专题2.1 二次函数（知识讲解）下册基础知.docx

1、专题2.1 二次函数（知识讲解）【学习目标】1、理解二次函数的概念；2、能根据二次函的解析式判断是否为二次函数；3、根据二次函数概念求参数。【要点梳理】1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： （a0）；（a0）；（a0）；（a0），其中；（a0）.特别说明：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫

2、做x的二次函数这里，当a=0 时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.特别说明：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.【典型例题】类型一、二次函数的判断1 下列函数中：y=x2；y=2x；y=22+x2x3；m=3tt2是二次函数的是_(其中x、t为自变量

3、).【答案】【分析】一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数根据二次函数的定义条件判定则可解：yx2，二次项系数为1，是二次函数；y2x，是一次函数；y22x2x3，含自变量的三次方，不是二次函数；m3tt2，是二次函数.故填【点拨】本题考查二次函数的定义一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数判断一个函数是二次函数需要注意三点：(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式；(2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0举一反三：【变式1】 下列各式：；其中是的

4、二次函数的有_（只填序号）【答案】【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解解：y是x的二次函数的有，故答案是：，【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a0，且a，b，c是常数，x是未知数）【变式2】当m_时，函数是二次函数【答案】-1【解析】由题意得：，解得：m=-1.【变式3】 已知函数：y2x1；y2x21；y3x32x2；y=2（x+3）2-2x2；yax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A1B2C3D4【答案】A【分析】根据二次函数的定义判断即可；解：y2x1是一次函数；y2x21是二次函数；y3x32x2不是二次函数；y=2（x+3）2-2x2，不

5、是二次函数；yax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；故二次函数有1个；故答案选A【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键类型二、根据二次函数定义求参数 2已知函数y（k2k）x2+kx+k+1（k为常数）（1）若这个函数是一次函数，求k的值；（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？【答案】（1）k1；（2）k0且k1【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得 解：（1）若这个函数是一次函数，则k2k0且k0，解得k1；（2）若这个函数是二次函数，则k2k0，解得k0且k1【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准

6、确分析判断是解题的关键举一反三：【变式1】已知函数y（m2m）x2+mx2（m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数【答案】(1)m=1;(2) m1和m0【分析】根据一次函和二次函数的定义可以解答解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2m0，解之得：m1，或m0，又因为m0，所以，m1（2）y是x的二次函数，只须m2m0，m1和m0【点拨】考查了一元二次方程的定义，熟记概念是解答本题的关键【变式2】 （1）已知函数y=（m2m）x2+（m1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围；（2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值【答案】

7、（1）m0且m1；（2）m的值为3【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；（2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可 解：（1）函数y=（m2m）x2+（m1）x+m+1是二次函数，即m2m0，即m0且m1，当m0且m1，这个函数是二次函数；（2）由题意得：m22m1=2，m2+m0，解得：m1=3，m2=1（不合题意舍去），所以m的值为3【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键【变式3】 已知（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数【答案】（1）；（2）4或或或0或1【分析】（1）根据形如

8、y=kx+b （k0）是一次函数，可得答案；（2）根据形如y=ax2+bx+c （a0）是二次函数，可得答案解：（1）由是关于x的一次函数，得解得所以当时，它是y关于x的一次函数（2）由是关于x的二次函数，得，解得；，解得；解得；，解得或综上所述，当m的值为4或或或0或1时，它是y关于x的二次函数【点拨】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此类题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误类型三、列二次函数解析式3、 王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系

9、:若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式【答案】【分析】利用单价利润总销售量=总利润.解：.举一反三：【变式1】 有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子。设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.【答案】y4x2-80x+400.【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式解：正方形的边长为80420cm，根据题意可得：y(202x)24x2-80x+400【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键【变式2】已

10、知，如图，在RtABC中，C90，A60，AB12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0t6），回答下列问题：（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP_，AQ_；（2）设APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；（3）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形，那么是否存在某一时间t，使四边形为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由【答案】（1）2t，；（2）；（3）存在，t4时，四边形是菱形【分析】（1）根据A60，AB12cm，得出AC的长，进而

11、得出AP2t，（2）过点P作PHAC于H由AP2t，AHt，得出，从而求得S与t的函数关系式；（3）过点P作PMAC于M，根据菱形的性质得PQPC，则可得出求得t即可解：（1）在RtABC中，C90，A60，AB12cm，AC6，由题意知：AP2t，故答案为： （2）如图过点P作PHAC于HC90，A60，AB12cm，B30，HPA30，AP2t，AHt， （3）当t4时，四边形PQPC是菱形，理由如下：证明：如图过点P作PMAC于M，CQt，由（2）可知，AMAPt，QCAM， 由对折可得： 当PCPQ时，四边形是菱形， CMMQAQAC2， 当t4时，四边形是菱形【点拨】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，列二次函数关系式，菱形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键【变式3】 下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为2，3，4，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此规律推断与有怎样的关系【答案】S=n2(n2)【分析】根据题意先找到一般规律后，利用规律即可解决问题解：图1中，当n=2时，S=4；如图2中当n=3时，S=9；图3中，当n=4时，S=16.依此类推,总数S与边长n的关系式S=n2(n2).故答案为S=n2(n2)【点拨】此题考查函数关系式，规律型：图形的变化类，解题关键在于根据题意找出规律.