专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docx

1、专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】【新高考专用】【题型1 指数幂与对数式的化简求值】2【题型2 指对幂函数的定义与解析式】4【题型3 指对幂函数的定义域与值域】5【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】6【题型5 指对幂函数的单调性问题】8【题型6 指对幂比较大小】10【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】12【题型8 反函数及其应用】14【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】161、幂函数与指、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考

2、查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.【知识点1 幂函数的解题技巧】1.幂函数的解析式幂函数的形式是(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3.比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单

3、调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【知识点2 指数、对数运算的解题策略】1.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加.运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.2.对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为

4、同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a0,且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】1指数函数的常见问题及解题思路(1)比较指数式的大小比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.(2)指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.(3)指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同

5、增异减”这一性质分析判断.2对数函数的常见问题及解题思路(1)对数函数图象的识别及应用在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用

6、.【题型1 指数幂与对数式的化简求值】【例1】（2023山东校联考模拟预测）若a-1-a1=4， 则a-2+a2的值为（）A8B16C2D18【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.【解答过程】解：因为a-1-a1=4，所以a-2+a2=(a-1-a1)2+2=42+2=18.故选：D【变式1-1】（2023天津河西统考一模）已知3a=4b=m, 1a+12b=2，则m的值为（）A36B6C6D46【解题思路】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.【解答过程】3a=4b=m0，a=log3m,b=log4m，1a+12b=logm3+12logm4=logm6=2

7、，m2=6，即m=6或m=-6（舍去）故选：C.【变式1-2】（2023江苏连云港校考模拟预测）计算：(1)2790.5+0.1-2+21027-23-30+3748；(2)log23log34+lg52+lg5lg20+12lg16-2log23.【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.【解答过程】（1）2790.5+0.1-2+21027-23-30+3748=25912+102+276423-3+3748 =53+100+916-3+3748=3+97=100.（2）log23log34+lg52+lg5lg20+12lg16-2l

8、og23 =lg3lg2lg4lg3+lg5lg5+lg20+2lg2-3 =2+lg5lg100+2lg2-3=2+2lg5+lg2-3=2+2-3=1.【变式1-3】（2023吉林长春长春校考模拟预测）（1）求值：(323)6+(22)43-41649-12-4280.25-(-2023)0；（2）已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求log2xy的值.【解题思路】（1）化简即可求出该式子的值；（2）解对数方程求出xy，即可得出log2xy的值.【解答过程】（1）由题意，(323)6+(22)43-41649-12-4280.25-(-2023)0=2233+(232)43-474-2

9、142314-1=108+2-7-2-1=100（2）由题意，在lgx+lgy=2lg(x-2y)中，x0y0x-2y0xy=x-2y2，xy=x-2y2化简得x2-5xy+4y2=0，两边同除y2得xy2-5xy+4=0，解得：xy=4或1（舍），log2xy=log24=4.【题型2 指对幂函数的定义与解析式】【例2】（2022上云南曲靖高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）Ay=lnxBy=log2x2Cy=logax9Dy=log2x-2022【解题思路】根据对数函数定义直接判断即可.【解答过程】形如y=logaxa0,a1的函数叫作对数函数，它的定义域是0,+，对于A，y=ln

10、x=logex满足，故A正确；对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A.【变式2-1】（2023四川成都校联考一模）已知幂函数fx=x的图象过点P3,9，则=（）A12B1C2D3【解题思路】根据题意可得3=9，求解即可.【解答过程】因为幂函数fx=x的图象过点P3,9，所以3=9，解得=2.故选：C.【变式2-2】（2023上吉林长春高一校考期中）函数y=a2-5a+7ax+6-2a是指数函数，则有（）Aa=2或a=3Ba=3Ca=2Da2，且a3【解题思路】根据指数函数的知识求得正确答案.【解答过程】由指数函数的概念，得a2-5a+7=1且6-2a=0，解得a=3故选：B.【变式2

11、-3】（2023上高一课时练习）若函数f(x)=a2-3a+3logax是对数函数，则a的值是（）A1或2B1C2Da0且a1【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.【解答过程】函数f(x)=a2-3a+3logax是对数函数，a2-3a+3=1，a0且a1，解得a=1或a=2，a=2，故选：C【题型3 指对幂函数的定义域与值域】【例3】（2023上四川成都高一校考期中）函数fx=2x-4x-5的定义域为（）A-,2B-,55,+C2,+D2,55,+【解题思路】函数fx=2x-4x-5的定义域满足2x-40x-50，解得答案.【解答过程】函数fx=2x-4x-5的定义域满足2x

12、-40x-50，解得x2且x5.故选：D.【变式3-1】（2022上安徽高一校联考阶段练习）已知幂函数f(x)的图像过点2,14，则（）Af(x)为减函数Bf(x)的值域为(0,+)Cf(x)为奇函数Df(x)的定义域为R【解题思路】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可.【解答过程】解：设f(x)=x，将2,14代入，得2=14，解得=-2，故f(x)=x-2，易知f(x)在(-,0)上单调递增，在(0,+)上单调递减，且值域为(0,+)，故A选项错误，B选项正确；f(x)=x-2的定义域为(-,0)(0,+)，且f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x)，为偶函数，C，D选项错误

13、；故选：B【变式3-2】（2022北京东城统考一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）Ay=lnxBy=exCy=x3Dy=1x【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.【解答过程】A. 函数y=lnx的定义域为0,+，值域为R；B. 函数y=ex的定义域为R，值域为0,+；C. 函数y=x3的定义域为R，值域为R；D. 函数y=1x的定义域为x|x0，值域为y|y0，故选：C.【变式3-3】（2023上江西吉安高一校考阶段练习）已知函数fx=3x-2,x1,x12,1x4,则函数fx值域是（）A-,2B-2,2C1,4D-,4【解题思路】结合分段函数的单调性来求得

14、fx的值域.【解答过程】当x1时，y=3x-2单调递增，值域为-2,1；当10,a1)的图象如图，则下列结论成立的是（）Aa1,c1 Ba1,0c1 C0a1D0a1,0c1【解题思路】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.【解答过程】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0a0=loga1，所以0c1.故选：D.【变式4-1】（2022上全国高一专题练习）如图所示是函数y=xmn（m、nN*且互质）的图象，则（）Am，n是奇数且mn1Bm是偶数，n是奇数，且mn1Dm，n是偶数，且mn1【解题思路】根据图象得到函数的奇偶性及0,+上单调递增，结合m、nN*且互质，

15、从而得到答案.【解答过程】由图象可看出y=xmn为偶函数，且在0,+上单调递增，故mn0,1且m为偶数，又m、nN*且互质，故n是奇数.故选：B.【变式4-2】（2023四川成都校联考一模）已知函数fx=2xex-e-x，则函数fx的图象的可能是（）ABCD【解题思路】分析函数fx的定义域、奇偶性及其在x0时，fx的符号，结合排除法可得出合适的选项.【解答过程】对于函数fx=2xex-e-x，有ex-e-x0，解得x0，所以，函数fx的定义域为xx0，因为f-x=2-xe-x-ex=-2xex-e-x=-fx，即函数fx为奇函数，排除BD选项，当x0时，exe-x，则fx=2xex-e-x0，

16、排除C选项.故选：A.【变式4-3】（2022高一课时练习）函数y=ax；y=bx；y=cx；y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A54，3，13，12B3，54，13，12C12，13，3，54，D13，12，54，3，【解题思路】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【解答过程】由题图，直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而3541213.故选：C【题型5 指对幂函数的单调性问题】【例5】（2022上北京朝阳高三统考期中）下列函数中，在区间0,+上单调递减的是（）Ay=

17、log2xBy=2-xCy=x+1Dy=x3【解题思路】根据函数解析式直接判断单调性.【解答过程】A选项：函数y=log2x的定义域为0,+，且在0,+上单调递增，A选项错误；B选项：函数y=2-x=12x的定义域为R，且在R上单调递减，B选项正确；C选项：函数y=x+1的定义域为-1,+，且在-1,+上单调递增，C选项错误；D选项：函数y=x3的定义域为R，且在R上单调递增，D选项错误；故选：B.【变式5-1】（2023河南校联考模拟预测）若幂函数f(x)=2m2-3m-1xm在(0,+)上单调递减，则m=（）A2B12C-12D-2【解题思路】由幂函数的定义和性质求解即可.【解答过程】由幂

18、函数的定义可知，2m2-3m-1=1，即2m2-3m-2=0，解得m=2或m=-12.当m=2时，f(x)=x2，在(0,+)上单调递增，不合题意;当m=-12时，f(x)=x-12，在(0,+)上单调递减，符合题意，故m=-12.故选：C.【变式5-2】（2023广东韶关统考一模）函数fx=log2x2-4在-,a上单调递减，则实数a取值范围是（）A-,-2B2,+C-,0D0,+【解题思路】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【解答过程】fx的定义域是(-,-2)(2,+)，令y=log2t，其在定义域上单调递增，t=x2-4，在-,-2上单调递减，在2,+上单调递增，由复合函数

19、的单调性可知，a(-,-2.故选：A.【变式5-3】（2023北京东城统考二模）设函数f(x)=2x,xax2,xa，若f(x)为增函数，则实数a的取值范围是（）A(0,4B2,4C2,+)D4,+)【解题思路】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得a0且a22a，结合y=x2与y=2x的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.【解答过程】因为f(x)=2x,xax2,xa，当xa时f(x)=2x函数单调递增，又y=x2在0,+上单调递增，在-,0上单调递减，要使函数f(x)为增函数，则a0且a22a，又函数y=x2与y=2x在0,+上有两个交点2,4和4,16，且y=2x的增长趋势比y=x

20、2快得多，y=x2与y=2x的函数图象如下所示：所以当x4时2xx2，当2x2x，当0xx2，所以2a4，即实数a的取值范围是2,4.故选：B.【题型6 指对幂比较大小】【例6】（2023陕西宝鸡校联考模拟预测）已知a=6log23.4，b=6log43.6，c=16log30.3，则（）AabcBbacCacbDcab【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为log23.4log22=1=log44log43.6，log30.3-1=log3103log33=1，又因为log23.4log222=32=log3332=log33

21、3log3103=-log30.3，所以，log23.4-log30.3log43.6，所以，6log23.46-log30.3=16log30.36log43.6，即acb.故选：C.【变式6-1】（2023江西统考模拟预测）设a=e-43，b=ln3，c=3-1+log32，则（）AcabBbacCacbDabc【解题思路】利用指数的运算性质、对数恒等式、指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】a=e-43e-1=1elne=1，c=3-1+log32=132=23，所以acb故选：C【变式6-2】（2023四川南充模拟预测）已知a=2525,b=35

22、25,c=log252，则（）AabcBbacCcbaDcab【解题思路】由y=x25在0,+上递增比较a，b，再由y=log25x在0,+上递减，得到c0比较即可.【解答过程】因为y=x25在0,+上递增，且2535，所以25253525，即0ab，又y=log25x在0,+上递减，所以c=log252log251=0，所以cab.故选：D.【变式6-3】（2023河南校联考模拟预测）已知a=ln,b=log3,c=ln2，则a,b,c的大小关系是（）AbacBabcCcbaDbca【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】e3log3=blog33=1，即ab1，a

23、=ln=ln2,c=ln2=ln2，下面比较2与2的大小，构造函数y=x2与y=2x，由指数函数y=2x与幂函数y=x2的图像与单调性可知，当x(0,2)时，x22x由x=(0,2)，故22，故lnln2，即ac，所以bac，故选：A.【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】【例7】（2023全国高三专题练习）已知幂函数fx=2m2+m-2x2m+1在0,+上是增函数.(1)求fx的解析式；(2)若f2-afa-1，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）利用幂函数的定义与单调性可得出关于实数m的等式与不等式，解出m的值，即可得出函数fx的解析式；（2）分析函数fx的定义域与单

24、调性，根据f2-a0，解得m-12，所以，m=1，故fx=x3.（2）由（1）可知，fx=x3，该函数的定义域为R，对任意的xR，f-x=-x3=-x3=-fx，则函数fx为R上的奇函数，因为函数fx=x3在0,+上为增函数，则该函数在-,0上也为增函数，所以，函数fx在R上为增函数，由f2-afa-1可得2-aa-12-a0a-10，解得32log12(x-1)-1(2)14x-32x+37【解题思路】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可，注意对数函数的定义域；（2）分14x-32x+3和4x-32x+37两部分进行求解，然后取交集即可.【解答过程】（1）log12x2-x-2log12x

25、-1-1=log122x-1，由对数函数的性质可得：x2-x-20x-10，解得x2，由于y=log12x为递减函数，所以x2-x-22x-1，解得0x0，不等式等价为x-20，此时不等式解集为2,+；当0alog2a；此时不等式解集为2,+-,log2a；当a=4时，方程x-22x-a=0仅有一根，即x=2，此时不等式解集为R；当a4时，方程x-22x-a=0有两根，即x1=2,x2=log2a，且20且a1.(1)若a1，b=0，求不等式fx+1fx+4的解集；(2)若m1,+)，f2m+1f2m+2，求b的取值范围.【解题思路】（1）根据复合函数单调性得到f(x)的单调性，再分类讨论即可

26、；（2）首先得到2m+12m+24，再转化为单调性问题，最后对a分类讨论即可.【解答过程】（1）当b=0时，f(x)=logax2-1.由x2-10，解得x1或x1，即x0时，此时函数单调递增，且x+4x+1，原不等式成立.当x+11，即-3x-2时，-x-11,2，因为f(x+1)=f(-x-1)f(x+4)，则-x-1x+4，解得x-52，所以-52xx+1恒成立，即当x+4-1时，不等式无解，综上，原不等式的解集是-52,-2(0,+).（2）因为m1，且2m+1-2m-2=2m-221-2=0，所以2m+12m+24，又因为f2m+1f2m+2，所以f(x)在4,+)上单调递增.当0a

27、1时，要使f(x)在4,+)上单调递增，则t(x)=x2+bx-1在4,+)上单调递增，且t(x)0在4,+)上恒成立，所以-b244b+150，解得b-154.综上，b的取值范围是-154,+.【题型8 反函数及其应用】【例8】（2023上辽宁沈阳高一校考阶段练习）设函数y=fx存在反函数y=f-1x，且函数y=x2-fx的图象过点2,3，则函数y=x-f-1x的图象一定过点（）A1,-1B3,2C1,0D2,1【解题思路】根据函数y=x2-fx的图象过点2,3，得到f2=1，即y=fx的图象过点2,1，然后再根据原函数和反函数图象上的点的对称性求解.【解答过程】解：因为函数y=x2-fx的

28、图象过点2,3，所以22-f2=3，解得f2=1，即y=fx的图象过点2,1，所以y=f-1x的图象过点1,2，y=-f-1x的图象过点1,-2，所以y=x-f-1x的图象过点1,-1，故选：A.【变式8-1】（2023河南校联考模拟预测）已知函数y=fx的图象与y=log2x+a的图象关于直线y=x对称，且满足f1+f2=2，则a=（）A4B2C1D-1【解题思路】根据图象的对称性得点f1,1，f2,2在函数y=log2x+a的图象上，列方程组求解即可得解.【解答过程】函数y=fx的图象与y=log2x+a的图象关于直线y=x对称，所以点f1,1，f2,2在函数y=log2x+a的图象上，所

29、以log2f(1)+a=1log2f(2)+a=2，所以f(1)+a=2f(2)+a=4，所以f(1)+f(2)+2a=6，又f1+f2=2，所以2+2a=6，所以a=2.故选：B.【变式8-2】（2022上广东惠州高一惠州一中校考期中）已知函数fx=12x，函数y=gx的图象与y=fx的图象关于直线y=x对称，则函数y=g-x2+2x的单调递减区间为（）A0,1B1,+C-,1D1,2【解题思路】先由反函数的性质得到gx=log12x，再由对数函数的定义域求得0x0，得0xhlog4(2a+1)对任意xlog43恒成立，求实数a的取值范围【解题思路】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算进行

30、求解即可；（2）根据复合函数的定义，结合函数单调性的性质、对数与指数恒等式、对数的运算性质进行求解即可.【解答过程】（1）因为函数f(x)=log44x+1-mx是偶函数，所以f(x)-f-x=0log44x+1-mx-log44-x+1+mx=0，log44x+14-x+1=2mxlog44x4x+11+4x=2mxx=2mx，对于任何实数x都成立，所以有2m=1m=12；（2）由（1）可知：h(x)=f(x)+12x=log44x+1，g(x)=4x-12x=2x-2-x，gh(x)hlog4(2a+1)2log44x+1-2-log44x+1log44log4(2a+1)+1 4x+11

31、2-4x+1-12log42a+2,当xlog43时，显然函数y=4x+112-4x+1-12是单调递增函数，所以有4x+112-4x+1-124log43+112-4log43+1-12=3+112-3+1-12=32，所以要想gh(x)hlog4(2a+1)对任意xlog43恒成立，所以有2a+10a-12，因此只需log42a+232=log42302a+28-1a-12，所以3a-12，即实数a的取值范围为-12,3.【变式9-1】（2023上河北邢台高三校联考阶段练习）已知函数fx=log19a-x2+bx，gx=m4x-2x+2+3.(1)若y=lggx的值域为R，求满足条件的整数

32、m的值；(2)若非常数函数fx是定义域为-2,2的奇函数，且x11,2，x2-1,1，fx1-gx2-12，求m的取值范围.【解题思路】（1）根据函数y=lggx的值域为R，可得函数gx的值域包含0,+，再分m=0，m0和m-12，则只要fxmin+12gxmin即可，求出函数fx的最小值，再从m分情况讨论，结合二次函数的性质求出gx的最小值即可.【解答过程】（1）因为函数y=lggx的值域为R，所以函数gx的值域包含0,+，gx=m4x-2x+2+3=m2x2-42x+3，当m=0时，gx=-2x+2+3，其值域为-,3，不满足条件，当m0时，令t=2x,t0,+，则函数y=mt2-4t+3

33、的对称轴为t=2m，当m0时，ymin=m2m2-42m+3=3-4m，即gx的值域为3-4m,+，所以3-4m0m0，解得0m43，当m0时，2m0，则函数y=mt2-4t+3的值域为-,3，即函数gx的值域为-,3，不满足条件，综上所述，0-12，得x11,2，x2-1,1，fx1+12gx2，只要fxmin+12gxmin即可，当x1,2时，2-x2+x=4-2+x2+x=42+x-10,13，所以函数fxmin=log1913=12，则fxmin+12=1，gx=m4x-2x+2+3=m2x2-42x+3，令n=2x，因为x-1,1，所以n12,2，函数y=mn2-4n+3,n12,2

34、，当m=0时，y=-4n+3,n12,2，则n=2时，ymin=-51恒成立，符合题意；当m0时，函数y=mn2-4n+3,n12,2的对称轴为n=2m，当m0时，则n=2时，ymin=4m-50恒成立，符合题意；当04时，则n=12时，ymin=14m+1，所以m414m+11，不等式组无解；当2m2，即0m1时，则n=2时，ymin=4m-50恒成立，符合题意；当122m2，即1m4时，则n=2m时，ymin=-4m+3，所以1m4-4m+31，解得1m2，综上所述，m的取值范围为-,2.【变式9-2】（2023上湖北咸宁高一校考阶段练习）已知函数fx=4x+14x+a为奇函数.(1)求实

35、数a的值；(2)判断函数fx的单调性并证明；(3)设函数gx=log2x2log2x4+m，若对任意的x12,8，总存在x20,1，使得gx1=fx2成立，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）考虑a0和a0两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.（2）确定定义域，设x1,x20,+，且x10，得到单调性.（3）根据单调性确定x0,1时fx的值域A=53,+，设t=log2x,t1,3，换元得到二次函数，计算g(x)最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.【解答过程】（1）由已知函数需满足4x+a0，当a0时，函数的定义域为R，函数fx=4x+14x+a为奇函数，所以f-x=-fx，即4-x

36、+14-x+a=-4x+14x+a在R上恒成立，即a+14x+1=0，a=-1（舍），当a0时，xlog4-a，函数的定义域为-,log4-alog4-a,+，又函数fx=4x+14x+a为奇函数，所以log4-a=0,a=-1，此时fx=4x+14x-1，函数定义域为-,00,+，f-x=4-x+14-x-1=4x+1-4x+1=-fx，函数为奇函数，满足，综上所述：a=-1；（2）fx在-,0和0,+上单调递减，证明如下：fx=4x+14x-1=1+24x-1，定义域为-,00,+，设x1,x20,+，且x1x2，则fx1-fx2=1+24x1-1-1+24x2-1=24x2-4x14x1

37、-14x2-1因为x1,x20,+，且x10,4x2-10,4x2-4x10，所以fx1fx2，所以fx在0,+上单调递减，同理可证，所以fx在-,0上单调递减；（3）函数fx在-,0和0,+上单调递减，且当x-,0时，fx0，x20,1时，fxf1=53，所以当x0,1时fx的值域A=53,+，又gx=log2x2log2x4+m=log2x-1log2x-2+m,x2,8，设t=log2x,t1,3，则y=t-1t-2+m=t2-3t+2+m，当t=32时，取最小值为-14+m，当x=3时，取最大值为2+m，即gx在x2,8上的值域B=-14+m,2+m，又对任意的x12,8，总存在x20

38、,1，使得gx1=fx2成立，即BA，所以-14+m53，解得m2312，即m2312,+.【变式9-3】（2023上辽宁大连高一期末）已知函数fx=log3ax2-x+a2-3，g(x)=x+x-(1)直接写出x0时，g(x)的最小值.(2)a=2时，Fx=fx-log43在x1,32是否存在零点？给出结论并证明.(3)若g(2)=52，f(g(x)存在两个零点，求a的取值范围.【解题思路】（1）根据基本不等式可以判断g(x)的最小值，直接写出答案即可；（2）判断Fx的单调性，结合零点存在性定理判断；（3）由题意，求出的值，将f(g(x)存在两个个零点转化为f(t)在t（-，-2)(2,+）

39、上存在一个零点或两个零点为-2和2，结合二次函数分情况讨论即可.【解答过程】（1）因为x0，所以x0，所以g(x)=x+x-=x+1x2x1x=2，当且仅当x=1x，即=0时，等号成立，所以当x0时，g(x)=x+x-的最小值为2；（2）a=2时，Fx=fx-log43在x1,32上存在零点，证明如下：当a=2时，fx=log32x2-x+1，令t=2x2-x+1=2x-142+780，所以函数t在 1,32上单调递增，又因为y=log3t在0,+上单调递增，所以Fx=log32x2-x+1-log43在区间1,32上单调递增，所以F1=log32-log43，而log32log43=ln2l

40、n3ln3ln4=ln2ln4ln32ln2+ln422ln32=ln2+ln422ln32=3ln222ln32=3ln22ln32=ln8ln921，所以F1=log32-log431，log430，所以F1F320，对称轴x=12a0，则只需G(2)=4a+a2-60，解得a(6-2,10-2)，（iii）a=0，G(x)=-x-4，满足题意，（iv）a0，对称轴x=12a0，则只需G(2)=4a+a2-60，解得a(-2-10,-2-6)，综上所述，a(-2-10,-2-6)(6-2,10-2)0.1（2023全国统考高考真题）已知f(x)=xexeax-1是偶函数，则a=（）A-2B

41、-1C1D2【解题思路】根据偶函数的定义运算求解.【解答过程】因为fx=xexeax-1为偶函数，则fx-f-x=xexeax-1-xe-xe-ax-1=xex-ea-1xeax-1=0，又因为x不恒为0，可得ex-ea-1x=0，即ex=ea-1x，则x=a-1x，即1=a-1，解得a=2.故选：D.2（2023全国统考高考真题）设函数fx=2xx-a在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A-,-2B-2,0C0,2D2,+【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【解答过程】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx=2xx-a在区间0,1上单调递减，则有函数y=x(x-a

42、)=(x-a2)2-a24在区间0,1上单调递减，因此a21，解得a2，所以a的取值范围是2,+.故选：D.3（2022天津统考高考真题）化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为（）A1B2C4D6【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.【解答过程】原式=(212log23+13log23)(log32+12log32)=43log2332log32=2，故选：B.4（2023天津统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（）AcabBcbaCabcDbac【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可

43、.【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5c=0.60.5.所以bac.故选：D.5（2023北京统考高考真题）下列函数中，在区间(0,+)上单调递增的是（）Af(x)=-lnxBf(x)=12xCf(x)=-1xDf(x)=3|x-1|【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【解答过程】对于A，因为y=lnx在0,+上单调递增，y=-x在0,+上单调递减，所以fx=-lnx在0,+上单调递减，故A错误；对于B，因为y=2x在0,+上单调递增，y=1x在0,+上单调递减，所以fx=12x在0,+上单调递减，故B错误；对于C，因

44、为y=1x在0,+上单调递减，y=-x在0,+上单调递减，所以fx=-1x在0,+上单调递增，故C正确；对于D，因为f12=312-1=312=3，f1=31-1=30=1,f2=32-1=3，显然fx=3x-1在0,+上不单调，D错误.故选：C.6（2023全国统考高考真题）已知函数fx=e-(x-1)2记a=f22,b=f32,c=f62，则（）AbcaBbacCcbaDcab【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解答过程】令g(x)=-(x-1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，因为62-1-1-32=6+32-42，而(6+3)

45、2-42=9+62-16=62-70，所以62-1-1-32=6+32-420，即62-11-32由二次函数性质知g(62)g(32)，因为62-1-1-22=6+22-42，而(6+2)2-42=8+43-16=43-8=4(3-2)0，即62-1g(22)，综上，g(22)g(62)g(32)，又y=ex为增函数，故acca.故选：A.7（2022浙江统考高考真题）已知2a=5,log83=b，则4a-3b=（）A25B5C259D53【解题思路】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出【解答过程】因为2a=5，b=log83=13log23，即23b=3，所以4a

46、-3b=4a43b=2a223b2=5232=259故选：C.8（2022全国统考高考真题）已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则（）Aa0bBab0Cba0Db0a【解题思路】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log9101，再利用基本不等式，换底公式可得mlg11，log89m，然后由指数函数的单调性即可解出【解答过程】方法一：（指对数函数性质）由9m=10可得m=log910=lg10lg91，而lg9lg11lg9+lg1122=lg9922lg11lg10，即mlg11，所以a=10m-1110lg11-11=0.又lg8lg10lg8+lg1022=lg8

47、022lg10lg9，即log89m，所以b=8m-90b.方法二：【最优解】（构造函数）由9m=10，可得m=log910(1,1.5)根据a,b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x1) ，则f(x)=mxm-1-1， 令f(x)=0，解得x0=m11-m ，由m=log910(1,1.5) 知x0(0,1) .f(x) 在 (1,+) 上单调递增，所以f(10)f(8) ，即 ab ， 又因为f(9)=9log910-10=0 ，所以a0b .故选：A.9（2023全国统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20lgpp0，其中常数p0p00是

48、听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（）Ap1p2Bp210p3Cp3=100p0Dp1100p2【解题思路】根据题意可知Lp160,90,Lp250,60,Lp3=40，结合对数运算逐项分析判断.【解答过程】由题意可知：Lp160,90,Lp250,60,Lp3=40，对于选项A：可得Lp1-Lp2=20lgp1p0-20lgp2p0=20lgp1p2，因为Lp1Lp2，则Lp1-Lp2=20lgp1

49、p20，即lgp1p20，所以p1p21且p1,p20，可得p1p2，故A正确；对于选项B：可得Lp2-Lp3=20lgp2p0-20lgp3p0=20lgp2p3，因为Lp2-Lp3=Lp2-4010，则20lgp2p310，即lgp2p312，所以p2p310且p2,p30，可得p210p3，当且仅当Lp2=50时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为Lp3=20lgp3p0=40，即lgp3p0=2，可得p3p0=100，即p3=100p0，故C正确；对于选项D：由选项A可知：Lp1-Lp2=20lgp1p2，且Lp1-Lp290-50=40，则20lgp1p240，即lgp1p22，可得p1p2100，且p1,p20，所以p1100p2，故D正确；故选：ACD.10（2023北京统考高考真题）已知函数f(x)=4x+log2x，则f12= 1 【解题思路】根据给定条件，把x=12代入，利用指数、对数运算计算作答.【解答过程】函数f(x)=4x+log2x，所以f(12)=412+log212=2-1=1.故答案为：1.