专题2.2 对数函数-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修1）.docx

1、第二章 基本初等函数（）2.2 对数函数一、对数1对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数（2）常用对数：通常我们将以_为底的对数叫做常用对数，并把记为lg N（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2718 28为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln N2对数与指数的关系当a0，且a1时，即3对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即二、对数的运算1基本性质若，则（1）_；（2）_2对数的运算性质如果，那么：（1）；（

2、2）；（3）3. 对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)三、换底公式及公式的推广1对数的换底公式【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子2公式的推广（1）（其中a0且；b0且）；（2）（其中a0且；b0）；（3）（其中a0且；b0）；（4）（其中a0且；b0）；（5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d0）四、对数函数1对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_2对数函数的结构特征（1）对数符号前面的系数是

3、1；（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；（3）对数的真数仅有自变量x五、对数函数的图象与性质1一般地，对数函数的图象和性质如下表所示：图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数过定点过定点，即时，单调性在上是_函数在上是_函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，【注】速记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1了可不行；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过（1，0）点2对数函数中的底数对其图象的影响在直线x=1的右侧，当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”六、反函数根

4、据指数与对数的关系，将指数式（其中是自变量，且，是的函数，）化成对数式，即，于是对于任意一个，通过式子都有唯一一个与之对应，这样将看成自变量，是的函数，这时我们就说是函数的反函数由于习惯上将看成自变量，而将看成因变量，因此，我们将中的，互换，写成，即对数函数是指数函数的反函数，它们的图象关于直线对称一、1（1）（2）10 二、1（1） （2） 2（1） （2） （3）四、1五、1减增帮重点1对数，对数的运算性质，换底公式；2对数函数的概念、对数函数的图象与性质帮难点1对数的运算性质；2对数型复合函数的性质及其应用帮易错1对于对数运算，不仅要注意“真数大于0”这一隐含条件，还应准确掌握对数的运算

5、法则，保证对数运算的每一步都是等价的；2关于对数函数常见的易错点有三个：（1）忽略对数函数定义域的限制；（2）对于字母为底数的对数函数不加讨论；（3）解有关对数函数的不等式时，忽略真数大于0这一基本条件，使解集扩大1对数的概念解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系例 1在对数式中，实数的取值范围应该是（ ）A1x1且x2Cx3D1x3且x2【答案】D【解析】要使对数式有意义，需，解得1x3且x2【名师点睛】本题极易忽略底数的限制范围，底数需大于0且不等于12对数运算性

6、质的应用对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：（1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如，等例 2计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）1【解析】（1）因为，所以（2）【名师点睛】在计算的值时，注意将化为即可求解在求解（2）时，注意提取公因式，利用求解（3）计算：_.【答案】1【解析】原式1.3换底公式的应用换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明换底公式应用时究竟换

7、成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数例 3已知，试用表示【答案】【解析】则【名师点睛】在解题的方向还不清楚的情况下，一般统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底）4对数方程的求解及对数不等式的求解解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解例 4（1）方程的解为 【答案】【解析】，即，即，解得或，则或当时，故舍去从而【名师点睛】本题所给方程的底数相同，若底数不同，则还需化为同底数再求解另外，解对数方程必须把所求得的解代入原方程进行检验，以确保所有的真数都大

8、于零，这是必不可少的步骤（2）若loga0且a1)，则实数a的取值范围是_【答案】(1，)【解析】当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，).5与对数函数有关的函数的定义域和值域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围例 5已知函数（1）求函数的定义域；（2）求函数的最大

9、值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，解得，故函数的定义域是（2）=，令，则又在上为增函数，的最大值是【名师点睛】求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则由对数函数组成的复合函数的最值问题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围6对数函数的图象对数函数的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快也可作直线y=1与所给图象相交，

10、交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小例 6（1）设，函数的图象恒过定点P，则P点的坐标是（ ）AB CD【答案】A【解析】当x+2=1，即时，恒成立，故函数的图象恒过定点，故选A【名师点睛】本题求定点坐标的依据是对数函数的图象过定点（1，0），不必分和两种情况讨论（2）已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A0a1b1 B0ba11 C0b1a1 D0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得b1.综上有0b1.（3）方程4x

11、logax在上有解，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图象知解得00，且a1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：分解成y=logau，u=f（x）两个函数；求f（x）的定义域；求u的取值范围；利用y=logau的单调性求解例 8（1）讨论函数的单调性【答案】答案详见解析【解析】由3x22x10，得函数的定义域为x|x1或x1时，若x1，u=3x22x1为增函数，f（x）=loga（3x22x1）为增函数若x，u=3x22x1为减函数，f（x）=loga（3x22x1）为减函数当0a1，则f（x）=loga（3x22x

12、1）为减函数，若x0，得x3或x1，所以x.10易错忽略对底数的讨论例 10不等式的解集是_【错解】，原不等式等价于，解得x2不等式的解集为【错因分析】错解中的底数的值不确定，因此要分类讨论另外，求解时要保证真数大于0【正解】，原不等式等价于，当1时，解得0x2当时，解得2x4不等式的解集为【名师点睛】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一定要检验；二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等式组得到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了1设alg6，blg20，则log23（ ）A BC D【答案】D【解析】alg6lg2

13、+lg3，blg201+lg2，故选D2已知，则（ ）A12ab2B22ab4C42ab5D52ab6【答案】B【解析】由，得alog0.30.2（1，），则2a（2，3），（）blog0.30.2（1，2），12b2，得0b1，则22ab4，故选B3lg（）2（ ）A4B4C10D10【答案】A【解析】lg（）2lg1044故选A4下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）Ae01与ln10B与Clog392与3Dlog771与717【答案】C【解析】e01ln10，故A正确；，故B正确；log392329，3，故C不正确；log771717，故D正确故选C5若4x8，则x（ ）A2 B4

14、C D【答案】D【解析】由4x8，得x故选D6若函数f（x）1+x3，则f（lg2）+f（1g）（ ）A2B4C2D4【答案】A【解析】f（x）1+x3，故选A7已知18x2y3，则（ ）A1 B2 C1 D2【答案】B【解析】18x2y3，xlog183，ylog23，log318，log32，log318log32log392，故选B8设lg2a，lg3b，则log125（ ）A BC D【答案】A【解析】lg2a，lg3b，则log125故选A9计算（log54）（log1625）（ ）A2 B1 C D【答案】B【解析】（log54）（log1625）1故选B10若，则（ ）Acba

15、Bbca Cabc Dbac【答案】D【解析】log20.1log21.5201，ba1且x2，函数的定义域为（1，2）（2，+），故选C12计算：（）2+8（lg5+lg20）_【答案】6【解析】（）2+8（lg5+lg20）4+426故答案为：613若xlog321，则4x2x_【答案】【解析】xlog321，则log32x1，2x3，2x，4x2x9，故答案为：14求值：（log23）（log34）_【答案】2【解析】：（log23）（log34）故答案为215.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且a1)，且f(1)2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x

16、)在区间上的最大值【解析】(1)f(1)2，loga42(a0，且a1)，a2.由得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.162lg 2lg的值为()A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】2lg 2lglglg 1002，故选B.17.若0a1的解是()Axa Bax1 D0xa【答案】B【解析】易得0logax1，ax1.18.已知正实数a，b，c满足log2alog3blog6

17、c，则（ ）AabcBb2acCcabDc2ab【答案】C【解析】正实数a，b，c满足log2alog3blog6c，设log2alog3blog6ck，则a2k，b3k，c6k，cab故选C19若log2xlog3ylog5z1，则（ ）A2x3y5zB5z3y2xC3y2x5zD5z2x3y【答案】B【解析】设log2xlog3ylog5zk1，则：x2k，y3k，z5k，2x2k+1，3y3k+1，5z5k+1，k1，k+10，5k+13k+12k+1，5z3y2x故选B20.已知函数f(x)且关于x的方程f(x)a0有两个实根，则实数a的取值范围为()A(0,1 B(0,1) C0,1

18、 D(0，)【答案】A【解析】作出函数yf(x)的图象(如图)，欲使yf(x)和直线ya有两个交点，则0a1.21若，则（ ）Axy Bxy Cxy1 Dxy1【答案】C【解析】，即，令f（x），则f（），f（x）在（0，+）上单调递增，且f（x）f（），xy1，故选C22设P，则（ ）A0P1 B1P2C2P3 D3P4【答案】B【解析】log112+log113+log114+log115log11（2345）log11120log11111log11120log111212故选B23.若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2 C1，

19、) D2，)【答案】A【解析】令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1,2)24已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ ）AacbBabcCbcaDcab【答案】A【解析】由题意，可知：alog52log242c0.50.2log242，ac，acmn Bm+nmn Dmnlog0.310，nlog20.6log210，则mn0log0.60.3+log0.64log0.61.2mn故选A26函数y的定义域是（ ）A（，+） B（，1C（，1 D1，+）【答案】B【解析】要使原函数

20、有意义，则log0.5（4x3）0，即04x31，解得所以原函数的定义域为（故选B27若函数g（x）log3（ax2+2x1）有最大值1，则实数a的值等于（ ）A B C D4【答案】C【解析】函数g（x）log3（ax2+2x1）有最大值1，故ax2+2x1有最大值3，即3，解得：a，故选C28若4m9n6，则_【答案】2【解析】由4m9n6，得mlog46，nlog96，即4，log69，所以log64+log69log6362，故答案为：229已知，则x_【答案】10【解析】由4a2，得a，再由，得，即x10故答案为：10302x3，则x+y_【答案】2【解析】2x3，可得xlog23.

21、，则x+ylog232，故答案为：231若函数yloga（x2ax+1）有最小值，则a的取值范围是_【答案】1a0，且a1），当a1时，ylogax在R+上单调递增，要使yloga（x2ax+1）有最小值，必须g（x）min0，0，解得2a2，1a2；当0a1时，g（x）x2ax+1没有最大值，从而不能使得函数yloga（x2ax+1）有最小值，不符合题意综上所述：1a2故答案为：1a232已知函数f（x）lg（2+x2），则满足不等式f（2x1）f（3）的x的取值范围为_【答案】（1，2）【解析】函数f（x）lg（2+x2），则满足不等式f（2x1）f（3），（2x1）29，求得32x13，

22、求得1x2，故答案为：（1，2）33.4xlogax在上恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，2，即函数y4x的图象过点.把点代入ylogax，得a.若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.【名师点睛】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解34设f（x）loga（1+x）+l

23、oga（3x）（a0，a1），且f（1）2（1）求a的值及f（x）的定义域（2）求f（x）在区间0，上的值域【解析】（1）f（x）loga（1+x）+loga（3x），f（1）loga2+loga2loga42，a2；又，x（1，3），f（x）的定义域为（1，3）（2）f（x）log2（1+x）+log2（3x）log2（1+x）（3x）log2（x1）2+4，当x（1，1时，f（x）是增函数；当x（1，3）时，f（x）是减函数，f（x）在0，上的最大值是f（1）log242；又f（0）log23，f（）log22+log215，f（0）0，a1）（1）当a1时，若h（x）f（x）+g（x）的

24、最大值为2，求a的值；（2）求使f（x）g（x）0的x取值范围【解析】（1）当a1时，h（x）f（x）+g（x）loga（1+x）（3x）loga（x2+2x+3），定义域为（1，3），且在（1，1）上递增，在（1，3）上递减，所以x1时，h（x）取得最大值h（1）loga（1+2+3）loga4，由题意得loga42，解得a2；（2）f（x）g（x）0loga（1+x）loga（3x）0loga（1+x）loga（3x），当a1时，1+x3x0，解得1x3；当0a1+x0，解得1x136.【2020年高考全国卷文数】设，则（ ）A B C D 【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B

25、.【名师点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.37.【2020年高考全国卷文数】设a=log32，b=log53，c=，则（ ）AacbBabcCbcaDcab【答案】A【解析】因为，所以.故选A.【名师点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.38【2020年高考天津】设，则的大小关系为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.【名师点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小

26、关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.39.【2020年高考全国I卷理数】若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，此时，有当时，此时，有，所以C、D错误.故选：B【名师点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.40.【2020年高考全国卷理数】设函数，则f(x)（ ）A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减

27、【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.41.【2020年高考全国卷理数】已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）AabcBbacCbcaDcab

28、【答案】A【解析】由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.故选：A.【名师点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.42.【2020年高考全国卷】若2x2y0Bln(yx+1)0Dln|xy|0，且a1)的图象可能是（ ）【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合综上，选D【名师点睛】易出现的错误：一是

29、指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性48【2019年高考全国卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）A（log3）（）（） B（log3）（）（）C（）（）（log3） D（）（）（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，又在(0，+)上单调递减，即故选C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案49【2018年高考天津理数】已知a=log2e，b=ln2，c=，则a，b，c的大小关系为（ ）AabcBbacCcbaD

30、cab【答案】D【解析】a=log2e1，0b=ln2log2e=a，则a，b，c的大小关系cab，故选D50【2018年高考天津文数】已知a=log3，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（ ）AabcBbacCcbaDcab【答案】D【解析】a=log3，c=log35，且5，则b=，cab故选D51【2018年高考全国卷理数】设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ）Aa+bab0Baba+b0Ca+b0abDab0a+b【答案】B【解析】a=log0.20.3=，b=log20.3=，aba+b0故选B52【2017年高考北京卷理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M

31、约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：lg3048）A1033 B1053C1073 D1093【答案】D【解析】设，两边取对数，所以，即最接近故选D【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，53【2017年高考全国卷理数】设x、y、z为正数，且，则（ ）A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z【答案】D【解析】令，则，则，则故选D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个

32、常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示54【2017年高考天津卷理数】已知奇函数在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以当时，从而是上的偶函数，且在上是增函数，又，则，所以，所以故选C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式55【2018年高考上海卷】设常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=_【答案】7【解析】常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）f（x）的反函数的图象经过点（3，1），函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），log2（1+a）=3，解得a=7故答案为：756【2018年高考全国卷文数】已知函数，则_【答案】【解析】，则，故答案为：2