专题21 反比例函数-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题21 反比例函数一、的几何意义【学霸笔记】1.如图所示，过双曲线上任意一点分别向两坐标轴作垂线，所得矩形PAOB的面积 ，；2.如图所示，过双曲线任意一点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为M，连接QO，则.只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典例】如图，反比例函数y=kx（x0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A1B2C3D4【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则SOCE=|k|2，SOAD=|k|2，过点M作MGy轴于点G，作M

2、Nx轴于点N，则SONMG|k|，又M为矩形ABCO对角线的交点，S矩形ABCO4SONMG4|k|，由于函数图象在第一象限，k0，则k2+k2+94k，解得：k3故选：C【巩固】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y=6x（x0）的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（）A3B4C5D6【解答】解：作PEOC于E，EP的延长线交AB于F，四边形OABC是矩形，ABOC，PFAB，顶点B在函数y=6x（x0）的图象上，xy6，S阴=12OCPE+12ABPF=12OCEF=12S矩形ABCO=1

3、263故选：A二、反比例函数与几何综合【学霸笔记】1.设点的坐标，利用几何图形的性质得出相关线段的关系，再表示出相关点的坐标，最后带回到解析式中或直接求解；2.变化是永恒的，不变是相对的，在复杂的变化中寻找不变量，以不变应万变，在反比例函数中，为定值是列方程、设而不求和整体代入求值思想的源泉.【典例】如图，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=3x（x0）的图象上，顶点B，C在反比例函数y=-5x（x0）的图象上，则平行四边形OABC的面积为 【解答】解：如图，分别过A、B、C作x轴垂线于D、E、F，连接OB，点A在反比例函数y=3x（x0）的图象上，点B在反比例函数y=-5x（x0）的图

4、象上，设A的坐标为（a，3a），B的坐标为（b，-5b），四边形OABC是平行四边形，C的坐标为（ba，-5b-3a），C在反比例函数y=-5x（x0）的图象上，（ba）（-5b-3a）5，化简得：5a23b2+3ab0，等式两边同除以b2得：5（ab）2+3ab-30，解得：ab=-3+6910或-3-6910，a，b异号，ab=-3-6910，三角形OBC的面积四边形OBCF的面积三角形OFC的面积梯形CBEF的面积+三角形OEB的面积三角形OFC的面积梯形CBEF的面积，三角形OBC的面积=12（-5b-3a-5b）a=-12（10b+3a）a=-5ab-32=692，平行四边形OABC

5、的面积三角形OBC的面积2=69故答案为：69【巩固】如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC则下列结论：S四边形ACFPk；四边形ADEC为平行四边形；若APBP=13，则DADO=14；若SCEF1，SPBE4，则k6其中正确的是（）ABCD【解答】解：设点B的坐标为（b，a），四边形ABCD为矩形，A（0，a），C（b，0），点P，E在反比例函数图形上，P（ka，a），E（b，kb），直线PE的解析式为y=-abx+kb+a，令y0，则-abx+kb+a0，x=ka+b，F（ka

6、+b，0），CF=ka+bb=ka，P（ka，a），AP=ka，APCF，四边形OABC是矩形，OABC，ABOC，四边形ACFP是平行四边形，S四边形ACFPCFOA=kaak，故正确；四边形ACFP是平行四边形，ACDF，OABC，四边形ADEC是平行四边形，故正确；APBP=13，APAB=14，B（b，a），ABb，P（ka，a），AP=ka，kab=14，ab4k，直线PE的解析式为y=-abx+kb+a，D（0，kb+a），A（0，a），AD=kb+aa=kb，DADO=kbkb+a=kk+ab=kk+4k=15，故错误；SCEF1，12kakb=1，k2ab=2，SPBE4，12

7、（b-ka）（a-kb）4，abkk+k2ab=8，12k22k60，k2（舍）或k6，故正确，正确的有，故选：A三、反比例函数中的规律探索【典例】如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2，An1为OA的n等分点，点B1，B2，Bn1为CB的n等分点，连接A1B1，A2B2，An1Bn1，分别交曲线y=1x（x0）于点C1，C2，Cn1BC与双曲线y=1x交于点E，若Bn-1EBn-1Cn-1=1415，则n的值为 （n为正整数）【解答】解：正方形OABC的边长为n，点A1，A2，An1为OA的n等分点，点B1，B2，Bn1为CB的n等分点，OAn1n1，An1Bn

8、1n，把xn1代入y=1x，得y=1n-1，Cn1（n1，1n-1）n-1n-1Bn1Cn1n-1n-1=n2-n-1n-1，把yn代入y=1x，得x=1n，E（1n，n），Bn1En1-1n=n2-n-1n，Bn-1EBn-1Cn-1=1415，n2-n-1nn2-n-1n-1=1415，n-1n=1415，解得n15；故答案为：15【巩固】如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，An，分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1，P2，P3，P4，Pn，再分别过P2，P3，P4，Pn作P2B1A1P1，P3B2A2P2，P4B3A3P3，PnB

9、n1An1Pn1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，Bn1，连接P1P2，P2P3，P3P4，Pn1Pn，得到一组RtP1B1P2，RtP2B2P3，RtP3B3P4，RtPn1Bn1Pn，则RtPn1Bn1Pn的面积为 【解答】解：设OA1A1A2A2A3An2An1a，xa时，y=1a，P1的坐标为（a，1a），x2a时，y=12a，P2的坐标为（2a，12a），RtP1B1P2的面积=12a（1a-12a），RtP2B2P3的面积=12a（12a-13a），RtP3B3P4的面积=12a（13a-14a），RtPn1Bn1Pn的面积=12a1(n-1)a-1na=121（1n-1-1n）

10、=12n(n-1)故答案为：12n(n-1)巩固练习1方程2xx2=2x的正根的个数是（）A0个B1个C2个D3个【解答】解：在同一坐标系中分别画出函数y2xx2，y=2x的图象，如下图所示：由图可知，两个函数的图象只有一个交点，且横坐标为负即方程2xx2=2x无正根，故选：A2如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx（k0，x0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM2MA，若AB3，那么点N的横坐标为（）A32B3+52C4D6【解答】解：过点N、M分别作NCOB，MDOB，垂足为C、D，AOB是等边三角形，ABOAOB3，AOB60又OM2MA，OM2，MA1，在R

11、tMOD中，OD=12OM1，MD=22-12=3，M（1，3）；反比例函数的关系式为：y=3x，设OCa，则BC3a，NC=3a，在RtBCN中，NC=3BC，3a=3（3a），解得：x=3+52，x=3-52（舍去），点N的横坐标为3+52，故选：B3如图，RtABC位于第一象限，AB4，AC2，直角顶点A在直线yx上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx(k0)的图象与ABC有交点，则k的最大值是（）A5B498C12124D4【解答】解：由题意可知A的坐标是（1，1），C的坐标是（1，3），B的坐标是（5，1），设直线BC的解析式是ykx+b

12、，则k+b=35k+b=1，解得：k=-12b=72，则函数的解析式是：y=-12x+72，根据题意，得：kx=-12x+72，即x27x+2k0，498k0，解得：k498故k的最大值为498，故选：B4如图，点A在反比例函数y1=20x（x0）的图象上，过点A作ABx轴，垂足为B，交反比例函数y2=8x（x0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则APC的面积为（）A6B8C12D20【解答】解：连接OA和OC，点P在y轴上，ABy轴，则AOC和APC面积相等，点A在反比例函数y1=20x（x0）的图象上，点C在反比例函数y2=8x（x0）的图象上，ABx轴，SOAB=12201

13、0，SOBC=128=4，SAOCSOABSOBC6，APC的面积为6，故选：A5某品牌的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热到水温100，停止加热，水温开始下降，此时水温y（）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30，饮水机关机饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为30时，接通电源后，水温y（）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100降到35所用的时间是 min【解答】解：开机加热时每分钟上升10，从30到100需要7分钟，设一次函数关系式为：yk1x+b，将（0，30），（7，100）代入yk1x+b得k110，b30y10x+30（0x7），令y50

14、，解得x2；设反比例函数关系式为：y=kx，将（7，100）代入y=kx得k700，y=700x，将y35代入y=700x，解得x20；水温从100降到35所用的时间是20713（分钟）故答案为：136如图，平行于y轴的直线与函数y1=kx（x0）和y2=2x（x0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2=2x于点C，连接CD，若OCD的面积为2，则k 【解答】解一：设A（m，km），则B（m，2m），D（m，0），设C（n，2n），SOCD=12ODyc=12m2n=2，mn=2，nm=12又SOCDSOADSACD=12k-12km（mn）=12k（1-m-nm）=12knm=14k，

15、14k2，k8解二：如图，过点C作CEx轴于E，点C在双曲线y2=2x上，SOCE1，SOCD2，SECDSOCE1，点E为OD的中点，CEAD，点C是OA的中点，SOAD2SOCD4，函数y1=kx（x0）的图象过点A，ADx轴，k8故答案为：87如图，点A、B为直线yx上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=1x（x0）于C，D两点，若BD=32AC，则9CO24DO2的值为 【解答】解：点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，n），则点C的坐标为（m，1m），点D的坐标为（n，1n），BDn-1n，ACm-1m，BD=32AC，n-1n=32（m-1m），9CO24DO29

16、（m2+1m2）4（n2+1n2），9（m-1m）2+24（n-1n）2+2，9（m-1m）2+189（m-1m）28，10故答案为108如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y=mx（m0）的图象交于点C（2，4），B为线段AC的中点若点D为线段AC上的一个动点过点D作DEx轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则ODE面积的最大值为 【解答】解：一次函数ykx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，当x0时，yb，当y0时，kx+b0，解得：x=-bk，A（-bk，0），B（0，b），点C（2，4），B为线段AC的中点-

17、bk+22=00+42=b，解得：k=1b=2，A（2，0），B（0，2），一次函数解析式为yx+2，反比例函数y=mx（m0）的图象过点C（2，4），将点C（2，4）代入，得：m8，反比例函数y=8x，延长ED交y轴于点F，如图所示：设点E纵坐标为a，把ya代入y=8x，得x=8a，则E（8a，a），F（0，a）把ya代入yx+2，得x+2a，xa2，D（a2，a），SODESOFESOFD=12OFEF-12OFDF=12a8a-12a（a2）=-12a2+a+4=-12（a1）2+92，-120，当a1时，SODE有最大值，最大值为92，故答案为：929工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧

18、和锻造两个工序，即需要将材料烧到800，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600如图，煅烧时温度y（）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（）与时间x（min）成反比例函数关系已知该材料初始温度是32（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于400时，须停止操作那么锻造的操作时间最多有多长？（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400时，需要重新煅烧通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟【解答】解：（1）材料锻造时，设y=kx（k0），由题意得600=k8，解得k48

19、00，当y800时，4800x=800，解得x6，点B的坐标为（6，800），材料煅烧时，设yax+32（a0），由题意得8006a+32，解得a128，材料煅烧时，y与x的函数关系式为y128x+32（0x6）锻造操作时y与x的函数关系式为y=4800x（x6）；（2）把y400代入y=4800x中，得x12，1266（min），答：锻造的操作时间6min；（3）当y400时，由128x+32400，x=238，从400升到800需要6-238=258（min），加工每个零件需要12min，每次锻造6min，加工第一个零件需要锻造、煅烧两次，一共需要12+258+6=1698min10为了做

20、好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则3x+2y=192x+y=11，解得x=3y=5，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，当x5时，y2x10，故点A（5，10），设反比例函数表达式为：y=kx，将点A的坐标代入上式并解得：k50，故反比例函数表达式为y=50x，当x55时，y=50551，故一班学生能安全进入教室