专题24 二次函数与相似三角形存在问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题24 二次函数与相似三角形存在问题1（20212022浙江省宁波市九年级开学考试）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似则点P的坐标_【答案】或或【分析】利用勾股定理求得的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分在轴和轴两种情况讨论，舍出的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解【详解】解：过点作轴于点在中，在中，为直角三角形利用的三边，又，故当是原点时，；当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，即，解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，

2、则，则，即，解得：，故是时，则一定成立；当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是则，当与是对应边时，即，解得：，此时，两个三角形不相似；当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是则，当与是对应边时，即，解得：，符合条件总之，符合条件的点的坐标为：或或故答案为：或或【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键2（2021云南腾冲中考一模）如图，抛物线经过点和点，与交于点，顶点为，连接、，与抛物线的对称轴交于点（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是第一象限抛物线上的动点，连接，当四边形面积取最大值时，求点的坐标；（3）点

3、是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）点P的坐标为(2，)；（3）点M的坐标为(1，)或(1，)或(1，) 【分析】（1）利用待定系数法，即可得结论；（2）先求得直线BC的解析式为，过点P作PF轴交BC于点F，设P(m，)，则F(m，)，再求得面积的最大值，即可求解；（3）分ENMOBC，NEMOBC，MENOBC三种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质以及抛物线上的点的特征求解即可【详解】（1）将点A(2，0)和点B(4，0)代入y=+bx+c得：，解得：，该抛物线的函数表达式为；（2）令，则

4、，C (0，4)，设直线BC的解析式为，解得，直线BC的解析式为，过点P作PF轴交BC于点F，点P是第一象限抛物线上的动点，设P(m，)，则F(m，)，且m0，当时，有最大值，最大值为，此时四边形OBPC面积取得最大值，P(2，)，点P的坐标为(2，)；（3）抛物线的函数表达式为，对称轴为，E (1，3)，B(4，0)，C (0，4)，OB=4，OC=4，OBC是等腰直角三角形；当ENMOBC时，MEN=COB=90，EM= EN，=3，点N在抛物线上，解得：或(不合题意，舍去)，EN=，EM= EN，点M的坐标为(1，)；当NEMOBC时，ENM=COB=90，MN= EN， 如图，过点N作

5、NHME于点H，由等腰直角三角形的性质知：HN=HE=HM，设点N的坐标为(n，)，HN=n-1，HE=，解得：或(不合题意，舍去)，HN=2-1=1，HM=HE=HN=1，点M的坐标为(1，)；当MENOBC时，EMN=COB=90，MN= ME，设点N的坐标为(n，)，=，又ME=，MN=，解得：或(不合题意，舍去)，=，点M的坐标为(1，)；综上，点M的坐标为(1，)或(1，)或(1，) 【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线，利用数形思想解决问题3（2021浙江诸暨九年级期末

6、）如图，已知中，点坐标为，点坐标为，抛物线的顶点记为，且经过的三个顶点、（点在点左侧，点在轴下方）抛物线也交轴于点、，其顶点为（1）求点的坐标和抛物线的顶点的坐标（2）当的值最小时，求抛物线的解析式（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧若是与相似的三角形，求抛物线的顶点的坐标【答案】（1），；（2）；（3），或【分析】（1）根据题意易知AC，设点在轴上的投影为，易知，继而可得点的坐标，设抛物线的方程为，将点的坐标代入可得a，进而可得抛物线解析式，转化为顶点式即可求解；（2）根据题意和的值最小时是与对称轴的交点，易知点P坐标，设，将P点的坐标代入可得m，进而可得抛物线y2解析式，转

7、化为顶点式即可求解；（3）分两种情况讨论：若是直角顶点，时；若是直角顶点，当【详解】（1）点坐标为，点坐标为，AB4，在中，设点在轴上的投影为，则OD2，故点的坐标为；设抛物线的方程为，则，顶点的坐标是（2）因为抛物线与抛物线与轴交点相同，所以它们的对称轴重合，是与对称轴的交点，坐标为设，将P点的坐标代入可得：，解得：，或；（3）显然点不是直角顶点若是直角顶点，时，设代入抛物线解析式得当时，设代入抛物线解析式得若是直角顶点，当时，由，设点到对称轴的距离为，可得，点的纵坐标为，当时，由，设点到对称轴的距离为，可得，点的纵坐标为，【点睛】本题主要考查二次函数的有关知识，涉及到抛物线解析式、抛物线顶

8、点坐标、对称轴最短路线问题，相似三角形动点问题，解题的关键是熟练掌握所学知识，学会分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大4（20202021湖南长郡中学九年级月考）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴的两个交点分别为A、B，与轴相交于点C，点A（，0），连接BC，tanOCB=2（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PDBC，垂足为点D点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；以P、D、C为顶点的三角形与COA相似时，求出点P的坐标【答案】（1）；（2）存在，点D的坐标为；（3）或【分

9、析】（1）由待定系数法求出a，b，c即可；（2）由待定系数法求出直线BC的关系式，过点P作PGx轴于点G，交CB于点E，在RtPDE中可得PD与PE的关系，当线段PE最长时，PD的长度最大，设出P点坐标，从而得出线段的长，由PE=PG-EG得二次函数，由二次函数的性质得最值及此时自变量的值，从而得P点坐标，由PDBC，可得直线BC的系数k为2，利用待定系数法求出直线PD的关系式，根据一次函数与二元一次方程的关系即可求出交点坐标D；首先推出ACB=90，从而RtCOARtBOC，再结合条件得出PCD=CBO或PCD=BCO，然后以这两种情况分别根据相似性质列方程求出P点坐标【详解】解：（1）点A

10、（，0），OA2，BO8， 即点B（8，0）tanOCB=2，CO4，即点C（0，4）将A（，0），B（8，0）,C（0，4）代入得：解得抛物线的解析式为：(2)设直线BC的关系式为， B（8，0），C（0，4），解得直线BC的方程为如图a，过点P作PGx轴于点G，PG交CB于点E，可得PED=OCB在RtPDE中，PD=PEsinPED=PEsinOCB，当线段PE最长时，PD的长度最大设， 则即，（0t8）当t=4时，PE有最大值是4，此时P点坐标为(4，6)PDBC，设直线PD为，P(4，6)，则b2，线PD的关系式为D为直线PD与直线BC的交点，则，解得即点D的坐标为OA2，OB8，O

11、C4，AC2224220，AB2（28）2100，BC2428280可得AC2BC2AB2ACB=90RtCOARtBOC故当RtPDC与RtCOA相似时，就有RtPDC与RtBOC相似PCDCBO或PCDBCO（i）如图b，当PCD=CBO时，即RtPDCRtCOB，则CPAB，C(0，4)，yP4，解得x16，x20（舍）即RtPDCRtCOB时，；（ii）当PCD=BCO时，即RtPDCRtBOC，如图c，过点P作PGx轴于G，与直线BC交于F，PFOC，PFC=BCOPCD=PFC，PF=PC. 设，则，过点P作y轴的垂线，垂足为N，在RtPNC中，PF2=PC2，即解得n13，n20

12、(舍)即RtPDCRtBOC时，当RtPDC与RtCOA相似时，点P的坐标为或【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏5（2021山东临沭九年级期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，其顶点为，连接与抛物线的对称轴交于点（1）求抛物线的表达式并写出该抛物线的对称轴；（2）在直线上方的抛物线上找一点，使得的面积最大，求出此时点的坐标；（3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）P（2，4）；

13、（3）存在，M的坐标为：或或【分析】（1）将A和B两点坐标代入解析式用待定系数法求函数解析式，然后再求其对称轴；（2）过点P作PGx轴，交x轴于点G，交BC于点F，设 ，则F ，然后利用三角形面积公式列出S与t的函数关系式，利用配方法求其最值；（3）首先分析得出BOC是等腰直角三角形，设M ，N ，然后根据相似三角形的判定分当MEEN且MEN90；ME=MN且EMN90；MNEN，ENM90三种情况结合二次函数性质列方程组求解【详解】解：（1）抛物线过点A（2，0）和点B（4，0），解得抛物线的表达式为：抛物线的对称轴为；（2）当x0时，y4，C（0，4），直线BC解析式为：yx+4，如图1，

14、过点P作PGx轴，交x轴于点G，交BC于点F，设 ，F ，当时，PBC的面积有最大值4此时， P（2，4）；（3）C（0，4），B（4，0），COB90，OBC为等腰直角三角形，抛物线的对称轴为；点E的横坐标为1，又点E在直线BC上，点E的纵坐标为3，E（1，3），设M ，N ，如图2，当MEEN，MEN90时，解得：或（舍去），此时点M的坐标为；如图3，当ME=MN，EMN90时，解得或（舍去），此时点M的坐标为；如图4，当MNEN，ENM90时，连接CM，故当N为C关于对称轴l的对称点时，以点M，N，E为顶点的三角形与OBC相似此时四边形CMNE为正方形，CMCE，C（0，4），E（1，3

15、），M ，解得：m15，m23（舍去），此时点M的坐标为【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用及相似三角形的判定和性质，属于中考压轴题，掌握相关性质利用数形结合思想解题是关键6（2021湖南长沙市九年级期中）如图，已知抛物线经过两点，是抛物线与轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线与轴交于点，当时，求此时点坐标；（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标【答案】（1）；（2）点坐标为，或，；（3），或，或，【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由得，得

16、，再分在轴正半轴和在轴负半轴两种情况即可；（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可【详解】（1）把，代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）由得，当在轴正半轴，如图：，且，即，设直线解析式为，则，即直线为，由得（与重合，舍去）或，当在轴负半轴，如图：同理可得：，即，而，设直线为，则，解得，直线为，由得（舍去）或，综上所述，点坐标为，或，（3）设，则，与相似，或，时，如图：，解得或或（舍去），或，；时，如图：，解得（舍去）或与重合，舍去）或，综上所述，或，或，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形

17、的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键7（2021广东佛山市九年级期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C点D是直线上方抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接、，设点D的横坐标为m，的面积为s求s与m的函数关系式，并求出s的最大值；（3）如图2，点E坐标为，过点D作于F，连接、，是否存在点D，使得与相似？若存在，请直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）s与m的函数关系式为sm2m，s的最大值为；（3）点D的坐标为（，）或（，）【分析】（1）由抛物线与x轴的交点

18、可设交点式来求解析式（2）过点D作y轴平行线交BC于点M，把BCD分成左右两部分CDM与BDM，都以DM为底时面积和即为OB与DM的积的一半由D的横坐标为m，可用m表示D的纵坐标，求BC解析式，即可用m表示BC上的点M，进而得到用m表示DM的式子，代入即求得s关于m的关系式二次函数，配方即求出最大值（3）因为CFDCOE90，所以存在相似时有CFDCOE或CFDEOC两种情况，即OCE的对应角有两种情况把COE三边求出并求出OCE的正弦和余弦值利用（2）求得BCD面积s，即能用m表示以BC为底时的高DF的长，再利用FCD或FDC与OCE相等得到的三角函数关系，即求得DF与CD的等量关系，解方程

19、即求得m的值【详解】（1）抛物线yx2bxc与x轴交于点A（1，0），B（3，0），y（x1）（x3）x22x3，抛物线解析式为yx22x3；（2）过点D作DMy轴，交BC于点M，当x0时，yx22x33，C（0，3），设直线BC解析式为：，则，解得：，直线BC解析式为yx3，D（m，m22m3），M（m，m3），DMm22m3（m3）m23m，sSDMBSDMCMD（xBxD）（xMxC）OBDM（m23m）m2m（m）2（0m3），s与m的函数关系式为sm2m，s的最大值为；（3）存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与CEO相似如图2，连接BD，设点D的横坐标为m，E（2，0），A

20、（1，0），B（3，0），C（0，3），OE2，OCOB3，CD2m2（m22m33）2，CE，sinOCE，cosOCE=，BC，DFBC，由（2）知，面积sBCDFm2m，DF，以C、D，F三点为顶点的三角形与CEO相似，CFDCOE90，CFDCOE或CFDEOC，若CFDCOE，则FCDOCE，sinFCD，13DF24CD2，13（）24m2（m22m）2，解得：m17（舍去），m2，m22m33D（，）若CFDEOC，则FDCOCE，cosFDC，13DF29CD2，13（）29m2（m22m）2，解得：m13（舍去），m2，m22m33，D（，）点D的坐标为（，）或（，）【点睛】

21、本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式和最大值，相似三角形的判定和性质，三角函数，解一元二次方程其中（3）里利用角相等即三角函数相等得到等量关系，与利用相似得到对应边成比例的思路是一致的，且能减少说理和计算，较为简便8（2021云南昆明市九年级月考）如图1，已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于点，其中点在轴的正半轴上，点在轴上，点为二次函数图象的顶点（1）求点的坐标及的值；（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集_；（3）如图2，抛物线对称轴为直线与直线交于，在直线上是否存在点，使得点、组成的三角形与与相似，若存在，请求出满足条件的所有点坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）点M

22、的坐标为（2,9）；k的值为-1；（2）0x5；（3）点P的坐标为（-4,9）或（-1,6）【分析】（1）求出点B的坐标，根据点的坐标代入二次函数解析式，求出b的值，可求出点M的坐标，求出二次函数的解析式，再求出点A的坐标，代入一次函数解析式可求出k的值（2）根据函数图像与不等式的关系：图像在下方的函数值小，可得答案；（3）若点M、C、P组成的三角形与AOB相似，则可得MCP为等腰直角三角形，可分两种不同的情况，过点M作MPMC交直线AB于点P，过点 M作MPAB于点P，过点P作PNMC于点N，根据等腰直角三角形的性质可求出相关线段的长，则点P的坐标可求出【详解】（1）一次函数交y轴于点B，B

23、点坐标为（0,5），又B在抛物线上，解得 b=2,二次函数的解析式为点M的坐标为（2,9），当y=0时，解得 A（5,0）代入直线解析式y=kx+5，5k+5=0，解得k=-1k的值为-1（2）因为A（5,0），观察图像得：当时，x的取值范围是则关于x的不等式的解集是 故答案为：（3）B（0,5），A（5,0）AOB为等腰直角三角形分两种情况：如图，过点M做MPMC交直线AB于点P对称轴为x=2，直线AB为y=-x+5，C（2,3）MC=9-3=6PM=6点P的坐标为（-4,9）；如图，过点M做MPAB于点P，过点P作PNMC于点N，CM=6，MCP为等腰直角三角形，P点纵坐标=N点纵坐标=M

24、点纵坐标-3=9-3=6MN=CN=3，PN=3点P的坐标为（-1,6）综合以上可得点P的坐标为（-4,9）或（-1,6）【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图像上点的坐标特征；会运用三角形相似的性质计算相应线段的长度或表示线段之间的关系，从而求出点的坐标9（2021江苏景山中学九年级月考）如图1，二次函数的图像与x轴交于点O、点A，顶点为B， 点M、N的坐标分别为（0 ，m）、（0 ，n）（1）求点B的坐标（2）如图2，将函数图像在y轴左侧部分沿x轴翻折，图像其余部分保持不变，得到的新图像记为G过点M作y轴的垂线l，当m 时，直线l

25、与图像G有且只有两个交点请求出翻折后图像的函数关系式（3）如图3，点Q是第二象限内图像上的动点，当m1 ，n0，且QMB90时，是否存在点M，使得QMB与ABN相似若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）B（2，1）；（2）m=1或m=0；（3）存在，M（0，9）【分析】（1）由顶点坐标公式直接求解；（2）由图象知m=0或1，根据沿x轴翻折，开口方向相反，顶点（2，1）变成（2，-1）即可得出关系式；（3）若ABN=90，由A，B坐标，构造出K型相似可知：，由QMB与ABN相似，且QMB=90时，分两类和，分别表示出Q的坐标代入函数解析式即可若BAN=90，算法完全一样【详解

26、】解：（1），当时，B（2，1）（2）B（2，1），过点M作y轴的垂线l，m=1或0时，直线l与图象G有且只有两个交点，B（2，1），抛物线 ，将函数图像在y轴左侧部分沿x轴翻折，翻折后的抛物线与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）变成（2，-1），；（3）如图，当ABN=90时，过B作CDx轴交y轴于D点，过点A作ACy轴，过M作EFx轴，QFy轴，BFy轴，B（2，1），A（4，0），BD=BC=2，AC=1，由ABCBNE知：，QMB与ABN相似，且QMB=90时，当时，M（0，m），BE=m-1，ME=2，BEMMFQ，QF=1，Q(，m1)，Q在抛物线 上，m2-10m+9=0，解得

27、m1=9，m2=1（舍），M（9，0），当时，同上可得：MF=2m-2，QF=4，Q（2-2m，m-4），方程无解，当BAN=90时，结果同上，综上所述：M（0，9）【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查顶点坐标公式，图象的翻折特征，以及三角形相似的判定与性质，构造K型相似是解决本题的关键10（2021广东深圳市中考模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，三点，且，点在抛物线上，轴（1）请求出抛物线的解析式（2）点为轴右侧抛物线上一点如图，若平分，交于点，求点的坐标如图，抛物线上一点的横坐标为2，直线交轴于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求点的坐标【答案】（1）；（2）；或【分析】（1）令x0

28、，求出C的坐标，即可得到OC的长，由此求解即可；（2）作于，根据平分可得，进而设，根据可得方程求解即可求得点E坐标为，再用待定系数法求得直线OP的函数关系式，与二次函数关系式联立方程组即可求得点P坐标；分两种情形若点在点上方，如图2，若点在点下方，如图3，分别列出方程即可解决【详解】解：（1）令，则，C（0，8），OC=8，OB=OC=4OA，OB=8，OC=2，A（-2，0），B（8，0），抛物线的解析式为（2）作于，平分，设，把代入中，即解得或（舍去），D（6，8），CD=6，设对应函数表达式为，把代入，得，对应函数表达式为，解得或（舍去）点；抛物线上一点F的横坐标为2，当时，点设直线的函

29、数表达式为把点、点代入，得解得直线的函数表达式为，点，PCQCGO若点在点上方，如图过点作轴的平行线，交轴于点，轴，轴，点与点重合，设，轴，或（舍去），把代入得，若点在点下方，如图过点作轴，交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，交轴于点，四边形是正方形，轴，设，又，代入，得，（舍去），代入得，综上所述，或【点睛】本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是通过三角函数及相似三角形的性质建立方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题11（2021湖南宁乡九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交

30、点为（1）求的值和抛物线的解析式；（2）已知点是抛物线上位于之间的一动点（不与点重合），设点的横坐标为当为何值时，的面积最大，并求出其最大值；（3）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）当时，的面积最大，最大面积为18；（3）点坐标为（0，4）或（0，10）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由APC的面积SPHASPHC，即可求解；（3）分BMC为直角、BCM为直角两种情况，利用数形几何即可求解【详解】（1）已知直线：，令x0，则y2，令yx20，解得x2，点在直线上，故点，将点的坐标代入得：，解

31、得：，故抛物线的表达式为：； （2）如图，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P的坐标为（a，a25a2），则点H（a，a2），则APC的面积SPHASPHCPH（xCxA）（a2a25a2）（62）2a212a，20，故APC的面积存在最大值，当a3时，APC的面积的最大值为18；（3）存在，理由：由点A、B的坐标知，ABO为等腰直角三角形，如图：当BMC与BAO相似时，则BMC为等腰直角三角形，当BMC为直角时，则点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，故点M（0，4）；当BCM为直角时，则点M是BM的中点，故点M（0，10）；故点M的坐标为（0，4）或（0，10）【点睛】本题是二次函数综合题，

32、主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏12（2021辽宁丹东中考一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，A点坐标为，与轴交于点，且点坐标为（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，当线段时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线上点A与点D之间有一点（包括A、两点），在线段上是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）设过点的射线与的夹角为，且，请直接写出该射线与抛物线的交点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）

33、存在；点有，；（4），【分析】（1）用待定系数法将点A、C代入得到方程组，求出a、c得值即可；（2）过点作于点，根据等腰三角形的性质得到DG=FG，用待定系数法求出直线AC的表达式，用铅垂线的知识点列出方程，求出点的坐标；（3）先用勾股定理的逆定理证明出为直角三角形，再利用假设三角形相似，对应边成比例，计算点的坐标；（4）根据题目已知，分为两种情况，根据正切值等于对边比邻边，进行计算【详解】解：（1）把点坐标为，点坐标代入表达时得解得解析式为（2）过点作于点， 设直线表达式为，将，代入得：，直线表达式为设点坐标为，则点坐标为，点坐标为当时，（舍去），点坐标为（3）由得，点坐标为，为直角三角形，

34、且两直角边的比为，以点为直角顶点，此时点与点重合 当，此时点坐标为当，此时点不在线段上，不符合题意以点为直角顶点，设点坐标为点坐标为当，（舍去），此时点坐标为当，（舍去），此时点坐标为以点为直角顶点，当，由中结论可知，此时不存在符合题意的点当由中结论可知此时也不存在符合题意的点综上，符合题意的点有，（4）如图所示，作PNCA，点Q是点P关于点N的对称点， tanCAO=，tanACP=，设PN=t，则AN=2t，CN=3t，AC=5t，由勾股定理得：AP=，AP=，OP=2，点P为（-2,0），设射线CP的表达式为：，将点P代入表达式，得到，点为射线CP与抛物线的交点，解得：，点；在直角ANP

35、中，由勾股定理求出点N到x轴的距离为 ，则点N的坐标为（），点Q是点P关于点N的对称点，点Q的坐标为（ ），同理求出射线的表达式为：，点为射线CP与抛物线的交点，解得：，点；故，【点睛】本题主要考查二次函数的综合性问题，关键在于结合点的坐标表示线段的长对于存在性问题，先假设存在，由此进行探究，若能求出点的坐标或线段的长，则存在，否则不存在对于不确定顺序的三角形三个顶点的相似问题，还必须分类讨论，做到不重不漏13（2021山东阳谷中考一模）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，且点坐标为，以点为顶点的抛物线解析式为（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段平移，此时抛

36、物线顶点记为，与轴交点记为，当点的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及点的坐标；（3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使以点，为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），；（3）存在，或【分析】（1）先求出点A坐标，然后再利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C坐标，再由平移的性质可得可求平移后的解析式，然后再根据点D的坐标特点求解即可；（3）分过点作交于点和过点作于点两种情况，分别利用相似三角形的性质可求解即可【详解】解：（1）抛物线解析式为，点的坐标为，设一次函数解析式为，把，代入，得，解得，一次函数解析式为；（2）点在直线上，且点的横坐标为-1，点坐标为，设平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为，抛物线的解析式是，抛物线与轴的交点为，令，得，点坐标为；（3）存在，过点作交于点，点的纵坐标为1，代入一次函数，得，的坐标为；过点作于点，又（公共角），直线与轴的交点，又，过作轴于点，设，则，在中，解得（舍去），的坐标为，综上所述：点的坐标为：或【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键