专题2.4二次函数的实际应用（知识解读2）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、专题2.4 二次函数的实际应用（知识解读2）【直击考点】【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型【知识点梳理】考点1 面积类考点2 拱桥类一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题【典例分析】【考点1 面积类】【典例1】（2012秋雨花区校级月考） 如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围

2、成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？【变式1-1】（2022新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2【变式1-2】（2022秋黄浦区校级月考）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于30m）和总长为28m的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形设大矩形的垂直于旧墙的一边长为x米，花圃总面积为y平方米，求y关于x的函数解析式 （用二次函数一般式

3、表示）【典例2】（2022秋衢江区校级月考）如图，有长为16m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且在BC上造了宽1m的两个小门设花圃宽AB长为x（m），花圃的面积为S（m2）（1）求S关于x的函数表达式及x的取值范围；（2）当AB为多少米时，所围成的花圃的面积最大，最大值为多少？【变式2-1】（2022秋永城市月考）如图，利用长为30米的篱笆及一面很长的墙围一矩形花圃ABCD（30米长的篱笆全用于花圃的三边），为了便于管理，决定在与墙平行的边BC上预留出长度为2米的出口EF设AB边的长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x的函数关系式是 【变式2

4、-2】（2020秋中山市期末）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）若所用铁栅栏的长为40米，矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且xy（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求S与x的函数关系式，并求出矩形场地的最大面积【考点2 拱桥类】【典例3】（2021秋黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（

5、2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 【变式3-1】（2022碑林区校级模拟）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（）A0.4mB0.6mC0.8mD1m【变式3-2】（2022九下定海开学考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=16（x5）2+6（1）求雕塑高OA（2）求落水点C，D之间的距离（3）若

6、需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE10m，EF1.8m，EFOD问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明【典例4】（2021九上百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？【变式4-1】（2022连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮

7、筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m【变式4-2】（2022河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为ya（xh）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度（1）求抛物线的表达式（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离【典例5】（2021秋海珠区校级期中）如图，某隧道的截面由抛物

8、线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【变式5】（2022秋鹿邑县月考）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12m，宽为5m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m，建立如图所示平面直角坐标系（1）求该抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）一辆大型货运汽车装载大型设备后高为7m，宽为4m如果该隧道设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？【典例6】（202

9、1安徽模拟）如图，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图所建立平面直角坐标系（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度【变式6-1】（2021海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（1）求该抛物线所对应的函数表达式（2）在抛物线形拱壁

10、上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度【变式6-2】（2020秋莫旗期末）如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？专题2.4 二次函数的实际应用（知识解读2）【直击考点】【学习目标】1.能运用二次函数分

11、析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型【知识点梳理】考点1 面积类考点2 拱桥类一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题【典例分析】【考点1 面积类】【典例1】（2012秋雨花区校级月考） 如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2(1)求S与x的函数关

12、系式及x值的取值范围；(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？【答案】（1）S=3x2+24x，x1.8， 顶部不会碰到水柱 .【典例4】（2021九上百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？【答案】（1） y=0.2x2+3.5 .

13、（2）0.2m.【解答】（1）解：当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， 抛物线的顶点坐标为（0，3.5），设抛物线的表达式为ya x2 +3.5，由图知图象过以下点：（1.5，3.05）.2.25a+3.53.05，解得：a0.2，抛物线的表达式为 y=0.2x2+3.5 .（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm， 因为（1）中求得 y=0.2x2+3.5 ，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25（h+2.05）m，h+2.050.2 (2.5)2 +3.5，h0.2（m）.答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.【变式4-1】（2022连云港）如图，一位篮球运动

14、员投篮，球沿抛物线y0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m【答案】4【解答】解：当y3.05时，3.050.2x2+x+2.25，x25x+40，（x1）（x4）0，解得：x11，x24，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m故答案为：4【变式4-2】（2022河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为ya（xh）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的

15、水平距离，y（m）是水柱距地面的高度（1）求抛物线的表达式（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），设抛物线的表达式为ya（x5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：0.725a+3.2，解得a，y（x5）2+3.2x2+x+，答：抛物线的表达式为yx2+x+；（2）当y1.6时，x2+x+1.6，解得x1或x9，她与爸爸的水平距离为312（m）或936（m），答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m【典例5】（2021秋海珠区校

16、级期中）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【答案】（1）y（x6）2+10（2）能安全通过【解答】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：ya（x6）2+10，将点B（0，4）代入，得：36a+104，解得：a，故该抛物线解析式为y（x6）2+10；（2）根据题意，当x6+410时，y16+106，这辆货车能安全通过【变

17、式5】（2022秋鹿邑县月考）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12m，宽为5m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m，建立如图所示平面直角坐标系（1）求该抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）一辆大型货运汽车装载大型设备后高为7m，宽为4m如果该隧道设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？【解答】解：（1）设抛物线的解析式为yax2+8，函数经过点（6，5），5a62+8，得a，即该抛物线的解析式为yx2+8（6x6）；（2）该隧道内设双向行车道，该货车只能走一个车道，将x4代入y42+86，67这辆货车不能安全通过【典例6】（2021安徽模拟）如图，一个横截面

18、为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图所建立平面直角坐标系（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度【答案】（1） （2）2.29 m【解答】解：（1）如图中，A（4，0），C（0，4），设抛物线解析式为yax2+k，由题意，得，解得：，抛物线表达式为（2）2+2.2，当x2.2时，y2.22+42.79，当y2.79时，2.790.52.29 （m）答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m【变式6-1】（

19、2021海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（1）求该抛物线所对应的函数表达式（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度【答案】（1） （2）m （3）4m【解答】解：（1）由题意设抛物线所

20、对应的函数表达式为ya（x6）2+7，将点C（0，1）代入上式，36a+71，解得，该抛物线所对应的函数表达式为（2）把y5代入中，解得，所以两排灯之间的水平距离为m；（3）把x2代入中，所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m【变式6-2】（2020秋莫旗期末）如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？【答案】（1）能通过 （2）能通过【解答】解：（1）由题意，得当x1时，3.75+25.754，能通过（2）由题意，得当x2.2时，2.79+24.794，能通过