专题20 一次函数-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题20 一次函数一、一次函数与几何探究【典例】如图，点B1在直线l：y=12x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；按照这个规律进行下去，点B2022的坐标为 【解答】解：点B1在直线l：y=12x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1x轴，垂足为A1，A1（1，0），B1（1，12），四边形A1B1C1A2是正方形，A2（32，0），B2（32，34），A3（94，0），B3（94，98），A4（278，0），B4（2

2、78，2716），An（3n-12n-1，0），Bn（3n-12n-1，3n-12n），点B2022的坐标为（3202122021，3202122022），故答案为：（3202122021，3202122022）【巩固】如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：yx上，过点N1作N1M11l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2l，交x轴于点M2；过点M2作M2N2x轴，交直线l于点N3；：按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 【解答】解：如图，过N1作N1Ex轴于E，过N1作N1Fy轴于F，N1（1，1），N1EN1F1，N1OM145，

3、N1OM1N1M1O45，N1OM1是等腰直角三角形，N1EOEEM11，OM12，M1（2，0），同理，M2ON2是等腰直角三角形，OM22OM14，M2（4，0），同理，OM32OM222OM123，M3（23，0），OM42OM324，M4（24，0），依此类推，故M2022（22022，0），故答案为：（22022，0）二、一次函数与几何综合题【典例】如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C是x轴上的一个动点；点C在x轴上移动时，始终保持ACP是等边三角形当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象

4、限时（如图所示），求证：AOCABP；（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式【解答】解：（1）证明：ACP与AOB都是等边三角形ACAP，AOAB，CAPOAB60CAP+PAOOAB+PAOCAOPAB在AOC和ABP中AO=ABCAO=PABAC=AP AOCABP（SAS）（2）AOCABPCOAPBA90点P在过点B且与AB垂直的直线上AOB是等边三角形，A（0，3）B（332，32）当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，3）设点P所在直线解析式为ykx+b（k0），把点B、P坐标分别代入得332k+b=32b=-3 解得k=3b=-3点P所在函数图象的解析式为y=3x3

5、【巩固】如图1，直线AB的解析式为ykx+6，D点坐标为（8，0），O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上（1）求直线AD、AB的解析式（2）如图2，若OC交AB于点E，在线段AD上是否存在一点F，使ABC与AEF的面积相等，若存在求出F点坐标；若不存在，请说明理由（3）如图3，过点D的直线l：ymx+b，当它与直线AB夹角等于45时，求出相应m的值【解答】解：（1）ykx+6，A（0，6），OA6，D（8，0），OD8，直线AD的解析式为y=-34x+6，在RtAOD中，AD10，O点、点C关于直线AB对称，设OBBCa，OAAC6，CD4，BD8a，在RtBCD中，a2+42（8a）2，

6、a3，B（3，0），直线AB的解析式为y2x+6；（2）C点在直线AD上，设C（x，-34x+6），OEAB，OAOB，OABCOB，-34x+6x=36，x=245，C（245，125），直线OC的解析式为y=12x，ABC与AEF的面积相等，BEC与ECF的面积相等，BFOC，设直线BF的解析式为y=12x+n，B（3，0）在直线BF上，b=-32，直线BF的解析式为y=12x-32，联立12x-32=-34x+6，x6，F（6，32）；（3）设直线DE、DF与直线AB夹角等于45，DEF为等腰直角三角形，作EMDM于M，FNDN于N，DEMFDN（AAS），EMDN，DMFN，直线l经过

7、D（8，0），b8m，设E（t，2t+6），则EMDN8t，DMFN2t+6，F（2+2t，t8），F点在直线AB上，t82（2+2t）+6，t2，E（2，2），F（6，6），当直线l经过E点时，2m8m2，解得m=-13，当直线l经过F点时，6m8m6，解得m3，m3或-13巩固练习1如图，点A，B，C在一次函数y2x+m的图象上，它们的横坐标依次为1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A1B3C3（m1）D32(m-2)【解答】解：由题意可得：A点坐标为（1，2+m），B点坐标为（1，2+m），C点坐标为（2，m4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为

8、（0，m），F点坐标为（0，2+m），G点坐标为（1，m4）所以，DEEFBG2+mmm（2+m）2+m（m4）2，又因为ADBFGC1，所以图中阴影部分的面积和等于122133故选：B2将函数y2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y|2x+b|（b为常数）的图象若该图象在直线y2下方的点的横坐标x满足0x3，则b的取值范围为（）A4b2B6b2C4b2D8b2【解答】解：当 x3时，6+b2，b4；当 x0时，b2即 b2，b的取值范围为4b2故选：A3如图，将长为2，宽为1的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数ykx的图象恰好将所组成的

9、图形分为面积相等的两部分，则k的值等于（）A1B32C23D43【解答】解：将图形进行如图分解，图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等，当正比例函数ykx的图象过点A时，恰好将图形分为面积相等的两部分又点A的坐标为（3，4），43k，解得：k=43故选：D4设直线ykx+k1和直线y（k+1）x+k（k为正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+S2009的值是 【解答】解：方程组y=kx+k-1y=(k+1)x+k的解为x=-1y=-1，所以直线的交点是（1，1），直线ykx+k1与x轴的交点为（1-kk，0），y（k+1）x+k与x轴的交点为（-kk+1，0），Sk=1

10、2|-1|1-kk-kk+1|=12|1k-1k+1|，所以 S1+S2+S3+S2009=12(1-12+12-13+12009-12010)=12(1-12010)=20094020，故答案为：200940205如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为 【解答】解：A（0，4），B（3，0），OA4，OB3，在RtOAB中，AB=OA2+OB2=5，AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A处，BABA5，CACA，OABAOB532，设OCt，则CA

11、CA4t，在RtOAC中，OC2+OA2CA2，t2+22（4t）2，解得t=32，C点坐标为（0，32），设直线BC的解析式为ykx+b，把B（3，0）、C（0，32）代入得3k+b=0b=32，解得k=-12b=32，直线BC的解析式为y=-12x+32故答案为：y=-12x+32【法二】求C点坐标可以下面的方法：将AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A处，OABOAC，RtOABRtOAC，OA：OAOB：OC，即4：23：OC，解得OC=32，C点坐标为（0，32）6设1x2，则|x2|-12|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 【解答】解：1x2，x20，x+20，当2

12、x0时，|x2|-12|x|+|x+2|2x-12x+x+24-12x；当1x0时，|x2|-12|x|+|x+2|2x+12x+x+24+12x，当x0时，取得最大值为4，x2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1故答案为：17如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，4），B（4.0），一次函数y2x的图象与直线AB交于点P（1）求P点的坐标；（2）若M点是y轴上一点，且PMA的面积等于10，求点M的坐标；（3）若直线y2x+b与AOB的三边恰好有两个公共点，直接写出b的取值范围 【解答】解（1）依题意设直线AB的解析式为：ykx+4，又B（4，0）在直线AB上，4k+40，

13、解得：k1，直线AB解析式为：yx+4，联立得y=-x+4y=-2x，解得x=-4y=8，P（4，8）；（2）设M（0，n），PMA的面积等于10，12|n4|410，解得n9或1，M（0，9）或（0，1）（3）当直线y2x+b经过点O时，b0，当直线y2x+b经过点B时，b8，若直线y2x+b与AOB三条边只有两个公共点，则有0b8，故答案为0b88先阅读材料，再解决问题：已知点P （x0，y0）和直线ykx+b，则点P到直线ykx+b的距离d可用公式d=|kx0-y0+b|1+k2计算例如：求点P（2，1）到直线y2x+3的距离解：由直线y2x+3可知k2，b3所以点P（2，1）到直线y2

14、x+3的距离为d=|kx0-y0+b|1+k2=|2(-2)-1+3|1+22=255请解决以下问题：（1）点O（0，0）到直线y=3x+3的距离是 ；（2）若点P（2，0）到直线yx+b的距离为2，求实数b的值；（3）已知直线y2x+1与y2x4互相平行，求这两直线之间的距离【解答】解：（1）由d=|kx0-y0+b|1+k2，可得d=31+3=32，故答案为：32；（2）由d=|kx0-y0+b|1+k2，可得2=|-2+b|1+1，解得b4或b0；（3）直线y2x+1与y轴的交点为（0，1），直线y2x+1与y2x4互相平行，两直线间的距离为点（0，1）到直线y2x4的距离，d=51+4

15、=59直线l1：yx3交x轴于A，交y轴于B（1）求AB的长；（2）如图1，直线l1关于y轴对称的直线l2交x轴于点C，直线l3：y=12x+b经过点C，点D、T分别在直线l2、l3上若以A、B、D、T为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）如图2，平行y轴的直线x2交x轴于点E，将直线l1向上平移5个单位长度后交x轴于M，交y轴于N，交直线x2于点P点F（t，t2）在四边形ONPE内部，直线PF交OE于G，直线OF交PE于H，求GE（ME+HE）的值【解答】解：（1）由于直线l1：yx3交x轴于A（3，0），得OA3；交y轴于B（0，3），得OB3；AOBO，AB=AO2+BO2=3

16、2；（2）设直线l2的解析式为ykx3，由于点A，C关于y轴对称，故由A（3，0）得C（3，0），点C在直线l2上，得03k3，解得k1，所以l2的解析式为yx3，直线l3：y=12x+b经过点C，0=12（3）+b，得b=32，直线l3：y=12x+32，设点D坐标为（m，m3），当点D在线段BC上时，即图1中的D1，以A、B、D1、T为顶点的四边形是平行四边形ABD1T，即ABD1T，ABD1T，根据平移性质知，T（m+3，m），m=12（m+3）+32，解得m2，D1（2，1），当点D在线段BC的延长线上时，即图1中的D2，以A、B、D2、T为顶点的四边形是平行四边形ABTD2，即ABD

17、2T，ABD2T，根据平移性质知，T（m3，m6），m6=12（m3）+32，解得m4，D2（4，1），当点D在线段CB的延长线上时，即图1中的D3，以A、B、D3、T为顶点的四边形是平行四边形AD3BT，即BDAT，BD3AT，根据平移性质知，T（3m，m），m=12（3m）+32，解得m2，D3（2，5），故点D的坐标为（2，1），（4，1），（2，5）（3）直线l1向上平移5个单位长度得到的直线MN解析式为yx+2，交直线x2于点P（2，4），设直线PF的解析式为ypx+q，经过点P（2，4）与F（t，t2），4=2p+qt2=tp+q，解得p=t+2q=-2t，直线PF的解析式为y（t

18、+2）x2t，交x轴于G（2tt+2，0），又直线x2交x轴于点E（2，0），得GE2-2tt+2=4t+2，又直线OF的解析式为ytx，与直线x2交于H（2，2t），得HE2t，直线MN的解析式为yx+2，交x轴于M（2，0），得ME4，所以GE（ME+HE）=4t+2（4+2t）810如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足m-6+（n12）20（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CDAB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，2），点P为射线AB上一点，且CEP4

19、5，求点P的坐标【解答】解：（1）m-6+（n12）20，m6，n12，A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为ykx+b，则有b=126k+b=0解得k=-2b=12，直线AB解析式为y2x+12，直线AB点C（a，a），a2a+12，a4，点C坐标（4，4）（2）过点C作CDAB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y=12x+b，边点C（4，4）代入得到b2，直线CD解析式为y=12x+2，点D坐标（4，0）解法二：利用相似三角形的性质求出点D的坐标，可得结论（3）如图2中，在EP上取点F，使得CECF，CEF45，CECF，CFECEF45，ECF90直线EC解析式为y=

20、32x2，设直线CF解析式为y=-23x+b，把C（4，4）代入y=-23x+b，得b=203，直线CF解析式为y=-23x+203设F（c，-23c+203）CFEC=(4-0)2+(4+2)2=213，（c4）2+（-23c+203-4）252，解得c2或10（舍去）F（2，8）由E（0，2），F（2，8）得直线FE解析式为y5x2，由y=-2x+12y=-5x-2解得x=-143y=643，点P坐标为（-143，643）解法二：方法提示：构造如图全等三角形，由FGCCHE，可得GCEH4，FGCH6，得到F（2，8）由E（0，2），F（2，8）得直线FE解析式为y5x2，由y=-2x+12y=-5x-2解得x=-143y=643，点P坐标为（-143，643）