专题2.48 二次函数压轴题-相似问题（培优篇）.docx

1、专题2.48 二次函数压轴题-相似问题（培优篇）（专项练习）一、填空题1已知抛物线yax 2bxc经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐标为_2点A为y轴正半轴上一点，A，B，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点若点A的坐标为，且，则所有满足条件的直线的函数解析式为：_3在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且位于直线的上方，过点作于点，连结，若与相似，则点的坐标是_二、解答题4如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，（1）求抛物

2、线的解析式；（2）为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标；点在轴的正半轴上运动，若请直接写出的值5已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；（2）求ABD的面积；（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH对称轴，垂足为H，若DPH与AOB相似，求点P的坐标.6 已知抛物线：交x轴于点A、B，顶点为M，A、B、M关于原点的对称点分别是E、F、N（1）求点A、B的坐标；（2）求出经过E、且以N为顶点的抛物线的表达式；（3）抛物线与y轴交点为D，点P是抛物线在第四象限部分上一动点，点Q是y

3、轴上一动点，求出一组P、Q的值，使得以点D、P、Q为顶点的三角形与相似7 如图，直线与轴、轴相交于、两点，抛物线过点、，且与轴另一个交点为，以、为边作矩形，交抛物线于点（1）求抛物线的解析式以及点的坐标；（2）已知直线交于点，交于点，交于点，交抛物线（上方部分）于点，请用含的代数式表示的长；（3）在（2）的条件下，连接，若和相似，求的值8 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点为抛物线的顶点，且（1）求抛物线的解析式；（2）设，求的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与相似，若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由

4、9如图，在同一直角坐标系中，抛物线：与轴交于和点C，且经过点，若抛物线与抛物线关于轴对称，点A的对应点为，点B的对应点为（1）求抛物线的表达式；（2）现将抛物线向下平移后得到抛物线，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴与轴交于点N，试问：在轴的下方是否存在一点M，使与相似？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，说明理由10如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点点P、Q是抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标11如图，以D为顶点的抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于

5、点C，直线BC的表达式为y=x+3（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由12如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与A

6、BC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由13如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标14 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点（1）求出二次函数和所在直线的表达式；（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐

7、标；（3）连接，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由15如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由16如图，已知A（2，0），B（4，0），抛

8、物线y=ax2+bx1过A、B两点，并与过A点的直线y=x1交于点C（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由17抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过点A（1，0），B（，0），且与y轴相交于点C（1）求这条抛物线的表达式；（2）求ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC

9、上，且DEAC，当DCE与AOC相似时，求点D的坐标18我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，则我们称与互为“旋补比例三角形”（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，_，_；（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；（3）如图3，在中，点在轴的正半轴上，点在第二象限，抛物线经过点，与轴交点为， (点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标19如图，抛物线yax 2bxc（a0）的顶点坐标为（2，1），并

10、且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由20如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上

11、，且MBO=ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得POCMOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由21 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0a3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD、BC（1）求点A、B、D的坐标；（2）若AOD与BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.22在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.（1）求抛物线L的表达式；（2）点P在抛物线上，

12、且位于第一象限，过点P作PDy轴，垂足为D.若POD与AOB相似，求符合条件的点P的坐标.参考答案1解：抛物线yax 2bxc经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，解得 y=抛物线的对称轴为直线x=1，D点坐标为（1，4），设P（1，a），过点P作PHDM于H，连接PA、PB，如图，则MP=4-a，又HMP=45，HP=AP=，RtAPE中，AP2=AE2+PE2，即：()2a2+4，解得：P1（1，-4+2），P2（1，-4-2）【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和切线的性质；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会应用相似比建立线段之间的关系2或【分

13、析】利用抛物线的图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似三角形的判定与性质得到=30，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析式求得结果解：如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，设点的坐标为，则点的坐标为设直线的函数解析式为，并设，的坐标分别为，由，得，于是，即于是，又因为，所以因为，所以，故=30，设，不妨设，所以，因为，所以于是，即，所以又，即，所以，于是可求得将代入，得到点的坐标，再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为根据对称性知，所求直线的函数解析式为或【点拨】此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以及对称解决问题3

14、（，）或（-3，2）【分析】利用进行讨论：若时，如图2，过点作轴于点，过点作交轴于点，先证明，设，解方程可确定，再证明，利用相似比得到，设，可表示出，然后把代入抛物线解析式得到，解方程求出即可得到此时点坐标；当时，则，利用点的纵坐标与点的纵坐标相同可确定此时点的纵坐标解：，若时，如图1，过点作轴于点，过点作交轴于点，即，而，设，则，解得，即，设，则，把代入得，整理得，解得（舍去），；当时，则，点的纵坐标为2，把代入得，解得，（舍去），综上所述，点的坐标为，或故答案为：，或【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；灵活应用相似

15、比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题4（1）；（2）或；或【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）分两种情况讨论，由两点距离公式和勾股定理可求解；分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求BP解析式，联立方程可求解解：（1）直线与轴交于点，直线解析式为：，当时，点，抛物线经过点，则，解得，抛物线的解析式为：；（2）轴，设点，点，则点，当时，（舍去）点的坐标为，当时，同理可得：（舍去）或3或4（舍去），点的坐标为，综上所述：点的坐标为或；当点在轴上方时，如图1，连接，延长交轴于，点，点，抛

16、物线与轴交于点，点，点，又，点，直线解析式为：，联立并解得：（舍去）或，；当点在轴下方时，如图2，连接，设与轴交于点，又，点，直线解析式为：，联立并解得：（舍去）或7，点的横坐标为7，综上所述：或【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键5（1）；（2）点P的坐标为（5,8），.【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）直线BD交x轴于E，如图，先把解析式配成顶点式得到D（2，-1），再利用待定系数法求出直线BD的解析式，则可确定E点坐标，然后

17、根据三角形的面积公式，利用SABD=SABE+SADE进行计算即可；（3）先确定抛物线的对称轴为直线x=2，设P（x，x2-4x+3）（x2），则H（2，x2-4x+3），再表示出PH=x-2，HD=x2-4x+4，根据相似三角形的判定方法，当时，PHDAOB，即；当时，PHDBOA，即，然后分别解方程即可得到满足条件的P点坐标解：（1）把A（1，0）和B（0，3）代入y=x2+bx+c得， 解得：， 抛物线解析式为y=x2-4x+3；（2）直线BD交x轴于E，如图，y=（x-2）2-1，D（2，-1），设直线BD的解析式为y=mx+n，把B（0，3），D（2，-1）代入得，解得，直线BD的解

18、析式为y=-2x+3，当y=0时，-2x+3=0，解得x=，则E（，0），SABD=SABE+SADE=（-1）3+（-1）1=1；（3）抛物线的对称轴为直线x=2，设P（x，x2-4x+3）（x2），则H（2，x2-4x+3），PH=x-2，HD=x2-4x+3-（-1）=x2-4x+4，PHD=AOB=90，当时，PHDAOB，即，解得x1=2（舍去），x2=5，此时P点坐标为（5，8）；当时，PHDBOA，即，解得x1=2（舍去），x2=，此时P点坐标为（，-）；综上所述，满足条件的P点坐标为（5，8）或（，-）6（1）、；（2）；（3）【分析】（1）令，由求得的解就是点A、B的横坐标；

19、（2）由（1）得到点A、B、M关于原点的对称点的坐标，然后利用顶点式求得抛物线的表达式；（3）先结合图形的特点，构造出与相似且顶点分别在y轴上和抛物线上的三解形，再利用相似三角形的性质求解解：（1）当时，由，得，、（2）由，得抛物线的顶点，点E、F、N分别与点A、B、M关于原点对称，、；设经过点E且顶点为N的抛物线的解析式为，则，解得，抛物线的解析式为（3）如图，作交抛物线于点P，作轴于点R，在点R上方的y轴上取一点Q，使，则；由，得，又，作交y轴于点H，则；，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为；由，得，（不符合题意，舍去）；，点Q的纵坐标为，综上所述，【点拨】本题考查二次函数综合问题

20、以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本性质是解题关键7（1），的坐标为；（2）；（3）的值为或1【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后令即可求出点A的坐标；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而可得点M的坐标，再根据抛物线可得点P的坐标，然后根据即可得；（3）先根据点的坐标、正方形的性质分别求出AE、ME、CF、PF的长，再根据相似三角形的性质即可得解：（1）对于直线当时，解得，则点的坐标为当时，则点的坐标为将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得则抛物线的解析式为令得，解得或点的坐标为；（2）设直线的解析式为把，代入得，解得直线的解析式

21、为点的横坐标为，点在上点的坐标为点的横坐标为，点在抛物线上点的坐标为即；（3）由题意得，根据相似三角形的性质，分以下两种情况：若，则即且；若，则即且综上，的值为或1【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质、利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的性质等知识点，掌握待定系数法求函数的解析式是解题关键8（1）；（2）；（3）存在，【分析】（1）将点A、E的坐标代入抛物线解析式求出a、b即可；（2）首先求出BD、EC、BC、BE的长，证明得出，将求的值转化为求的值，计算即可；（3）首先证明ACOEBC，OACCEB，可得以P、A、C三点为顶点与相似的三角形必为直角三角形，然后分情况讨论：以A为直角顶

22、点时，以C为直角顶点时，以为直角顶点时，利用射影定理求出OP的长即可.解：（1）将，代入可得，解得：抛物线的解析式为：；（2），令，解得：，；（3）OA=OD=1，OC=OB=3，AOCDOB，AOCDOB，ACODBO，OACODB，DBOEBC，ODBCEB，ACOEBC，OACCEB，为直角三角形，则以P、A、C三点为顶点与相似的三角形必为直角三角形，分三种情况讨论：以A为直角顶点时，在中，即：，；以C为直角顶点时，在中，即：，；以为直角顶点时，则P与O重合，即；综上所述：满足条件的点有，【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、相似三角形的判

23、定和性质、锐角三角函数的定义和性质以及射影定理的应用等知识，熟练掌握待定系数法和相似三角形判定定理是解答本题的关键.9（1）抛物线的解析式为（2）函数的解析式为：或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，确定顶点坐标，利用轴对称的性质得到抛物线的表达式；（2）先根据点坐标求出，再分两种情况利用相似三角形的性质求解即可解：（1）将，分别代入中得，解得，抛物线的解析式为，则：顶点为，抛物线与抛物线关于轴对称，顶点也关于轴对称，开口方向及大小均相同，即二次项系数相同，抛物线的顶点为， 抛物线的解析式为故抛物线的解析式为（2）如图，存在点M，使与相似由题意得：，与相似，可以分两种情况：当时，则

24、，即点，此时，抛物线的表达式为当时，同理可得：点；此时，抛物线的表达式为，故：函数的解析式为：或【点拨】此题考查二次函数的综合知识，待定系数法求抛物线的解析式，轴对称的抛物线的特点，相似三角形的判定及性质，在解题中运用分类思想解决问题10(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分ACB=BOQ、BAC=BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并

25、解得：，故抛物线的表达式为：；(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，故有最大值，当时，其最大值为；(3)，故与相似时，分为两种情况：当时，过点A作AHBC与点H，解得：，CH则，则直线OQ的表达式为：，联立并解得：，故点或；时，则直线OQ的表达式为：，联立并解得：，故点或；综上，点或或或【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏11（1）y=x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与

26、BCD相似【分析】（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程，从而可求得b、c的值；（2）作点O关于BC的对称点O，则O（3，3），则OP+AP的最小值为AO的长，然后求得AO的解析式，最后可求得点P的坐标；（3）先求得点D的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明BCD为直角三角形，然后分为AQCDCB和ACQDCB两种情况求解即可解：（1）把x=0代入y=x+3，得：y=3，C（0，3）把y=0代入y=x+3得：x=3，B（3，0），A（1，0）.将C（0，3）、B（3，0）代入y=x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3

27、抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O，则O（3，3）O与O关于BC对称，PO=POOP+AP=OP+APAOOP+AP的最小值=OA=5OA的方程为y=P点满足解得：所以P ( ,)（3）y=x2+2x+3=（x1）2+4，D（1，4）又C（0，3，B（3，0），CD=，BC=3，DB=2CD2+CB2=BD2，DCB=90A（1，0），C（0，3），OA=1，CO=3又AOC=DCB=90，AOCDCB当Q的坐标为（0，0）时，AQCDCB如图所示：连接AC，过点C作CQAC，交x轴与点QACQ为直角三角形，COAQ，ACQAOC又AOCDCB，ACQD

28、CB，即，解得：AQ=10Q（9，0）综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想12（1）抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）|MBMD|取最大值为；（3）存在点P（1，6）【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；（3）根据等腰直角三角形的判定，可得BCE，ACO，根据相似三

29、角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案解：（1）将A（0，3），C（3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，对l上任意一点有MD=MC，联立方程组 ，解得（不符合题意，舍），B（4，1），当点B，C，M共线时，|MBMD|取最大值，即为BC的长，过点B作BEx轴于点E，在RtBEC中，由勾股定理，得BC=，|MBMD|取最大值为；（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，在RtBEC中，BE=CE=1，BCE=45，在RtACO中，AO=CO

30、=3，ACO=45，ACB=1804545=90，过点P作PGy轴于G点，PGA=90，设P点坐标为（x，x2+x+3）（x0）当PAQ=BAC时，PAQCAB，PGA=ACB=90，PAQ=CAB，PGABCA，即，解得x1=1，x2=0（舍去），P点的纵坐标为12+1+3=6，P（1，6），当PAQ=ABC时，PAQCBA，PGA=ACB=90，PAQ=ABC，PGAACB，即=3，解得x1=（舍去），x2=0（舍去）此时无符合条件的点P，综上所述，存在点P（1，6）【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，

31、B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏13（1）； （2） （3），【分析】（1）根据，得出，将A，B代入得出关于b，c的二元一次方程组求解即可；（2）根据二次函数是，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B，D代入求解即可；（3）由题意得tanABD=，tanADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n0，Q（x，0）且x3，分当PBQABD时，当PQBABD时，当PQBDAB时，当PQBABD时四种情况讨论即可解：（1），将A，B代入得，解得，；（2）二次函数是，的横坐标为，

32、代入抛物线解析式得，设得解析式为：将B，D代入得，解得，直线的解析式为；（3）由题意得tanABD=，tanADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n0，Q（x，0）且x3，当PBQABD时，tanPBQ=tanABD即=，解得n=，tanPQB=tanADB即，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；当PQBABD时，tanPBQ=tanADB即=1，解得n=-2，tanQPB=tanABD即=，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；当PQBDAB时，tanPBQ=tanABD即=，解得n=，tanPQB=tanDAB即，解得x=-1，此时

33、Q的坐标为（-1，0）；当PQBABD时，tanPBQ=tanABD即=1，解得n=-2，tanPQB=tanDAB即，解得x=5-，Q的坐标为（5-，0）；综上：Q的坐标可能为，【点拨】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键14（1），；（2）；（3）存在，点的坐标是【分析】（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，求解即可；（2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，得出，根据，得，求解即可；（3）由（2）知，根据与有共同的顶点，且在的内部，只

34、有当时，利用勾股定理，可得，根据，即，解出t值，即可得出答案解：（1）由题意，将，代入，得，解得，二次函数的表达式，当时，得点，又点，设线段所在直线的表达式，解得，所在直线的表达式；（2）轴，轴，只要，此时四边形即为平行四边形，由二次函数，得点，将代入，即，得点，设点的横坐标为，则，由，得，解之，得（不合题意舍去），当时，；（3）由（2）知，又与有共同的顶点，且在的内部，只有当时，由，利用勾股定理，可得，由（2）以及勾股定理知，即，当时，点的坐标是【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用知识点是解题关键15(1)

35、抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m22m1)，根据S四边形AECPSAECSAPC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出BACPCA45，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：81-9bc10，c1，解得b2，c1，所以

36、抛物线的解析式yx2+2x1；(2)ACx轴，A(0，1)，x2+2x11，解得x1-6，x20(舍)，即C点坐标为(-6，1)，点A(0，1)，点B(-9，10)，直线AB的解析式为y-x1，设P(m，m2+2m1)，E(m，-m1)，PE-m1(m2+2m1)m2-3m.ACPE，AC6，S四边形AECPSAECSAPCACEFACPFAC(EFPF)ACEP6(m2-3m)m2-9m.-6m0，当m时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()；(3)yx2+2x1(x+3)22，P(-3，2)，PFyFyp3，CFxFxC3，PFCF，PCF45，同理可得EAF45，PCFEAF，在直线

37、AC上存在满足条件的点Q，设Q(t，1)且AB，AC6，CP，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，当CPQABC时，CQ:ACCP:AB，(t+6):6，解得t-4，所以Q(-4，1)；当CQPABC时，CQ:ABCP:AC，(t+6)6，解得t3，所以Q(3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解

38、（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏16（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，）；（3）N点坐标为（4，3）或（2，1）解：分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 抛物线解析式为：y=x2x1抛物线对称轴为直线x=-1（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小取点C（0，-1）关于直线

39、x=1的对称点C（2，-1），连CO与直线x=1的交点即为P点设过点C、O直线解析式为：y=kxk=-y=-x则P点坐标为（1，-）（3）当AOCMNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NEy轴于点EACO=NCD，AOC=CND=90CDN=CAO由相似，CAO=CMNCDN=CMNMNACM、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-a-1）由EDNOACED=2a点D坐标为（0，-a1）N为DM中点点M坐标为（2a，a1）把M代入y=x2x1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当AOCCNM时，CAO=NCMCMAB则点C关于直线x=1的对称点C即为点N由（2）N（2，-1

40、）N点坐标为（4，-3）或（2，-1）点拨：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想17（1）y=2x2+x+3；（2）ACB=45；（3）D（，）解：试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.作BHAC于点H，求出的长度，即可求出ACB的度数.延长CD交x轴于点G，DCEAOC，只可能CAO=DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.试题解析：（1）由题意，得解得 这条抛物线的表达式为（2）作BHAC于点H，A点坐标是（1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），AC=，AB=，

41、OC=3，BC= ，即BAD=， Rt BCH中，BC=，BHC=90，又ACB是锐角， （3）延长CD交x轴于点G，Rt AOC中，AO=1，AC=， DCEAOC，只可能CAO=DCEAG = CG AG=5G点坐标是（4，0）点C坐标是（0，3）， 解得，（舍）.点D坐标是 18（1）；（2）见解析（3），【分析】（1）根据题意直接可得出结论；（2）结合旋补比例三角形的定义，找出，即可；（3）结合题意，分析出为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂直”构造全等，得出结论解：（1）由题意可知：，（2），和互为旋补比例三角形，与互为旋补比例三角形（3），过作轴于点， 经过与，

42、对称轴为直线，与互为旋补比例三角形，如图，过点作于点，即点与点重合，即为等腰直角三角形，为以点为顶点的等腰三角形，在轴上方，如图：易证：，在轴下方，如图：易证：，综上，【点拨】本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解，以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的19（1）y=x24x3；（2）=2；（3）存在符合条件的点E，且坐标为：、【分析】（1）根据题意可设函数解析式为，然后把点C代入解析式求解即可；（2）由（1）及题意可设直线BC的解析式

43、为y=kx3，然后求解，进而可求证ACD为直角三角形，然后利用面积计算公式求解即可；（3）由题意知：EFy轴，则FED=OCB，若OCB与FED相似，则有当DFE=90，即 DFx轴和当EDF=90，然后进行分类讨论求解即可解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，得：，解得：a=1，抛物线的解析式：；（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx3，代入点B的坐标后，得：3k3=0，k= 1，直线BC：y=x3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；，即：，ACD是直角三角形，且ADCD；= ADCD=2；（3）由题意知：EFy轴

44、，则FED=OCB，若OCB与FED相似，则有：DFE=90，即 DFx轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：，解得当x=2+时，y=x+3=1；当x=2时，y=x+3=1+；、；EDF=90，易知，直线AD：y=x1，联立抛物线的解析式有：，解得 ；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1；、；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、【点拨】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形存在性的讨论是解题的关键20（1）y=2x23x；（2）C（1，1）；（3）（，）或（，）【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，

45、利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过C作CDy轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BFCD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；（3）设MB交y轴于点N，则可证得ABONBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MGy轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PHx轴于点H，由条件可证得MOGPOH，由的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标解：

46、（1）B（2，t）在直线y=x上，t=2，B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，抛物线解析式为；（2）如图1，过C作CDy轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BFCD于点F，点C是抛物线上第四象限的点，可设C（t，2t23t），则E（t，0），D（t，t），OE=t，BF=2t，CD=t（2t23t）=2t2+4t，SOBC=SCDO+SCDB=CDOE+CDBF=（2t2+4t）（t+2t）=2t2+4t，OBC的面积为2，2t2+4t=2，解得t1=t2=1，C（1，1）；（3）存在设MB交y轴于点N，如图2，B（2，2），AOB=NOB=45，在AOB和NOB中

47、，AOB=NOB，OB=OB，ABO=NBO，AOBNOB（ASA），ON=OA=，N（0，），可设直线BN解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，直线BN的解析式为，联立直线BN和抛物线解析式可得：，解得：或，M（，），C（1，1），COA=AOB=45，且B（2，2），OB=，OC=，POCMOB，POC=BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MGy轴于点G，过P作PHx轴于点H，如图3COA=BOG=45，MOG=POH，且PHO=MGO，MOGPOH，M（，），MG=，OG=，PH=MG=，OH=OG=，P（，）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MGy轴于点G

48、，过P作PHy轴于点H，同理可求得PH=MG=，OH=OG=，P（，）；综上可知：存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，）【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况21（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为.（3）当a=时，D、O、C、B四点共圆. 解：【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴相交，

49、则y=0，得出A（a，0），B（3，0），与y轴相交，则x=0，得出D（0，3a）.（2）根据（1）中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=，AO=a，OD=3a，代入求得顶点C（，-），从而得PB=3- =，PC=；再分情况讨论：当AODBPC时，根据相似三角形性质得，解得：a= 3（舍去）；AODCPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a1=3（舍），a2=；（3）能；连接BD，取BD中点M，根据已知得D、B、O在以BD为直径，M（，a）为圆心的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.【详解】（1）y=（x-a）（x-3）（0a3）与x

50、轴交于点A、B（点A在点B的左侧），A（a，0），B（3，0），当x=0时，y=3a，D（0，3a）；（2）A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.对称轴x=，AO=a，OD=3a，当x= 时，y=- ，C（，-），PB=3-=，PC=，当AODBPC时，即 ，解得：a= 3（舍去）；AODCPB，即 ，解得：a1=3（舍），a2= .综上所述：a的值为；（3）能；连接BD，取BD中点M，D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（，a），若点C也在此圆上，MC=MB， ，化简得：a4-14a2+45=0，（a2-5）（a2-9）=0，a2=5或a2=9，a1=，a2=-，a3=3（舍），

51、a4=-3（舍），0a3，a=，当a=时，D、O、C、B四点共圆.【点拨】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.22(1) y=x25x6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得；(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L上的对应点分别为A(3，0)、B(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L的表达式为yx25x6，设P(m，m25m6)(m0)，根据PDy轴，可得点D的坐标为(0，m25m6)，可得PDm，

52、ODm25m6，再由RtPOD与RtAOB相似，分RtPDORtAOB或RtODPRtAOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.解：(1)由题意，得，解得：，L：y=x25x6；(2)抛物线L关于原点O对称的抛物线为，点A(-3，0)、B(0，-6)在L上的对应点分别为A(3，0)、B(0，6)，设抛物线L的表达式yx2bx6，将A(3，0)代入yx2bx6，得b5，抛物线L的表达式为yx25x6，A(3，0)，B(0，6)，AO3，OB6，设P(m，m25m6)(m0)，PDy轴，点D的坐标为(0，m25m6)，PDm，ODm25m6，RtPDO与RtAOB相似，有RtPDORtAOB或RtODPRtAOB两种情况，当RtPDORtAOB时，则，即，解得m11，m26，P1(1，2)，P2(6，12)；当RtODPRtAOB时，则，即，解得m3，m44，P3(，)，P4(4，2)，P1、P2、P3、P4均在第一象限，符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).【点拨】本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.