专题21 最值问题中的阿氏圆模型(解析版).docx

1、专题21 最值问题中的阿氏圆模型 【模型展示】特点“PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。1、 当k值为1时，即为“PA+PB”之和最短问题，用“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。2、 当k取不为1的正数时，再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kPB（k1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由

2、古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连接PA 、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使BPO与PCO相似，即kPB=PC。故本题中“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图31、 一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；2、 计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况3、 连接AC，与圆O的交点即为点P4、 将图2中BPO

3、单独提取出，如图4，PCOBPO（母子型相似模型）（构造出PCOBPO，就可以得到OC/OP=OP/OB，进而推出OP=OBOC，即“半径的平方原有线段构造线段”，确定C的位置后，连接AC，求出AC的长度“阿氏圆”即可破解）结论“PA+kPB”型的最值【题型演练】一、单选题1如图，在RtABC中，ACB90，CB7，AC9，以C为圆心、3为半径作C，P为C上一动点，连接AP、BP，则APBP的最小值为（）A7B5CD【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM1，连接PM，PC，BM利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BPPM+PBBM，利用勾股定理求出BM即可解决问题

4、答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM1，连接PM，PC，BMPC3，CM1，CA9，PC2CMCA，PCMACP，PCMACP，PMPA，AP+BPPM+PB，PM+PBBM，在RtBCM中，BCM90，CM1，BC7，BM5，AP+BP5，AP+BP的最小值为5故选：B二、填空题2如图，在中，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是_ 【答案】【分析】作BHAC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明BPDBCP得到PDPC，所以PAPCPA+PD，而PA+PDAD（当且仅当A、P、D共线

5、时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值【详解】解：作BHAC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，AC为切线，BH为B的半径，ABC90，ABCB2，ACBA2，BHAC，BP，而PBDCBP，BPDBCP，PDPC，PAPCPA+PD，而PA+PDAD（当且仅当A、P、D共线时取等号），而AD，PA+PD的最小值为，即PA的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC也考查了等腰直角三角形的性质3如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_【答案】【分析】如图，连接，在上

6、取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值连接PD，在PDM中，PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得【详解】如图，连接，在上取一点，使得，在PDM中，PD-PMDM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，四边形是正方形在中，故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键4如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PAPB的最小值为_【答案】【分析】PAPB（PAPB），利用相似三角形构造PB即可解答【详解】解：设O半径为r，OPrBC

7、2，OBr2，取OB的中点I，连接PI，OIIB， ， ，O是公共角，BOPPOI，PIPB，APPBAPPI，当A、P、I在一条直线上时，APPB最小，作IEAB于E，ABO45，IEBEBI1，AEABBE3，AI，APPB最小值AI，PAPB（PAPB），PAPB的最小值是AI故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形5【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 = k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在ABC 中，CB = 4 ， AB= 2AC ，则ABC 面积的最大值为_【答案】【分析】

8、以A为顶点，AC为边，在ABC外部作CAP=ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出APCBPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论【详解】解：以A为顶点，AC为边，在ABC外部作CAP=ABC，AP与BC的延长线交于点P，APC=BPA， AB= 2ACAPCBPA，BP=2AP，CP=APBPCP=BC=42APAP=4解得：AP=BP=，CP=，即点P为定点点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即ABC的面积最大S

9、A1BC=BCA1P=4=即ABC面积的最大值为故答案为：【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键6如图，在Rt中，ABAC4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_【答案】【分析】在AB上取一点T，使得AT1，连接PT，PA，CT证明，推出，推出PTPB，推出PB+CPCP+PT，根据PC+PTTC，求出CT即可解决问题【详解】解：在AB上取一点T，使得AT1，连接PT，PA，CTPA2AT1，AB4，PA2ATAB，PA

10、TPAB，PTPB，PB+CPCP+PT，PC+PTTC，在Rt中，CAT90，AT1，AC4，CT，PB+PC，PB+PC的最小值为故答案为【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键7如图，已知正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，点P是B上的一个动点，则PDPC的最大值为_【答案】5【详解】分析: 由PDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，最大值为DG5详解: 在BC上取一点G，使得BG1，如图，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值

11、最大，最大值为DG5故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题8如图，在ABC中，ACB=90，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是_.【答案】【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证DCEACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4AC=9，CD=6，CE=4ECD=AC

12、DDCEACDED=在EDB中，ED+DBEBED+DB最小为EB，即ED+DB=EB在RtECB中，EB=2AD+3DB=故答案为：【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出DCEACD三、解答题9如图1，在RTABC中，ACB90，CB4，CA6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：，的最小值【答案】；【分析】在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；由，即可求出结果；在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE根据作图结合题意易证，即可得出，从而推

13、出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；由，即可求出结果【详解】解：如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD，又，即，当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长在中，的最小值为；，的最小值为；如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE，又，即，当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长在中，的最小值为；，的最小值为【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键10如图，RtABC，ACB90，ACBC2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时

14、针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD，连接AF，BD（1）求证：BDCAFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BDAD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BDAD的最小值【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3）【分析】（1）利用SAS，即可证明FCADCB；（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；（3）取AC的中点M连接DM，BM则CM1，可证得DCMACD，可得DMAD，从而得到当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可求解【详解】（1）证明： 四边形CDEF是正方形，CFCD，DCFACB90，ACFDCB，ACCB，F

15、CADCB（SAS）；（2）解：如图2中，当点D，E在AB边上时，ACBC2，ACB90，CDAB，ADBD，BD+AD；如图3中，当点E，F在边AB上时BDCF，AD，BD+AD，综上所述，BDAD的值或；（3）如图4中取AC的中点M连接DM，BM则CM1，CD，CM1，CA2，CD2CMCA，DCMACD，DCMACD，DMAD，BD+ADBD+DM，当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键11如图，点A、B在上，且OAOB6，且OAOB，点C是OA的中点，

16、点D在OB上，且OD4，动点P在上求2PCPD的最小值【答案】【分析】连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE由题意易证，即得出，从而得出，由此可知当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长，最后在中利用勾股定理求出DE的长即可【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PEC是OA的中点，在OPC和OEP中，即，.当P、D、E三点共线时，最小，最小值即为DE的长，如图，在中， ， 的最小值为【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识正确作出辅助线并理解当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长是解答本题的关键12婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大

17、的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是（填序号）矩形；菱形；正方形（2）如图1，RtABC中，BAC=90，以AB为弦的O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长（3）如图2，四边形ABCD为O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知BOC+AOD=180求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；当AD+BC=4时，求O半径的最小

18、值【答案】（1）；（2）3；（3）见解析；【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得ABC=ADC=90，从而可证明四边形ABCD为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断；（2）根据垂径定理和圆周角定理可得AD=DE，DEB=DEC=90，设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在RtDEC中解直角三角形即可；（3）根据圆周角定理即可得出，从而可得CED=90，继而证明结论；作OM，ON分别垂直与AD，BC，证明OAMBON，设，则，在RtBON中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值【详解】解：（1）如下图，平行四边形ABCD为O的内接

19、四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180，ABC=ADC=90，平行四边形ABCD为矩形，四边形ABCD是“婆氏四边形”，ACBD，矩形ABCD为正方形，故答案为：；（2）BAC=90，AB=6，,BD为直径，BED=DEC=90，四边形ABED是“婆氏四边形”，AEBD，AD=DE，AB=BE=6，设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在RtEDC中，根据勾股定理,即，解得，即DE=3；（3）设AC，BD相交于点E如图所示，BOC+AOD=180，CED=90，即ACBD，又四边形ABCD是O的内接四边形，四边形ABCD是“婆氏四边形”；如下图，作OM，ON分别垂直与A

20、D，BC，AMO=BNO=90，AOM+OAM=90，OA=OB=OC=OD，,，BOC+AOD=180，在OAM和BON中OAMBON（AAS），AD+BC=4设，则，在RtBON中，当时，取得最小值，即O半径的最小值为【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的性质等（1）中能正确证明出四边形的一个角是90是解题关键；（2）中能正确表示出RtEDC的三个边是解题关键；（3）中正确利用圆周角定理是解题关键；正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键13阅读以下材料，并按要求完成相应任务阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（

21、公元前262190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：过点作交的延长线于点，又，如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，任务：（1）判断是否平分，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余

22、部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，则点所在圆的圆心坐标为_【答案】（1）平分理由见解析；（2）点的运动轨迹是以为直径的圆，见解析；（3）【分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证；（2）根据90的圆周角所对的弦是直径即可证得点的运动轨迹是以为直径的圆；（3）结合题目所给的材料分别求得AB的内分点和外分点的坐标，进而可求得点所在圆的圆心坐标【详解】解：（1）平分理由如下：，即平分（2），且，为直径点的运动轨迹是以为直径的圆（3），AB3，且AO2OB，点O为AB的内分点，当点C为AB的外分点时，CA2CB，CBAB3，OCOB+BC4，点C的坐标为（4，0），点所

23、在圆的圆心坐标为（2，0）【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键14如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线(1)求抛物线的解析式；(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线待定系数法求二次函数解析式即可，（2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，

24、根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标，（3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，解得， 抛物线解析式为：，（2）当，即，解得，设直线解析式为，解得，直线解析式为，设，过点作轴交直线于点，则，四边形的面积为16，解得，或，（3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，是抛物线的对称轴，在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为，则的最小值为【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与

25、判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键15如图1所示，O 的半径为 r，点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点， 已知 rkOB连接 PA、PB，则当“PAkPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？【答案】见解析【详解】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；2：计算连接线段OP、OB长度；3：计算两线段长度的比值；4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PAK*PB的最小值本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OCkr，则可说明BP

26、O 与PCO 相似，即 kPBPC本题求“PAkPB”的最小值转化为求“PAPC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值16问题提出：如图，在中，C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图，连接CP，在CB上取一点D，使，则又，所以所以所以，所以请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为_；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如图，已知在扇形COD中，P是上一点，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）13【分析】（1）根据题意可知最小

27、值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度（2）连接CP，在CA上取一点D，使，即可证明，得到，即，所以的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，即可证明，得到，即，所以的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，最小，最小值故答案为：（2）连接CP，在CA上取一点D，使，则有，得，故，仅当B、P、D三点共线时，的最小值（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，则，仅当E、P、B三点共线时，即的最小值为13【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质根据阅读材料的思路构造出和是解题

28、的关键本题较难17如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由【答案】（1）yx26x+5， B（5，0）；（2）当M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为

29、，理由详见解析.【分析】（1）由直线y5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标（2）从x轴把四边形AMBC分成ABC与ABM；由点A、B、C坐标求ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求ABM的面积，得到ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值（3）作点D坐标为（4，0），可得BD1，进而有，再加上公共角PBDABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证PBDABP，得等于相似比，进而得PDAP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PAPC

30、+PDCD最小用两点间距离公式即求得CD的长【详解】解：（1）直线y5x+5，x0时，y5C（0，5）y5x+50时，解得：x1A（1，0）抛物线yx2+bx+c经过A，C两点解得：抛物线解析式为yx26x+5当yx26x+50时，解得：x11，x25B（5，0）（2）如图1，过点M作MHx轴于点HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5SABCABOC4510点M为x轴下方抛物线上的点设M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S四边形AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82

31、（m3）2+18当m3，即M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CDBD541AB4，BP2PBDABPPBDABPPDAPPC+PAPC+PD当点C、P、D在同一直线上时，PC+PAPC+PDCD最小CDPC+PA的最小值为【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.18如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横

32、坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值【答案】（1）yx2x3；（2）；（3）【分析】对于（1），结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在RtOAC中，利用三角函数的知识求出OAC的度数，再利用角平分线的定义求出OAD的度数，进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P，H，F的坐标，再利用两点间的距离公式可完成解答；对于（3），首先求出H的半径，在HA上取一点K，使得HK=14，此时K（-，）；然后由HQ2=HKHA，得到QHKAHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=AQ，进而可得

33、当E、Q、K共线时，AQ+EQ的值最小，据此解答.【详解】（1）由题意A（，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线的解析式为ya（x+3）（x），把C（0，3）代入得到a，抛物线的解析式为yx2x3（2）在RtAOC中，tanOAC，OAC60AD平分OAC，OAD30，ODOAtan301，D（0，1），直线AD的解析式为yx1，由题意P（m，m2m3），H（m，m1），F（m，0）FHPH，1m1（m2m3）解得m或（舍弃），当FHHP时，m的值为（3）如图，PF是对称轴，F（，0），H（，2）AHAE，EAO60，EOOA3，E（0，3）C（0，3），HC2，AH2FH4，QHCH1

34、，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）HQ21，HKHA1，HQ2HKHA，QHKAHQ，QHKAHQ，KQAQ，AQ+QEKQ+EQ，当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.19阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，

35、点是平面内一动点，且，设，求的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在上取点，使得，又.任务：将以上解答过程补充完整.如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.【答案】（1）（2）.【分析】将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= = 【详解】解，当取最小值时

36、，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得的最小值为，提示：，的最小值为.【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.20数学概念如图，AE是ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DADE，那么点D叫做ABC的边BC上的“阿氏点”概念理解（1）在图中，利用直尺和圆规作ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）；性质探究（2）在（1）中，求证：DABDCA；知识运用（3）如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F求证：点D是ABE的边BE

37、上的“阿氏点”；若BE，DE2，AE3，则D和O的半径长分别为 ， 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；3；【分析】（1）根据题意，作BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD，即可得到答案（2）由DADE，得到AED=EAD，然后证明B=CAD，即可得到结论成立；（3）连接AF，由DA=DF=DC，则AFD=FAD，ABD=CAD，然后得到BAF=FAC，即可得到结论成立；由（2）可知，易证DABDEA，则，即可求出DA的长度；作DGAC，则点G是AC的中点，连接OG，OA，由垂径定理，得到OGAC，然后求出AC的长度，然后得到DG的长度，利

38、用勾股定理，即可求出OA的长度【详解】解：（1）如图：根据题意，作BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD（2）如（1）图，DADE，AED=EAD，AED=B+BAE，EAD=EAC+CAD，又AE平分BAC，BAE=EAC，B=CAD，ADC=CDA，DABDCA；（3）证明：连接AF，如图：DA=DF=DC，AFD=FAD，ABD=CAD，AFD=ABD+BAF，FAD=CAD+FAC，BAF=FAC，AF平分BAE，在ABE中，AF平分BAE，DF=DA，点D是ABE的边BE上的“阿氏点”；由（2）可知，ABD=CAD，ADE=EDA，DABDEA，即，（负值已舍去）；如图，作DGAC，连接OG，OA，DA=DC，点G是AC的中点，由垂径定理，则OGAC，易证AEDBEC，即，在ADG中，利用勾股定理，则，在RtAOG中，设OA=OD=r，则OG=，由勾股定理，得，解得：D和O的半径长分别为3和；故答案为：3；【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，以及作图的基本步骤，解题的关键是熟练掌握题意，掌握所学的知识对题目进行分析，正确作出辅助线，从而进行解题