专题23函数与矩形存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题23函数与矩形存在性问题 解题策略1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角为直角的四边形是矩形2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个下：同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确

2、定C或D的坐标.经典例题【例1】（2022春宾阳县期中）在四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8cm，AD24cm，BC26cm点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设P，Q运动的时间为ts（1）若点P和点Q同时运动了6秒，PQ与CD有什么数量关系？并说明理由；（2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；（3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，若存在，请直接写出值；若不存

3、在，请说明理由【分析】（1）根据t6可得PDCQ，从而得出四边形PDCQ为平行四边形，即可得出PQCD；（2）当APBQ时，四边形ABQP是矩形，得t263t，即可解决问题；（3）根据梯形的面积公式分别表示出四边形ABCD和PQBA的面积，列出方程，进而解决问题【解答】解：（1）PQCD，理由如下：由题意得：APtcm，CQ3tcm，AB8cm，AD24cm，BC26cm，AP（24t）cm，当t6时，DP18cm，CQ18cm，DPCQ，DPCQ，四边形PDCQ是平行四边形，PQCD；（2）在四边形ABCD中，ADBC，B90，当APBQ时，四边形ABQP是矩形，t263t，解得t6.5，当

4、t6.5时，四边形ABQP是矩形；（3）存在，由题意知，四边形ABCD的面积，四边形PQBA的面积4（t+263t）1048t，四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，1048t100，t【例2】（2022秋靖江市校级月考）如图，直线yx与双曲线y（k0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，4），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC3CD（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）点P是坐标轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出符合条件的所有P点的

5、坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A的坐标为（m，4）代入直线yx中，可求得A（3，4），即可求得k12，根据轴对称的性质即可求出点B的坐标；（2）如图1，作BEx轴于点E，CFx轴于点F，则BECF，DCFDBE，利用相似三角形性质即可求得C（12，1），作点B关于y轴的对称点B，连接BC交y轴于点G，则BC即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；（3）分两种情况：当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BEx轴于点E，通过OBEOP1B，建立方程求解即可；当点P在y轴上时，过点B作BNy轴于点N，如图2，设点P2的坐标为（0，b），利用BONP2O

6、B，建立方程求解即可【解答】解：（1）A（m，4）在直线yx上，m4，解得m3，A（3，4），A（3，4）在y上，k12，y，直线yx与双曲线y（k0），A、B关于原点对称，B（3，4）；（2）如图1，作BEx轴于点E，CFx轴于点F，BECF，DCFDBE，BC3CD，BE4，CF1，C（12，1），作点B关于y轴的对称点B，连接BC交y轴于点G，则BC即为BG+GC的最小值，B（3，4），C（12，1），BC3，BG+GCBC3；故GB+GC的最小值为3；（3）（3）存在理由如下：当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BEx轴于点E，OEBOBP190，BOEP1O

7、B，OBEOP1B，B（3，4），OB5，a，点P1的坐标为（，0）；当点P在y轴上时，过点B作BNy轴于点N，如图2，设点P2的坐标为（0，b），ONBP2BO90，BONP2OB，BONP2OB，即，b，点P2的坐标为（0，）；综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）【例3】（2022黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）经过原点O的抛物线yx2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MNy轴且MN2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是

8、平面直角坐标系内一点是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；（2）设直线AB的解析式为ykx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据MN2解方程可得答案；（3）分AC为边和对角线两种情况进行讨论：根据平移的性质，三角形相似的性质和判定，两点的距离公式可得结论【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），解得：，抛物线的解析式为：yx2+4x；（2）直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），直线AB的解析式为：yx+4，MNy轴，设M（t

9、，t+4），N（t，t2+4t），其中0t4，当M在N点的上方时，MNt+4（t2+4t）t25t+42，解得：t1，t2（舍），M1（，），当M在N点下方时，MNt2+4t（t+4）t2+5t42，解得：t12，t23，M2（2，2），M3（3，1），综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；（3）存在，如图2，若AC是矩形的边，设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，C（1，3），D（2，4），CD，同理得：CR，RD2，CD2+CR2DR2，RCD90，点P1与点D重合，当CP1AQ1，CP1AQ1时

10、，四边形ACP1Q1是矩形，C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），此时直线P1C的解析式为：yx+2，直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），直线P2A的解析式为：yx4，点P2是直线yx4与抛物线yx2+4x的交点，x2+4xx4，解得：x11，x24（舍），P2（1，5），当ACP2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），P2（1，5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（4，2）；如图3，若AC是矩形的对角线，设P3（m，m2+4

11、m）当AP3C90时，过点P3作P3Hx轴于H，过点C作CKP3H于K，P3KCAHP390，P3CKAP3H，P3CKAP3H，点P不与点A，C重合，m1或m4，m23m+10，m，如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），当P3CAQ3，P3CAQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），当P4CAQ4，P4CAQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；综上，点Q的

12、坐标为（5，1）或（4，2）或（，）或（，）【例4】（2022秋绵阳校级月考）如图，抛物线yx24x+3与坐标轴交于A、B、C三点，过点B的直线与抛物线交于另一点E，若经过A、B、E三点的M满足EAM45（1）求直线BE的解析式；（2）若D点是直线BE下方的抛物线上一动点，连接BD和ED，求BED面积的最大值；（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出Q点坐标【分析】（1）设线段BC的垂直平分线与抛物线的对称轴交于点M，设M（2，a），想办法求出点M的坐标，再证明MBC是等腰直角三角形，再作点C关于直线x2的对称点E（4，

13、3），根据对称性可知：EAM45，最后利用待定系数法即可解决问题（2）过点D作DMy轴交BE于点M，设点D（m，m24m+3），则N（m，m1），根据三角形的面积公式可得出结论；（3）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标【解答】解：（1）令y0，则x24x+30，解得x11，x23，点A（3，0），B（1，0），令x0，则y3，点C（0，3），设线段BC的垂直平分线与抛物线的对称轴交于点M，设M（2，a），MBMC，（21）2+a222+（3a）2，解得a2，点M（2，2），BC，MC，BM，BC2MC2+BM2，CMB90，MCMB，MCB是等腰直角三角形，MBC45，作

14、点C关于直线x2的对称点E，则E（4，3）在抛物线上，根据对称性可知：EAMMBC45设直线BE的解析式为ykx+b（k0），则，解得，直线BE的解析式为yx1（2）如图，过点D作DNy轴交BE于点N，设点D（m，m24m+3），则N（m，m1），SBDE（xExB）|DN|3m1（m24m+3）（m）2+，当m时，SBDE取最大值；此时D（，）；（3）存在，理由如下：根据轴对称的公式可知，x2，设P（2，y），Q（m，n），由（1）知A（3，0），C（0，3），AC3，AP212+y2，CP222+（y3）2，若AP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，Q（5，y3），又ACP90，AC2

15、+CP2AP2，即：18+22+（y3）212+y2，解得y5，Q（5，2），若CP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，Q（1，y+3），又CAP90，AC2+AP2CP2，即：18+12+y222+（y3）2，解得y1，Q（1，2），若AC为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又APC90，AP2+CP2AC2，即：12+y2+22+（y3）218，解得y+或y，Q（1，+）或Q（1，）综上，点Q的坐标为（5，2）或（1，2）或（1，+）或（1，）培优训练一解答题1（2022秋铁东区校级月考）如图，已知二次函数yax2（a0）与一次函数ykx2的图象相交于A（1，1），B两点（1）求

16、a，k的值及点B的坐标；（2）在抛物线上求点P，使PAB的面积是AOB面积的一半；（写出详细解题过程）（3）点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由【分析】（1）根据待定系数法即可求得，联立解析式，解方程组即可求得B的坐标；（2）设直线AB交y轴于C，取OC的中点D，在OC的延长线截取CECD，作DMAB，交抛物线于P1，P2，作CNAB，交抛物线于P3，P4，求出DM和CE的解析式，进而和抛物线联立，进一步求得结果；（3）分为矩形AMNB、矩形ABMN、矩形AMBN（M在直线AB上方和下方的抛物线上）当矩形AMN

17、B时，点M和点O重合；当矩形ABMN时，作BCy轴，作ACBC于C，作MDBC于D，可证得BDM是等腰直角三角形，进一步求得点M的坐标，当矩形AMBN，点M在AB上方的抛物线上时，作MCx轴，作ACMC于C，作BDMC于D，可得BDMMCA，从而，即，进而求得m的值，进一步得出结果【解答】解：（1）yax2过点A（1，1），1a1，解得a1，一次函数ykx2的图象相过点A（1，1），1k2，解得k1；解得或，B的坐标为（2，4）；（2）如图1，设直线AB交y轴于C，取OC的中点D，在OC的延长线截取CECD，作DMAB，交抛物线于P1，P2，作CNAB，交抛物线于P3，P4，ODP1OCA，S

18、AOB，C（0，2，），D（0，1），E（0，3），直线DM的解析式为yx1，由得，点P1（，）或P2（，）；同理可得，点P3（，）或P4（，）；综上所述，点P（，）或（，）或（，）或（，）；（3）当矩形MABN是矩形时，MAB90，由x2x2得，x11，x22，B（2，4），OB220，A（1，1），AB218，OA22，AB2+OA2OB2，OAB90，点M和点O重合，M（0，0），如图2，当矩形ABMN时，ABM90，作BCy轴，作ACBC于C，作MDBC于D，ACBC3，ABC是等腰直角三角形，BDM是等腰直角三角形，DMBD，设M（m，m2），BD4+m2，DM2m，4+m22m，m

19、12，m23，M（3，9），如图3，当点M在AB上方的抛物线上时，当AMB90 时，作MCx轴，作ACMC于C，作BDMC于D，同理可得：BDMMCA，m，当m时，y，M（，），当m，y，M（，），如图4，当点M在AB下方的抛物线上，当AMB90时，同理可得，m，当m时，y，M（，），当m时，y，M（，），综上所述：M（0，0）或（3，9）或（，）或（，）或（，）或（，）2（2022秋坪山区校级月考）如图，直线yx与双曲线y（k0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC2CD（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y

20、轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A的坐标为（m，3）代入直线yx中，可求得A（2，3），即可求得k6，解方程组，即可求出点B的坐标；（2）如图1，作BEx轴于点E，CFx轴于点F，则BECF，DCFDBE，利用相似三角形性质即可求得C（6，1），作点B关于y轴的对称点B，连接BC交y轴于点G，则BC即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；（3）分两种情况：当点P在x的正半轴上时，当点P在x的

21、负轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BEx轴于点E，通过OBEOP1B，建立方程求解即可【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，3）代入直线yx中，得3m，解得：m2，A（2，3），k2（3）6，反比例函数解析式为y，由，得或，点B的坐标为（2，3）；（2）如图1，作BEx轴于点E，CFx轴于点F，BECF，DCFDBE，BC2CD，BE3，CF1，C（6，1），作点B关于y轴的对称点B，连接BC交y轴于点G，则BC即为BG+GC的最小值，B（2，3），C（6，1），BC2，BG+GCBC2；（3）存在理由如下：当点P在x的正半轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B

22、作BEx轴于点E，OEBOBP190，BOEP1OB，OBEOP1B，B（2，3），OB，a，点P1的坐标为（，0），当点P在x的负轴上时，如图2，设点P2的坐标为（a，0），过点A作AHx轴于点H，同理证得点P2的坐标为（，0），当四边形AP3BQ3或是矩形四边形AP4BQ4时，OAOP4，点P的坐标为（，0）或（，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）3（2022锦州二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA3，OC4，抛物线yax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（1，0）和点E（1）求抛物线的表达式；（2）若P是

23、第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）利用矩形的性质结合OA，OC的长度可得出点A，C，B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点E的坐标，过点P作PFx轴于点F，设点P的坐标为（m，m2+3m+4）（0m4），利用S四边形OCPES梯形OCPF+SAPE，即可得出S四边形OCPE关于m的函数关系式

24、，再利用二次函数的性质，即可求出结论；（3）利用二次函数的性质，可得出抛物线对称轴为直线直线x，利用待定系数法可求出直线CD的表达式，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，利用CNCD或DNCD可得出CN或DN的表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点M的坐标；当CD为对角线时，设线段CD的中点为G，过点G作GH抛物线对称轴于点H，利用勾股定理可求出HN的长度，进而可得出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点M的坐标【解答】解：（1）四边形OABC为矩形，且OA3，OC4，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，

25、4）将B（3，4），D（1，0）代入yax2+bx+4，得：，解得：，抛物线的表达式为yx2+3x+4（2）当y0时，x2+3x+40，解得：x11，x24，点E的坐标为（4，0），OE4过点P作PFx轴于点F，如图1所示设点P的坐标为（m，m2+3m+4）（0m4），则S四边形OCPES梯形OCPF+SAPE（OC+PF）OF+FEPF（4m2+3m+4）m+（4m）（m2+3m+4）2m2+8m+82（m2）2+16，20，m2时，S四边形OCPE取得最大值，最大值16，此时点P的坐标为（2，6），当四边形OCPE的面积最大时，点P的坐标为（2，6），此时四边形OCPE的最大面积是16（3

26、）抛物线的表达式为yx2+3x+4，抛物线的对称轴为直线x利用待定系数法可求出直线CD的表达式为y4x+4，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，若四边形DCNM为矩形，则直线CN的解析式为yx+4，点N的坐标为（，），点M的坐标为（1+0，0+4），即（，）；若四边形CDNM为矩形，则直线DN的解析式为yx，点N的坐标为（，），点M的坐标为（0+（1），40），即（，）；当CD为对角线时，设线段CD的中点为G，过点G作GH抛物线对称轴于点H，如图3所示点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，0），点G的坐标为（，2），点H的坐标为（，2），GH（）2又以点C，D，M，N为顶点

27、的四边形是矩形，即OCN为直角三角形，GNOC，HN，点N的坐标为（，）或（，）当点N的坐标为（，）时，点M的坐标为（1+0，0+4），即（，）；当点N的坐标为（，）时，点M的坐标为（1+0，0+4），即（，）综上所述，在平面内存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）4（2022铁锋区三模）综合与探究已知：如图，二次函数yax2+bx+c的图象的顶点为D（1，4），与x轴交于B，A两点，与y轴交于点C（0，3），点E为抛物线对称轴上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）当ACE的周长最小时，点E的坐标为 （1，2）；（3）当点E在x轴

28、上方且BAEBDE时，试判断CE与BD的位置关系，并说明理由；（4）若点N是y轴上的一点，坐标平面内是否存在P，使以D、B、N、P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设二次函数的解析式为顶点式，将点C坐标代入，进一步求得结果；（2）点A关于对称轴的对称点时B，所以连接BC交对称轴于E，可求得BC的解析式，将x1代入求得点E的纵坐标，从而得出结果；（3）可根据tanBAEtanBDE得出，从而求得EF，进而求得CE和BD的解析式，从而得出结果；（4）分为BD是边和对角线两种情形当BD为边时，可根据相似三角形或三角函数关系式得出ON，从而

29、得出N点的坐标，进而求得P点坐标；当BD为对角线时，利用对角线互相平分且相等，列出方程，求得N的坐标，进而得出点P坐标【解答】解：（1）设ya（x+1）2+4，把x0，y3代入得，a+43，a1，y（x+1）2+4；（2）连接BC，交对称轴于E，此时ACE的周长最小，由（x+1）24得，x1或x3，B（3，0），直线BC的解析式为：yx+3，当x1时，y1+32，点E（1，2），故答案为：（1，2）；（3）如图1，BAEBDE，tanBAEtanBDE，EF1，E（1，1），C（0，3），直线CE的解析式为：y2x+3，B（3，0），D（1，4），直线BD的解析式为：y2x+6，BDCE；（4

30、）如图2，存在点P，是以D、B、N、P为顶点的四边形是矩形：当矩形DBNP时，（图中矩形DBN1P2），可得tanN1BOtanBDF，ON1，N1（0，），P1（2，）；当矩形BDN2P2时，同理可得：N2（0，），P2（2，），当矩形BNDP时，可知BD的中点坐标为：（2，2），设点N（0，m），由PNBD得，22+（m2）2（）2，m1或m3，N3（0，1），则P3（4，3），N4（0，3），则P4（4，1），综上所述：P（2，）或（2，）或（4，3）或（4，1）5（2022齐齐哈尔三模）综合与实践如图，二次函数yx2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为

31、（0，2），过点A、C的直线交二次函数的图象于点D（1）求二次函数和直线AC的函数表达式；（2）连接DB，则DAB的面积为 6；（3）在y轴上确定点Q，使得AQB135，点Q的坐标为 （0，22）或（0，22）；（4）点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法可求出c的值，进而可得出二次函数的表达式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，再由点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式；（2）联立直线AC和抛物线的

32、函数表达式可求出点D的坐标，再结合点A，B的坐标，利用三角形的面积计算公式，即可求出DAB的面积；（3）当点Q在y轴正半轴轴时，过点Q作QEAC于点E，根据各角之间的关系可得出AQ平分OAC，利用角平分线的性质及面积法，可求出OQ的长，进而可得出点Q的坐标；当点Q在y轴负半轴时，利用对称性可得出点Q的坐标；（4）连接BC，则ADBC，分四边形ADMN为矩形及四边形ADNM为矩形两种情况考虑：当四边形ADMN为矩形时，利用平行线的性质及待定系数法可求出直线DM的函数表达式，联立后可求出点M的坐标，再利用矩形的性质可求出点N的坐标；当四边形ADNM为矩形时，利用平行线的性质及待定系数法可求出直线A

33、M的函数表达式，联立后可求出点M的坐标，再利用矩形的性质可求出点N的坐标【解答】解：（1）将B（2，0）代入yx2+c得：04+c，解得：c4，二次函数的表达式为yx2+4当y0时，x2+40，解得：x12，x22，点A的坐标为（2，0）设直线AC的函数表达式为ykx+b（k0），将A（2，0），C（0，2）代入ykx+b得：，解得：，直线AC的函数表达式为yx+2（2）联立直线AC和抛物线的函数表达式得：，解得：，点D的坐标为（1，3），SABD|2（2）|3|6故答案为：6（3）当点Q在y轴正半轴轴时，过点Q作QEAC于点E，如图1所示点A，B关于y轴对称，AQBQ，AQB135，BAQ（

34、180135）22.5点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2），OAOC2，OAC（18090）45，ACOA2，CAQOACBAQ4522.522.5BAQ，AQ平分OAC，OQEQSACQCQOAACEQACOQ，（2OQ）22OQ，OQ22，点Q的坐标为（0，22）当点Q在y轴负半轴时，点Q的坐标为（0，22）.故答案为：（0，22）或（0，22）（4）连接BC，则ACBC，即ADBC，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式yx+2分两种情况考虑，如图2所示当四边形ADMN为矩形时，设直线DM的函数表达式为yx+m，将D（1，3）代入yx+m得：1+m3，解得：m4，直线DM的函

35、数表达式为yx+4联立直线DM和抛物线的函数表达式得：，解得：，点M的坐标为（0，4），又四边形ADMN为矩形，点N的坐标为（2+01，0+43），即（3，1）；当四边形ADNM为矩形时，同理可得出直线AM的函数表达式为yx2，联立直线AM和抛物线的函数表达式得：，解得：，点M的坐标为（3，5），又四边形ADNM为矩形，点N的坐标为（1+3（2），350），即（6，2）综上所述，存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形，点N的坐标为（3，1）或（6，2）6（2022春大同期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y2x1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2

36、：yx+1与x轴，y轴分别交于点P，C，连接AC，直线l1，l2交于点D（1）求点D的坐标，并直接写出不等式2x1x+1的解集（2）求ACD的面积（3）若点E在直线l1上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）联立l1与l2的表达式可得点D的坐标，根据图象即可求解；（2）由ACD的面积SBCDSABC，即可求解；（3）设E（m，2m1），分两种情况讨论，由矩形的性质可求解【解答】解：（1）联立l1与l2的表达式得：，解得：，点D（，），由图象得：不等式2x1x+1的解集为x；（2）直线l1

37、：y2x1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：yx+1与x轴，y轴分别交于点P，C，点A（，0）、B（0，1），C（0，1）、P（2，0），则BC2，D（，），ACD的面积SBCDSABC22；（3）设E（m，2m1），B（0，1），C（0，1），BC24，CE2m2+（2m11）25m28m+4，BE2m2+（2m1+1）25m2，如图，当BC为对角线时，以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，BEC90，BC2CE2+BE2，5m28m+4+5m24，m0（舍去）或，E（，），点F（，），如图，当BC为边时，以点E，C，B，F为顶点的四边形是矩形，BCF90，BE2CE2+BC2，5m

38、28m+4+45m2，m1，E（1，1），点F（1，2），综上所述：点F坐标为（，）或（1，2）7（2022春平南县期末）如图，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，ODE是OCB绕点O顺时针旋转90得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，点B的坐标为（2，4）（1）求直线BD的表达式；（2）求DEH的面积；（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出D点坐标，由待定系数法可求出答案；（2）求出直线OE的解析式，联立直线OE和直线BD的解析式可求出H点的坐标，

39、根据三角形面积公式可得出答案；（3）分两种情况，由矩形的性质可求出答案【解答】解：（1）B（2，4），BC2，OC4，ODE是OCB绕点O顺时针旋转90得到的，ODOC4，DEBC2，D（4，0），设直线BD解析式为ykx+b，把B、D坐标代入可得，解得，直线BD的解析式为yx+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE的解析式为ymx，4m2，m，直线OE的解析式为yx，联立，解得，H（，），DEH的面积；（3）当点M在x轴上时，MFBD，则直线MF的表达式为：yx+，当y0，x，即点M（，0），点F向右平移4个单位向下平移单位得到D，则点M向右平移4单位向下平移单位得到N，则点N（，）；

40、当FMD90时，则可知M点为O点，如图，四边形MFND为矩形，NFOD4，NDOF，N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，）或（4，）8（2022春东川区期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABC90，ADCD13cm，BC12cm，M、N是线段AB、CD上两动点，M点从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB方向运动，N点从点D出发，以每秒1cm的速度沿DC方向运动，M、N同时出发，同时停止，当M运动到点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求AB的长；（2）当t为何值时，四边形AMCN为平行四边形？（3）在M、N运动的过程中，是否存在四边形MBCN是矩形，若存在，请

41、求出的t值；若不存在，请说明理由【分析】（1）过点C作AD的平行线CP交AB于点P，根据平行四边形的性质得到APDC13cm，ADPC13cm，根据勾股定理得到，于是得到ABAP+PB13+518（cm）；（2）根据平行四边形的性质列方程即可得到结论；（3）根据矩形的性质列方程得到182t13t，t5（秒），根据矩形和平行四边形的判定即可得到结论【解答】解：（1）如图1，过点C作AD的平行线CP交AB于点P，ABCD，四边形APCD是平行四边形，APDC13cm，ADPC13cm，在直角三角形PBC中，ABAP+PB13+518（cm）；（2）如图2，AMNC，当AMNC时，四边形AMCN是平

42、行四边形，即：13t2t，（秒），当秒时，四边形AMCN是平行四边形；（3）如图3，在M、N运动的过程中，存在四边形MBCN是矩形，理由如下：当BMCN时，四边形MBCN是矩形，182t13t，t5（秒），当t5秒时，BMABAM18528（cm），CNDCDN13518（cm），BMCN，ABCD，四边形MBCN是平行四边形，ABC90四边形MBCN是矩形9（2022春鄂城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是线段OA上一点，把COB沿直线BC翻折，点O恰好落在AB上的点D处，BC为折痕（1）求线段AB的长；（2）求直线BC的解析式；（3）若M是

43、射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A，B，M，P为顶点的四边形是以AB为一边的矩形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出A（8，0），B（0，6），即可求AB10；（2）由翻折可知：OBCDBC，则OCCD，BDOB6，ADABBD4，设OCx，则CDxAC8x，在RtACD中，由勾股定理得x2+42（8x）2，解得：x3，则C（3，0），即可求直线BC的解析式是y2x+6；（3）当AB为矩形的边时，则有AB2+AM12BM12，设M1（m，2m+6），则AM125m240m+100，BM125m2，所以100+5m240m+1005m2，解得m5

44、，则M1（5，4），根据平移规律可得P1（3，2）【解答】解：（1）对于直线yx+6，当x0时，y6，当y0时，x8，A（8，0），B（0，6），在直角AOB中，AB10；（2）由翻折可知：OBCDBC，OCCD，BDOB6，ADABBD4，设OCx，则CDxAC8x，在RtACD中，由勾股定理得x2+42（8x）2，解得：x3，即OC3，则C（3，0），设直线BC解析式为ykx+b，将点B（0，6），C（3，0）代入ykx+b，可得，解得：k2，b6，直线BC的解析式是y2x+6；（3）当AB为矩形的边时，如图所示，矩形AM1P1B，则有AB2+AM12BM12，点M1在直线BC：y2x+6

45、上，设M1（m，2m+6），则m0，AM12（8m）2+（2m+6）25m240m+100，BM12m2+（6+2m6）25m2，AB2+AM12BM12，100+5m240m+1005m2，解得m5，M1（5，4），A（8，0），B（0，6），根据平移规律可得P1（3，2）；满足条件的P点的坐标为（3，2）10（2022春叙州区期末）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（1，2），ODE是OCB绕点O顺时针旋转90得到，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F（1）求直线BD的解析式；（2）求BCF的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四

46、边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据旋转的性质得出D点的坐标，再用待定系数法求出直线BD的解析式即可；（2）根据直线BD的解析式求出F点的坐标，根据B点和C点的坐标得出BC和CF的长度，即可计算面积；（3）分MFD90，MDF90，FMD90三种情况分别讨论求出点N的坐标即可【解答】解：（1）ODE是OCB绕点O顺时针旋转90得到的，ODOC2，DEBC1，D（2，0），设直线BD的解析式为ykx+b，把B点和D点的坐标代入可得，解得，直线BD的解析式为yx+；（2）由（1）知，直线BD的解析式为yx+，F（0，），B（1，2），BCOA，CF2，S

47、BCFBCCF1；（3）存在，以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，DFM是直角三角形，当MFD90时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图，由（2）可知，OF，OD2，FMO+MFO90，FMO+FDO90，MFOFDO，又MOFFOD90，MOFFOD，即，解得OM，M（，0），且D（2，0），G（，0），设N点的坐标为（x，y），则，解得x，y，此时N点的坐标为（）；当MDF90时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图，同理，FODDOM，即，解得OM3，M（0，3），且F（0，），MGMF，则OGOMMG3，G（0，），设N点的坐标为（x，y），则，解得x2，y，此时

48、N（2，）；当FMD90时，则可知M点为O点，如图，四边形MFND为矩形，NFOD2，NDOF，此时N（2，）；综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为（，）或（2，）或（2，）11（2022春梁子湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点B点C是线段OA上一点，把COB沿直线BC翻折，点O恰好落在AB上的点D处，BC为折痕（1）求线段AB的长；（2）求直线BC的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A，B，M，P为顶点的四边形是以AB为一边的矩形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）分别求出A、B点坐标

49、，即可求解；（2）由折叠可知OCCD，OBCD，在RtACD中，（8OC）2CO2+42，求出OC可知C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；（3）设M（t，2t+6），（t0），P（x，y），当以AB为矩形的一边时，BM为矩形的对角线，则，过点M作EFx轴，过点A作AFEF交于F，过点P作PEEF交于点E，可得AMFMPE，则有，求得t5，再求P点坐标即可【解答】解：（1）令x0，则y6，B（0，6），令y0，则x8，A（8，0），AB10；（2）由折叠的性质可知，OCCD，OBCD，OB6，BD6，AB10，AD4，在RtACD中，AC2CD2+AD2，（8OC）2CO2+42，C

50、O3，C（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，y2x+6；（3）存在点P，使以A，B，M，P为顶点的四边形是以AB为一边的矩形，理由如下：设M（t，2t+6），（t0），P（x，y），当以AB为矩形的一边时，BM为矩形的对角线，过点M作EFx轴，过点A作AFEF交于F，过点P作PEEF交于点E，AMP90，PME+AMF90，AMF+MAF90，AMFPME，AMFMPE，AF2t6，MF8t，PEy+2t6，EMtx，解得t5，x3，y2，P（3，2）12（2022牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，ADBC，BD平分ABC，交AO于点

51、E，交AC于点F，CAODBC若OB，OC的长分别是一元二次方程x25x+60的两个根，且OBOC请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y（k0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）解方程的两个根就是OB，OC的长，再根据在x轴的正半轴上还是负半轴上就可以得到坐标；（2）根据题意得BACBCA，所以ABBC5，又因为ADBC，所以ADBDBC，即ABDADB，所以ABAD5，再根据勾股定理

52、得AO的长，从而求解；（3）先由勾股定理求出BD的长，再分两种情况：当BD是矩形一边，又分BD是短边和长边时计算；当BD是对角线时，以BD为半径作圆，可得符合题意的两个矩形进行计算，详情见解答过程【解答】解：（1）由x25x+60，解得x12，x23，OB，OC的长分别是方程的两个根，且OBOC，OB3，OC2B（3，0），C （2，0）；（2）AOBC，AOB90，CAODBC，CAO+AFBDBC+AOB，AFBAOB90BD平分ABC，ABDDBC，AFB90，BACBCA，ABBC5，ADBC，ADBDBC，ABDADB，ABAD5，在RtABO中，AO4，D（5，4），反比例函数解析

53、式为：y；（3）存在，N4（3，12），N5（，），N 6（，），理由：过点D作DGx轴于点G，B（3，0），D（5，4），BG8，DG4，BD4，使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形，当BD是矩形一边，且是短边时，即图中矩形BDM1N1和矩形BDM4N4，由BD：N1B2：3，得N1B6，过点N1作N1Hx轴于点H，由一线三等角易得BDGN1BH，根据相似三角形三边对应成比例得：BH6，N1H12，OHOB+BH3+69，N1（9，12），同理得点N4（3，12），当BD是矩形一边，且是长边时，即图中矩形BDM2N2和矩形BDM3N3，方法同上，得点N2（，），N3（，）；

54、当BD是对角线时，如下图：以BD为半径作圆，矩形BN5DM5，BN6DM6即为符合题意矩形，当BN5：N5D2：3时，过点N5作KLx轴，过点B作BKKL于点K，过点D作DLKL于点L，由一线三等角易得BKN5DLN5，BKN5L，KN5LD，设N5Lx，LDy，BKx，KN5y，N5L+KN58，DLBK4，解得：，KN5y，N5的横坐标3，同理得N5的纵坐标；再同理得：当BN5：N5D3：2时，N6（，）综上所述：在第四象限内点N的坐标为N4（3，12），N5（，），N 6（，）13（2022春岳麓区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线ymx+6交y轴于点C，交x轴于点D，且ADOD，

55、以OA和OC为邻边作矩形OABC，已知点B（4，6），点E是直线AB上一动点（1）求m的值；（2）如图1，若EDC45，求点E的坐标；（3）若点M为射线DB上一点，点N为坐标平面内任意一点，是否存在以C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）如图1，根据矩形的性质和ADOD确定点D的坐标为（2，0），代入直线ymx+6中可得m的值；（2）过E作EHCD于H，过H作HKx轴于K，过E作ETHK于T，证明ETHHKD，得ETHK，HTDK，设ETHKa，HTDKb，可得E（4，a+b），H（a4，a），将H（a4，a）代入y3x+6得a3，故

56、E（4，4）；（3）设M（t，3t6），N（c，d），又C（0，6），D（2，0），分三种情况：根据矩形对角线互相平分且相等列方程，分别解方程组即可【解答】解：（1）四边形OABC是矩形，且B（4，6），OA4，ADOD，D（2，0），把D（2，0）代入直线ymx+6中得：2m+60，解得：m3；答：m的值是3；（2）过E作EHCD于H，过H作HKx轴于K，过E作ETHK于T，如图：由C（0，6），D（2，0）得直线CD解析式为y3x+6，EDC45，EHD是等腰直角三角形，EHDH，DHK90EHTTEH，ETH90HKD，ETHHKD（AAS），ETHK，HTDK，设ETHKa，HTDKb

57、，TKHT+HKb+aAE，OKOAAK4a，E（4，a+b），H（a4，a），ETAK，ADOAOD422，ba2，E（4，2a2），将H（a4，a）代入y3x+6得：a3（a4）+6，解得a3，E（4，4）；（3）存在以C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，理由如下：由B（4，6），D（2，0）得直线BD解析式为y3x6，设M（t，3t6），N（c，d），又C（0，6），D（2，0），若MN、CD为对角线，则MN、CD的中点重合，且MNCD，解得（舍去）或，N（，）；若MC、ND为对角线，则MC、ND的中点重合，且MCND，解得（舍去），这种情况不存在；若MD、NC若对角线，则MD、NC的中

58、点重合，且MDNC，解得，N（，），综上所述，N的坐标为：（，）或（，）14（2022春槐荫区期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线ykx+15（k0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B线段CD平行于x轴，交直线yx于点D，连接OC，AD（1）填空：k3，点A的坐标是 （5，0）；（2）求证：四边形OADC是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止设两个点的运动时间均为t秒当t1时，CPQ的面积是 12；是否存在t的值使得四边形C

59、PAQ为矩形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值，确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；（2）求出A、D点坐标，根据CDOA，CDOA，即可证四边形OADC是平行四边形；（3）作CHOD于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可确定CPQ的面积；先证四边形CPAQ为平行四边形，根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可【解答】解：（1）直线ykx+15（k0）经过点C（3，6），3k+156，解得：k3，即直线的解析式为：y3x+15，当y0时，x5，A（5.0），故答案为：3，（

60、5，0）；（2）线段CD平行于x轴，D点的纵坐标与C点一样，又D点在直线yx上，当y6时，x8，即D（8，6），CD835，OA5，OACD，又OACD，四边形OADC是平行四边形；（3）作CHOD于H，H点在直线yx上，设H点的坐标为（m，m），CH2（m3）2+（m6）2，DH2（m8）2+（m6）2，由勾股定理，得CH2+DH2CD2，即（m3）2+（m6）2+（m8）2+（m6）252，整理，得：m或8（舍去），CH3，OD10，当t1时，PQODtt10118，SCPQPQCH8312，故答案为：12；由（2）知四边形OADC是平行四边形，OD与AC互相平分，又P点和Q点的运动速度相

61、同，PQ与AC互相平分，四边形CPAQ为平行四边形，OD10，当0t5时，PQ102t，当5t10时，PQ2t10，若当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，则PQAC，AC2，当0t5时，102t2，解得t5，当5t10时，2t102，解得t5+，综上，存在t的值使得四边形CPAQ为矩形，此时t的值为5或5+15（2022武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：yx2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（6，0）、B（2，0）两点（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面

62、直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；（2）存在，根据题意求得抛物线L2的表达式，再与抛物线L1联立，求得点C的坐标，进而求得点D的坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在x轴下方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可【解答】解：（1）把A（6，0）、B（2，0）代入yx2+bx+c中，得，解得，抛物线L1的函数表达式为yx24x+12；（2）存在，理由如下：yx24x+12（x+2）

63、2+16，抛物线L2的函数表达式为y（x+24）2+16（x2）2+16x2+4x+12，令x24x+12x2+4x+12，解得：x0，当x0时，yx24x+1212，点C的坐标为（0，12），点D是点C关于x轴的对称点，点D坐标为（0，12），当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则yMyC，即x2+4x+1212，解得：x10，x24，M1（4，12）；当M在x轴下方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则yMyD，即x2+4x+1212，解得：x12+2，x222，M2（2+2，12），M3（22，12）综上所述，在抛物线L2

64、上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为（4，12）或（2+2，12）或（22，12）16（2022阳明区校级模拟）如图，直线AB，CD分别与x轴交于B，C两点，与y轴交于A，D两点，且EADEDA，线段OB，OC的长分别是方程x28x+120的两根，并且OBOA（1）求点D的坐标；（2）求过点E的反比例函数解析式；（3）若点M在坐标轴上，平面是否存在点N，使得以A，E，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出满足条件的点N的个数，并任意写3个满足条件的点N的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）解方程求出OB，OC，再根据数量关系得出OA，利用三

65、角函数求出OD，即可确定D点的坐标；（2）用待定系数法求出直线CD和直线AB的解析式，联立两解析式求出E点坐标，即可得出过E点的反比例函数的解析式；（3）根据M在坐标轴上，分情况讨论求出N的坐标即可【解答】解：（1）x28x+120，解得x12，x26，OB2，OC6，OBOA，EADEDA，tanEADtanEDA，tanEDA，OD12，D（0，12）；（2）设直线CD的解析式为 ykx+b （ k0 ），分别把（6，0），（0，12）代入，得解得直线CD的解析式为y2x12，同理直线AB的解析式y2x+4，联立解得E的坐标（4，4），过点E的反比例函数解析式为；（3）存在，根据题意要使得

66、以A，E，M，N为顶点的四边形为矩形分以下几种情况：（写出其中三种即可）点M在x轴正半轴，且AE为边时，BAO+OAM90，AMO+OAM90，BAOAMO，tanAMOtanBAO，即，OA2OB4，OM2OA8，即M（8，0），过N点作NHx轴于H，AMO+NMO90，NMO+HNM90，AMOHNM，tanHNMtanAMO，MNAE4，设MHa，则HN2a，a2+（2a）2（4）2，解得a4或a4（舍去），OH8a4，HN2a8，此时N（4，8）；当M点在x轴负半轴时，且AE为边时，同理可得M（8，0），作NPx轴于点P，同理可得N（4，8）；M点在x轴，且AE为对角线时，此时N点和M

67、点都在x轴上，且BNAB2，此时N点的坐标为（22，0）或（22，0）；M点在y轴上，且AE为对角线时，此时M（0，4），N（4，4），M点在y轴上，且AE为边时，tanBAO，AE4，EM2，AM10，OMAMOA1046，M（0，6），作NQOA于Q，BAO+OAN90，ANQ+OAN90，NAQBAO，tanNAQtanBAO，设AQb，则NQ2b，OQ4b，ANEM2，b2+（2b）2（2）2，解得b2或2（舍去），OQ422，NQ4，即此时N（4，2），综上所述，符合条件的N点坐标为（4，4），（4，2），（4，8），（4，8），（2，0），（2，0）17（2022泸州）如图，在平面

68、直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+x+c经过A（2，0），B（0，4）两点，直线x3与x轴交于点C（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且BDO与OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把A（2，0），B（0，4）两点代入抛物线yax2+x+c中列方程组解出即可；（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：ymx，点D是直线DE和AB的交

69、点，列方程可得点D的横坐标，根据BDO与OCE的面积相等列等式可解答；（3）设P（t，t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答【解答】解：（1）把A（2，0），B（0，4）两点代入抛物线yax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：抛物线解析式为：yx2+x+4，设直线AB的解析式为：ykx+b，则，解得：，AB的解析式为：y2x+4，设直线DE的解析式为：ymx，2x+4mx，x，当x3时，y3m，E（3，3m），BDO与OCE的面积相等，CEOC，3（3m）4，9m218m160，（3m+2）（3m8）0，m1，m2（舍），直线D

70、E的解析式为：yx；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，t2+t+4），如图1，过点P作PHy轴于H，四边形BPGF是矩形，BPFG，PBFBFG90，CFG+BFOBFO+OBFCFG+CGFOBF+PBH90，PBHOFBCGF，PHBFCG90，PHBFCG（AAS），PHCF，CFPHt，OF3t，PBHOFB，即，解得：t10（舍），t21，F（2，0）；如图2，过点G作GNy轴于N，过点P作PMx轴于M，同可得：NGFM3，OFt3，OFBFPM，tanOFBtanFPM，即，解得：t1，t2（舍），F（，0）；综上，点F的坐标为（2，

71、0）或（，0）18（2022平定县模拟）综合与探究如图，抛物线与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0），C，过点A作ADx轴与抛物线交于另一点D（1）求抛物线的表达式；（2）连接AB，点P为AB上一个动点，由点A以每秒1个单位长度的速度沿AB运动（不与点B重合），运动时间为t，过点P作PQy轴交抛物线于点Q，求PQ与t的函数关系式；（3）点M是y轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（0，8），B（6，0）代入抛物线，解方程组即可得出结论；（2）根

72、据点A，B的坐标可得，直线AB的解析式为过点P作PEy轴于点E，可得AEPAOB，所以AE：EP：APAO：OB：AB4：3：5根据题意可知APt，所以，所以点P的横坐标为由此可得出PQ的长；（3）要使以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，分以下情况进行讨论：过点B作x轴的垂线交AD的延长线于点E，则AEEB；当DM为矩形的边时，过点N作NKx轴，交x轴于点K；当DM为矩形的对角线时，过点N作NKx轴交DA的延长线于点K；以BD为对角线，分别计算即可【解答】解：（1）将A（0，8），B（6，0）代入抛物线，得，解得抛物线的表达式为；（2）设直线AB的解析式为ykx+d，将A，B两点坐标代入解析

73、式得解得直线AB的解析式为OA8，OB6，由勾股定理可得如图，过点P作PEy轴于点E，AEPAOB90，EPOB则AEPAOBAE：EP：APAO：OB：AB4：3：5根据题意可知APt，点P的横坐标为，PQ与t的函数关系式为（0t10）；（3）存在，点N的坐标为或要使以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，分以下情况进行讨论：如图，过点B作x轴的垂线交AD的延长线于点E，则AEEB，当y8时，解得x0或3点D的坐标为（3，8）AD3，DE3如图，当DM为矩形的边时，过点N作NKx轴，交x轴于点KMADDEB90，ADM+BDE90，AMD+ADM90，BDEAMDADMEBD，即，同理，可求得

74、EBDKBNADMKBN，MADNKB90，ADMKBN，又MDNB，ADMKBNADKB3OK633，；如图，当DM为矩形的对角线时，过点N作NKx轴交DA的延长线于点K同理可得MBODBE，DNBM，DNKBMO，KDOB6，AK3，点N的纵坐，以BD为对角线这种情况不存在综上所述，存在点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为或19（2022榆次区一模）综合与探究如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，4），连接AC，BC点P是y轴右侧的抛物线上的一个动点（1）求抛物线的函数表达式，

75、并直接写出点B的坐标；（2）连接PA，交直线BC于点D，当线段AD的值最小时，求点P的坐标；（3）点Q是坐标平面内一点，是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（2，0），C（0，4）代入yx2+bx+c，即可求解；（2）当ADBC时，AD的值最小，则DAB45，设P（t，t2+t+4），过点P作PMx轴交于点M，由PMAM，可求P（2，4）；（3）设Q（x，y），P（m，m2+m+4），分三种情况讨论：当AQ为矩形对角线时，AQCP，可得，求得Q（7，）；当AP为矩形对角线时，APCQ，可得，求得Q（1，）

76、；当AC为矩形对角线时，ACPQ，可得，此时Q点不存在【解答】解：（1）将A（2，0），C（0，4）代入yx2+bx+c，yx2+x+4，令y0，则x2+x+40，解得x2或x4，B（4，0）；（2）当ADBC时，AD的值最小，OBOC4，CBO45，DAB45，设P（t，t2+t+4），过点P作PMx轴交于点M，PMAM，t2+t+4t+2，解得t2或t2，点P是y轴右侧的抛物线上，P（2，4）；（3）在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，理由如下：设Q（x，y），P（m，m2+m+4），当AQ为矩形对角线时，AQCP，解得或（舍），Q（7，）；当AP为矩形对角线时，APCQ，

77、解得或（舍），Q（1，）；当AC为矩形对角线时，ACPQ，解得（舍）或（舍）；综上所述：Q点坐标为（7，）或（1，）20（2022春泰兴市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y（其中m为常数，且m0）关于原点对称得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别为M，N（1）请直接写出抛物线C2的表达式；（用含有m的式子表示）（2）若抛物线C1与x轴的交点从左到右依次为A，B，抛物线C2与x轴的交点从左到右依次为C，D若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD3BC，求m的值；是否存在这样的m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；（3）在抛

78、物线C1对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与y轴相交于P，Q两点，且GMpGP，GNqGQ，求pq的值【分析】（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），点（x，y）关于原点的对称点为（x，y），将点（x，y）代入抛物线，即可求解；（2）分别求出A（1+m，0），B（1+m，0），C（1m，0），D（1m，0），再由题意建立方程即可求m的值；由M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，则MN为矩形的对角线，在由勾股定理可得1+3+（2m1）2+312+4m2，解得m1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线 交

79、GI于点K，则GIMH，由平行线的性质可得，即|t|，再由NKy轴，得，即|t|，最后由等式，可求pq2【解答】解：（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于原点的对称点为（x，y），将点（x，y）代入抛物线，抛物线c2的解析式为y（x+m）2；（2）对函数，令y0，解得x1+m或x1+m，m0，A（1+m，0），B（1+m，0），对函数c2y（x+m）2，令y0，解得x1m或x1m，m0，C（1m，0），D（1m，0），AD22m，BC22m，AD3BC，22m3（22m），m2；存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：抛物线c1的对称轴为xm，M（m，）

80、，抛物线c2的对称轴为xm，N（m，），M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，MN为矩形的对角线，AM2+AN2MN2，1+3+（2m1）2+312+4m2，解得m1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线交GI于点K，GIMH，GMpGP，|t|，NKy轴，GNqGQ，|t|，pq221（2022黔东南州）如图，抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DMx轴，垂足为点M，DM交

81、直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x1，抛物线经过点B（3，0），可得A（1，0），用待定系数法即可求解；（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，t2+2t+3），则点N（t，t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分当ACAN时，当ACCN时，当ANCN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求

82、出t的值，即可写出点N的坐标；（3）分两种情形讨论：当BC为对角线时，当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可【解答】解：（1）抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），A（1，0），解得，抛物线的解析式yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+3，将点B（3，0）代入得：03k+3，解得：k1，直线BC的解析式为yx+3；设点D坐标为（t，t2+2t+3），则点N（t，t+3），A（1，0），C（0，3），AC212+3210，AN2（t+1）2+（t+3）22t24t+10，CN

83、2t2+（3+t3）22t2，当ACAN时，AC2AN2，102t24t+10，解得t12，t20（不合题意，舍去），点N的坐标为（2，1）；当ACCN时，AC2CN2，102t2，解得t1，t2（不合题意，舍去），点N的坐标为（，3）；当ANCN时，AN2CN2，2t24t+102t2，解得t，点N的坐标为（，）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3）或（，）；（3）设E（1，a），F（m，n），B（3，0），C（0，3），BC3，以BC为对角线时，BC2CE2+BE2，（3）212+（a3）2+a2+（31）2，解得：a，或a，E（1，）或（1，），B（3，0），C（0，3），m+1

84、0+3，n+0+3或n+0+3，m2，n或n，点F的坐标为（2，）或（2，）；以BC为边时，BE2CE2+BC2或CE2BE2+BC2，a2+（31）212+（a3）2+（3）2或12+（a3）2a2+（31）2+（3）2，解得：a4或a2，E（1，4）或（1，2），B（3，0），C（0，3），m+01+3，n+30+4或m+31+0，n+032，m4，n1或m2，n1，点F的坐标为（4，1）或（2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（2，1）22（2022随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），

85、与y轴交于点C，对称轴为直线x1，且OAOC，P为抛物线上一动点（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）判断出A，B两点坐标，可以假设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a1，可得结论；（2）如图（2）中，连接OP设P（m，m22m+3），构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情形，

86、点N在y轴上，点N在x轴上，分别求解即可【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线x1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），A（3，0），OAOC3，C（0，3），可以假设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a1，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）如图（2）中，连接OP设P（m，m22m+3），SSPAO+SPOC+SOBC，3（m22m+3）3（m）+13（m23m+4）（m+）2+，0，当m时，S的值最大，最大值为，此时P（，）；（3）存在，理由如下：如图31中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（1，4），N（0，4）；如图32中，当四边形

87、PMCN是矩形时，设M（1，n），P（t，t22t+3），则N（t+1，0），由题意，解得，消去n得，3t2+5t100，解得t，P（，），N（，0）或P（，），N（，0）综上所述，满足条件的点P（1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P（，），N（，0）23（2020辽宁）如图，抛物线yax22x+c（a0）过点O（0，0）和A（6，0）点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD（1）求抛物线的解析式；（2）如图，当BOD30时，求点D的坐标；（3）如图，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重

88、合），连接EF，将BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B，EFB与OBE的重叠部分为EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）如图中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N解直角三角形求出点N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定点D坐标即可（3）分三种情形：如图1中，当EFG90时，点H在第一象限，此时G，B，O重合如图2中，当EGF90时，点H在对称轴右侧如图3中当FGE90时，点H在对称轴左侧，点B在对称轴上，分别求解即可【解答】解：（1）把点O（0

89、，0）和A（6，0）代入yax22x+c中，得到，解得，抛物线的解析式为yx22x（2）如图中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点Nyx22x（x3）23，顶点B（3，3），M（3，0），OM3BM3，tanMOB，MOB60，BOD30，MONMOBBOD30，MNOMtan30，N（3，），直线ON的解析式为yx，由，解得或，D（5，）（3）如图1中，当EFG90时，点H在第一象限，此时G，B，O重合，由题意OFBF，可得F（，），E（3，），利用平移的性质可得H（，）如图2中，当EGF90时，点H在对称轴右侧，由题意，EBFFEB30EFBF，可得F（2，2），利用平移的性质可得H

90、（，）如图3中当FGE90时，点H在对称轴左侧，点B在对称轴上，由题意EFBE，可得F（1，），G（，），利用平移的性质，可得H（，）综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（，）或（，）24（2020内乡县一模）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CDx轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EFCD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P

91、，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入yx2+bx+c中，即可求解析式；（2）求出BC的直线解析式为yx+3，设E（m，m2+2m+3），则F（m，m+3），所以S四ECFDSCDE+SCDFm2+3m，即可求面积的最大值；（3）设P（n，n2+2n+3），当CPPB时，根据PJ构建方程求解；当CPCB时，P（1，4），可求P点横坐标【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入yx2+bx+c中，则有，yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3，对称轴为x1，CDx轴，D（2，3），CD2，点B（3，0），点C（0，3），BC的直线解析式为yx+3，设E（m，m2+2m+3），EFCD交线段BC于点F，F（m，m+3），S四边形ECFDSCDE+SCDF2（m2+2m）+2mm2+3m，当m时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；此时E（，）；（3）设P（n，n2+2n+3），当CPPB时，设BC的中点为J（，），则有PJBC，（n）2+（n2+2n+3）2（）2，整理得n（n3）（n2n1）0，n0或3或，P在第一象限，P点横坐标为；当CPCB时，P（1，4）P点横坐标为1；综上所述：P点横坐标为或1