专题22二次函数与新定义综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（原卷版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题22二次函数与新定义综合问题 【例1】（2022湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线C1：yx2+2x3与抛物线C2：yax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，1）（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MNx轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值（3）如图，点E是点H关于抛物线对

2、称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【例2】（2022南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”例如，点（，）是函数yx图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”（1）在（2，）；（1，1）；（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数yax3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y（xn）22n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围【例3】

3、（2022春芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当axb且ba+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设hymaxymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当hymaxymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“”，如果不是，请在对应（）内画“”y2x （ ）；y2x+2 （ ）；yx2 （ ）（2）y关于x的一次函数ypx+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h3，求一次函数解析式；（3）若，当axb（ba+3）时，写出函数yax2bx+4的“极差函

4、数”h；并求4ah的取值范围【例4】（2022武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”例如，将点M（m+1，m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设xm+1，ym+1由得mx1将代入得y（x1）+1，整理得yx+2则直线yx+2是点M的运动路径【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（a，a2a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2

5、）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W始终过点A，点C的对应点为C）试确定点C运动路径所对应的函数表达式；）在直线x2的左侧，是否存在点C，使ACC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由一解答题（共20题）1（2022甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数例如：当m1时，函数y（x3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y（x+1）29（1）当m0时，一次函数yx+7关于点P的相关函数为 点A（5，6

6、）在二次函数yax22ax+a（a0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值（2）函数y（x2）2+6关于点P的相关函数是y（x10）26，则m （3）当m1xm+2时，函数yx26mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值2（2022江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”（1）若点P（3，p）是一次函数ymx+6的图象上的“梅岭点”，则m ；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m ；（2）若点P（p，2）是二次函数yx2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数yax2+bx+

7、c（a，b是常数，a0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足1x11，|x1x2|2，如果kb2+2b+2，请直接写出k的取值范围3（2022梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点（2，2）是函数y2x2的图象的“等值点”（1）函数y2x+2的图象的“等值点”坐标是 ；函数yx23x的图象的“等值点”坐标是 ；（直接填结果）（2）设函数y，yx+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C当ABC的面积为4时，求b的值4（2022洛阳模拟）定义：如果两个函

8、数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”（1）函数y1x+m与y2是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由（2）如图所示的是y|x2+2x|的图象，它是由二次函数yx2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的若y1x+m与y2|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围5（2022淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”例如在二次函数yx2的图象上，存在一点P（1，1）

9、，则P为二次函数yx2图象上的“互反点”（1）分别判断yx+3、yx2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由（2）如图，设函数y（x0），yx+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C当ABC的面积为5时，求b的值；（3）如图，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线lx轴，若函数yx2+2（xm）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围6（2022荷塘区校级模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两

10、点，且（x10x2），交y轴于点C，顶点为D（1）a1，b2，c4，求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足ACECBE，求ac的值7（2022秋海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点（1，1）是函数yx+的图象的“等值点”（1）判断函数yx+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）求函数yx22的图象的“等值

11、点”坐标；（3）若函数yx22（xm）的图象记为W1，将其沿直线xm翻折后的图象记为W2当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值8（2022秋长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”例如，点（，）是函数yx图象的“阶方点”；点（1，1）是函数yx图象的“1阶方点”（1）在（1，2）；（0，0）；（，1）三点中，是正比例函数y2x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数yax3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函

12、数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数yx2+（pt+1）x+q+t2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2p3时，q的最小值为t，求t的值9（2022秋如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”例如，点（1，1）是函数y4x+3图象的“1倍点”，点（，3）是函数y4x+3图象的“2倍点”（1）函数yx28的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线yax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N

13、的左侧）当a1时，求：c的取值范围（3）将函数yx28（xm）的图象记为W1，其沿直线xm翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围10（2022秋通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数例如：当n1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为（1）当n0时二次函数yx2关于点P的相关函数为 ；点A（2，3）在二次函数yax22ax+a（a0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值（2）函数关于点P的相关函数是，则n 11（2022秋如皋市校级月考）定义：一个函

14、数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”例如，点（1，1）是函数y4x+3图象的“1倍点”，点（，3）是函数y4x+3图象的“2倍点”（1）函数yx28的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线yax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）当a1时，求：c的取值范围；直接写出EMN的度数12（2022秋汉阴县校级月考）如图，已知抛物线yx2+2x+4交y轴于点C，顶点为D（1）求点C、D的坐标；（2）定义：若点P在某函数图象上

15、，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QMx轴，交x轴于点M，若Q点的横坐标为x，QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式13（2022红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”（1）如图1，BD平分ABC，ADBC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动点Q从点A出发，以

16、每秒5个单位长度的速度向点B运动P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线yax2+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D当四边形COBD为“和睦四边形”，且CDOC，求a的值14（2022工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”例如，点（1，1）是函数yx+2的图象的“好点”（1）在函数yx+3，yyx2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 ；（填序号）（2）设函数y（x0）与ykx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作ACy

17、轴，垂足为C当ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数yx2+2x的图象在直线ym下方的部分沿直线ym翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值15（2022海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线yaxa为抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 （2）如图，M为线段CB上一动点

18、，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由16（2022岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数yax+b（a0）图象上，点Q在反比例函数（c0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数yax2+bx+c为一次函数yax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”（1）若二次函数yx2+2x+1是一次函数yax+b与反

19、比例函数的“衍生函数”，则a ，b ，c ；（2）若一次函数yx+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；（3）若一次函数yax+2b（ab0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）试说明一次函数yax+2b图象上存在两个不同的“基点”；设一次函数yax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1x2|的取值范围17（2022庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，yax2+bx+c（a0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新

20、的点A1（x，x+y）他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点他们发现：二次函数yax2+bx+c（a0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为yax2+bx+c（a0）的“简朴曲线”例如，二次函数yx2+x+1的“简朴曲线”就是yx2+x+1+xx2+2x+1，请按照定义完成：（1）点P（1，2）的“简朴”点是 ；（2）如果抛物线yax27x+3（a0）经过点M（1，3），求该抛物线的“简朴曲线”；（3）已知抛物线yx2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0c3时，求n的取值范围18（2022香洲区

21、一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（ac0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C若线段OA、OB、OC的长满足OC2OAOB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线如图，抛物线yax2+bx+2（a0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA4OB（1）求抛物线的解析式；（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PDAC，垂足为D求PD的最大值；连接PC，当PCD与ACO相似时，求点P的坐标19（2022抚州模拟）我们约定a，b，c为二次函数yax2+bx+c（a0）的“相关数”特例感知“相关数”为1，4，3的二次

22、函数的解析式为y1x24x+3；“相关数”为2，5，3的二次函数的解析式为y22x25x+3；“相关数”为3，6，3的二次函数的解析式为y33x26x+3；（1）下列结论正确的是 （填序号）抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；抛物线y1，y2，y3与直线y3都有两个交点；抛物线y1，y2，y3有两个交点形成概念把满足“相关数”为n，n+3，3（n为正整数）的抛物线yn称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，yn抛物线yn与x轴的交点为An，Bn探究问题（2）“一簇抛物线”y1，y2，y3，yn都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 抛物线yn的顶点为n，是否存在正整数n，使AnBnn是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由当n4时，抛物线yn与x轴的左交点An，与直线y3的一个交点为Dn，且点Dn不在y轴上判断AnAn+1和DnDn+1是否相等，并说明理由20（2022兰山区二模）如图，直线l：ym与y轴交于点A，直线a：yx+m与y轴交于点B，抛物线yx2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m0）（1）当AB12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”当m2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数