专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（解析版）.docx

1、专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线 图1 图2 塞瓦（GGevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在ABC内

2、任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则 。注意：梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：【解析】直线是的梅氏线，而，即【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在中，AM为BC边上的中线，于点D，CD的延长线交AB于点E求【解析】

3、HFC是的梅氏线，由题设，在中，由射影定理对和截线EDC，由梅涅劳斯定理，即【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点D、E分别在的边AC、AB上，BD与CE交于点F，求【解析】对和截线，由梅氏定理得：，即，【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题例4.（2023.江苏九年级月考）已知AD是的高，点D在线段BC上，且，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG【解析】如图，设，EFG是的梅氏线则由梅涅劳斯定理显然的，于是，得【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合例5.（2023.广东

4、九年级专项训练）如图，在中，的外角平分线与边BC的延长线交于点P，的平分线与边CA交于点Q，的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线【解析】AP是的外角平分线，则 BQ是的平分线，则 CR是的平分线，则 得，因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用例6（2023上广东深圳九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分

5、过程：证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【分析】(1) 过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可(2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可(3) 根据定理，计算比值，后解答即可【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，则故： （2）解：如图，根据梅涅劳

6、斯定理得：又，在等边中，点为的中点，由勾股定理知： （3）解：线段是的梅氏线，由梅涅劳斯定理得，即，则如图，连接，于是【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键例7（2023.山东九年级月考）如图：P，Q，R分别是ABC的BC，CA，AB边上的点若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：证明：如图，由三角形面积的性质，有，以上三式相乘，得例8. （2023.浙江九年级期中）如图，在锐角ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：EDH=FDH。 【详解】证明：过点A作P

7、Q/BC，与DF，DE的延长线分别交于点P、Q，则DAPQ。对ABC和点H应用赛瓦定理可得：PQ/BC，,AP=AQ根据垂直平分线，PD=QD，PQD是等腰三角形，EDH=FDH。点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键例9.（2023.北京九年级月考如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.对DKL和点B应用赛瓦定理可得：对和截线，由梅氏定理得：由得：点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键例10（2022山西晋中统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：

8、塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的直线论，是意大利数学家塞瓦的重大发现塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为【分析】（1）根据塞瓦

9、定和中点的性质即可求解；（2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F作FGBC于G，证明，可求出OD，从而求出BOC的面积，然后根据可求BCF的面积，从而得解【详解】（1）证明：在中，点D，E分别为边BC，AC的中点，由赛瓦定理可得：，即点F为AB的中点；（2）解：为等边三角形，点D是BC边的中点，由赛瓦定理可得：；过点F作FGBC于G，CG=BC-BG=8，AB=AC，BD=CD，ADBC，即，AB=12，BF=8，AF=AB-BF=4，又，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞瓦定理是解题的关键课后专项训练1（2023.广

10、东九年级期中）如图，在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AEAB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则（）AB2CD解：法1：对和截线，由梅氏定理得：，M是AC的中点，E是AB上一点，AEAB，故选B.法2：如图，过C点作CPAB，交DE于P，PCAE，AEMCPM，M是AC的中点，AMCM，PCAE，AEAB，CPAB，CPBE，CPBE，DCPDBE，BD3CD，BC2CD，即2故选：B2.（2023.浙江九年级期中）如图，D、E、F内分正ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的PQR的面积是ABC的面积的（）ABCD解：对ADC用梅涅劳斯定理可以得

11、：1，则设SBCF，SBCQSBCE，SBPRFSABD，SPQRSBCFSBCQSBPRFSABC故选：D3（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在中，垂足为D，E为的中点，与交于点F，则的长为 【答案】【分析】过点F作于H，根据勾股定理求得的值，根据三角形的面积求得的值，根据勾股定理求得的值，根据相似三角形的判定和性质可得，设，根据相似三角形的判定和性质可求得k的值，即可求得和的值，根据勾股定理求得的值，即可求解【详解】解：如图，过点F作于H在中，则，即 解得：，在中，设，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的

12、判定和性质是解题的关键4（2022年山西中考一模数学试题）如图，在中，是边上的中线将沿方向平移得到与相交于点，连接并延长，与边相交于点当点为的中点时，的长为 【答案】/【分析】则E为的中点，得为的中点，证明，推出，在中，利用勾股定理求得，再根据相似比即可求解【详解】解：由平移的性质得，E为的中点，为的中点，D是边上的中点，在中，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题5（2022年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，交的延长线于点F若，则的长为 【答案】/【分

13、析】连接OC，BC，根据为的直径，可得ACB=BCD=90，再由E为的中点，可得CE=BE=DE，从而得到BCE=CBE，然后根据切线的性质可得ABD=90，再由OC=OB，可得OCF=90，然后根据，可得OBC是等边三角形，进而得到A=30，CBD=30，最后根据锐角三角函数，即可求解【详解】解：如图，连接OC，BC，为的直径，ACB=BCD=90，E为的中点，CE=BE=DE，BCE=CBE，是的切线，ABD=90，即CBD+OBC=90，OC=OB，OCB=OBC，OCB+BCE=OBC+CBD=90，即OCF=90，BC=OB=OC，OBC是等边三角形，BOC=OBC=60，A=30，

14、CBD=30，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键6（2023年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，的平分线分别交AC，BC于点E，F则线段OE的长为 【答案】【分析】由平行四边形的性质求出BD，再由勾股定理分别求出AO，AD，再由角平分线与平行线的性质得到CDF=CFD，最后由ADECFE得，从而求出OE的长【详解】解：ABCD，OB=2，AB=3，BD=2OB=4，ADBC，AD=BC，CD=AB=3，ABO=90，BC=AD=5，DF平分ADC，ADF=CDF，AD

15、BC，ADF=CFD，CDF=CFD，CF=CD=3，ADBC，ADECFE，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质、勾股定理，难度适中，解题关键是正确找出相似三角形7（2023下浙江温州八年级校考阶段练习）如图，等边ABC的边长为5，D在BC延长线上，CD3，点E在线段AD上，且AEAB，连接BE交AC于F，则CF的长为 【答案】1【分析】过点A作AGBD于点G，过点E作EHAC，交BD于点H，利用等边三角形的性质可求出BG的长，利用勾股定理求出AG的长，从而可得到DG的长，再利用勾股定理求出AD的长，由此可求出DE的长；再利用平行线分线段成比例定理求出EH，D

16、H的长，再利用平行线分线段成比例定理求出CF的长【详解】解：过点A作AGBD于点G，过点E作EHAC，交BD于点H，ABC是等边三角形， DC3DGCGDC2.535.5在RtAGD中，；DE752EHAC， 即 解之： CFEH， 即 解之：CF1故答案为：1【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，掌握勾股定理求出线段长度，运用好平行线分线段成比例是解题的关键8（2023重庆八年级期中）如图，的面积为，、分别是，上的点，且,连接,交于点,连接并延长交于点则四边形的面积为 【答案】.【分析】先画出图形,再作DJEC交AB于J,交AH于K，作DGBC交AH于G，由题推出EF:FC=1:3

17、，BH:CH=1:2，求出BEF,BFH的面积即可【详解】根据题意画出图形:作DJEC交AB于J,交AH于K作DGBC交AH于G，DJEC,AD=DC，AJ=JE,AK=KF，EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，设JK=m,则EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，EF:CF=1:3，AE= 2BE，BE=EJ，EFDJ，BF=DF，GDBH，GDF=FBH，GFD=HFB,BF=DF，DFGBFH（ASA），DG=BH，DGCH,AD=DC，AG=GH，CH=2DG，BH=2CH，BE=AB，SBEC=SABC=，EG=EC，SBEF=SBEC=,SBFC=，BH=BC，SBH

18、F=，S四边形BEFH=+=【点睛】本题考查三角形的全等及辅助线的做法,关键在于通过辅助线将面积分成两个三角形面积求证9.（2023.湖北.九年级月考）如图所示，被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则的面积为 【解析】有题意知：，对和截线，由梅氏定理得：，即，【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题10（2023上河南洛阳九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解答已知ABC，延长BC到D，使CD=BC取AB的中点F，连结FD交AC于点E(1)求的值；(2)若ABa，FBAE，求AC的长【答案】(1)(2)A

19、C的长为a【分析】（1）过点F作FMAC，交BC于点M根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE与FM之间的关系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解【详解】（1）解：过点F作FMAC，交BC于点M，F为AB的中点，M为BC的中点，FM=ACCD=BC，CM=CD，FMAC，CED=MFD，ECD=FMDFMDECD；（2）解：点F是AB的中点，AB=a，FB=AB=aFB=AE，AE=a由（1）知，AC=AE=a=a，即AC的长为a【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，作出平行线构造出相似三角形是解本题的关键11（2023江西景德镇九

20、年级校考期末）如图，三边，的延长线分别交直线于，三点，证明：（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）【答案】见解析【分析】连接CY、AX ，设A到XZ的距离为h1，C到XZ的距离为h2，再根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质，分别列出、，再计算即可.【详解】证明：如图，连接CY、AX 设A到XZ的距离为h1，C到XZ的距离为h2 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，作出辅助线，通过面积写出线段比是解题关键.12（2023上山西临汾九年级统考期末）梅涅劳斯定理梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长

21、线交于F、D、E三点，那么一定有下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在中，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则_【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）由题意可得，然后根据比例的性质可进行求证；（2）由（1）可得，进而由题意易得，然后可得，则由勾股定理可得，最后问题可求解【详解】解：（1）补充的证明过程如下：，；（2）根据梅涅劳斯定理得，点D为BC的中点，ADBC，BD=5，在中， ，故答案为6【点睛】本题主要考查相似三角形的性

22、质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键13（2021山西校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务塞瓦（GiovanniCeva，16481734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的直线论一书，塞瓦定理是指如图1，在ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则下面是该定理的部分证明过程：如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N则NFCB，NAFFBCNAFCBF同理可得NOACOD任务一：(1)请分别写出与MOA，MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；任务二：结合和（2），完成该定理的证明；

23、任务三：如图3，ABC中，ACB90，AC4，BC3，CDAB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出ECG与EAG面积的比【答案】(1)MOABOD；MEABEC；(2)；任务二：证明见解析；任务三： 【分析】任务一：可直接通过“8”字型相似得出答案；任务二：通过相似之间的对应边比例转换得出结论；任务三：由任务一和任务二得出1，可得出的值，再由ECG和EAG为同高，故面积比就等于底边CG和GA之比【详解】（1）解：任务一：MN/B

24、CMOABOD；MEABEC；（2）；任务二：证明：如图所示：由任务一可得：；同理可得OANODC；AFNBFC；任务三：由任务一和任务二可得：在ABC中，1；RtABC中，AC4，BC3，AB；cosBAC；AD；BDABAD；1；1；解得；过点E作EHAC于H；【点睛】本题主要是根据“8”字型的相似得出对应的边之比，任务二的重难点在于各边比例之间的转换，任务三中两个三角形同高，故面积比等于底边比；本题属于中等偏.上类题14（重庆2022-2023学年八年级月考）如图，在等腰RtABC中，ACB90，ACBC，D是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，延长BC至点E，使得CECD，

25、过点E作EFAD于点F，再延长EF交AB于点M（1）若D为BC的中点，AB4，求AD的长；（2）求证：BMCD【答案】（1）；（2）详见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到ACBC2，根据勾股定理即可得到结论；（2）过M作MHBC于H，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AEAD，求得EACDAC，根据余角的性质得到AMEEAM，根据全等三角形的性质得到CDMH，于是得到结论【详解】（1）在等腰RtABC中，ACB90，ACBC，AB4，ACBC2，D为BC的中点，CDBC，；（2）过M做MHBC于H，连接AE，ACBE，CDCE，AEAD，EACDAC，EFAD，EFDACD90

26、，CAD+ADCADC+DEF，CADDEF，EACDEF，EACDEF，AMEB+BEM，EAMBAC+EAC，CABB45，AMEEAM，AEEM，ADEM，ACDEHM90，ACDEHM（AAS），CDMH，BMMHCD【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，证明ACDEHM是解题的关键15（2023年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F(1)求证：是的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，求得，根据切线的性质得到，再根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质可得，求得，得到，过O作于H，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可求得结论【详解】（1）证明：连接，为的直径，E为的中点，是的切线，是的半径，是的切线；（2）解：，过O作于H，【点睛】本题考查切线的判定与性质、扇形的面积公式、直角三角形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键