专题2.5 二次函数与一元二次方程（知识解读）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、专题2.5 二次函数与一元二次方程（知识解读）【直击考点】【学习目标】1. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；2. 经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题 【知识点梳理】考点1 二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数(a0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y0，求中x的值的问题此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：判别式二次函数一元二次方程图象与x轴的交点坐标根的情况0抛物线与x轴交于

2、，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）注意：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，方程没有实根.2. 抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题我们把它延伸到求抛物线(a0)与y轴

3、交点和二次函数与一次函数的交点问题抛物线(a0)与y轴的交点是(0，c)抛物线(a0)与一次函数(k0)的交点个数由方程组的解的个数决定（1） 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；（2） 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；（3） 当方程组无解时两函数图象没有交点 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确

4、定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值4.确定一元二次方程的近似根在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根注意：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为

5、方程的根.考点3 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根由根与系数的关系得， 即 （0）考点4 抛物线与不等式的关系二次函数(a0)与一元二次不等式(a0)及(a0)之间的关系如下：【典例分析】【考点1 与x轴交点个数】【例1】函数ykx26x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）Ak3 Bk3且k0 Ck3Dk3且k0【变式1-1】（2020九上北京月考）抛物线 y=x2+2kx+2 与 x 轴交点的个数为（）A0 B1C2D以上都不对【变式1-2】（2021九上大庆期中）抛物线ykx 27x7的图象和x

6、轴有交点，则k的取值范围是() Ak Bk 且k0Ck Dk 且k0【变式1-3】下列关于二次函数yax22ax+1（a1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（）A没有交点B只有一个交点，且它位于y轴右侧C有两个交点，且它们均位于y轴左侧D有两个交点，且它们均位于y轴右侧【例2】（2021九上西城期中）已知抛物线y=（m2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点（1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标 【变式2-1】（2020九上科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 y=x2mx+m2 求证：不论 m 为何实数，此二次函数的图像与 x 轴都有两个不同交点

7、【变式2-2】已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x+2k2的图象与x轴有两个交点（1）求k的取值范围； （2）当k取正整数时，请你写出二次函数y=x2+2x+2k2的表达式，并求出此二次函数图象与x轴的两个交点坐标 【变式2-3】（2019九上北京月考）如果抛物线 y=x2+2x+2k4 与x轴有两个不同的公共点 （1）求k的取值范围； （2）如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值 【例3】（2021九上渝中开学考）如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(2,4) ， B(1,1) ，则方程 ax2=bx+c 的解是 .

8、【变式3-1】（2021九上龙山期末）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2bxc=0的解为 .【变式3-2】（2021九上定海期末）如图,将二次函数y=x2m(其中m0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+2的图象记为y2,若y1与y2恰有两个交点时,则m的范围是 .【变式3-3】（2018九上绍兴期中）已知二次函数y=x2+x+6及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=

9、x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A254 m3B254 m2C2m3D6m0D方程 ax2+bx+c=0 的正根在3与4之间【考点4 二次函数与不等式】【典例6】二次函数y = x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y0时，x的取值范围是（） A-1x3Bx3Dx3【变式6-1】已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y0时，x的取值范围是（） Ax-3B-3x1Cx1Dx Bk 且k0Ck Dk 且k0【答案】B【解答】解：因为 y=kx2-7x-7为抛物线，所以k0； 因为y=kx2-7x-7和图像有交点， 所以b2-4ac0 即(-7)2-4k(-7)0 所以

10、k- 74。 综上，k- 74且k0。 故答案为：B【变式1-3】下列关于二次函数yax22ax+1（a1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（）A没有交点B只有一个交点，且它位于y轴右侧C有两个交点，且它们均位于y轴左侧D有两个交点，且它们均位于y轴右侧【答案】D【解答】解：当y0时，ax22ax+10，a1，4a24a4a(a1)0，方程ax22ax+10有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，x 2a4a(a1)2a 0，抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，故答案为：D【例2】（2021九上西城期中）已知抛物线y=（m2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点（1）求m的取值范围； （2）

11、当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标 【答案】（1）m6且m2 （2）（2，0），（ 43 ，0）【解答】（1）解：抛物线y=（m2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点， y=0时，（m2）x2+2mx+m+3=0，则=（2m）24（m2）（m+3）0，m20，解得m6且m2即m的取值范围是：m6且m2（2）解：m6且m2，m满足条件的最大整数是m=5 y=3x2+10x+8当y=0时，3x2+10x+8=0解得 x1=2,x2=43 即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（2，0），（ 43 ，0）【变式2-1】（2020九上科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 y=x2mx+

12、m2 求证：不论 m 为何实数，此二次函数的图像与 x 轴都有两个不同交点 【答案】略【解答】解： =(m)24(m2)=m24m+8=(m2)2+4 ，不论 m 为何值时，都有 0 ，此时二次函数图象与 x 轴有两个不同交点 【变式2-2】已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x+2k2的图象与x轴有两个交点（1）求k的取值范围； （2）当k取正整数时，请你写出二次函数y=x2+2x+2k2的表达式，并求出此二次函数图象与x轴的两个交点坐标 【答案】（1）k0， 即 44(2k2)0， 解得 k32（2）解：k为正整数， k32k=1y=x2+2x 令y=0，得 x2+2x=0, 解得

13、 x1=2，x2=0，交点为（2，0）和（0，0）【变式2-3】（2019九上北京月考）如果抛物线 y=x2+2x+2k4 与x轴有两个不同的公共点 （1）求k的取值范围； （2）如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值 【答案】（1）k0 ， 解得 k52 ；（2）解： k0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+2的图象记为y2,若y1与y2恰有两个交点时,则m的范围是 .【答案】0m4【解答】解:二次函数y=x2m(其中m0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折得到的抛物线解析式为:y=x2+m,直线y=

14、x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=2,直线y=x+2与x轴交点为(2,0),与y轴的交点为(0,2),(1)如下图,当抛物线经过点(2,0)时,0=4m,解得m=4,观察图象可知,当m4时,y1与y2恰有两个交点,(2)由y=x+2y=x2+m得x2+x+2m=0,当=18+4m=0时,解得:m=74,观察图象可知,当0m74时,y1与y2恰有两个交点.【变式3-3】（2018九上绍兴期中）已知二次函数y=x2+x+6及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范

15、围是（）A254 m3B254 m2C2m3D6m0D方程 ax2+bx+c=0 的正根在3与4之间【答案】D【解答】解：由图表可得，该函数的对称轴是直线x= 0+32=32 ，有最大值，抛物线开口向下，故A选项错误；抛物线与y轴的交点为（0，1），故B选项错误；x=-1和x=4时的函数值相等，则x=4时，y=-30，故C选项错误；x=3时，y=1，x=4时，y=-3，方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故D选项正确.故答案为：D.【考点4 二次函数与不等式】【典例6】二次函数y = x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y0时，x的取值范围是（） A-1x3Bx3Dx3【答案】A【解

16、答】解：二次函数y= x22x3的图象如图所示图象与x轴交在（-1，0），（3，0），当y0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1x3故答案为：A【变式6-1】已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y0时，x的取值范围是（） Ax-3B-3x1Cx1Dx1【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（-3，0），抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），当-3x1时，y0.故答案为：B.【变式6-2】（2021九上开平月考）若方程ax2+bx+c0（a0）的两个根是3和1，则对于二次函数yax2+bx+c，当y0时，x的取值范围是（）A3x1

17、Bx3或x1Cx3Dx1【答案】B【解答】解：a0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）、（1，0），当y0时，x的取值范围是x3或x1，故答案为：B【变式6-3】（2021九上甘州期末）若方程ax2+bx+c0（a0）的两个根是3和1，则对于二次函数yax2+bx+c，当y0时，x的取值范围是（） A3x1Bx3或x1Cx3Dx1【答案】B【解答】解：a0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）、（1，0），当y0时，x的取值范围是x3或x1，故答案为：B.【典例7】（2021秋襄都区校级期末）如图，二次函数y（x2）2+m的图象与y

18、轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数ykx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足kx+b（x2）2+m的x的取值范围；（3）求ABC的面积【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y（x2）2+m得（12）2+m0，解得m1所以二次函数解析式为y（x2）21；当x0时，y413，所以C点坐标为（0，3），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x2，所以B点坐标为（4，3），将A（1，0）、B（4，3）代入ykx+b得，解得所以一次函数解析式为yx1；（2）一次函数ykx+b的图象

19、经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B（4，3），kx+b（x2）2+m的x的取值范围为1x4；（3）连接BC，ACB（4，3），C（0，3）OC3，BC4SABCBCOC6【变式7-1】（2022秋江夏区月考）如图所示，抛物线y1ax2+bx+c的顶点坐标（1，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B直线AB的解析式为y2kx+b（1）求抛物线y1的解析式；（2）当y15时，求自变量x的值为 4或2；（3）当0x3时，y1的取值范围是 ；（4）当ax2+bx+ckx+b时，x的取值范围是 ；【解答】解：（1）抛物线y1ax2+bx+c（a0）交x轴于点A（3，0），顶点坐标为（1，

20、4），设该抛物线解析式为y1a（x1）2+4，0a（31）2+4，解得a1，该抛物线解析式为y1（x1）2+4x2+2x+3，即该抛物线解析式为y1x2+2x+3；（2）当y15时，x2+2x+35，解得x4或2，故答案为：4或2；（3）由函数图象可知，当0x3时，0y14，故答案为：0y14；（4）由函数图象知，当ax2+bx+ckx+b时，x0或x3，故答案为：x0或x3【变式7-2】（2022秋越秀区校级月考）如图二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D（1）求二次函

21、数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；（3）若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE，求ADE的面积【解答】解：（1）设抛物线解析式为ya（x+3）（x1），把C（0，3）代入得a3（1）3，解得a1，所以抛物线解析式为y（x+3）（x1），即yx22x+3；（2）yx22x+3（x+1）2+4，该函数的对称轴是直线x1，点C （0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，点D （2，3），一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x2或x1；（3）连接AE，如图：设直线BD的解析式为ymx+n，代入B（1，0），D（2，3）得：，解得：，故直线BD的解析式为yx+1，把x0代入yx+1得，y1，E（0，1），SADESABDSABEAByDAByE43414ADE的面积为1