专题2.7 函数模型及其应用（解析版）.docx

1、2.7 函数模型及其应用思维导图知识点总结知识点一一次函数模型形如ykxb的函数为一次函数模型，其中k0.知识点二二次函数模型1一般式：yax2bxc(a0)2顶点式：ya(xh)2k(a0)3两点式：ya(xm)(xn)(a0)知识点三幂函数模型1解析式：yaxb(a，b，为常数，a0)2单调性：其增长情况由x中的的取值而定知识点四几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数

2、模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)知识点五应用函数模型解决问题的基本过程1审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；3求模求解数学模型，得出数学模型；4还原将数学结论还原为实际问题典型例题分析考向一 一次函数模型的应用实例例1某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每

3、天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大解设每天从报社买进x份(250x400)报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x10250)份；每月退回报社报纸共10(x250)份依题意得，y(0.400.24)(20x10250)(0.240.08)10(x250)即y0.16(20x2 500)0.16(10x2 500)，化简得y1.6x800，其中250x400，因为此一次函数(ykxb，k0)的k1.60，所以y是一个单调增函数，再由250x400知，当x400时，y取得最大值，此时y1.640080

4、01 440(元)所以买进400份所获利润最大，获利1 440元反思感悟一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解考向二 二次函数模型的应用实例例2牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的

5、取值范围解(1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为，故空闲率为1，由此可得ykx(0xm)(2)对原二次函数配方，得y(x2mx)2.即当x时，y取得最大值.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0xym.因为当x时，ymax，所以0m，解得2k0，所以0k500时，应付y300.15(1 200500)135(元)90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由300.15(x500)90可得，上网时间为900分钟令60300.15(x500)，解得x700.故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电

6、脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网反思感悟(1)处理幂函数模型的步骤阅读理解、认真审题用数学符号表示相关量，列出函数解析式根据幂函数的性质推导运算，求得结果转化成具体问题，给出解答(2)应用分段函数时的三个注意点分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论考向四 指数型函数模型例4目前某县有100万人，经过x年后为y万人如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.012101.126 7，1.012111.140 2，lg 1.20.079，lg 1

7、.0120.005)(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)解(1)当x1时，y1001001.2%100(11.2%)；当x2时，y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；当x3时，y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3；.故y关于x的函数解析式为y100(11.2%)x(xN*)(2)当x10时，y100(11.2%)101001.01210112.7.故10年后该县约有112.7万人(3)设x年后该县的人口总数

8、为120万，即100(11.2%)x120，解得xlog1.01216.故大约16年后该县的人口总数将达到120万反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式考向五 对数型函数模型例5我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的

9、速度v0，代入题中公式，可得05log2，解得O10个单位(2)将耗氧量O80代入题中公式，得v5log25log2815(m/s)反思感悟有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义考向六 建立拟合函数模型解决实际问题例3某纪念章从2019年1月6日起开始上市通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间

10、x的变化关系并说明理由：yaxb；yax2bxc；yalogbx；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格解(1)随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中yaxb和yalogbx显然都是单调函数，不满足题意，用函数yax2bxc描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入yax2bxc中，得解得yx210x126(x20)226.当x20时，y有最小值26.故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简

11、化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题基础题型训练一、单选题1函数的零点是（）A2BCD【答案】D【解析】令，计算得到答案.【详解】令，得.所以函数的零点为.故选：【点睛】本题考查了函数的零点，属于简单题.2函数的一个零点为，则它的另一个零点是（）AB1CD2【答案】B【解析】将零点转化为方程的解，根据韦达定理计算，得到答案.【详解】设方程的两根分别为，由根与系数的关系得，所以方程

12、的另一个根为1.故选：【点睛】本题考查了函数的零点，转化为方程的解是解题的关键.3函数在下列区间内一定有零点的是ABCD【答案】A【分析】利用零点存在性定理检验即可得到答案.【详解】函数是单调递增的函数，且f(-1)=f(0)=10,由零点存在性定理可知函数在区间（-1,0）上定存在零点，故选A.【点睛】本题考查零点存在性定理的简单应用，属于基础题.4方程的实数解的个数是（）A0B1C2D3【答案】B【解析】将方程的解转化为函数的交点个数，画出函数图像得到答案.【详解】的实数解的个数即函数的图像和直线的交点个数.数形结合求得的图像和直的交点个数为1故选： 【点睛】本题考查了方程的解的个数问题，

13、转化为函数的交点是解题的关键.5函数的零点个数为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】得，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】由得，分别画出函数与的图象，如图所示：由图可知两个函数图像的交点个数为2，即函数的零点个数为2故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，转化为函数图像的交点是解题的关键.6如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】变换得到，根据得到答案.【详解】方程可变形为，因为，所以.故选：【点睛】本题考查了方程解的问题，利用参数分离可以快速得到答案，是解题的关键.7用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（）A

14、BCD【答案】B【详解】因为； ；又已知；所以；所以零点在区间故选B8在用二分法求方程3x+3x8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（）A（1，1.25）B（1.25，1.5）C（1.5，2）D不能确定【答案】B【分析】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.【详解】f（1）0，在区间（1，1.5）内函数=3x+3x8存在一个零点又f（1.5）0，f（1.25）0，f(1)0，证明a0，并利用二分法证明方程f(x)0在区间0,1内有两个实根【答案】见解析【详解】试题分析：根据函数解析式代入f（0）0、f（1）0，得c0且3a+2b+c0，结合a+b+c=0化简即可得

15、到a0；利用a+b+c=0化简得f()-,结合a0，可得f()0，3a2bc0，即3(abc)b2c0.abc0，b2c0，则bcc，即ac.f(0)0，c0，则a0.在区间0,1内选取二等分点，则fabca(a)a0，f(1)0，函数f(x)在区间和上各有一个零点又f(x)最多有两个零点，从而f(x)0在0,1内有两个实根22已知函数在区间上有个零点.（1）求实数a的取值范围；（2）若，用二分法求方程在区间上的根.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分别讨论与的情况,利用零点存在性定理求解即可；（2）当时,由可得函数的零点在区间上,进而求得,即可求得方程的根【详解】（1）若,则,与题意不符

16、,若,则由题意可知,则在上是单调函数,故,解得,故的取值范围为（2）若,则,函数的零点在区间上,又,方程在区间上的根为【点睛】考查已知零点所在区间求参数范围,考查利用二分法求方程的根,考查运算能力23某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.【分析】利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，因开口向下，对称轴处取

17、得最大值.【详解】解:设可获得的总利润为万元，则在上是增函数，当时，.年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.【点睛】本题考查二次函数的最值，可配方求最值，注意自变量的取值范围.24某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：件）满足（注：总收益=总成本+利润）（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）月产量为300件时，最大利润为25000元【解析】（1）由题意

18、可知总成本是，根据利润=总收益-总成本，列分段函数；（2）由（1）的分段函数，分别求每段函数的最大值，比较最大值就是最大利润.【详解】（1）依题意，总成本是元，所以，即（2）由（1）知，当时，所以当时，；当时，.故当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25000元.综上可知当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25000元.【点睛】本题考查分段函数的应用问题，意在考查抽象和概括能力，属于基础题型.25牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y（只）和实际畜养量x（只）与空闲率的乘积成正比，比例系数为.（1

19、）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；（2）求羊群年增长量的最大值.【答案】（1）；（2）最大值【解析】（1）由题意可知空闲率是，由题意列式；（2）由（1）可知，求二次函数的最大值.【详解】（1）根据题意，最大备养量为m只实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为，由此可得.（2）由（1）得.所以当时，y取得最大值.故羊群年增长量的最大值为【点睛】本题考查函数的实际应用，意在考查分析问题，抽象和概括的能力，属于基础题型.26国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元

20、，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【答案】(1)(2)当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.【分析】（1）根据题意直接可得；（2）根据分段函数分别求各段的最值，然后可得.【详解】（1）记旅行团人数为x，飞机票价格为y，则由题意可知，即（2）记旅行社所获利润为M，则当时，（元），当时，故当时，（元）综上，当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.27下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，三种函数关系建立数学模型，并探

21、讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离车速/（km/h）1015304050刹车距离/m47121825车速/（km/h）60708090100刹车距离/m3443546680【答案】以为模拟函数，当车速为120km/h时，停车距离为114m【分析】先求出，解析式，再分别计算车速为90km/h，100km/h时的停车距离，确定函数模型，即可求得结论【详解】解：若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为220.8m，364.5m，与实际数据相比，误差较大若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，以此

22、函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为43.39m，48.65m，与实际情况误差也较大若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为68m，82m，与前两个函数相比，此函数更符合实际情况当时，即当车速为120km/h时，停车距离为114m【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题提升题型训练一、单选题1某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y6x30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）A2 0

23、00套B3 000套C4 000套D5 000套【答案】D【解析】列出利润的表达式再求解的解即可.【详解】因利润z12x(6x30 000),所以z6x30 000,由z0解得x5 000,故至少日生产文具盒5 000套.故选：D【点睛】本题主要考查了实际应用中的利润问题,属于基础题.2函数的单调递减区间是ABCD【答案】A【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性写出单调区间即可【详解】由，得或，定义域为，的单调递减区间为故选A【点睛】本题考查函数的单调区间，函数的单调区间是函数定义域的子集，所以求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域3某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销

24、售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为A30元B42元C54元D越高越好【答案】B【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价【详解】设每天的销售利润为元，则，将上式配方后得，当时，取得最大值.故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润.【点睛】本题考查二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价进价）每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值方法，属于基础题4从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）

25、之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是ABCD【答案】A【分析】根据函数关系式，令，解出，即可得到答案【详解】由于小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为所以令，得（舍）或.故小球从抛出至回落到地面所需要的时间是故答案选A【点睛】本题考查运动函数方程，是二次函数的实际应用，属于基础题5随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量与大气压强成正比例函数关系当时，则与的函数关系式为ABCD【答案】A【分析】设，将代人解析式中，计算出值，即可得到答案【详解】由题意设，将代人解析式可得，故，考虑到含氧量不可能为负，可知.【点睛】本题考查正比例

26、函数的解析式 ，属于基础题6某地固定电话市话收费规定：前三分钟元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费A元B元C元D元【答案】B【分析】设所用时间为分钟，应支付电话费为元，根据题意求出当时，与的函数关系式，代值计算即可得答案【详解】设所用时间为分钟，应支付电话费为元，则（是不小于的最小整数，），令，故，则.故答案选B【点睛】本题考查实际问题中求函数的解析式以及函数值，属于基础题7下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）这几年生活水平逐年得到提高；生活费收入指数增长最快的一年是2014年；生活价格指

27、数上涨速度最快的一年是2015年；虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善A1B2C3D4【答案】C【分析】认真观察图形就可以判断.【详解】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故正确；“生活费收入指数”在20142015年最陡；故正确；“生活价格指数”在20152016年最平缓，故不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故正确故选：C.8若函数经过点，则函数的零点是（）A0，2B0，C0，D2，【答案】C【分析】转化条件为，解方程即可得解.【详解】函数经过点，令，则所以函数的零点是0和故选：C.9

28、当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（）ABCD【答案】B【分析】根据函数的特点即可判断出增长速度.【详解】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.故选：B10在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61Ay=2xBy=log2xCy=(x2-1)Dy=2.61x【答案】B【分析】结合表中数据，根据函数的性质判断.【详解】对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求；

29、对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；对于D，函数，当时，不符合要求，故选：B.11函数在下列区间内一定有零点的是（）ABCD【答案】C【解析】直接利用零点存在定理判断.【详解】因为函数连续，且，所以在区间内一定有零点，故选：C12已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（）AB0C1D2【答案】D【解析】依题意画出函数图象，函数的零点，转化为函数与函数的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为，画出函数图象如下所示，函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，

30、由函数图象可得或，故选：D【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点二、填空题13为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_m3每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元

31、/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3【答案】16【解析】由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可【详解】设用数量为，交纳水费为，由题可知，当时，解得，故答案为：16【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属于基础题14若成立，则的取值范围是_【答案】【详解】如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），由图象可知不等式的解集为.15图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间之间的函数关系的图像，根据图像判断：通话，需付电话费_元；通话，需付电话费_元；如果，电话费（元）与通话时间之间的函数关系式是_

32、【答案】 6 【分析】（1）根据图像可知通话3分钟以内收费为3.6元，（2）根据时的函数值解答，（3）设与的关系式为，利用待定系数法求出一次函数解析式【详解】由题图知，通话3分钟以内收费为3.6元，所以通话，需付电话费元，根据图像可知，分钟，元，所以通话，需付电话费6元.当时，设与的关系式为设，由于图像过点，则有解得.故答案为3.6，6，【点睛】本题考查一次函数的应用，主要利用待定系数法求一次函数的解析式，准确识图确定函数图像经过的点的坐标，并理解射线的意义是解题的关键16把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是_【答案】2 cm2【详解】试题分

33、析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4x）cm，两个三角形的面积和为S=x2+（4x）2=x22x+4令S=x2=0，则x=2，所以Smin=2故答案为2 cm2点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法17若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_【答案】或【分析】根据函数两个不同的零点，由方程有两个不同的实数根求解.【详解】因为函数有两个不同的零点，所以方程有两个不同的实数根.所以，解得或.故答案为：或.18函数

34、在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】由二次函数的特点和零点存在定理可构造不等式组求得结果.【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数，即，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.19函数零点的个数为_.【答案】2【解析】根据函数的解析式，令，结合一元二次方程和对数的运算性质，即可求解.【详解】当时，令，即，解得或（舍去）；当时，令，即，解得，所以函数有两个零点.故答案为：2.20已知函数f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是_【答案】（，1）【解析】通过函数图像可以判断出a0且yax2+2x+1在（2，0）上有2个零点，从而解出答案.【详解】函数f(x)有3个零点，当a=0时，函数只有1个零点，当a0时,函数最多只有1个零点，a0且yax2+2x+1在（2，0）上有2个零点，解得a1.故答案为：（，1）