浦东新区校级期末）已知函数，有下列两个结论：的值域为；对任意的正有理数，存在奇数个零点则下列判断正确的是A均正确B均错误C对错D错对二填空题（共7小题）6（2023秋徐汇区校级期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 7（2023秋杨浦区校级期末）给机器人输入一个指令，（其中常数后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域

12、内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则8（2023秋浦东新区校级期末）已知函数，若关于的方程在上有两个不同实根，则实数的取值范围9（2023秋浦东新区校级期末）函数，且的图象恒过定点，则点的坐标是10（2023徐汇区校级模拟）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是11（2023青浦区校级模拟）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是 12（2023秋普陀区校级期末）已知记函数的最大值为（a），则（a）的取值范围是 三解答题（共8小题）13（2023秋静安区校级期中）已知幂函数在其定义域上是严格增函数，且（1）求的值；（2）解不等式：14（2023普陀区校级模

13、拟）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的提成作奖金；后每增加5万元，其提成比例也增加一个如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元试求：（1）销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？（2）若某销售员7、8月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？15（2023秋杨浦区校级期末）甲乙两个港口相距100海里，某气垫船匀速从甲港口行驶到乙港口已知该船的最大航速是60海里小时，每小时使用的燃料费用和

14、航速的平方成正比当航速为30海里小时，每小时的燃料费用为450元，其余费用（不论航速为多少）都是每小时800元（1）把该船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成航速（单位：海里小时）的函数；（2）当航速为多少时，该船从甲地行驶到乙地所需的总费用最少16（2023秋浦东新区校级期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设已知每套吉祥物的进价为元，其中与进货量成反

15、比，当进货1万套时，为9元，据市场调查，当每套吉祥物的售价定为元时，销售量可达到万套，若展销的其他费用为1万元，且所有进货都销售完（1）每套吉祥物售价定为70元时，能获得的总利润是多少万元？（2）当为多少时，每套吉祥物的净利润最大？17（2023秋普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、（1）求的值（2）求的值18（2023黄浦区校级三模）定义如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系（1）判断函数和是否具有关系；（2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围；（3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围19（2023秋普陀区校级期末）已知函数（1）用单调性的定义证明：函数在上为减函数；（2）若关于的方程在，上有解，求实数的最大值；（3）是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由20（2023秋徐汇区校级期中）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，；乙写错了常数，得两根，64求这个方程的真正根