专题2.8 角的轴对称性（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题2.8 角的轴对称性（分层练习）一、单选题1如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E若，则点D到的距离是（） A B C D2如图，点C是内一点，于点D，于点E且，则的度数是（） ABCD3甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（） A三条角平分线的交点B三边垂直平分线的交点C三边中线的交点D三边上高的中点4如图，点P是内一点，于C，于D，且，点E在上，则的度数是（）ABCD5如图，ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（） ABP平分APCBBP平分ABCCBABCDPAPC6如图，在中，利用尺规在，上分

2、别截取，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，过作于点，若，则的值是（）A2BC1D无法确定7如图是中的角平分线，于点E，则长（）A3B4C5D68如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若，为上一动点，连接，则的最小值为（） AB1C2D没有最小值9如图，在中，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交

3、于点P；作射线，分别交，于点F，Q若，则的度数为（） ABCD10如图，在中，是延长线上一点，点是的平分线上一点，过点作于，于，若，则的长为（） ABCD11现有一直角三角形纸片，先将共一个侻角折叠（如图1），点落在斜边上的处，折痕与边交于点再将另一锐角折疘（如图2），使也落在斜边上，折痕与交于点，量得，则点到的距离为（）A4B3C2D12如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（） ABCD13如图，点为的角平分线上一点，分别为，边上的点，且作，垂足为，若，则的长为（） A10B11C12D1514如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EFBC

4、于点F，延长CB至点G，使BG2FC，连接EG交AB于点H，EP平分GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若CEGC+BAC，则下列结论：APEAHE；PEHE；ABGE；SPABSPGE其中正确的有（） ABCD15如图，射线为的平分线，点M，N分别是边，上的两个定点，且，点P在上，满足的点P的个数有（） A0个B1个C2个D无数个二填空题16如图，在中，是的平分线，于点E若，则的长度为 17如图，在的内部取一点O，过点O作于点M，于点N，若，且，则 18如图，点在内部，分别平分和，于点，若的周长为32，且，则的面积为 19如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点

5、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为 20如图，E是的中点，平分有下列结论：；其中正确的是 （填序号） 21如图，在的边、上取点M、N，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 22如图，在Rt中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为 23如图，在中，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则 24如图，在四边形中，点E是的中点，连接，且平分，若四边形的面积为24，则线段的长为 25如图，四边形中，平分，平分，则的值是 26如图，是的角平分线，相交于点于F，下列四个结论：；若的周长为m，则

6、若，则其中正确的结论是 （填写序号）27如图，AE是CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F若ACB28，EBD25，则AED 28如图，在OAB和OCD中，连接AC，BD交于点E，BD交OA于点M，AC交OD于点N，连接OE下列四个结论一定成立的是 （填序号） EO平分BEC29如图，是的两个外角的角平分线，且下列结论中正确的个数有 个； 30如图，点C是直线上一点，点P是直线外一点，小睿同学先作了射线，又分别作了和的角平分线，接着小源同学又给添加了一条过点P的直线，并且，最后子瑞同学拿着圆规完成了以下作图：以E为圆心，任意长为半径

7、画弧分别交，于点M，N；在分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧交于点O，得射线，交于点F，若，则 三、解答题31如图，在中，按以下步骤作图：延长到D；以A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；分别以点M和点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；作射线(1)由作图可知，射线是的_；(2)若，求证： 32如图，在ABC中，C=90，CAD=BAD，DEAB于E，点F在边AC上（1）求证：DC=DE；（2）若AC=4，AB=5，且ABC的面积等于6，求DE的长 33如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点 (1) 若，求点到直线的距离；(2) 求证：点在的平分线上34【教

8、材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点，垂足分别为点和点求证：分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图写出证明过程(2)【类比探究】如图，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：35在和中，(1) 如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；(2) 如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；(3) 如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由36（1）模型：如图1，

9、在中，平分，求证：（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：（3）类比应用：如图3，平分，求证：参考答案1A【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解【详解】平分，点D到的距离是故选：A【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质2B【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度【详解】解：，平分，故选C【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上3B【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可【详解】解：中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等，中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上，故选：B【点睛】本

10、题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键4B【分析】根据到角两边距离相等的点在角平分线上，从而求出，再利用外交与内角的关系求出结果【详解】，平分，又，故选B【点睛】本题考查了角平分线的判定和与三角形有关的角的计算，解决问题的关键是角平分线的判定，然后利用角平分线的性质求出角，从而求解5B【分析】过点P分别作PDBA交BA延长线于点D，PEBC交BC延长线于点E，PFAC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解【详解】解：如图，过点P分别作PDBA交BA延长线于点D，PEBC交BC延长线于点E，PFAC于点F，ABC的两个外角

11、的平分线相交于点P，PD=PF，PE=PF，PD=PE，点P在ABC的角平分线上，即BP平分ABC故选：B【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键6A【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的性质可得【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线，故选A【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键7B【分析】过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据列出方程求解即可【详解】解：如图，过点D作于F，是中的角平

12、分线，由图可知，且，解得故选：B【点晴】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键8B【分析】根据基本作图得到平分，过G点作于H点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题【详解】解：由作法得平分，过G点作于H点，如图，为的平分线，P为上一动点，的最小值为的长，即的最小值为1故选：B【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了角平分线的性质和垂线段最短9A【分析】先根据步骤得，是的垂直平分线， 是的角平分线，再根据内角和求得 ，再根据角平分线的性质得，根据内角和求得，即可求得，再根据是的垂直平分线，即可求得结果【详解

13、】解：由步骤可知是的垂直平分线，由步骤可知是的角平分线，是的角平分线，是的垂直平分线故选A【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键10D【分析】根据角平分线的性质可得，根据“斜边直角边”的判定方法可证，由此可得，设，列式求解即可【详解】解：点是的平分线上一点，于，在中，在中，即，设，即，故选：【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键11C【分析】过P作与M，根据将其一个锐角ABC折叠，使点A落在斜边BC上的处，可得，根据将另一锐角折叠，使也落在斜边上，可得是的平分线，即可得，而已知，故，即

14、点P到的距离为2【详解】过P作与M，如图：将其一个锐角折叠，使点A落在斜边上的处，将另一锐角折叠，使也落在斜边上，即是的平分线，即点P到的距离为2，故选：C【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质12B【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，综上，正确的是A、C、D选项，故选：B【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的

15、性质，熟练掌握知识点是解题的关键13A【分析】过点C作于点M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，再通过证明和，得到【详解】如图所示，过点C作于点M，点为的角平分线上一点，在和中，在和中，故答案选：A【点睛】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质角平分线上的点到角两边的距离相等一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等14D【分析】过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，根据角平分线的性质定理可知，PM=PN=PI，易证PH平分BGE，即P HM=PHI设PEH=a，PAB=，由外角的性质可得APE=a-，AHE=2a-2，所以APE=AHE；故正确；由外角

16、的性质可得PHE=90-a+，由三角形内角和可得，HPE=180-a-（90-a+）=90-，所以PHEHPE，即PEHE；故不正确；在射线AC上截取CK=EC，延长BC到点L，使得CL=FC，连接BK，LK，易证EFCKLC，所以EF=LK，L=EFC=90，易证FG=BL，所以GEFBKL（SAS），所以EGF=KBC，GE=BK，由由外角的性质可知，BAC=BKC，所以AB=BK=GE，故正确；因为SPAB=ABPM，SPGE=GEPI，且AB=CE，PM=PI，所以SPAB=SPGE，故正确【详解】解：过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，AP平分BAC，PMAB，

17、PNAC，PMPN，PABPAC，PE平分GEC，PNAC，PIEH，PIPN，PEHPEN，PMPNPI，PMHPIH，PHPH，PHMPHI，RtPMHRtPIH（HL），PHMPHI，设PEH，PAB，PEN，BAN，对于APE，PECPAE+APE，APE，对于AEH，HECBAC+AHE，AHE22，APEAHE；故正确；AHE+MHE，PHMPHI，PHE90+，HPE180（90+）90，PHEHPE，即PEHE；故不正确；在射线AC上截取CKEC，延长BC到点L，使得CLFC，连接BK，LK，ECFLCK，EFCKLC（ASS），EFLK，LEFC90，BG2FC，FCCL，B

18、GFL，FGBL，GEFBKL（SAS），EGFKBC，GEBK，ACBEGC+BAC，ACBKBC+BKC，BACBKC，ABBK，GEAB，故正确；SPABABPM，SPGEGEPI，又ABGE，PMPI，SPABSPGE故正确故选：D【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形外角的性质定理，作出辅助线，构造全等是解题关键15B【分析】过点P作，根据角平分线的性质及全等三角形的判定即可得出结果【详解】解：过点P作，如图所示：射线为的平分线，当DM=EN时，此时满足条件的点P只有1个，故选：B【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握角平分线

19、的性质是解题关键16/2厘米【分析】由，是的平分线，证明，即可得答案【详解】解：，是的平分线，；故答案为：【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键1715/15度【分析】根据角平分线的判定可得答案【详解】解：，且，平分，故答案为：15【点睛】本题考查了角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键1848【分析】连接AO、作，利用角平分线的性质可得出，然后利用三角形的面积公式计算即可得出答案【详解】解：如图，连接AO、作，分别平分和，于点故答案为：48【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质，根据题目作出辅助图是解此

20、题的关键195【分析】先根据尺规作图描述得出为的角平分线，再根据角平分线的性质得到点到的距离，进而求出三角形的面积【详解】由作法得平分，如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质，得，的面积，故答案为：【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用20【分析】过点E作，根据角平分线的性质可得，再根据可证；再根据角平分线的判定可证；证明，即可证明，【详解】解：如图，过点E作，平分，点E是的中点，平分，故正确；，故错误；在和中， 在和中，故正确；，又，故正确，故答案为【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定，正确作出

21、辅助线，构造直角三角形是解题的关键21【分析】连接，过作于点C，于点D，于点E，根据角平分线的性质定理，可求出，再由即可求解【详解】解：如图，连接，过作于点C，于点D，于点E，平分，平分，的面积是2，解得：，故答案：【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握性质定理，用面积法进行求解是解题的关键229【分析】过作于，由角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过作于，平分，点为的中点，的面积，故答案为：【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等23【分析】根据角平分线的性质即可求得点到的距离相等，再利用角平分

22、线的判定即可得到是的角平分线，进而得到的度数【详解】解：过点作，过点作，过作，的平分线与的平分线相交于点，是的角平分线，在中，；故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键246【分析】过点E作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明平分，可得，然后证明，得的面积的面积，同理可证：，得的面积的面积，所以的面积四边形的面积，进而可以解决问题【详解】解：如图，过点E作于F，DE平分，是的中点，平分，在和中，的面积的面积，同理可证：，的面积的面积，的面积四边形ABCD的面积，线段

23、的长为故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质与判定，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线25/220度【分析】由四边形的内角和可得，由角平分线的性质可得，最后由三角形的外角的定义进行计算即可得到答案【详解】解：四边形中，平分，平分，故答案为：【点睛】本题主要考查了四边形的内角和、角平分线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握四边形的内角和、角平分线的性质、三角形外角的定义，是解题的关键26【分析】利用三角形的内角和以及角平分线平分角，求出的度数，进行判断；在上截取，证明，得到，再证明，得到，进而得到；连接，过点作，垂足分别为：，利用角平分线的性质，以及，进行求解即可

24、；根据，得到，根据，得到，进而得到，根据，得到：，即可得到【详解】解：，是的角平分线，；故正确；如图，在上截取，是的角平分线，是的角平分线，；故正确；连接，过点作，垂足分别为：，是的角平分线，；故错误；如图，由知，即：；故正确；综上，正确的是；故答案为：【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，利用截长补短法，证明三角形全等，是解题的关键2737【分析】连接CE，过E作ERAC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CEBE，EREF，根据全等求出RCEEBF，求出ACBQED28，求出BEDCED

25、65，求出REF的度数，再求出CAB，求出CAE，根据三角形的外角性质求出DOE，再求出答案即可【详解】解：连接CE，过E作ERAC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，DE是线段BC的中垂线，EDC90，CEBE，ECBEBD，EBD25，ECB25，DEBCED902565，ERAC，EDBC，QRCQDE90，ACB+CQR90，EQD+QED90，CQREQD，ACBQED，ACB28，QED28，AE平分CAM，ERAC，EFAM，EREF，在RtERC和RtEFB中，RtERCRtEFB（HL），EBFACEACB+ECD28+2553，EFB90，BEF90EBF905337，R

26、EFRED+BED+BEF28+65+37130，AREAFE90，CAM360909013050，AE平分CAM，CAECAM25，DOECAE+ACB25+2853，EDBC，EDB90，AED90DOE905337，故答案为：37【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等28【分析】证明AOCBOD，即可判断；利用AOCBOD，推出CAO=DBO，得到O

27、AB+OBA=OAB+ABE+CAO，由三角形内角和定理即可判断；无法证明AONBOM，即无法判断，由此判断；过O作OGBD于G，OHAC于H，根据全等三角形的性质得到OG=OH，由此判断【详解】解：在OAB和OCD中，AOC=BOD，AOCBOD，AC=BD，故正确；AOCBOD，CAO=DBO，OAB+OBA=OAB+ABE+CAO，OAB+OBA+AOB=180，OAB+ABE+CAO+AEB=180，故正确；OA=OB，NAO=MBO，无法证明BOM=AON，无法证明AONBOM，即无法判断，故错误；过O作OGBD于G，OHAC于H，AOCBOD，AC=BD，OG=OH，EO平分BEC

28、，故正确；故答案为：【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键293【分析】过O作于E，根据角平分线的性质得出求出，求出，根据全等三角形的判定得出，再逐个判断即可【详解】过O作于E的角平分线交于点O，O在的角平分线上，即平分，故正确；在和中（HL）同理，故正确；平分平分，即，故正确；由已知如果成立，将代入得：解得：，显然不成立，故不成立；即正确的有：，共3个，故答案为：3【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等时解此题个关键3075【分析】角平分线的性质得出求出，平行线的性质内错角

29、相等得出，因为平分，平分，得出，再根据内角和得出【详解】解：由题可得，平分，又，又平分，平分，故答案为：75【点睛】此题考查了角平分线和平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是通过角的相等关系求出角的度数31(1)角平分线(2)见解析【分析】（1）连接、，根据作图过程可得，即可证明，即可得出结果；（2）根据、，即可证明结论【详解】（1）解：如图，连接、，由作图过程可得：，在和中，平分，故答案为：角平分线；（2）解：，又，【点睛】本题考查基本作图角平分线、角平分线的判定和性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键32（1）见解析；（

30、2）【分析】（1）根据角平分线的性质求解即可；（2）由（1）中证得DC=DE，然后根据即可求出DE的长【详解】解：（1）C=90，又CAD=BAD，DEABDC=DE；（2）DC=DE，解得：【点睛】此题考查了角平分线性质定理，三角形面积的运用，解题的关键是根据角平分线的性质定理证得DC=DE33(1)8cm(2)见解析【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上【详解】（1）解：作于，如图，又平分，即点到直线的距离为8cm；（2）证明：平分，且于点，又，点在的平分线上【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌

31、握角平分性质的逆用是解决本题的关键34(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论【详解】（1）证明：，是的平分线，在和中，；（2）证明：如图，过点作于，于，是的平分线，在和中，【点睛】本题是三角形综合题，考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键35(1)见解析(2)成立，理由见解析(3)是，【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；（3），如图3，过点作，垂足分别为

32、、，由，得到，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到【详解】（1）解：证明：如图1，在和中，；（2）成立，证明：如图2，在和中，（3），如图3，过点作，垂足分别为、，平分，【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等36（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证ACDAED，从而可求出，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证ADCAEM，故而得出AE为BAM

33、的角平分线，即，即可得出答案；【详解】解：（1）AD平分BAC，DEAB，DEAC，DE=DF， ，：=AB：AC；（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE又 AD平分CAE， CAD=DAE，在ACD和AED中， ，ACDAED（SAS），CD=DE且ADC=ADE， ， ，AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM， D+AEB=180，又AEB+AEM=180，D=AEM，在ADC与AEM中，ADCAEM（SAS），DAC=EAM=BAE，AC=AM，AE为BAM的角平分线，故 ，BE：CD=AB：AC；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；