专题21.10 二次函数中的三大类型新定义问题（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题21.10 二次函数中的三大类型新定义问题【沪科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题的理解！【类型1 二次函数问题中的新定义问题】1（2023春山东济南九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1x4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A-5c4B0c1C-5c1D0c12且a1）及其友好同轴二次函数y2的图像上，比较p,q的大小，并说明理由6（2023春浙江金华九年级校考期中）定义：若抛物线yax2+bx+c与x轴两交点间的距离为

2、4，称此抛物线为定弦抛物线(1)判断抛物线yx2+2x3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线yx2+bx+c（b0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2x4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值7（2023春浙江九年级期末）定义：若抛物线y1=a1x+h2+k1与抛物线y2=a2x+h2+k2同时满足a2=-4a1且k2=-14k1，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”(1)已知抛物线y1=-14x2+bx+c与y2=x2-2x-3是一对共

3、轭抛物线，求y1的解析式；(2)如图1，将一副边长为42的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y1，经过A、B、C的抛物线为y2，请立接写出y1、y2的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线8（2023春湖南长沙九年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长(1)求抛物线y=x2-2x-3的雅礼弦长；(2)求抛物线y=x2+n+1x-1(1n0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐

4、标之间的关系是_；（3）二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，请利用（2）中的结论直接写出二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1（2023春九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+a+bx+b叫做一次函数yaxb的“滋生函数”，一次函数yaxb叫做二次函数y=ax2+a+bx+b的“本源函数”（a，b为常数，且a0）若一次函数yaxb的“滋生函数”是y=ax2-3x+a+1，那么二次函数y=ax2-3x+a+1的“本源函数”是 2（2023春浙江湖州九年级统考期中）定

5、义：如果函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点例如，点1,1是函数y=-2x+3的不动点已知二次函数y=x2+2b+2x+b2（b是实数）(1)若点-1,-1是该二次函数的一个不动点，求b的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围3（2023安徽模拟预测）已知函数y1=2kx+k与函数y2=x2-2x+3，定义“和函数”y=y1+y2(1)若k=2，则“和函数”y= ；(2)若“和函数”y为y=x2+bx-2，则k= ，b= ；(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=-x上，求k4（2023北京模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目

6、的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义两点间距离：dA,B=x1-x2+y1-y2(1)已知点A-2,1，则dO,A=_函数y=-2x+40x2的图象如图所示，B是图象上一点，dO,B=3，求点B的坐标(2)函数y=x2-5x+7x0的图象如图所示，D是图象上一点，求dO,D的最小值及对应的点D的坐标5（2023春上海九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2-3x+5的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的“特征数

7、”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，-4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是_；(2)将“特征数”是【0，-33，-1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是_；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=-3分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，-2b，b2+12】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取值范围6（2023春福建龙岩九年级校考期末）定义：对于给

8、定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值互为相反数；当x0时，它们对应的函数值相等我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数y=x-1，它的相关函数为y=-x+1(x0，对于任意的函数值y，都满足-MyM，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1(1)直接写出有界函数y=2x+1-4x2的边界值；(2)已知函数y=2x2+bx+cmxn,mn是有界函数，且边界值为3，直接写出n-m的最大值；(3)将函数y=2x2-1xk,k0的图象向下平移k个单位，得到的函数的边界值是t，直接写出k的取值范围

9、，使得32t210（2023春湖南长沙九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y=x+1，其“明德点”为（1，2）(1)判断：函数y=2x+3 _ “明德函数”（填“是”或“不是”）；函数y=x2的图像上的明德点是 _；(2)若抛物线y=m-1x2+mx+14m上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数y=x2+(m-k+2)x+n4-k2的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当-1m3时，n的最小值为k，求k的值【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1（2023春四川绵阳九年级统考

10、期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x-m2-m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（）A4，-1B5-172，-1C4，0D5+172，-12（2023春山东济南九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”例如：y1（x1）22的“同轴对称抛物线”为y2（x1）2+2（1）请写出抛物线y1（x1）22的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2（x1）2+2的顶点坐标 ；（2）求抛物线y2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式（3）如图

11、，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：yax24ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B、C，连接BC、CC、BC、BB当四边形BBCC为正方形时，求a的值当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围3（2023春北京门头沟九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点Pa,b和抛物线y=x2+ax+b，我们称Pa,b是抛物线y=x2+ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点Pa,b的相伴抛物线如图，已知点A-

12、2,-2，B4,-2，C1,4（1）点A的相伴抛物线的解析式为_；过A，B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标为_； （2）设点 Pa,b在直线AC上运动：点Pa,b的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式当点Pa,b的相伴抛物线的顶点落在ABC内部时，请直接写出a的取值范围4（2023春浙江绍兴九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A B两点不重合)，如果ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边22倍，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的“好”点（1）命题：P(0，3)是抛物线y

13、=-x2+2x+3的“好”点该命题是_（ 真或假）命题（2）如图2，已知抛物线C:y=ax2+bx(a0)与x轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件SABQ=SABP的Q点(异于点P)的坐标5（2023安徽安庆九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线y=-233x2-433x+23与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负

14、半轴交于点C（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为_，点A的坐标为_，点B的坐标为_（2）如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标 6（2023春湖南长沙九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点已知一次函数yx+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）（1）直接写出点A、C的坐标；（2）二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点

15、，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PFx轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得APBE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将OAB沿AC方向移动到OAB（点A在线段AC上，且不与C重合），OAB与OCD重叠部分的面积为S，试求当S38时点A的坐标7（2023春安徽合肥九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差yx称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线yx2+3x+4的“特征值”（2）某二次函数x2+b

16、x+c（c0）的“特征值”为1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式（3）如图所示，二次函数yx2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数yx2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围8（2023浙江杭州九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形（1）初步尝试如图1，已知等腰直角ABC，ACB=90，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形（2）理解运用如图2，已知ACD为直角三

17、角形，ADC=90，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：ACD与ABE为偏等积三角形（3）综合探究如图3，二次函数y=12x232x5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使ABC与ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由9（2023春江西赣州九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，

18、点C是点A关于直线BD的对称点（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么a= ，b= 如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c1）求四边形ABCD的面积（3）如果抛物线y=13x2-23x+73的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 23，请直接写出点B的坐标10（2023春江西赣州九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与直线ym交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线yax2+bx+c沿直线ym翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|BDAC（1）图是抛物线yx22x3沿直线y0翻折后得到惊喜线则点A坐标 ，点B坐标 ，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形 ，|D|为 （2）如果抛物线ym(x-1)26m（m0）沿直线ym翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值（3）如果抛物线y(x-1)26m沿直线ym翻折后所得的惊喜线在m1xm+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|