专题21函数与直角三角形的存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题21函数与直角三角形的存在性问题 解题策略经典例题【例1】（2022春绿园区期末）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC6，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQAB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90得到线段PR，连结QR设四边形APRQ与RtABC的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（t0）秒（1）线段AP的长为 2t（用含t的代数式表示）（2）当点R恰好落在线段BC上时，求t的值（3）求S与t之间的函数关系式（4）当CPR为直角三角形时，直接写出t的值【分析】（1）由题意可得出答案；（

2、2）由旋转的性质及等腰直角三角形的性质可得出2t6t，则可求出答案；（3）分两种情况：当点R在ACB内或BC边上时，0t2，当2t3时，由平行四边形的面积公式及三角形面积可得出答案；（4）可分两种情况：当PCR90时，由（2）可知，t2，当CRP90，由题意得出APPC，则可求出t的值【解答】解：（1）由题意可知，AP2t，故答案为：2t；（2）如图，将线段PQ绕点P逆时针旋转90得到线段PR，PQPR，QPR90，AP2t，AQPQt，QRt2t，ACBC6，C90，AB6，BQ6t，当点R恰好落在线段BC上时，RCP90，CPRCRPPRQ45，QRB90，BQRQ，2t6t，t2；（3）

3、分两种情况：当点R在ACB内或BC边上时，0t2，APQR，AQPR，四边形APRQ为平行四边形，SAQPQ2t2；当2t3时，由题意知，CPE和EFR为等腰直角三角形，CPCE62t，PE62t，ER3t6，SS四边形APRQSEFR，S；（4）当CPR为直角三角形时，可分两种情况：当PCR90时，由（2）可知，t2，当CRP90，由题意可知AQPQPRCR，APPC，2t62t，t综上所述，当t2或时，CPR为直角三角形【例2】（2022春成华区校级期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A（2，6）的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OBOC，直线AD交x轴负半轴于点D，

4、若ABD的面积为27（1）求直线AB的表达式和点D的坐标；（2）横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OBOC，设出解析式为yx+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的值，从而求出D点的坐标，直接根据待定系数法求出AD的解析式；（2）先根据B、

5、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的纵坐标，将P点的纵坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中m的值，就可以求出F点的坐标【解答】解：（1）OBOC，设直线AB的解析式为yx+n，直线AB经过A（2，6），2+n6，n4，直线AB的解析式为yx+4，B（4，0），OB4，ABD的面积为27，A（2，6），SABDBD627，BD9，OD5，D（5，0），设直线AD的解析式为yax+b，解得直线AD的解析式为y

6、2x+10；（2）点P在AB上，且横坐标为m，P（m，m+4），PEx轴，E的纵坐标为m+4，代入y2x+10得，m+42x+10，解得x，E（，m+4），PE的长ymm+3；即ym+3，（2m4）；（3）在x轴上存在点F，使PEF为等腰直角三角形，当FPE90时，如图，有PFPE，PFm+4，PEm+3，m+4m+3，解得m，此时F（，0）；当PEF90时，如图，有EPEF，EF的长等于点E的纵坐标，EFm+4，m+4m+3，解得：m，点E的横坐标为x，F（，0）；当PFE90时，如图，有 FPFE，FPEFEPFPE+EFP+FEP180，FPEFEP45作FRPE，点R为垂足，PFR18

7、0FPEPRF45，PFRRPF，FRPR同理FRER，FRPE点R与点E的纵坐标相同，FRm+4，m+4（m+3），解得：m，PRFRm+4+4，点F的横坐标为，F（，0）综上，在x轴上存在点F使PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（，0）或（，0）或（，0）【例3】如图，在平面直角坐标系中，C（8，0）、B（0，6）是矩形ABOC的两个顶点，点D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），双曲线y（k0）经过点D，与矩形ABOC的边AC相交于点E（1）如图，当点D为AB中点时，k的值为 24，点E的坐标为 （8，3）（2）如图，当点D在线段AB上的任意位置时（不与A、B重合），连接BC、DE

8、，求证：BCDE（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足：ODF为直角三角形，ODF90，且tanDOF，若存在，请直接写出满足以上条件时点D的横坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据矩形的性质得点A的坐标，再利用中点坐标公式得点D的坐标，从而得出k的值，再将y6代入即可；（2）根据点D、E的坐标，可得出AD、AE的长度，根据即即可证出BCDE；（3）根据题意可知，需要分两种情况：当点F在直线AB上方时，过点D作DGx轴于点G，过点F作FMDG于点M，当点F在直线AB下方时，如图，过点D作DGx轴于点G，过点F作FNAB于点N，分别设出点D的横坐标，表达点F的坐标，进而得出方程

9、，求解即可【解答】（1）解：C（8，0）、B（0，6）是矩形ABOC的两个顶点，ABOC8，ACOB6，A（8，6），点D是AB的中点，D（4，6），k8324，y，当x8时，y3，E（8，3），故答案为：24，（8，3）；（2）证明：设点D的横坐标为m，点D的坐标为（m，6），k6m，反比例函数的解析式为：y，点E的坐标为（8，），AD8m，AEACCE6，即，BCDE；（3）解：根据题意可知，需要分两种情况：当点F在直线AB上方时，如图，过点D作DGx轴于点G，过点F作FMDG于点M，OGDDMF90，ODF90，ODG+DOGODG+FDM90，DOGFDM，ODGDFM，OD：DFOG

10、：DMDG：FM，tanDOF，DF：OD1：3，OD：DFOG：DMDG：FM3，DGOB6，FM2，设点D的横坐标为t，则OGt，DM，D（t，6），F（t2，6+），6t（t2）（6+），解得t1+（负值舍去）即此时点D的横坐标为：1+当点F在直线AB下方时，如图，过点D作DGx轴于点G，过点F作FNAB于点N，OBDDNF90，ODF90，ODB+DOBODB+FDN90，DOBFDN，ODBDFN，OD：DFOB：DNDB：FN，tanDOF，DF：OD1：3，OD：DFOB：DNDB：FN3，OB6，FN2，设点D的横坐标为n，则BDn，FN，D（n，6），F（n+2，6），6n（

11、n+2）（6），解得n1+（负值舍去）即此时点D的横坐标为：1+综上，满足题意的点D的横坐标为：1+或1+【例4】（2022巴南区自主招生）已知在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，A（4，0），B（12，0），C（0，6）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PDy轴交直线BC于点D，过点P作PEBC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移3个单位，得到新抛物线y，点F为y的对称轴上任意一点，若以点B、C、F为顶点的三角形是直角

12、三角形，请直接写出符合条件的点F的坐标【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设P（t，t2t6），则D（t，t6），则PDt2+t，求出直线PE的解析式为yx+t2+t6，则E（t23t+12，0），可求BEt23t，所以PD+BE（t6）2+，即可求当t6时，PD+PE有最大值，此时P（6，）；（3）求出平移后的抛物线解析式为y（x10）25，设F（10，n），B（12，0），C（0，6），则BF24+n2，BC2180，FC2100+（n+6）2，分三种情况讨论当BF为斜边时，F（10，26）；当BC为斜边时，F（10，3+）或（10，3）；当CF为斜边时，100+（n+6F

13、（10，4）【解答】解：（1）将A（4，0），C（0，6）代入yx2+bx+c，解得，yx2x6；（2）设BC的直线解析式为ykx+b，解得，yx6，设P（t，t2t6），则D（t，t6），PDt2+t，设直线PE的解析式为yx+m，将点P代入，可得mt2+t6，yx+t2+t6，E（t23t+12，0），BEt23t，PD+BEt2+t+（t23t）（t6）2+，当t6时，PD+PE有最大值，此时P（6，）；（3）设抛物线沿x轴正方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位，3m，解得m3，平移后的抛物线解析式为y（x10）25，抛物线的对称轴为直线x10，设F（10，n），B（12，0）

14、，C（0，6），BF24+n2，BC2180，FC2100+（n+6）2，当BF为斜边时，100+（n+6）2+1804+n2，解得n26，F（10，26）；当BC为斜边时，180100+（n+6）2+4+n2，解得n3+或n3，F（10，3+）或（10，3）；当CF为斜边时，100+（n+6）2180+4+n2，解得n4，F（10，4）；综上所述：F点坐标为（10，26）或（10，3+）或（10，3）或（10，4）培优训练一解答题1（2022秋南关区校级月考）在RtABC中，ACB90，A30，BC2，动点F从点A出发沿折线ACCB向终点B运动，在AC上的速度为每秒个单位长度，在BC上的速度

15、为每秒1个单位长度当点F不与点C重合时，以CF为边在点C的右上方作等边CFQ，设点P的运动时间为t（秒），点F到AB的距离为h（1）AC2；（2）求h与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为h时，求t的值；（4）取AB边的中点D，连结FD、CD，当FCD是直角三角形时，直接写出t的值【分析】（1）根据含30的直角三角形和勾股定理可得AC的长；（2）分两种情况：F在AC上和BC上，根据含30角的直角三角形和勾股定理可得h与t的函数关系式；（3）分两种情况：设直线CQ与AB交于点P，如图3，点P在CQ上，如图4，点P在CQ的延长线上，根据等边三角形的边

16、长2t列等式，解出可得答案；（4）分三种情况：当F在AC上时，如图5，CFD90，如图6，CDF90，当F在BC上时，如图7，DFC90，根据含30角的直角三角形的性质可得答案【解答】解：（1）ACB90，A30，BC2，AB2BC4，AC2，故答案为：2；（2）分两种情况：过点F作FHAB于H，当0t2时，点F在边AC上，如图1，由题意得：AFt，RtAFH中，A30，FHhAFt；当2t4时，点F在边BC上，如图2，由题意得：CFt2，BFBCCF2（t2）4t，RtBFH中，BFH30，BHBF，FHhBHt2；综上，h与t的函数关系式为：h；（3）分两种情况：设直线CQ与AB交于点P，

17、如图3，点D在CQ上，CFQ是等边三角形，FCQQCFQ60，ACB90，BCQ30，B60，CPE30+6090，PEQ30，当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为h时，即QPh，QE2PQh，CFQ60，A30，AAEF30，EFAFt，CFFQ2t，2tt+ht+t，t；如图4，点P在CQ的延长线上，由知：BPC90，BCP30，CPBP，CPCQ+PQ，2t+t，t；综上，t的值是或；（4）分三种情况：如图5，CFD90，D是AB的中点，ACB90，CDAD2，CFAF，t1；如图6，CDF90，DCF30，DF，CF2DF，AF2，此时t；如图7，DFC90，CDF30，CFCD

18、1，此时t2+13；综上，t的值是1或或32（2021罗湖区校级模拟）如图1，已知抛物线yx2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB（1）求抛物线的函数解析式；（2）当AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，M为AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1t5时，求点M经过的路径长度【分析】（1）由抛物线yx2+bx+c经过原点O且对称轴是直线x2，知c0，2，求得b的值即可得出答案；（2）设点B（a，a24a），由yx

19、24x（x2）24知A（2，4），据此得出OA222+4220、OB2a2+（a24a）2、AB2（a2）2+（a24a+4）2，再分OAB90、AOB90和ABO90三种情况，根据勾股定理列出关于a的方程，解之求得a的值，继而求出直线OB解析式，求出x2时y的值，从而求得t的值；（3）由M为AOB的外接圆知点M在线段OA的中垂线上，从而得出1t5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，再结合（2）中的情况求出点M的位置，根据两点间的距离公式求解可得【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x2，c0，2，则b4、c0，抛物线解析式为yx24x；（2）设点B（

20、a，a24a），yx24x（x2）24，点A（2，4），则OA222+4220、OB2a2+（a24a）2、AB2（a2）2+（a24a+4）2，若OB2OA2+AB2，则a2+（a24a）220+（a2）2+（a24a+4）2，解得a2（舍）或a，B（，），则直线OB解析式为yx，当x2时，y3，即P（2，3），t（3+4）11；若AB2OA2+OB2，则（a2）2+（a24a+4）220+a2+（a24a）2，解得a0（舍）或a，B（，），则直线OB解析式为yx，当x2时，y1，即P（2，1），t1（4）15；若OA2AB2+OB2，则20（a2）2+（a24a+4）2+a2+（a24a）

21、2，整理，得：a38a2+21a180，a33a25a2+15a+6a180，a2（a3）5a（a3）+6（a3）0，（a3）（a25a+6）0，（a3）2（a2）0，则a3或a2（舍），B（3，3），直线OB解析式为yx，当x2时，y2，即P（2，2），t2（4）12；综上，当AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5（3）M为AOB的外接圆，点M在线段OA的中垂线上，当1t5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t1时，如图1，由（2）知OAB90，此时RtOAB的外接圆圆心M是OB的中点，B（，），M（，）；当t5时，如图2，由（2）知，AOB90，此时RtOAB的外接圆圆心

22、M是AB的中点，B（，）、A（2，4），M（，）；当t2时，如图3，由（2）知，OBA90，此时RtOAB的外接圆圆心M是OA的中点，A（2，4），M（1，2）；则点M经过的路径长度为+3（2012芜湖县校级自主招生）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1

23、）sad60的值为 BA B1 CD2（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是 0sadA2（3）已知sin，其中为锐角，试求sad的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60时，等腰三角形底角为60，则三角形为等边三角形，则sad601故选B（2）当A接近0时，sad接近0，当A接近180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sad接近2于是sadA的取值范围是0sa

24、dA2故答案为0sadA2（3）如图，在ABC中，ACB90，sinA在AB上取点D，使ADAC，作DHAC，H为垂足，令BC3k，AB5k， 则ADAC4k，又在ADH中，AHD90，sinADHADsinAk，AHk则在CDH中，CHACAHk，CDk于是在ACD中，ADAC4k，CDk由正对的定义可得：sadA，即sad4（2022秋法库县期中）如图，已知函数yx+1的图象与y轴交于点A，一次函数ykx+b的图象经过点B（0，1），与x轴以及yx+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）（1）则k3，b1，n2；（2）若函数ykx+b的值大于函数yx+1的函数值，则x的取值范围

25、是 x1；（3）求四边形AOCD的面积；（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标【分析】（1）对于直线yx+1，令x0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入ykx+b中求出b的值，再将D坐标代入yx+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可；（2）由两一次函数解析式，结合图象确定出x的范围即可；（3）过D作DE垂直于x轴，如图1所示，四边形AOCD面积等于梯形AOED面积减去三角形CDE面积，求出即可；（4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：DPDC；DPCP，分别求出P坐标即可【

26、解答】解：（1）对于直线yx+1，令x0，得到y1，即A（0，1），把B（0，1）代入ykx+b中，得：b1，把D（1，n）代入yx+1得：n2，即D（1，2），把D坐标代入ykx1中得：2k1，即k3，故答案为：3，1，2；（2）一次函数yx+1与y3x1交于D（1，2），由图象得：函数ykx+b的函数值大于函数yx+1的函数值时x的取值范围是x1；故答案为：x1；（3）过D作DEx轴，垂足为E，如图1所示，一次函数y3x1的图象与x轴交于点C，C（，0），CE1，S四边形AOCDS梯形AOEDSCDE（AO+DE）OECEDE（1+2）12；（4）如图2所示，设P（p，0），PC2（p）2

27、，PD222+（p1）2，CD222+（1）2，分两种情况考虑：当PDDC时，PC2PD2+CD2，（p）222+（p1）2+22+（1）2，p7，P（7，0）；当DPCP时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1，P在x轴上，P的坐标为（1，0），综上，P的坐标为（1，0）或（7，0）5（2022秋同安区期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于A点与B点，函数的图象经过B点点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BDPD于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）连接AD，当ABD为直角三角形时，求BD的长；（3）将BDP绕点B逆时针旋转45，得到BDP，当点P的对应点P落在坐标轴上时，

28、请求出点P的坐标【分析】（1）先确定出点A、B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）当点P在对称轴左侧时，ABD不可能为直角三角形，当点P在对称轴右侧时，ABD为锐角，分两种情况：当ADB90时，当BAD90时，根据直角三角形的性质分别求解即可；（3）分点P落在x轴和y轴两种情况计算即可当点P落在x轴上时，过点P作PEx轴，垂足为P，过点D作DFy轴，垂足为F，交PE于点E，先利用互余和旋转角相等得出PDE是等腰直角三角形，根据PEOFOB+BF，建立方程即可；根据等腰直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：（1）直线yx2分别与x轴、y轴交于A点与B点，A（，0），B（0，2），抛物

29、线yx2+2nx+n经过点B，n2，抛物线解析式为yx24x2；（2）当点P在对称轴左侧时，ABD不可能为直角三角形，当点P在对称轴右侧时，ABD为锐角，分两种情况：当ADB90时，A（，0），B（0，2），点D坐标为（，2），BD；当BAD90时，设D（a，2），A（，0），B（0，2），AB2（）2+226，BD2a2，AD2（a）2+22，在RtABD中，AB2+AD2BD2，6+（a）2+22a2，解得a3，BD3；综上所述，当ABD为直角三角形时，BD的长为或3；（3）当点P落在x轴上时，过点P作PEx轴，垂足为P，过点D作DFy轴，垂足为F，交PE于点E，设点P的坐标为（m，m24

30、m2），PDm24m2（2）m24m，PDx轴，BDPD，BDy轴，由旋转得DBD45，PDPDm24m，BDFDBD45，PDE45，PDE是等腰直角三角形，PEPD（m24m），同理BFBDm，PEOFOB+BF，（m24m）m+2，整理得2m23m40，解得m或2（舍去），当m时，m24m22，点P的坐标为（，2）；当点P落在y轴上时，如图，过点D作DMx轴，交BD于M，过点P作PNy轴，交MD的延长线于点N，设点P的坐标为（n，n24n2），PDn24n2（2）n24n，由旋转得DBPDBP45，PDB是等腰直角三角形，PDBD，nn24n，解得m或0（舍去），当m时，n24n22，点

31、P的坐标为（，2）；综上所述，点P的坐标为（，2）或，2）6（2022秋禅城区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知A（6，0），（1）写出点B，点C的坐标和ABC的面积；（2）直线l经过A、B两点，求直线AB的解析式；（3）点D是在直线AB上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA并延长交y轴于点K当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由【分析】（1）

32、ABC的面积ACOB，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）由得到yD|yB|，即可求解；（4）证明BOPPHQ（AAS），求出Q的坐标为（t+6，t），进而求解【解答】解：（1）对于y3x+6，令x0，则y6，故点B（0，6），令y3x+60，解得：x2，故点C（2，0）；则ABC的面积ACOB（6+2）624；（2）设直线AB的表达式为ykx+b（k0），则，解得：，故直线AB的表达式为yx+6；（3）存在，理由：，|yD|yB|3，即|x+6|3，解得：x3或9，故点D的坐标为（3，3）或（9，3）；（4）K点的位置不发生变化，理由：设点P的坐标为（t，0），过点Q作QHx轴于点H

33、，BPO+QPH90，PBO+BPO90，QPHPBO，在RtBOP和RtPHQ中，BOPPHQ（AAS），PHBO6，QHOPt，则点Q的坐标为（t+6，t），设直线AQ的表达式为ymx+n，则，解得，故点K的坐标为（0，6）7（2022秋工业园区校级期中）如图，已知点P是第一象限内二次函数yx2+2mx+3m2（m0）图象上一点，该二次函数图象与x轴交于A、B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC（1）线段AB的长为 4m（用含m的代数式表示）；（2）当m1时，点D与C点关于二次函数图象对称轴对称，若AD平分CAP，求点P的坐标；（3）若ABC是直角三角形，点E是AP与BC的交点

34、，则的最小值是多少？直接写出答案即可【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可；（2）先求出ABCDAB45，可得BCAD，再由AOK和DQK是等腰直角三角形，确定点Q的坐标，利用点Q的坐标求出C点关于AD的对称点G的坐标，直线AG与抛物线的交点即为P点；（3）过点P作PQy轴交BC于点Q，过点A作AFy轴交BC于点F，设P（t，t2+2mt+3m2），则F（m，5m2），Q（t，mt+3m2），由PQAF，当PQ最大时，有最小值，再由PQ（tm）2+m2，当tm时，PQ有最大值m2，即可求的最小值是【解答】解：（1）令y0，则x2+2mx+3m20，x1+x22m，x1x23m2，AB4m，故

35、答案为：4m；（2）当m1时，yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，令x0，则y3，C（0，3），点D与C点关于二次函数图象对称轴对称，D（2，3），令y0，则x2+2x+30，解得x1或x3，A（1，0），B（3，0），OBOC3，ABC45，过点D作DHx轴交于点H，DH3，AH3，DAH45，BCAD，AO1，OK1，CK2，CQK是等腰直角三角形，Q（1，2），C点关于AD的对称点G（2，1），CAQQAG，AD平分CAG，设直线AP的解析式为ykx+b，解得，yx+，联立方程组，解得（舍）或，P（，）；（3）令x0，则y3m2，C（0，3m2），令y0，则x2+2

36、mx+3m20，解得xm或x3m，B（3m，0），A（m，0），设直线BC的解析式为ykx+b，解得，ymx+3m2，过点P作PQy轴交BC于点Q，过点A作AFy轴交BC于点F，设P（t，t2+2mt+3m2），F（m，5m2），Q（t，mt+3m2），PQt2+2mt+3m2+mt3m2t2+3mt，FA5m2，PQAF，当PQ最大时，有最小值，PQt2+3mt（tm）2+m2，当tm时，PQ有最大值m2，的最小值是8（2022秋西湖区期中）如图，在ABC中，ABAC5，BC6，以BC为一边向下作矩形BDEC，其中DB3M为线段AB上的动点（且不与A、B重合），过M作MNDE，交DB于点N（

37、1）如图1，以MN为边作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上当MN为5时，矩形MNPQ的面积为 15；设MNx，矩形MNPQ的面积为y，试求出y关于x的函数表达式；矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由（2）如图2，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度【分析】（1）如图1，过点Z作AJBC于点J，交MQ于点H，交DE于点G求出MQ，可得结论；方法类似，求出MN可得结论；利用二次函数的性质求解即可（2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解【解答】解：（1）如图1，过点Z作AJBC于点

38、J，交MQ于点H，交DE于点GABAC5，AJBC，BJJCBC3，AJ4，DDBJBJG90，四边形MNPQ是矩形，JGBD3，同法可证四边形MNGH是矩形，GHMN5，AGAJ+JG4+37，AHAGHG2，MQDEBC，AMQABC，AQMACB，ABAC，ABCACB，AMQAQM，AMAQ，AHMQ，MHHQ，MQ3，矩形MNPQ的面积5315故答案为：15；当MNx时，同法可得HA7x，MQ2（7x），yx（7x）x+x（3x7）；存在理由：y（x）2+，x时，矩形MNPQ的面积最大，最大值为；（2）如图2，延长AB、AC与DE所在直线分别交于点G、H，过点F作FPNH于点PBCG

39、H，GABC，HACB，ABCACB，GH，AGAH，ABAC，BGCH，GH+6，设MNm，则GNm，NFAB，FNHGH，FNFH，FPNH，NPPH（m）m，FNm，MNF为直角三角形，若MFN90，则NFMN，即mm，解得m；若NMF90，则MNNF，即m（m），解得m，综上所述，满足条件的MN长度为或9（2022秋梁溪区校级期中）如图1，RtMCD中，MCD90，MD5，CD4O为边MD上一点，以O为圆心，MO为半径的O与边CD相切于点F，交MC、MD于点E、N点A、B分别在线段MN、MC上（不与端点重合），且满足（1）求MO的长；设BMx，ADy，求y与x之间的函数关系式；（2）如

40、图2，作APMC，交CD于点P，连接AB，BP当ABP为直角三角形时，求BM的长；当点E关于BP的对称点E落在边MD上时，请直接写出的值【分析】（1）证明DFODCM，进而求得结果；在的基础上求得DN的值，进而求得结果；（2）分成两种情形：当ABP90时，作AHCM于H，可推出BCP和ABH是等腰直角三角形，根据AHCP及APCH求得结果；当PAB90时，根据BCAP列出方程求得结果；可表示出BEBECMCFBM3x，在RtMBE中，根据列出方程求得结果【解答】解：（1）如图1，连接OF，设半径为r，CD切O于点F，OFCD，MCCD，OFMC，DFODCM， 解得r，MO；由得NDMDMN5

41、2，BMx，ANx，ADAN+ND，yx+；（2）显然APB90，所以分两种情形|：如图2，当ABP90时，作AHCM于H，PDAD（）x+1，CPCDPD4（x+1）3x，CBCMBM3x，CBCP，CBPCPB，ABH180ABPCBP180904545，HABABH45，AHBH，AHCP3x，BH3x，APCHBC+BH，）（3x）+（3x），x，如图2，当PAB90时，APCC90，四边形APCB是矩形，BCAP，BCCMBM3x，AP，3x，x，综上，x的值为或；如图4，由上可知：CBP45，EBPCBP45，MBE90，BEBECMCEBM3x，x，EM，DE5，10（2022秋

42、市北区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）（1）填空：m3，b6；（2）求ACD的面积；（3）在线段AD上是否存在一点M，使得ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（4）点P在线段AD上，连接CP，若ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标【分析】（1）由C（m，5）是一次函数y1x+2与y2x+b的图象的交点，即可解出；（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到AD的长，从而算出ACD的面

43、积；（3）由已知条件可得ABM的面积，进而得出AM的长，即可得点M的坐标；（4）由ACP是直角三角形、CAP是锐角，分APC90和ACP90两种情况讨论，利用勾股定理即可求解【解答】解：（1）C（m，5）是一次函数y1x+2与y2x+b的图象的交点，m+25，解得m3，3+b5，解得b6，故答案为：3，6；（2）一次函数y1x+2中，当y10时，x2；当x0时，y12，A（2，0），B（0，2），一次函数y2x+6中，当y20时，x18，D（18，0），AD18（2）20，SACD20550，ACD的面积为50；（3）如图：在线段AD上存在一点M，使得ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：

44、21，ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，SABMSACD508，AMOB8，即AM28，AM8，点M在线段AD上，点M的坐标为（6，0）；（4）点P在线段AD上，CAP是锐角，若ACP是直角三角形，则APC90或ACP90，设点P（p，0），A（2，0），C（3，5），AC2（3+2）2+52，AP2（p+2）2，PC2（p3）2+52，当APC90时，AP2+PC2AC2，（p+2）2+（p3）2+52（3+2）2+52，整理得，p2p60，解得p3或2（舍去），点P坐标为（3，0）；当ACP90时，AC2+PC2AP2，（p+2）2（3+2）2+52+（p3）2+52，整理得

45、，p2p60，解得p8，点P坐标为（8，0）；综上所述，所有符合条件的点P坐标为（3，0）或（8，0）11（2022秋南湖区校级期中）在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动设动点运动的时间为t（s），DEF的面积为S（cm2）（1）求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围（2）当DEF是直角三角形时，求DEF的面积【分析】（1）根据SDEFS矩形ABCDSAEDSBEFSCDF解答即可；（2）分情况讨论解答即可【解答】解：（1）BEtcm，BF2tcm，A

46、E（6t）cm，CF（122t）cm，SDEFS矩形ABCDSAEDSBEFSCDF，S12612（6t）t2t6（122t）t2+12t，根据题意得，解得0t6；（2）由勾股定理可，EF2BE2+BF25t2，DF2CD2+CF24t248t+180，DE2AD2+AE2t212t+180，当EDF为直角时，EF2DE2+DF2，即5t2t212t+180+4t248t+180，解得t6，S62+12636；当DEF为直角时，DF2DE2+EF2，即6t212t+1804t248t+180，解得t0或18，0t6，都不符合；当DFE为直角时，DE2DF2+EF2，即5t2+4t248t+18

47、0t212t+180，解得t0（舍）或t，S12（2022秋罗湖区校级期中）建立模型：（1）如图1，等腰直角三角形ABC的直角顶点在直线l上过点A作ADl交于点D，过点B作BEl交于点E，求证：ADCCEB模型应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线l1：y2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45得到l2，求l2的函数表达式；（3）如图3，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作ABy交于点A，过点B作BCx交于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a4）位于第一象限问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说

48、明理由【分析】（1）过点A作ADx轴交于点D，过点B作BEx轴交于点E，再证明ACDCBE（SAS）即可；（2）过点B作BCAB交直线l2于点C，过点C作CDx轴交于点D，由（1）的模型可得BCDABO，求出C（6，2），再由待定系数法求函数的解析式即可；（3）分两种情况讨论：当Q点AB下方时，过Q点作EFx轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，AEQQFP，可得EQPFa，AEFQ4（2a4）82a，再由EQ+FQ6，求出a2（舍）；当Q点在AB上方时，同理可得EQPFa，AEFQ2a442a8，再由EQ+FQ6，可求a【解答】（1）证明：过点A作ADx轴交于点D，过点B作BEx

49、轴交于点E，ACB90，ACD+BCE90，ACD+CAD90，BCECAD，ACBC，ACDCBE（SAS）；（2）解：过点B作BCAB交直线l2于点C，过点C作CDx轴交于点D，CAB45，BCAB，由（1）的模型可得BCDABO，y2x+4与x轴的交点B（2，0），A（0，4），CD2，BD4，C（6，2），设直线l2的解析式为ykx+b，解得，yx+4；（3）解：点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：当Q点AB下方时，如图3，过Q点作EFx轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，AEQQFP，AEFQ，EQPF，B（6，4），OA4，CO6，点Q（a，

50、2a4），EQPFa，AEFQ4（2a4）82a，EQ+FQ6，a+82a6，解得a2，Q（2，0），Q点在第一象限，a2（舍）；当Q点在AB上方时，如图4，同理可得EQPFa，AEFQ2a442a8，EQ+FQ6，a+2a86，解得a；综上所述：a的值为13（2022秋天桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为yx，直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3），与l1交于点C（2，m）（1）求出直线l2的函数关系式；（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1、l2交于点M、N，当点M在点N的上方，且满足MNOB时，请求出点M与点N的坐标；当点M在点N的下方时，y轴上是

51、否存在点Q，使MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出点C的坐标，在用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设M（t，t），N（t，t+3），由MNOB建立方程求出t的值即可求解；根据题意分三种情况讨论：当NMQ90时，MNMQ，此时Q（0，t），再由t+3t，求出Q点坐标；当MNQ90时，NQMN，此时Q（0，t+3），再由t+3t+3，求Q点坐标；当MQN90时，MN的中点坐标为（t，t+），则Q（0，t+），再由t（t+3），求出Q点坐标【解答】解：（1）将点C（2，m）代入yx，m2，C（2，2），设直线l2的解析式为ykx+b

52、，解得，yx+3；（2）设M（t，t），N（t，t+3），点M在点N的上方，t2，MNOB，t33，解得t4，M（4，4），N（4，1）；存在点Q，使MNQ为等腰直角三角形，理由如下：点M在点N的下方时，0t2，当NMQ90时，MNMQ，此时Q（0，t），t+3t，t，Q（0，）；当MNQ90时，NQMN，此时Q（0，t+3），t+3t+3，t0（舍）；当MQN90时，MN的中点坐标为（t，t+），Q（0，t+），t（t+3），解得t，Q（0，）；综上所述：Q点坐标为（0，）或（0，）14（2022秋甘井子区校级月考）抛物线yx2+bx+c过A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点

53、C、D关于抛物线的对称轴对称（1）抛物线的解析式是 yx22x3，ABD的面积为 6；（2）在直线AD下方的抛物线上存在点P，使APD的面积最大，求出最大面积（3）当txt+1时，函数yx2+bx+c的最小值为5，求t的值（4）若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标【分析】（1）把A（1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c中，可求抛物线的解析式，再利用三角形的面积公式求ABD的面积即可；（2）过点P作PMx轴于点M，交AD于点N设点P的横坐标为m，则P（m，m22m3），N（m，m1），可得PNm1（m22m3）m2

54、+m+2可得SAPDSAPN+SDPN（m）2+根据二次函数的最值即可求解；（3）将二次函数解析式化为顶点式，分类讨论xt，xt+1时y取最小值；（4）分三种情形，当DNM90，NDNM时，当DMN90，MNMD时，当NDM90，DNDM时，分别求解即可【解答】解：（1）把A（1，0），B（3，0）分别代入yx2+bx+c（a0）中，得，解得：，抛物线的解析式为yx22x3，C（0，3），点C、D关于抛物线的对称轴对称，yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为x1，点D（2，3），ABD的面积为ABOC436，故答案为：yx22x3，6；（2）过点P作PMx轴于点M，交AD于点N设直线AD的

55、解析式为ykx+a，把A（1，0），D（2，3）分别代入ykx+a中，得，解得：，直线AD的解析式为yx1，设点P的横坐标为m，则P（m，m22m3），N（m，m1），PNm1（m22m3）m2+m+2SAPDSAPN+SDPNPN（xDxA）（m2+m+2）（2+1）（m2m2）（m）2+当m时，APD的最大面积为；（3）yx22x3（x1）24，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，4），当t+11时，t0，当xt+1时，y（t+11）245为最小值，解得t3（舍去）或t3；当t1，t+11时，0t1，此时，函数的最小值为45；当t1时，xt时，y（t1）245为最小值，解得t

56、4或t2（舍去），综上所述，t的值为3或4；（4）当DNM90，NDNM时，如图，过点D作DEx轴于E，DE3，OE2，MONDEN90，DNM90，MNONDE，NDNM，MNONDE（AAS），OMEN，ONDE3，OMENONOE321，M（0，1），如图，同理可得NEOMON+OEDE+OE3+25，M（0，5）；当DMN90，MNMD时，点C、D关于抛物线的对称轴对称CDy轴，DCMMON90DMN，DMCMNO，MNMD，MNODMC（AAS），OMCD2，M（0，2）或（0，2），当NDM90时，过点D作DEx轴于E，同理可得DCMDEN，则DCDN，D（2，3），DC2，DN3

57、，与DCDN矛盾，故此种情况不存在，综上所述，满足条件的M点的坐标为（0，1）或（0，5）或（0，2）或（0，2）15（2022秋荣县校级月考）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y交于A、B两点，其中点A的横坐标是2（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PMx轴，交抛物线于点M，点M在第一象限；点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？【分析】（1）设这条直线的函数关系式为ykx+b，由直线ykx+b过点（0，4），求得

58、b4，由点A的横坐标为2且在抛物线yx2上，求得A（2，1），再由直线ykx+4经过点A（2，1），求得k，即得到直线的函数关系式为yx+4；将直线和抛物线的函数关系式联立方程组，解该方程组即可求出点B的坐标；（2）设C（x，0），分别求得AB2（8+2）2+（161）2325，AC2（x+2）2+（01）2x2+4x+5，BC2（x8）2+（016）2x216x+320，再分三种情况讨论，一是BAC90，二是ACB90，三是ABC90，分别根据勾股定理的逆定理列方程求出相应的x值，即得到点C的坐标；（3）设点M的坐标为（m，m2），则MNm2+1，再由PMx轴，且点P在直线yx+4上，求得P

59、（m2，m2），则MPm2+m+，再推导出MN+3MPm2+3m+9（m6）2+18，即可求得点M的横坐标为6时，MN+3MP的长度最大，最大值是18【解答】解：（1）设这条直线的函数关系式为ykx+b，直线ykx+b过点（0，4），b4，ykx+4，抛物线yx2，当x2时，y（2）21，A（2，1），直线ykx+4经过点A（2，1），2k+41，k，这条直线的函数关系式为yx+4；解方程组，得，B（8，16）（2）存在，设C（x，0），连接AC、BC，A（2，1），B（8，16），AB2（8+2）2+（161）2325，AC2（x+2）2+（01）2x2+4x+5，BC2（x8）2+（016

60、）2x216x+320，如图1，当BAC90时，则x2+4x+5+325x216x+320，解得x，C（，0）；如图2，当ACB90时，则x2+4x+5+x216x+320325，解得x10，x26，C（0，0）或C（6，0）；如图3，当ABC90时，则x216x+320+325x2+4x+5，解得x32，C（32，0），综上所述，点C的坐标为（0，0）或C（6，0）或（，0）或（32，0）（3）设点M的坐标为（m，m2），N（0，1），MNm2+1，PMx轴，且点P在直线yx+4上，ym2，x+4m2，xm2，P（m2，m2），MPm（m2）m2+m+，MN+3MPm2+1+3（m2+m+）

61、m2+3m+9，点P在线段AB上，2m8，MN+3MPm2+3m+9（m6）2+18，且0，268，当m6时，MN+3MP的最大值为18，点M的横坐标为6时，MN+3MP的长度最大，最大值是1816（2022秋汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（4，0），B点坐标为（1，0），连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析

62、式（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PHx轴，垂足为E，利用S四边形BCPQSABCSAPQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明PFMQEP，得到MFPEt，PFQE42t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标【解答

63、】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（1，0），则，解得：，二次函数的解析式为yx2+3x+4；（2）由（1）得：抛物线表达式为yx2+3x+4，C（0，4），A（4，0），OAC是等腰直角三角形，BAC45，由点P的运动可知：APt，过点P作PHx轴，垂足为H，如图，AHPH，即H（4t，0），又Q（1+t，0），S四边形BCPQSABCSAPQ54（5t）t10t+t2，（t）2+，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC4，AB5，0t5，当t时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为；（3）存在假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线

64、，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MPPMQ是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPF+QPE90，又MPF+PMF90，PMFQPE，在PFM和QEP中，PFMQEP（AAS），MFPEt，PFQE52t，EF52t+t5t，又OE4t，点M的坐标为（42t，5t），点M在抛物线yx2+3x+4上，5t（42t）2+3（42t）+4，解得：t或（舍），M点的坐标为（，）17（2022秋鼓楼区校级月考）如图，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）（1）请直接写出A，B

65、两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m0），过点P作PMx轴，垂足为MPM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；（3）若点Q是对称轴上的点，且ADQ为直角三角形，求点Q的坐标【分析】（1）在yx2x3中，令y0可求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；（2）设P（m，m2m3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM3MN；PM3PN，分别列出m的方程进行解答即可；（3）由yx2x3（x2）24可得抛物线对称轴是直线x2，设Q（2，t），可得AQ216+t2，AD245，DQ24+（t+3）2，分三种情况，用勾股逆定理列

66、方程可解得答案【解答】解：（1）在yx2x3中，令y0，得x2x30，解得，x2，或x6，A（2，0），B（6，0），设直线l的解析式为ykx+b（k0），把A（2，0），D（4，3）代入得：，解得，直线l的解析式为yx1；（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为P（m，m2m3），N（m，m1），PMm2+m+3，MNm+1，NPPMMNm2+m+2，分两种情况：当PM3MN时，得m2+m+33（m+1），解得，m0或m2（与A重合，舍去），P（0，3）；当PM3NP时，得m2+m+33（m2+m+2），解得，m3，或m2（与A重合，舍去），P（3，）；综上所述：P的坐标为（3，）

67、或（0，3）；（3）由yx2x3（x2）24可得抛物线对称轴是直线x2，设Q（2，t），而A（2，0），D（4，3），AQ216+t2，AD245，DQ24+（t+3）2，当AQ是斜边时，4+（t+3）2+4516+t2，解得t7，Q（2，7），当AD为斜边时，16+t2+4+（t+3）245，解得t或t，Q（2，）或（2，）；当DQ为斜边时，16+t2+454+（t+3）2，解得t8，Q（2，8），综上所述，Q的坐标为（2，7）或Q（2，）或（2，）或（2，8）18（2022春武侯区校级期中）【模型建立】：（1）如图，在RtABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过点A作ADED于

68、点D，过点B作BEED于点E，求证：BECCDA；【模型应用】：（2）如图，已知直线l1：y2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A顺时针旋转45至直线l2，求直线l2的函数表达式；（3）如图，平面直角坐标系内有一点B（4，6），过点B作BAx轴于点A、BCy轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y3x+3上的动点且在第三象限内试探究CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由【分析】（1）由ACB90，ADED于点D，BEED于点E，得BECCDADCA90，则DCECAD90ACD，而BCCA，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明BEC

69、CDA；（2）作BFAB交直线l2于点F，作FEx轴于点E，可证明BEFAOB，由y2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，得A（2，0），B（0，4），则EBOA2，EFOB4，所以OE6，则F（4，6），即可由待定系数法求出直线l2的函数表达式；（3）分四种情况讨论，一是PDC90，则PDDC，过点D作DHy轴于点H，交AB的延长线于点G，可证明PDGDCH，得DGCHBG，PGDH，由BPm（6）m+6及m+6+DG4DG，得DGBG，则D（，），将其代入y3x+3，求出m的值再求出点D的坐标；二是PCD90，则CDPC，作DJy轴于点J，PIy轴于点I，可证明DCJCPI，得CJPI4

70、，DJCIBPm+6，所以OJ6+410，则D（m6，10），将其代入y3x+3，求出m的值再求出点D的坐标；三是CPD90，且点D在PC上方，则DPPC，作DKAB交射线BA于点K，可证明PDKCPB，得KPBC4，KDBPm+6，则D（m+2，m+4），将其代入y3x+3，求出m的值再求出点D的坐标并进行检验，舍去不符合题意的解；四是CPD90，且点D在PC下方，则DPPC，作DLAB交AB的延长线于点L，可证明PDLCPB，得LPBC4，LDBPm+6，则D（10m，m4），将其代入y3x+3，求出m的值再求出点D的坐标，最后得到问题的答案【解答】（1）证明：如图，ACB90，ADED于

71、点D，BEED于点E，BECCDADCA90，DCECAD90ACD，BCCA，BECCDA（AAS）（2）解：如图，作BFAB交直线l2于点F，作FEx轴于点E，BEFAOBBAF90，EBFOAB90OBA，由旋转得BAF45，BFABAF45，BFAB，BEFAOB（AAS），直线y2x+4，当y0时，则2x+40，解得x2；当x0时，y4，A（2，0），B（0，4），EBOA2，EFOB4，OEOB+EB6，F（4，6），设直线l2的函数表达式为ykx+b，把A（2，0），F（4，6）代入ykx+b，得，解得直线l2的函数表达式为y3x6（3）解：CPD能成为等腰直角三角形，B（4，6

72、），BAx轴于点A、BCy轴于点C，A（4，0），C（0，6），四边形OABC为矩形，设P（4，m），如图，PDC90，则PDDC，过点D作DHy轴于点H，交AB的延长线于点G，GABC90，DHC90，GDHC，PDGDCH90CDH，PDGDCH（AAS），DGCHBG，PGDH，BPm（6）m+6，m+6+DG4DG，DGBG，xD4+，yD6，将D（，）代入y3x+3，得3+3，解得m，D（，）；如图，PCD90，则CDPC，作DJy轴于点J，PIy轴于点I，DJCCIP90，DCJCPI90PCI，DCJCPI（AAS），CJPI4，DJCIBPm+6，OJ6+410，D（m6，10

73、），将D（m6，10）代入y3x+3，得过且过103（m6）+3，解得m，D（，10）；如图，CPD90，且点D在PC上方，则DPPC，作DKAB交射线BA于点K，KB90，PDKCPB90DPK，PDKCPB（AAS），KPBC4，KDBPm+6，xD4+m+6m+2，yDm+4，D（m+2，m+4），将D（m+2，m+4）代入y3x+3，得m+43（m+2）+3，解得m，D（，），D（，）不在第三象限，D（，）不符合题意，舍去；如图，CPD90，且点D在PC下方，则DPPC，作DLAB交AB的延长线于点L，则DLPPBC，DPLPCB90BPC，PDLCPB（AAS），LPBC4，LDBP

74、m+6，xD4（m+6）10m，yDm4，D（10m，m4），将D（10m，m4）代入y3x+3，得m43（10m）+3，解得m，D（，），综上所述，点D的坐标为（，）或（，10）或（，）19（2022秋齐齐哈尔月考）综合与探究如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴相交于点C（0，）当x4和x2时，二次函数ya2+bx+c（a0）的函数值y相等，连接AC、BC（1）求抛物线的解析式；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另点也随之停止运动当运动时间为t秒时

75、，连接MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为 ，点P的坐标为 （1，）；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得ACF以AC为直角边的直角三角形？若不存在请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标【分析】（1）由对称性先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），将C坐标代入ya（x+3）（x1）即可；（2）先判断ABC为直角三角形，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；（3）因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，所以BMBNt，证四边形PMBN是菱形，设PM与y轴交于H，证CPNCAB，由相

76、似三角形的性质可求出t的值，CH的长，可得出点P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐标代入即可；（4）求出直线BC的解析式，如图2，当ACF90时，点B，C，F在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点即可；当CAF90时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可【解答】解：（1）在抛物线yax2+bx+c中，当x4和x2时，二次函数yax2+bx+c的函数值y相等，抛物线的对称轴为x1，又抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B两点，由对称性可知B（1，0），可设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），将C（0，）代入ya（x+3）（x1），得，3a，解得a，此抛物线的解析

77、式为y（x+3）（x1）x2x+；（2）ABC为直角三角形，理由如下：A（3，0），B（1，0），C（0，），OA3，OB1，OC，ABOA+OB4，AC2，BC2，AC2+BC216，AB216，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形；（3）点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，BMBNt，由翻折知，BMNPMN，BMPMBNPNt，四边形PMBN是菱形，PNAB，CPNCAB，设PM与y轴交于H，即，解得t，CH，OHOCCH，yP，设直线AC的解析式为ykx+，将点A（3，0）代入ykx+，得3k+0，解得k，直线AC的解析式为yx+，将yP代入yx

78、+，x1，P（1，），故答案为：，（1，）；（4）设直线BC的解析式为ykx+，将点B（1，0）代入ykx+得，k+0，解得k，直线BC的解析式为yx+，由（2）知ABC为直角三角形，ACB90，如图2，当ACF90时，点B，C，F在一条直线上，在yx+中，当x1时，y2，F1（1，2）；当CAF90时，AFBC，可设直线AF的解析式为yx+n，将点A（3，0）代入yx+n得，3x+n0，解得n3，直线AF的解析式为yx3，在yx3中，当x1时，y2，F2（1，2）；点F的坐标为F1（1，2），F2（1，2）20（2022秋双流区校级月考）如图1，平面直角坐标系中，直线yx+m交x轴于点A（4

79、，0），交y轴正半轴于点B（1）求AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，ABBC，P为射线AB（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由于yx+m交x轴于点A（4，0），求出m的值，可得出OA4，OB3，AB5，根据BCAB可得BC5，C（0，2），则可得出答案；（2）设点P（t，t+3），求出直线AC解析式为yx2，由于P在直线yx+3上，可得PQt+3（t2）5

80、t；（3）根据PQN是等腰直角三角形，设N（0，n），结合（2）列出方程即可求出点N的坐标【解答】解：（1）把A（4，0）代入yx+m得：m3，一次函数解析式为yx+3，令x0，得y3，B（0，3），在RtAOB中，AB2OA2+OB2，AB5，BCAB5，C（0，2），AOB的面积OBOA346；（2）设P（t，t+3），P为射线AB上一点，t4，设直线AC的解析式为ykx+b，代入A（4，0），C（0，2）得，yx2，又PQy轴，则Q（t，t2），PQt+3（t2）5t；d5t；（3）设N（0，n），过点N作NMPQ于点M，PQN是等腰直角三角形，PQy轴，点N在y轴上，当N为直角顶点时，

81、PNQ90，PNNQ，PQ2MN，PQ5t，P（t，t+3），5t2t，t，PQ2PM，5t2（t+3n），n或n，N（0，）当P为直角顶点时，PNPQ，t5t，nt+3，解得t，n，N（0，）当Q为直角顶点时，QNPQ，t5t，nt2，解得t，n，N（0，）综上所述：N（0，）或（0，）或（0，）21（2022秋大连月考）如图，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等

82、腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S（1）当t1时，PQR的边QR经过点B；（2）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围【分析】（1）PQR的边QR经过点B时，ABQ构成等腰直角三角形，则有ABAQ，由此列方程求出t的值；（2）在图形运动的过程中，有三种情形，当0t1时，当1t2时，当2t4时，进行分类讨论求出答案【解答】解：（1）PQR的边QR经过点B时，ABQ构成等腰直角三角形，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），AB3，ABAQ，即34t，t1即当t1秒时，PQR的边QR经过点B故答案为：1；（2）当0t1时，如答

83、图11所示设PR交BC于点G，过点P作PHBC于点H，则CHOP2t，GHPH3SS矩形OABCS梯形OPGC83（2t+2t+3）36t；当1t2时，如答图12所示设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T过点P作PHBC于点H，则CHOP2t，GHPH3QDt，则AQAT4t，BTBSABAQ3（4t）t1SS矩形OABCS梯形OPGCSBST83（2t+2t+3）3（t1）2t25t+19；当2t4时，如答图13所示设RQ与AB交于点T，则ATAQ4tPQ123t，PRRQ（123t）SSPQRSAQTPR2AQ2（123t）2（4t）2t214t+28综上所述，S关于t的函数关系式

84、为：S22（2022秋思明区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方（1）求这个二次函数及直线BC的表达式（2）过点P作PDy轴交直线BC于点D，求PD的最大值（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使MNO为等腰直角三角形，且NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将B（3，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，列方程组并且解该方程组求出b、c的值，设直线BC的表达式为ykx+3，则

85、3k+30，解方程求出k的值，得到二次函数的表达式为yx2+2x+3，直线BC的表达式为yx+3；（2）设P（x，x2+2x+3），则D（x，x+3），所以PDx2+2x+3（x+3）x2+3x（x）2+，即可求得PD的最大值为；（3）设N（m，m2+2m+3），先求得抛物线的对称轴是直线x1，设直线x1交x轴于点G，则G（1，0），MGx轴，作NFMG于点F，可证明FMNGOM，再分四种情况讨论，一是点M在x轴上方，且点N在直线OM左侧，可列方程m2+2m+3（1m）1；二是点M在x轴上方，且点N在直线OM右侧，可列方程m1（m2+2m+3）1；三是点M在x轴下方，且点N在直线OM右侧，可列

86、方程m2+2m+3（1m）1；四是点M在x轴下方，且点N在直线OM左侧，可列方程m1（m2+2m+3）1，分别求出相应的符合题意的m值，再求出对应的点N的纵坐标即可【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点B（3，0），C（0，3），解得，设直线BC的表达式为ykx+3，则3k+30，解得k1，二次函数的表达式为yx2+2x+3，直线BC的表达式为yx+3（2）如图1，设P（x，x2+2x+3），PDy轴交直线BC于点D，D（x，x+3），PDx2+2x+3（x+3）x2+3x，PDx2+3x（x）2+，当x时，PD最大，PD的最大值为（3）存在，设N（m，m2+2m+3），yx2+2x+

87、3（x1）2+4，抛物线yx2+2x+3的对称轴是直线x1，设直线x1交x轴于点G，则G（1，0），MGx轴，作NFMG于点F，则MFNOGM90，F（1，m2+2m+3），如图2，点M在x轴上方，且点N在直线OM左侧，NMO90，MNOM，FMNGOM90OMG，FMNGOM（AAS），MFOG1，FNGM1m，m2+2m+3（1m）1，解得m1，m2（不符合题意，舍去），GFGM+MF1+1，N（，）；如图3，点M在x轴上方，且点N在直线OM右侧，同理可得FMNGOM（AAS），MFOG1，FNGMm1，m1（m2+2m+3）1，解得m1，m2（不符合题意，舍去），GFGMMF11，N（，

88、）；如图4，点M在x轴下方，且点N在直线OM右侧，同理可得FMNGOM（AAS），MFOG1，FNGMm1，M（1，1m），m2+2m+3（1m）1，解得m1，m2（不符合题意，舍去），GFGMMF11，yNyF，N（，）；如图5，点M在x轴下方，且点N在直线OM左侧，同理可得FMNGOM（AAS），MFOG1，FNGM1m，M（1，m1），m1（m2+2m+3）1，解得m1，m2（不符合题意，舍去），GFGM+MF1+1，yNyF，N（，），综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）23（2022秋越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为

89、边向右作等腰直角ABC，BAC90，ABAC，二次函数的图象经过点C（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；（3）将ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到ABC，那么在二次函数图象上是否存在点P，使PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）过点C作CKx轴交于点K，证明ABOCAK（AAS），得OBAK2，AOCK1，即得点C的坐标为（3，1），用待定系数法有二次函数表达式为yx2x2；（2）由yx2x2可知抛物线的对称轴为直线x，且当直线

90、l将ABC的面积分为左部分比右部分2：1时，直线l平移的距离最远，设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，由B（0，2），C（3，1）可得直线BC解析式为yx+2，由A（1，0），C（3，1）可得直线AC解析式为yx，设点M的坐标为，点N坐标为，1t3，根据SCMNSABC，得（3t）（t+2t+），可解得直线l平移的距离最远是3；（3）分两种情况：当PCB90时，由B，B关于直线AC对称，可得BCB90，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，根据得点P的坐标为；当CBP90时，过B作BTx轴于T，由BOABTA（AAS），可得B（2，2），故BP解析式为yx，由得点P的坐标为（1，1

91、）或【解答】解：（1）过点C作CKx轴交于点K，如图：BAO+CAK90，BAO+OBA90，CAKOBA，又AOBAKC90，ABAC，ABOCAK（AAS），OBAK2，AOCK1，OKAO+AK1+23，点C的坐标为（3，1），将点C的坐标代入yx2+bx2得：19+3b2，解得：b，二次函数表达式为yx2x2；（2）由yx2x2可知抛物线的对称轴为直线x，且当直线l将ABC的面积分为左部分比右部分2：1时，直线l平移的距离最远，如图：设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，由B（0，2），C（3，1）可得直线BC解析式为yx+2，由A（1，0），C（3，1）可得直线AC解析式为y

92、x，设点M的坐标为，点N坐标为，1t3，直线l将ABC的面积分为左部分比右部分2：1，SCMNSABC，又AB，（3t）（t+2t+），解得或（舍去），直线l平移的距离最远是3；（3）在二次函数图象上存在点P，使PBC是以BC为直角边的直角三角形，理由如下：当PCB90时，如图：B，B关于直线AC对称，BCABCA45，BCB90，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，由得：或，点P的坐标为；当CBP90时，过B作BTx轴于T，如图：B，B关于直线AC对称，BAC90，BABA，BAOBAT，BOA90BTA，BOABTA（AAS），ATAO1，OBBT2，OTAO+AT2，B（2，2），由

93、知，BCB90，过B作BC的平行线，与抛物线的交点即为P，直线BC解析式为yx+2，B（2，2），BP解析式为yx，由得或，点P的坐标为（1，1）或，综上所述，点P的坐标为：或（1，1）或24（2022秋石阡县月考）如图1，一次函数ykx2（k0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数（x0）的图象交于点B（3，b），连接OB（1）b1，k1（2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD若四

94、边形OCBD的面积为3，求点C的坐标【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）需要分两种情况讨论，当点O为直角顶点和当点B为直角顶点时，分别求解即可；（3）由S四边形OCBDSCDB+SCDOCD（xOxB），即可求解【解答】解：（1）B（3，b）在反比例函数（x0）的图象上，b1，B（3，1），一次函数ykx2（k0）的图象过点B，13k2，k1，故答案为：1，1；（2）存在，理由如下：若OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：当点O为直角顶点时，过点O作OPOB，且OPOB，分别过点B，P作y轴的垂线，垂直于点E，F，BEOOFP90，BOE+FOPBOE+OBE90，FOPOBE，OBOP，BEOOFP（AAS），OEFP1，BEOF3，P（1，3），当点B为直角顶点时，连接PP，四边形OBPP是正方形，OBPP，且OBPP，P（4，2），综上，点P的坐标为（1，3）或（4，2）；（3）点C在直线AB上，设点C（m，m2），则点D（m，），S四边形OCBDSCDB+SCDOCD（xOxB）（+m+2）33，解得m或（舍去），C（，2）