专题20 等腰三角形与等边三角形篇（解析版）.docx

1、 专题20 等腰三角形与等边三角形考点一：三角形的中位线知识回顾 1. 中位线的定义：三角形任意两边中点的连线段叫做这个三角形的中位线。2. 中位线的性质： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半。微专题1（2022南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 m【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可【解答】解：CDAD，CEEB，DE是ABC的中位线，AB2DE，DE10m，AB20m，故答案为：202（2022福建）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若BC12，

2、则DE的长为 【分析】直接利用三角形中位线定理求解【解答】解：D，E分别是AB，AC的中点，DE为ABC的中位线，DEBC126故答案为：63（2022西藏）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为 米【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论【解答】解：D，E分别是AC，BC的中点，DE是ABC的中位线AB2DE22550（米）故答案为：504（2022丽水）如图，在ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点若AB6，BC8，则四边形BDEF的周长是（）A28B14C10D7【分析】根

3、据三角形中位线定理解答即可【解答】解：D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，DEBFAB3，E、F分别为AC、AB中点，EFBDBC4，四边形BDEF的周长为：2（3+4）14，故选：B5（2022眉山）在ABC中，AB4，BC6，AC8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则DEF的周长为（）A9B12C14D16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出ABC的周长2DEF的周长【解答】解：如图，点D，E，F分别为各边的中点，DE、EF、DF是ABC的中位线，DEBC3，EFAB2，DFAC4，DEF的周长3+2+49故选：A6（2022广东）如图，在A

4、BC中，BC4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE（）ABC1D2【分析】由题意可得DE是ABC的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出DE的长度【解答】解：点D，E分别为AB，AC的中点，BC4，DE是ABC的中位线，DEBC42，故选：D7（2022沈阳）如图，在RtABC中，A30，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则CED的度数是（）A70B60C30D20【分析】根据直角三角形的性质求出B，根据三角形中位线定理得到DEAB，根据平行线的性质解答即可【解答】解：在RtABC中，A30，则B90A60，D、E分别是边AC、BC的中点，DE是ABC的中位线，DEAB，C

5、EDB60，故选：B8（2022常州）如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点若DE2，则BC的长是（）A3B4C5D6【分析】根据三角形中位线定理解答即可【解答】解：D、E分别是AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，BC2DE，DE2，BC4，故选：B考点二：等腰三角形知识回顾3. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。4. 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两腰相等。等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一）

6、5. 等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。微专题9（2022黑龙江）如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P若ABC的面积是24，PD1.5，则PE的长是（）A2.5B2C3.5D3【分析】如图，过点E作EGAD于G，证明EGPFDP，得PGPD1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论【解答】解：如图，过点E作EGAD于G，ABAC，A

7、D平分BAC，ADBC，BDCD，PDFEGP90，EGBC，点E是AB的中点，G是AD的中点，EGBD，F是CD的中点，DFCD，EGDF，EPGDPF，EGPFDP（AAS），PGPD1.5，AD2DG6，ABC的面积是24，BCAD24，BC4868，DFBC2，EGDF2，由勾股定理得：PE2.5故选：A10（2022淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路ABCD，道路AB与AE的夹角BAE50城市规划部门想新修一条道路CE，要求CFEF，则E的度数为（）A23B25C27D30【分析】先根据平行线的性质，由ABCD得到DFEBAE50，根据等腰三角形的性质得出CE，再根据三角形

8、外角性质计算E的度数【解答】解：ABCD，DFEBAE50，CFEF，CE，DFEC+E，CDFE5025，故选：B11（2022鞍山）如图，在ABC中，ABAC，BAC24，延长BC到点D，使CDAC，连接AD，则D的度数为（）A39B40C49D51【分析】利用等边对等角求得BACB78，然后利用三角形外角的性质求得答案即可【解答】解：ABAC，BAC24，BACB78CDAC，ACB78，ACBD+CAD，DCADACB39故选：A12（2022荆州）如图，直线l1l2，ABAC，BAC40，则1+2的度数是（）A60B70C80D90【分析】过点C作CDl1，利用平行线的性质可得1+2

9、ACB，再由等腰三角形的性质可得ACBABC，从而可求解【解答】解：过点C作CDl1，如图，l1l2，l1l2CD，1BCD，2ACD，1+2BCD+ACDACB，ABAC，ACBABC，BAC40，ACB（180BAC）70，1+270故选：B13（2022台湾）如图，ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线若BC，且EAC90，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A12，13B12，13C12，13D12，13【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可【解答】解：DE为AB的中垂线，BDEADE，BEAE，BBAE，12，EAC90，3+C90，B

10、+190，BC，13，12，13，故选：B14（2022宜宾）如图，在ABC中，ABAC5，D是BC上的点，DEAB交AC于点E，DFAC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A5B10C15D20【分析】由于DEAB，DFAC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明AFDE的周长等于AB+AC【解答】解：DEAB，DFAC，四边形AFDE是平行四边形，BEDC，FDBCABAC，BC，BFDB，CEDC，BFFD，DEEC，AFDE的周长AB+AC5+510故选：B15（2022宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）

11、A8cmB13cmC8cm或13cmD11cm或13cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形则三角形的周长为11cm或13cm故选：D16（2022天津）如图，OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且ABx轴，若AB6，OAOB5，则点A的坐标是（）A（5，4）B（3，4）C（5，3）D（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点

12、A的坐标【解答】解：设AB与x轴交于点C，OAOB，OCAB，AB6，ACAB3，由勾股定理得：OC4，点A的坐标为（4，3），故选：D17（2022泰安）如图，l1l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，ABBC，C25，160则2的度数是（）A70B65C60D55【分析】利用等腰三角形的性质得到CBAC25，利用平行线的性质得到BEA95，再根据三角形外角的性质即可求解【解答】解：如图，ABBC，C25，CBAC25，l1l2，160，BEA180602595，BEAC+2，2952570故选：A18（2022自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20，则这个底角的度数是（）A

13、30B40C50D60【分析】设底角的度数是x，则顶角的度数为（2x+20），根据三角形内角和是180列出方程，解方程即可得出答案【解答】解：设底角的度数是x，则顶角的度数为（2x+20），根据题意得：x+x+2x+20180，解得：x40，故选：B19（2022广安）若（a3）2+0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 【分析】先求a，b再求第三边c即可【解答】解：（a3）2+0，（a3）20，0，a30，b50，a3，b5，设三角形的第三边为c，当ac3时，三角形的周长a+b+c3+5+311，当bc5时，三角形的周长3+5+513，故答案为：11或1320（2022岳阳）如图，在ABC

14、中，ABAC，ADBC于点D，若BC6，则CD 【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长【解答】解：ABAC，ADBC，CDBD，BC6，CD3，故答案为：321（2022苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 【分析】由等腰ABC是“倍长三角形”，可知AB2BC或BC2AB，若AB2BC6，可得AB的长为6；若BC32AB，因1.5+1.53，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案【解答】解：等腰ABC是“倍长三角形”，AB2BC或BC2AB，若AB2BC6

15、，则ABC三边分别是6，6，3，符合题意，腰AB的长为6；若BC32AB，则AB1.5，ABC三边分别是1.5，1.5，3，1.5+1.53，此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：622（2022云南）已知ABC是等腰三角形若A40，则ABC的顶角度数是 【分析】分A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答【解答】解：当A是顶角时，ABC的顶角度数是40；当A是底角时，则ABC的顶角度数为180240100；综上，ABC的顶角度数是40或100故答案为：40或10023（2022滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中ABAC，立柱ADBC，且顶角BAC120，则

16、C的大小为 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到BC30【解答】解：ABAC且BAC120，BC（180BAC）6030故答案为：30考点三：等边三角形知识回顾1. 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形是等边三角形。2. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60。等边三角形三条边都存在“三线合一”等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。等腰三角形的面积等于（为等腰三角形的边长）。3. 等腰三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等（两个角是60）的三角形是等腰三角形。底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角

17、形是等边三角形。微专题24（2022鞍山）如图，直线ab，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，240，则1的度数为（）A80B70C60D50【分析】先根据等边三角形的性质得到A60，再根据三角形内角和定理计算出380，然后根据平行线的性质得到1的度数【解答】解：ABC为等边三角形，A60，A+3+2180，3180406080，ab，1380故选：A25（2022绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A是轴对称图形B对称轴的交点是其重心C是中心对称图形D绕重心顺时针旋转120能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可【解答】解：等边三角形

18、是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C26（2022海南）如图，直线mn，ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140，则2的度数是（）A80B100C120D140【分析】先根据等边三角形的性质可得ABC60，由三角形外角的性质可得AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论【解答】解：ABC是等边三角形，A60对于AEF

19、，1A+AEF140，AEF1406080，DEBAEF80，mn，2+DEB180，218080100，故选：B27（2022张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA2，OB1，OC，则AOB与BOC的面积之和为（）ABCD【分析】将AOB绕点B顺时针旋转60得CDB，连接OD，可得BOD是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得COD90，从而解决问题【解答】解：将AOB绕点B顺时针旋转60得CDB，连接OD，OBBD，OBD60，CDOA2，BOD是等边三角形，ODOB1，OD2+OC212+（）24，CD2224，OD2+OC2CD2，DOC90，AOB与BOC的面积之和为SBOC+SBCDSBOD+SCOD12+，故选：C