专题22 最值问题中的瓜豆原理模型(原卷版).docx

1、专题22 最值问题中的瓜豆原理模型 【模型展示】特点瓜豆原理若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？结论： 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ； 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；如图，

2、P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系结论主动点、从动点到定点的距离

3、之比是定量【模型证明】解决方案如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？分析考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:

4、AM=2:1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2模型总结为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”【题型演练

5、】一、单选题1如图，在矩形纸片ABCD中，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是AB3CD2如图，在RtABC中，ABC90，ACB30，BC2 ，ADC与ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DECF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为()A1BCD23如图，等腰RtABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQOP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）ABC1D24如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋

6、转90，得到点，连接，则的最小值为()ABCD二、填空题5如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_6如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_，当点D运动到点H，此时线段BE的长为_7如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为_8如图，在RtABC中，BC

7、2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是_9如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE现给出以下结论：；直线；点E运动的路程是其中正确的结论是_（写出所有正确结论的序号）10如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为_三、解答题11在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C（0，4），求ABC的面积；

8、（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且CBA=CDE，求D点的坐标；（3）如图2，若CBA=60，以CD为边，在CD的右侧作等边CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离12如图所示，在中，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长13如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点将线段CD绕点D顺时针旋转60得到线段DE，连结BE（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长14如图，在中，D是BC的中点小明对图进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB

9、，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图所示 ；连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 （2）请在图中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值15如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在

10、AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；连结BD，求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式16如图所示，在等腰中，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，求点运动的路径长17如图所示，点，的半径为2，点是上的动点，点是的中点，求的最小值18如图所示，为等腰直角三角形，直角顶点在第二象限，点在轴上移动，以为斜边向上作等腰直角，我们发现直角顶点点随着点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式19如图1，在中，以点为圆心，为半径作圆点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，（1）求的度数，并证明；

11、（2）如图2，若点在上时，连接，求的长；（3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由20如图所示，在扇形中，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长21如图所示，在矩形中，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值22如图，在矩形ABCD中，连接BD，将绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为，旋转角为a（，且）(1)在旋转过程中，当落在线段BC上时，求的长；(2)连接、，当时，求；(3)在旋转过程中，若的重心为G，则CG的最小值=_23在菱形中，是对角线上的一点，连接（1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接如图，若，求的长（2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图，连接，点为的中点，连接，求的最大值24如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形点分别在轴和轴的正半轴上，连结，是的中点.(1)求OC的长和点的坐标；(2)如图2，是线段上的点，点是线段上的一个动点，经过三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标；以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长.