专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归（解析版）.docx

1、专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归知识点梳理模块一 胡不归模型【题型1】胡不归模型已有相关角直接作垂线【题型2】胡不归模型构造相关角再作垂线【题型3】胡不归模型取最值时对其它量进行计算模块二 阿氏圆模型【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）【题型6】一内一外提系数【题型7】隐圆型阿氏圆知识点梳理一、胡不归模型讲解如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小，记，即求BCkAC的最小值构造射线AD使得sinDANk，CH/ACk，CHkAC将问题转化为

2、求BCCH最小值，过B点作BHAD交MN于点C，交AD于H点，此时BCCH取到最小值，即BCkAC最小二、阿氏圆模型讲解【模型来源】所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似【模型建立】如图 1 所示，O 的半径为R，点 A、B 都在O 外 ，P为O上一动点，已知ROB，连接 PA、PB，则当“PAPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OCR，则可说明BPO与PCO相似，则有PBPC。故本题

3、求“PAPB”的最小值可以转化为“PAPC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PAPC”值最小。模块一 胡不归模型【题型1】胡不归模型已有相关角直接作垂线2023西安二模1 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 【答案】【分析】过作，由菱形，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、三点共线时最小，求出即可【详解】解：过作，菱形，即为等边三角形，在中，当、三点共线时，取得最小值，在中，则的最小值为故答案为：2023保定一模2 如图，在矩形中，对角线交

4、于点O，点M在线段上，且点P为线段上的一个动点（1） ；（2）的最小值为 【答案】 2【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案【详解】解：（1）四边形是矩形，是等边三角形，故答案为：（2）过点P作于点E，过点M作于点F，在中，由（1）知：，在矩形中，在中，的最小值为22023湘西中考真题3 如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 【答案】6【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，然

5、后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接是等边三角形，是等边三角形的外接圆，其半径为4，的最小值为的长度是等边三角形，的最小值为64 如图，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 【答案】【分析】如图，作DHAB于H，CMAB于M，交AO于D运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短【详解】如图，作于H，于，交AO于运动时间，C（1，0），当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，设

6、，则，则有：或（舍去），2023江苏宿迁中考模拟5 如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒【答案】【分析】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，可得，利用角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为解题即可【详解】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，令，则，解得或，A，B两点坐标为，A，B两点关于对称，顶点C到x轴的距离为，都是的高，由题意得动点运动的时间为，是等边三角形，作，显然在l上另取一点，连接

7、，当时，运动时间最短为，故答案为：2023四川自贡统考中考真题6 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接当取最小值时，的最小值是 【答案】【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可【详解】解：直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，此时，有最小值，作轴于点P，则，即，则，设直线的

8、解析式为，则，解得，直线的解析式为，联立，解得，即；过点D作轴于点G，直线与x轴的交点为，则，即的最小值是2023成都市七中校考7 如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，点为线段上一动点，则的最小值为 【答案】【分析】过点M作于点N，作点E关于的对称点G，连接由勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的知识可得，从而可得当G，M，N三点共线时取得最小值，即取得最小值，然后利用锐角三角函数和勾股定理可求出的长【详解】解：如图，过点M作于点N，作点E关于的对称点G，连接，则由折叠的性质可知，四边形是矩形，当G，M，N三点共线时取得最小值，即取得最小值

9、，即取得最小值是【题型2】胡不归模型构造相关角再作垂线8 如图，在长方形中，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 【答案】/【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的的长度便可【详解】解：四边形是矩形，在线段下方作，过点作于点，连接，当、三点共线时，的值最小，此时，的最小值为：，的最小值为2023广西二模9 如图所示，在中，M为线段上一定点，P为线段上一动点当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 【答案】【详解】解：作，过M作交于一点即为点P，当时的值最小，在中，,故答案为；10 如图，点为上一点，连接，则的最小值为 3【答案】3【解答】解：作，过点作于点，则此时最小，解得：，

10、故答案为：311 如图，是圆的直径，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为ABCD【答案】【解答】解：的度数为，是直径，作，于，于，连接，在中，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，在中，的最小值为，故选：12 如图，在中，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是ABCD8【答案】【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于，的最小值为故选：13 如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AECD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GFFB的最小值是 【答案】【分析】由FB联想到给FB构造含30角的直角三

11、角形，故把RtABC补成等边ABP，过F作BP的垂线FH，GF+FB= GF+ FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短，又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度【详解】延长AC到点P，使CP= AC，连接BP，过点F作FHBP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQBP于点Q，ACB= 90，ABC= 30，AB=4AC = CP=2 ，BP= AB=4ABP是等边三角形FBH= 30 RtFHB中，FH=FB当G、F、H在同一直线上时，GF+FB= GF+ FH = GH取得最小值AECD于点GAGC =

12、 90O为AC中点OA=OC=OG= A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在O上运动，当点G运动到OQ上时，GH取得最小值RtOPQ中，P= 60，OP= 3，sinP= GH最小值为 14 如图，在中，点是斜边上的动点，则的最小值为 .【答案】【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点，两点之间线段最短，当共线时，的值最小，即的最小值为，【法一：正切和角公式】详情见本专辑1-3 “12345模型”，故AHC的三边之比为，则答案为【法二：常规法】，故答案为【题型3】胡不

13、归模型取最值时对其它量进行计算2023广东深圳统考三模15 如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上（1）试说明CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的直径AB的长【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB=；（3）【详解】解：（1）连接OC，如图1，CA=CE，CAE=30，E=CAE=30，COE=2A=60，OCE=90，CE是O的切线；（2）过点C作CHAB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h，在RtOHC中，

14、CH=OCsinCOH，h=OCsin60=OC，OC=，AB=2OC=；（3）作OF平分AOC，交O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则AOF=COF=AOC=（18060）=60，OA=OF=OC，AOF、COF是等边三角形，AF=AO=OC=FC，四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO，过点D作DHOC于H，OA=OC，OCA=OAC=30，DH=DCsinDCH=DCsin30=DC，CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OFsinFOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=，当CD+OD的最小值为6时

15、，O的直径AB的长为16 如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，求的值；若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间【解答】（1）证明：四边形是矩形，和关于对称，四边形是菱形（2）设交于四边形是菱形，在中，作于易知，点的运动时间，当、共线时，的值最小，此时是的中位线，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，的长为，点走完全程所需的时间为17 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，（1）求

16、抛物线的解析式；（2）如图，点是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点落在点处，且，点是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点，连结当的值最小时，求的长【解答】解：（1）经过，解得，抛物线的解析式为（2）如图，连接，过点作于，过点作于抛物线，顶点，直线的解析式为，轴，的最小值为3，此时为与的交点，平移后抛物线的解析式为，平行轴，将代入抛物线解析式，模块二 阿氏圆模型【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）18 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_【答案】【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得

17、此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值连接PD，对于PDM，PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值19 如图，在中，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，求；的最小值【解答】解：取的中点，连结，当在上时，最小，最小值为的长，的最小值为，的最小值为，在取一点，使，当在上，的最小值为，的最小值为20 如图，为的直径，点C与点D在的同侧，且，点P是上的一动点，则的最小值为 【答案】【分析】连接，先利用勾股定理求得，在上截取，过作于，于，求得，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解【详解】解：连接，为的

18、直径， 在中，在上截取，过作于，于，连接、，四边形是矩形，在中，是公共角，则， ，当共线时取等号，故的最小值为，故答案为：21 如图，正方形ABCD边长为2，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+PD的最小值为_【答案】22 如图，等边三角形ABC边长为4，圆O是ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BPCP的最小值为_【答案】23 如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PMPN的最小值为_【答案】2023山东烟台统考中考真题24 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个

19、动点，请求出的最小值【答案】【分析】在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可【详解】如图，在上取点，使，连接，、，又，即，当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，的最小值为25 如图1，抛物线yax 2( a3 )x3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点E是线段OA上的一个动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）求抛物线的函数表达式；（2）当 时，求点E的坐标；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，连接EA、EB，求EA E

20、B的最小值yBOAEPMN图1yBOAEPMN图2E【答案】（1）抛物线yax 2( a3 )x3与x轴交于点A（4，0）16a4( a3 )30，解得a 抛物线的函数表达式为y x 2 x3（2）A（4，0），OA4y x 2 x3，B（0，3），OB3AB5PEOA，PMAB，PMNAEN90，PNMANEPMNAEN， 设直线AB的函数表达式为ykxb 解得 直线AB的函数表达式为y x3设E（m，0），则P（m， m 2 m3），N（m， m3）PN m 2 m3( m3 ) m 23m3m( m1 )AENAOB90，NAEBAOAENAOB， AN NE ( m3 ) m55( m

21、1 ) ， 3m6，m2，E（2，0）yBOAEPMNDE（3）在OB上取点D，连接ED、AD，使OEDOBE则OEDOBE， ED EB，OD OE EA EBEAEDADAD ，EA EB 即EA EB的最小值为 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）26 如图，在中，点A、点在上，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 【答案】【分析】延长到，使得，连接，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值求出即可判断【详解】解：延长到，使得，连接，又在中，的最小值为27 如图，AOB=90，OA=OB=1，圆O的半径为，P是圆O上一动点，PA+PB的最小值为_【

22、答案】28 已知扇形COD中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为_【答案】12【题型6】一内一外提系数29 如图，在中，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 【解答】解：在上取点，使，在延长线上取，则，又，当为和圆的交点时最小，即最小，且值为，的最小值为，故答案为：30 如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，的最小值是 【解答】解：(1)如图，连接，交于点，连接，四边形是正方形，当、在一条直线上时，.(2)延长CD至点H，使CH=2CD显然，由（1）可知由勾股定理可得，故.【题型7】隐圆型阿氏圆2023咸阳三模31 如图，在菱

23、形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 【答案】【分析】在上取一点G，使得连接根据菱形的性质可知，则，结合，可得，利用相似三角形的性质证得根据可知的长即为的最小值，利用勾股定理求出便可解决问题【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接四边形为菱形，P是的中点，又，即，当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值，此时 2023宿迁三模32 如图，在平面直角坐标系中，、，点P在第一象限，且，则的最小值为 【答案】【分析】取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，利用两点之间的距离

24、公式，即可求出的最小值，即可得【详解】解：如图所示，取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，、，以O为圆心，为半径作，在优弧上取一点Q，连接，A，P，B，Q四点共圆，过点F作于点G，点F的坐标为，即,的最小值是33 如图，在中，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，则的最小值为 【答案】【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，的最小值为34 如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 【答案】【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解【详解】解：由题意可得：点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，则，又如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值，的最小值为：35 如图，在平面直角坐标系中，、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是【答案】【解答】解：如图，取一点，连接，、，以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，、四点共圆，的最小值是