专题24 最值模型之将军饮马模型（解析版）.docx

1、专题 24 最值模型之将军饮马模型“白 日 登 山 望 烽 火，黄 昏 饮 马 傍 交 河”，这 是 唐 代 诗 人 李 颀 古 从 军 行 里 的 一 句 诗，由 此 却 引 申 出 一 系 列 非 常 有 趣 的 数 学 问 题，通 常 称 为“将 军 饮 马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之

2、差小于第三边”等。模型 1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、B 在直线 m 两侧：（2）点 A、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。上图中A是A关于直线m的对称点。例 1（2023黑龙江绥化统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形，点 E 为高 BD上的动点连接CE，将CE 绕点C 顺时针旋转60得到CF 连接 AF，EF，DF，则 CDF 周长的最小值是 【答案】33 3/3 33 【分析】根据题意，证明 CBECAF，进而得出 F 点在射线 AF 上运动，作点C 关于 AF 的对称点C，

3、连接 DC，设CC交 AF 于点O，则=90AOC，则当,D F C三点共线时，FCFD取得最小值，即FCFDF CF DCD，进而求得C D，即可求解【详解】解：E 为高 BD上的动点1302CBEABC 将CE 绕点C 顺时针旋转60得到CF ABC 是边长为6的等边三角形，,60,CECFECFBCABCAC CBECAF 30CAFCBE，F 点在射线 AF 上运动，如图所示，mABPmABmABPmABA作点C 关于 AF 的对称点C，连接 DC，设CC交 AF 于点O，则=90AOC 在 Rt AOC 中，30CAO，则132COAC，则当,D F C三点共线时，FCFD取得最小值

4、，即 FCFDF CF DDC 6CCAC，ACOC CD，COCD ACOC CD90C DCAOC 在 C DC中，2222633 3C DCCCD,CDF 周长的最小值为33 3CDFCCDCDDC，故答案为：33 3【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键 例 2（2023广东广州校考一模）如图，在 AB C 中，ABC 的面积为 10，2 2AB，BD平分ABC，E、F 分别为 BC、BD上的动点，则CFEF的最小值是（）A 2 B3 C2 D 5 【答案】D【分析

5、】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值过点 C 作CHAB，垂足为 H，交 BD于 F 点，过 F点作 FEBC，垂足为 E，则CFE F为所求的最小值，根据 ABC 的面积为 10，2 2AB，结合三角形的面积公式求出5CH，即可解答【详解】解：如图，过点 C 作CHAB，垂足为 H，交 BD于 F 点，过 F 点作 FEBC，垂足为 E，则CF EF为所求的最小值，BD是ABC的平分线，FHE F，CH 是点 C 到直线 AB 的最短距离（垂线段最短），ABC 的面积为 10，2 2AB，102

6、52 2CH，CFE F的最小值是5CFE FCFFHCH故选：D 例 3（2023广东广州统考中考真题）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E 在边 BC 上，且1BE ，F 为对角线 BD上一动点，连接CF，EF，则CFEF的最小值为 【答案】17 【分析】连接 AE 交 BD于一点 F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CFEFAE最小，利用勾股定理求出 AE 即可【详解】解：如图，连接 AE 交 BD于一点 F，连接CF，四边形 ABCD是正方形，点 A 与点 C 关于 BD对称，AFCF，CFEFAFEFAE，此时CFEF最小，正方形 ABCD的边长为 4，4,90ADABC，

7、点 E 在 AB 上，且1BE ，22224117AEABBE，即CFEF的最小值为 17 故答案为：17 【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键 例 4（2022内蒙古赤峰统考中考真题）如图，菱形 ABCD，点 A、B、C、D 均在坐标轴上，120ABC，点 3 0A ,，点 E 是CD的中点，点 P 是OC 上的一动点，则 PDPE的最小值是（）A3 B5 C2 2 D 332【答案】A【分析】直线 AC 上的动点 P 到 E、D 两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由 D 关于直线 AC 的对称点 B，连接 BE，则线段 BE 的长即是 PD+PE 的最小值【详

8、解】如图：连接 BE，菱形 ABCD，B、D 关于直线 AC 对称，直线 AC 上的动点 P 到 E、D 两定点距离之和最小 根据“将军饮马”模型可知 BE 长度即是 PD+PE 的最小值 菱形 ABCD，120ABC，点 3 0A ,，60,30CDBDAO，3OA ，3,2 3ODADDCCBCDB 是等边三角形2 3BD 点 E 是CD的中点，132DECD,且 BECD，223BEBDDE 故选：A【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长 例 5（2023辽宁盘锦统考中考真题）如图，四边形 ABCD是矩形，10AB=，4 2AD，点 P 是边 A

9、D 上一点（不与点 A，D 重合），连接 PBPC，点 M，N 分别是 PBPC，的中点，连接 MN，AM，DN，点 E在边 AD上，MEDN，则 AMME的最小值是（）A2 3 B3 C3 2 D4 2 【答案】C【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得12AMBP，12DNCP，通过证明四边形 MNDE 是平行四边形，可得 MEDN，则12AMMEAMDNBPCP，作点 C 关于直线 AD 的对称点 M，则BPCPBPPM，点 B，P，M 三点共线时，BPPM的值最小，最小值为 BM 【详解】解：四边形 ABCD是矩形，90BAPCDP ，ADBC，点 M，N 分别是 PBPC，的中点，1

10、2AMBP，12DNCP，12MNBC，MNBC，ADBC，MNBC，MNBC，又MEDN，四边形 MNDE 是平行四边形，MEDN，12AMMEAMDNBPCP，如图，作点 C 关于直线 AD的对称点 M，连接 PM，BM，则 BPCPBPPM，当点 B，P，M 三点共线时，BPPM的值最小，最小值为 BM，在 RtBCM中，222 10MCCDAB=，4 2BCAD，22224 22 106 2BMBCMC，AMME的最小值13 22 BM，故选 C【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题关键

11、是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想 例 6（2023山东济宁九年级校考期末）如图，AB 是O 的直径，点 C、D 是O 上的点且ODBC，AC分别与 BD、OD 相交于点 E，F若O 的半径为 5，80DOA，点 P 是线段 AB 上任意一点，则 PCPD的最小值是 【答案】5 3 【分析】利用圆周角定理得到90ACB，再证明OFAC，然后根据垂径定理得，ADCD，作C 点关于 AB 的对称点C，C D交 AB 于 P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时 PCPD的值最小，再计算出120DOC，作OHDC 于 H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含 30 度的直角三角形三边的

12、关系求出 DH，从而得到 PCPD的最小值【详解】解：AB 是O 的直径，90ACB，ODBC，90OFA，OFAC，ADCD，作C 点关于 AB 的对称点C，C D交 AB 于 P，连接OC，如图，PCPC，PDPCPDPCDC，由两点之间线段最短可知，此时 PCPD的值最小，ADCD，80CODAOD，20BOC，点C 和点C 关于 AB 对称，20C OB，120DOC，作OHDC于 H，如图，则30ODH，则C HDH，在 Rt OHD中，1522OHOD，22225 3432DHODOHOHOHOH，25 3DCDH，PCPD的最小值为5 3 故答案为：5 3 【点睛】本题考查了圆周

13、角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了垂径定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题 例 7（2023湖北黄冈统考模拟预测）如图，点 E 是线段 BC 上的一个动点，2 2,4ABDCBC，且135BC ，则 AEDE的最小值是_ 【答案】2 10 【分析】作点 A 关于线段 BC 的对称点 F，连接,BF DF，DF 交 BC 于点 O，连接 AO，过点 F 作 FHBC，交 DC 的延长线于点 H，过点 D 作 DGHF，交 FH 的延长线于点 G，由题意易得135FBC

14、DCB，则有 BFCH，然后可得四边形 BFHC 是平行四边形，进而可得4FH，推出2 2DH，勾股定理求出 FD的长即可得解【详解】解：作点 A 关于线段 BC 的对称点 F，连接,BF DF，DF 交 BC 于点 O，连接 AO，过点 F 作 FHBC，交 DC 的延长线于点 H，过点 D 作 DGHF，交 FH 的延长线于点 G，如图所示：由轴对称的性质可知：135ABCFBCDCB ，AOFO，ABBF，BFCH，FHBC，四边形 BFHC 是平行四边形，4,FHBCBFCHAB，2 2ABDC，2 2CHCDDH，当点 E 与点 O 重合时，则 AEDE的最小值即为 FD的长，FHB

15、C，135FHCDCB，45DHG，DGHF，90DGH，45HDGDHG ，GHGD，222DHGHDGDG，222GHDGDH，6FGFHGH 222 10FDFGDG，即 AEDE的最小值为2 10；故答案为2 10 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键 例 8（2023山东枣庄统考中考真题）如图，抛物线2yxbxc 经过(1,0),(0,3)AC两点，并交 x 轴于另一点 B，点 M 是抛物线的顶点，直线 AM 与轴交于点 D (1)求该抛物线的表达式；(2)若点 H 是 x 轴上一动点，分别连接

16、 MH，DH，求 MHDH的最小值；【答案】(1)223yxx (2)37 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 D M，D M与 x 轴的交点即为点 H，进而得到 MHDH的最小值为D M的长，利用两点间距离公式进行求解即可；【详解】（1）解：抛物线2yxbxc 经过(1,0),(0,3)AC两点，103bcc ，解得：23bc，223yxx ；（2）222314yxxx ，1,4M，设直线)0:(AykMxm k，则：04kmkm ，解得：22km，22:AyMx，当0 x 时，2y，0,2D；作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接

17、D M，则：0,2D，MHDHMHDHDM，当,M H D三点共线时，MHDH有最小值为 D M的长，0,2D，1,4M，2214237D M，即：MHDH的最小值为：37；【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键 模型 2.求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型 1）已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线

18、n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB周长最短.2）已知点 A 位于直线 m,n 的内侧,在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.【最值原理】两点之间线段最短。例 1（2023陕西西安九年级校考阶段练习）【问题提出】(1)如图 1，45AOB，在AOB内部有一点 P，M、N 分别是OA、OB 上的动点，分别作点 P 关于边OA、OB 的对称点1P，2P，连接1P，2P 与OA、OB 相交于 M、N，则此时 PMN 的周长最小，且顺次连接 O，1P，2P 后12OPP 的形状是等腰直角三角形理由如下：点 P 关于边OA、OB 的对称点分别为1P，2

19、P，12OPOPOP，1AOPAOP，2BOPBOP，1PMPM，2PNP N 1212PMNCPMPNMNPMP NMNPP即 PMN 周长的的最小值为12PP 45AOB，122()90POPAOPBOP 12OPP 是等腰直角三角形 学以致用：若30AOB，在AOB内部有一点 P，分别作点 P 关于边OA、OB 的对称点1P，2P，顺次连接O，1P，2P，则12OPP 的形状是_三角形(2)【问题探究】如图 2，在 ABC 中，ABAC，30BAC，点 D 是 BC 的中点，若 ADh，请用含有 h的代数式表示 ABC 的面积(3)【问题解决】如图 3，在四边形 ABCD内有一点 P，点

20、 P 到顶点 B 的距离为10，60ABC，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的动点，顺次连接 P、M、N，使 PMN 在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使 PMN 在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出 PMN 的面积的最大值；若不存在，请说明理由 nmABQPnmABPQnmABQPnmABBnmABQPnmABBAmnABEDmnABABmnAPQmnAAA【答案】(1)等边(2)223 h(3)存在，25 33【分析】（1）根据对称性，得到12OPOPOP，1AOPAOP，2BOPBOP，进而得到：1260POP，即可得到12OPP 为等边三角形；（2）作 AB

21、 的垂直平分线，交 AD 于点 E，连接 BE，根据中垂线的性质，得到 EBEA，15ABEBAD，推出 BDE是含30的直角三角形，用 BD分别表示出,BE DE，再利用ADAEDE，求出 BD，进而求出 ABC 的面积（3）如图，作点 P 关于 AB 的对称点G，作点 P 关于 BC的对称点 H，连接GH，交 AB，BC 于点 M，N，此时 PMN 的周长最小，可以求出125 32BGHSGHBO，由BGMBNHBGHBMNBMPNSSSSS四边形推出BMNS最小时，BMPNS四边形的值最大，此时 PMN 的面积最大，进行求解即可【详解】（1）解：点 P 关于边 OA、OB 的对称点分别为

22、1P，2P，12OPOPOP，1AOPAOP，2BOPBOP，30AOPBOPAOB，1230AOPBOPAOB ，12260POPAOB ，12OPOP，12OPP 为等边三角形；故答案为：等边；（2）解：ABAC，30BAC，点 D 是 BC 的中点，ADBC，15BADCAD，BDCD，作 AB 的垂直平分线，交 AD 于点 E，连接 BE，则：EBEA，15ABEBAD，30BEDABEBAE ，222,3BEBD DEBEBDBD，2AEBEBD，23ADAEDEBDh，2323hBDh，21232ABCSBC ADBD ADh；（3）解：存在；理由如下：如图，以点 B 为圆心，BP

23、 为半径画圆，分别作点 P 关于 AB，BC 的对称点G，H，则点G，H 在B 上，连接GH，分别交 AB，BC 于点 M，N，此时 PMN 的周长最小 10BPBGBH，GBMPBM，HBNPBN，60PBMPBN，120GBH，且 BGBH，30BGHBHG，过点 B 作 BOGH于O，5BO，5 3HOGO，10 3GH，125 32BGHSGHBO，BGMBNHBGHBMNBMPNSSSSS四边形，BGHS为定值，BMNS最小时，BMPNS四边形的值最大，此时 PMN 的面积最大，过点 P 作 PQMN于点Q，则11()22BMPNSMN BOPQMN BP四边形，当 MNBP时，即

24、O 点与 Q 点重合时，BMPNS四边形的值最大，PGPH，PBGPBH，60GBPHBP，30GBMPBM ，30PBNHBN 30PBMPBN ，ASABMOBNO BMBN，此时 BMN 是等边三角形，BMMNBN，30BGMGBMBHGHBN ，GMBMBNHN，10 33GMMNNH，PMN 的最大值110 325 3225 325233BGHBMNSS 【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30的直角三角形、隐圆等知识通过构造轴对称，利用轴对称进行求解，是解题的关键 例 2（2023 下四川达州八年级校考期末）如图，45AOB，点 M、N 分别在

25、射线OAOB、上，4MN，OMN 的面积为 12，P 是直线 MN 上的动点，点 P 关于OA对称的点为1P，点 P 关于OB 对称的点为2P，当点 P 在直线 NM 上运动时，12OPP 的面积最小值为 【答案】92【分析】连接OP，过点 O 作OHMN交 NM 的延长线于 H，先利用三角形的面积公式求出OH，再根据轴对称的性质可得1AOPAOP，2BOPBOP，12OPOPOP，从而可得1290POP，然后利用三角形的面积公式可得12OPP 的面积为212 OP，可得当点 P 与点 H 重合时，OP 取得最小值，12OPP 的面积最小，由此即可得【详解】解：如图，连接OP，1122OMNS

26、MN OH，且4MN，6OH，点 P 关于OA对称的点为1P，点 P 关于OB 对称的点为2P，1AOPAOP，2BOPBOP，12OPOPOP，45AOB，122290POPAOPBOPAOB，12OPP 的面积为2121122OP OPOP，由垂线段最短可知，当点 P 与点 H 重合时，最小值为6OH，12OPP 的面积的最小值为219322，故答案为：92 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键 例 3（2022山东泰安中考真题）如图，30AOB，点 M、N 分别在边OAOB、上，且3,5OMON，点P、Q 分别在边OBOA、上，则 MPPQQN的最小值是（

27、）A 34 B 35 C 342 D 352【答案】A【分析】作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，连接 MN，即为 MP+PQ+QN 的最小值；证出ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，得出NOM=90，由勾股定理求出 MN即可【详解】解：作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，如图所示：连接 MN，即为 MP+PQ+QN 的最小值 根据轴对称的定义可知：5ONON，3OMOM ，NOQ=MOB=30，NON=60，60MOM，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，在 RtMON中，MN=223534故选：A【点睛】

28、本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键 例 4（2023 春湖北黄石八年级统考期中）如图，在矩形 ABCD中，6AB，2AD，E、F 分别是 AB 和DC上的两个动点，M 为 BC 的中点，则 （1）DEEFFM的最小值是_；（2）若45EFD，则 DEEFFM的最小值为_【答案】61 225/52 2【分析】（1）延长 DA作点 D 的关于点 A 的对称点 D，延长 MC 作点 M 的关于点 C 对称点C，作 DNCM，且 DNCM=，D M即为最小值；（2）过点 E 作 EPCD于 P，可得2 2EF，则2 2DEEFFMDEFM，故求

29、2 2DEFM的最小值即先求 DEFM的最小值过点 E 作 EMEM，且 EMEM，可知当 D，E，M 三点共线时，DEEM最小利用DEPFMC，可求得CF，进一步计算即可得出答案【详解】解：（1）如下图所示，延长 DA作点 D 的关于点 A 的对称点 D，延长 MC 作点 M 的关于点 C 对称点C，作 DNCM，且 DNCM=，可得,DED E FMFM，DEEFFMDEEFFM，D EEFFM的最小值为 D M，DNCM，且 DNCM=，四边形 ABCD为矩形，四边形 DNM C 为矩形，M 为 BC 的中点6NMDCAB，1252D NADAD，2225 3661D MD NNM；（2

30、）过点 E 作 EPCD于 P，45EFD，2EPPFBC，2 2EF，则2 2DEEFFMDEFM，求2 2DEFM的最小值即先求 DEFM的最小值 过点 E 作 EMEM，且 EMEM，DEFMDEEM，当 D，E，M 三点共线时，DEEM最小此时 DEFM，EDPMFCEPDMCF ，DEPFMC，EPDPMCCF，设CFx，则624DPDCPFCFxx 241xx，解得43x，43CF，83DP，22103DEDPEP，2253FMEMCFCM，5DEEM，DEEFFM的最小值为52 2故答案为：52 2【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时

31、点的位置是解题的关键 模型 3.求两条线段差最大值【模型解读】在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大；（1）点 A、B 在直线 m 同侧：延长 AB 交直线 m 于点 P，根据三角形两边之差小于第三边，PA-PBAB，而 PA-PB=AB 此时最大，因此点 P 为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 异侧：过 B 作关于直线 m 的对称点 B,连接 AB交点直线 m 于 P,此时 PB=PB，PA-PB 最大值为 AB【最值原理】三角形两边之差小于第三边。例 1（2023陕西西安校考模拟预测）如图，在菱形 ABCD中，120ABC，对角线 ACBD、交于点O，8BD，点

32、 E 为OD 的中点，点 F 为 AB 上一点，且3AFBF，点 P 为 AC 上一动点，连接 PEPF、，则 PFPE的最mBAmBAPPmABmABBPP大值为_ 【答案】2 【分析】作 E 的对称点E，连接FE 并延长交 AC 于点 P，根据三角形三边关系可得到PFPEPFPEE F，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答【详解】解：作 E 的对称点 E，连接FE 并延长交 AC 于点 P，PEPE，PFPEPFPEE F，当 FEP、在同一条直线上时，PFPE有最大值 E F，在菱形 ABCD中，120ABC，60DAB，ADAB，ABD是等边三角形，60DABDBAADB ，A

33、D AB BD，8BD，8AB ，3AFBF，2BF，点 E 为OD 的中点，E 为OB 的中点，124BEBD，BFBE，BE F 是等边三角形，2E FBF，故答案为2；【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键 例 2（2023 春湖南永州八年级统考期中）如图，在矩形 ABCD中，26ABAD,，O 为对角线 AC 的中点，点 P 在 AD边上，且2AP，点 Q 在 BC 边上，连接 PQ 与OQ，则 PQ OQ的最大值为_，PQOQ的最小值为_ 【答案】2 10 【分析】连接 PO并延长交 BC 于点

34、 Q，则这个点 Q 满足使 PQ OQ的值最大，最大值为 PO的长度，证明四边形 APHB 是矩形可得2ABPH，=2APBHQC，2HQ，再利用勾股定理进行计算即可；过点 O 作关于 BC 的对称点O，连接 PO交 BC 于点 Q，PQOQ的值最小，PQOQ的最小值为 PO的长度，延长OO交 AD 于点 G，根据对称的性质可得33GOGO，再根据GOAD，点 O 是 AC 的中点，可得132AGAD，从而求得1PG ，再利用勾股定理进行计算即可【详解】解：连接 PO并延长交 BC 于点 Q，则这个点 Q 满足使 PQ OQ的值最大，最大值为 PO的长度，四边形 ABCD是矩形，ADBC，90

35、AB ，PAOQCO，点 O 是 AC 的中点，AOCO，又=POAQOC，APOCQO ASA，OPOQ，APQC，2AP，2CQ，过点 P 作 PHBC于点 P，=90ABPHB，四边形 APHB 是矩形，2ABPH，=2APBHQC，=622=2HQ，22222 2PQ，1=22POPQ；过点 O 作关于 BC 的对称点O，连接 PO交 BC 于点 Q，PQOQ的值最小，PQOQ的最小值为 PO的长度，延长OO交 AD 于点 G，GOAD，点 O 是 AC 的中点，132AGAD，1=12GODC，2AP，=3=3GOGO，=32=1PG，22=13=10PO，PQOQ的最小值为：10，

36、故答案为：2；10 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键 例 3（2022河南南阳一模）如图，已知 ABC 为等腰直角三角形，ACBC6，BCD15，P 为直线 CD上的动点，则|PAPB|的最大值为_ 【答案】6【分析】作 A 关于 CD 的对称点 A，连接 AB 交 CD 于 P，则点 P 就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=AB，连接 AC，根据等腰直角三角形的性质得到CAB=ABC=45，ACB=90，根据角的和差关系得到ACD=75，根据轴对称的性质得到 AC=AC=BC，CAA=CAA=15，推出

37、ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论【详解】如图，作 A 关于CD的对称点 A，连接 A B 并延长交CD延长线于点 P，则点 P 就是使 PAPB的值最大的点，PAPBA B，连接 A C，ABC 为等腰直角三角形，6ACBC，45CABABC，90ACB，15BCD，75ACD，点 A 与 A关于 CD 对称，CDAA，ACA C，CA ACAA ，15CAA，AC=BC，A CBC，15CA ACAA ，150ACA，90ACB，60A CB，A BC是等边三角形，6A BBC故答案为：6 【点睛】此题主要考查轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定

38、和性质，正确的作出图形是解题的关键 例 4（2022湖北武汉八年级期末）如图，/ABDP，E 为 DP上一动点，ABCBCD，过A 作 ANEC交直线 EC 于 N，过 D 作 DMEC交直线 EC 于点 M，若114B ，当 ANDM的值最大时，则ACE _ 【答案】123【分析】当 DM 与 DP 重合，AN 与 AB 重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果【详解】解：当 DM 与 DP 重合，AN 与 AB 重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，ABC=114，CDE=180-11

39、4=66，MCD=90-66=24，又AB=BC，ACB=（180-114）2=33，ACE=180-ACB-DCM=180-33-24=123，故答案为：123【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键 课后专项训练 1（2022四川资阳中考真题）如图，正方形 ABCD的对角线交于点 O，点 E 是直线 BC 上一动点若4AB，则 AEOE的最小值是()A4 2 B2 52 C2 13 D2 10 【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点 A 关于直线 BC 的对称点 A，再连接 A O，

40、运用两点之间线段最短得到 A O为所求最小值，再运用勾股定理求线段 A O的长度即可【详解】解：如图所示，作点 A 关于直线 BC 的对称点 A，连接 A O，其与 BC 的交点即为点 E，再作OFAB交 AB 于点 F，A 与 A关于 BC 对称，AEA E，AEOEA EOE，当且仅当 A，O，E 在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时 AEOEA EOEA O，正方形 ABCD，点 O 为对角线的交点，122OFFBAB，对称，4ABBA，246FAFBBA，在 Rt OFA中，222 10OAFOFA，故选：D 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求

41、线段长度是解题关键。2（2022山东菏泽统考中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，2,60ABABC，M 是对角线 BD 上的一个动点，CFBF，则MA MF的最小值为（）A1 B 2 C3 D2【答案】C【分析】连接 AF，则 AF 的长就是 AM+FM 的最小值，证明 ABC 是等边三角形，AF 是高线，利用三角函数即可求解【详解】解：连接 AF，则 AF 的长就是 AM+FM 的最小值 四边形 ABCD 是菱形，ABBC，又ABC60，ABC 是等边三角形，CFBFF 是 BC 的中点，AFBC 则 AFABsin602332即MA MF的最小值是 3 故选：C【点睛】本题考查了菱形的性

42、质，等边三角形以及三角函数，确定 AF 的长就是 MA MF的最小值是关键 3（2023安徽统考中考真题）如图，E 是线段 AB 上一点，ADEV和 BCE 是位于直线 AB 同侧的两个等边三角形，点,P F 分别是,CD AB 的中点若4AB，则下列结论错误的是（）A PAPB的最小值为3 3 B PEPF的最小值为2 3 C CDE 周长的最小值为 6 D四边形 ABCD面积的最小值为3 3【答案】A【分析】延长,AD BC，则 ABQ 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当 E 点与 F 重合时，则,Q P F 三点共线，各项都取得最小值，得出 B，C，D 选项正确，即可求解【详

43、解】解：如图所示，延长,AD BC，依题意60QADQBA ABQ 是等边三角形，P 是CD的中点，PDPC，DEACBA，EDCQ,PQCPEDPCQPDE ，PDEPCQ PQPE，四边形 DECQ是平行四边形，则 P 为 EQ的中点，如图所示，设,AQ BQ的中点分别为,G H，则11,22GPAE PHEB 当 E 点在 AB 上运动时，P 在GH 上运动，当 E 点与 F 重合时，即 AEEB，则,Q P F 三点共线，PF 取得最小值，此时122AEEBAEEB，则ADEECB，,C D 到 AB 的距离相等，则CDAB，此时332PFAD 此时ADEV和 BCE 的边长都为 2，

44、则,AP PB 最小，3232PF，22237PAPB PAPB 2 7，或者如图所示，作点 B 关于GH 对称点 B，则 PBPB，则当,A P B三点共线时，APPBAB 此时22242 32 7ABABBB 故 A 选项错误，根据题意可得,P Q F 三点共线时，PF 最小，此时 PEPF3，则2 3PEPF，故 B 选项正确；CDE 周长等于4CDDECECDAEEBCDABCD，即当CD最小时，CDE 周长最小，如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM，60,60GHQGHMGDM ，则120CHM 如图，延长 DE,HG，交于点 N，则60NGDQGH，60NDGADE NGD是等

45、边三角形，NDGDHM，在 NPD与HPC中，60NPDHPCNCHPPDPC NPDHPC NDCHCHMH30HCMHMC CMQF，则CMDM，DMC 是直角三角形，在DCM中，DCDM当 DCDM时，DC 最短，122DCGHAB 2CDPCPC CDE 周长的最小值为2226，故 C 选项正确；NPDHPC四边形 ABCD面积等于ADEEBCDECADENEBHSSSSS平行四边 当BGD的面积为 0 时，取得最小值，此时，,D G 重合，CH，重合 四边形 ABCD面积的最小值为2332=43 3，故 D 选项正确，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理

46、，熟练掌握等边三角形的性质，得出当 E 点与 F 重合时得出最小值是解题的关键 4（2023广东深圳校联考模拟预测）如图，点 E 是正方形 ABCD内部一个动点，且8ADEB，2BF，则 DECF的最小值为（）A10 B3 11 C7 2 D 97 【答案】A【分析】取2BGBF，则8 2 6CG ,证明 BGEBFC得出BEGBCF，进而证明FCEGEC，即可证明 FCEGEC，得出 EGCF，则当,E G D三点共线时，DECF取得最小值，最小值为 DG 的长，勾股定理即可求解【详解】解：如图所示，取2BGBF，则826CG ,连接 EG，8ADEB，2BF，点 E 在以 B 为圆心8 为

47、半径的圆上运动，点 F 在以 B 为圆心2 为半径的圆上运动，在,BGE BFC 中，BFBGEBGCBFBEBC，BGEBFC，BEGBCF，BGEBFC FGCCFE，8BEBC，BECBCE，即FECGCE，FCEGEC，又6CGEF，FGCCFE，FCEGEC，EGFC，当 EGFC时，则当,E G D三点共线时，DECF取得最小值，最小值为 DG 的长，在 RtCDG中，2210DGDCCG，故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键 5（2023 春福建厦门八年级校联考期中）如图，在ABCD 中，AB2，BC

48、4，D60，点 P、Q 分别是AC 和 BC 上的动点，在点 P 和点 Q 运动的过程中，PB+PQ 的最小值为（）A4 B3 C23 D43 【答案】C【分析】取 BC 的中点 G，连接 AG首先证明BAC90，作点 B 关于 AC 的对称点 F，连接 GF，证 FGBC，则 FG 的长即为 PB+PQ 的最小值【详解】解：取 BC 的中点 G，连接 AG在ABCD 中，AB2，BC4，D60，ABBG2，ABGD60，ABG 是等边三角形，AGGC2，AGBBAG60，GACGCA30，BAC90，作点 B 关于 AC 的对称点 F，连接 GF，交 AC 于点 P，由对称可知，B、A、F

49、在一条直线上，AGAF，BAGF+AGF60，FAGF30，FGB90，当点 Q 与点 G 重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG 的长即为 PB+PQ 的最小值，FAGF30，AGGC2，BF4，222 3FGBFBG，BP+PQ 的最小值为 23故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点 P，Q 的位置是解答此题的关键6（2023安徽合肥二模）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足 AE=CG、BF=DH，且 AB=10、BC=5

50、，则四边形 EFGH 周长的最小值等于（）A10 5 B103 C5 5 D53 【答案】A【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明AEHCGF SAS，BEFDGH SAS，则 EHGF，EFHG，如图，作 E 关于 BC 的对称点 E，连接 E G交 BC 于 F，此时 EFFG最小，即四边形 EFGH 周长最小，作GGAB 于G，则四边形 BCGG 是矩形，BGCG，GGBCAD，则10E GAB ，5GGAD ，在 Rt GEG 中，由勾股定理得22E GE GGG 求出 E G的值，进而可求最小的周长【详解】解：四边形 ABCD是矩形，ABCD，ADBC，90BADADCBCDABC

51、 ，AECG，BFDH，BEDG，CFAH，在AEH和CGF中90AHCFEAHGCFAECG，AEHCGF SAS，EHGF，同理BEFDGH SAS，EFHG，如图，作 E 关于 BC 的对称点 E，连接 E G交 BC 于 F，此时 EFFG最小，即四边形 EFGH 周长最小，作GGAB 于G，四边形 BCGG 是矩形，BGCG，GGBCAD，AECG，BEBE，10E GAB ，5GGAD ，在 Rt GE G 中，由勾股定理得225 5E GE GGG，四边形 EFGH 的周长210 5EFFGGHEHE G，故选 A【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称

52、等知识解题的关键在于找出四边形 EFGH 周长最小时点 E、FG、的位置关系 7（2023四川广元一模）如图，已知正方形 ABCD边长为 3，点 E 在 AB 边上且1BE ，点 P，Q 分别是边 BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面积是（）A 34 B 92 C 45 D 35 【答案】B【分析】作 E 关于 BC 的对称点 E，点 A 关于 DC 的对称点 A，连接 A E，四边形 AEPQ 的周长最小，根据ADQPCQBEPABCDAEPQSSSSS正方形四边形，即可解【详解】解：如图 1 所示，作 E 关于 BC 的对称点 E

53、，点 A 关于 DC 的对称点 A，连接 A E，四边形 AEPQ 的周长最小，3ADA D，1BEBE，6AA，4AE DQAE，D 是 AA的中点，DQ 是AA E 的中位线，122DQAE，3 21CQDCCQ ，BPAA，BE PAE A，BPBEAAAE，即164BP，32BP，33322CPBCBP，ADQPCQBEPABCDAEPQSSSSS正方形四边形1119222AD DQCQ CPBE BP 1131393 21122222 92，故选：B【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四

54、边形 AEPQ 的周长最小时，P、Q 的位置 8（2022江苏九年级月考）如图，点 A，B 在直线 MN 的同侧，A 到 MN 的距离8AC，B 到MN 的距离5BD，已知4CD，P 是直线 MN 上的一个动点，记 PAPB的最小值为a，PAPB的最大值为b，则22ab的值为（）A160 B150 C140 D130【答案】A【分析】作点 A 关于直线 MN 的对称点 A，连接 A B 交直线 MN 于点 P，则点 P 即为所求点，过点 A作直线AEBD，在根据勾股定理求出线段 A B 的长，即为 PA+PB 的最小值，延长 AB 交 MN 于点 P，此时PA PBAB，由三角形三边关系可知

55、ABPAPB，故当点 P 运动到 P 时 PAPB最大，过点 B 作 BEAC由勾股定理求出 AB 的长就是 PAPB的最大值，代入计算即可得【详解】解：如图所示，作点 A 关于直线 MN 的对称点 A，连接 A B 交直线 MN 于点 P，则点 P 即为所求点，过点 A作直线 AEBD，8AC，5BD，4CD ，8A C，8+5=13BE，=4A E CD，在 Rt A EB中，根据勾股定理得，22=+13+4=185A BBE A E，即 PA+PB 的最小值是185a；如图所示，延长 AB 交 MN 于点 P，PA PBAB，ABPAPB，当点 P 运动到 P 点时，PAPB最大，过点

56、B 作 BEAC，则4BECD，8 53AEACBD，在 Rt AEB 中，根据勾股定理得，2222345ABAEBE，5PAPB，即5b，2222(185)5160ab，故选 A【点睛】本题考查最短线路问题和勾股定理，解题关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系 9（2023 上山东菏泽八年级统考期中）如图，ABC 中，ABAC，6cmBC=，218cmABCS，EF 是 AC的垂直平分线，分别交 AC，AB 于点 E，F，点 D 是 BC 边的中点，点 M 是线段 EF 上一动点，则CMDM的最小值为（）A6 B7 C8 D9【答案】A【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰

57、三角形三线合一的性质是解答此题的关键连接 AD，由于 ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，CMAM，故 AD 的长为 AMDMCMDM的最小值，由此即可得出结论【详解】连接 AD，AM ABAC，点 D 是 BC 边的中点，ADBC，1161822ABCSBC ADAD，解得6AD，EF 是 AC 的垂直平分线，CMAM，CMDMAMDMAD，当点 M 在线段 AD上时，CMDM的值最小，CMDM的最小值为6故选：A 10（2023 上江苏连云港九年级校联考阶段练习）如图，MN 是

58、O 的直径，6MN，点A 在O 上，30AMN，B 为 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB的最小值是 【答案】3 2 【分析】首先利用在直线 L 上的同侧有两个点 A、B，在直线 L 上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 L 的交点就是所要找的点 P 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算【详解】作点 B 关于 MN 的对称点C，连接 AC 交 MN 于点 P，连接OB，则 P 点就是所求作的点 此时 PAPB最小，且等于 AC 的长连接OA，OC，30AMN，60AON，B

59、 为 AN 的中点，ABBN30AOBBON ，MNBC，CNBN，30CONNOB，则=90AOC，又3OAOC，则3 2AC 故答案为：3 2 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解题的关键是确定点 P 的位置 最短问题，属于中考常考题型 11（2023 下四川达州八年级校考期末）如图，AC，BD在 AB 的同侧，10AC，3BD，8AB，点M为 AB 的中点，若120CMD，则CD的最大值是 【答案】17 【分析】作点 A 关于CM 的对称点 A，点 B 关于 DM 的对称点 B，由120CMD，可推出A MB 为等边三角形，再根据三角形三边关系即可推出结论【详解】解：如图，作点 A

60、关于CM 的对称点 A，点 B 关于 DM 的对称点 B，连接 A C，A M，A B，MB，B D ，120CMD，60AMCDMB，60CMADMB，60A MB，MAMB，A MB 为等边三角形，点 M 为 AB 的中点，8AB，4AM，CDCAA BB DCAAMBD 104317，CD的最大值为17，故答案为：17 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确作出辅助线利用三角形的三边关系求解是解题的关键 12（2023 上山东德州八年级校考期中）如图，在 ABC 中，10ABAC，12BC，8AD，AD 是BAC的平分线若 P，Q 分别是 A

61、D 和 AC 上的动点，则 PCPQ的最小值是 【答案】9.6【分析】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求CQ 的值是解题关键 根据题意可证 AD是 BC 边上的高，设点 Q 关于直线 AD 对称的对称点为Q，可得 PCPQPCPQ，根据题意可证点Q在 AB 上，当CQAB 且 C、P、Q三点共线时，PCPQ有最小值CQ，根据等面积法计算求值即可【详解】解：10ABAC，AD 是BAC的平分线，ADBC，设点 Q 关于直线 AD对称的对称点为Q，连接 PQ，如图，AD 是BAC的平分线，点Q在 AB 上，PCPQPCPQ，当CQAB 且 C、P、Q

62、三点共线时，PCPQ有最小值，即 PCPQCQ，1122BCADAB CQ,10AB，12BC，8AD ，1112 81022CQ，解得，9.6CQ，PCPQ的最小值是9.6，故答案为：9.6 13（2022重庆大渡口九年级期中）如图，Rt ABC，ACB90，BCAC4，平面内直线 BC 的左侧有一点 P，连接 BP，CP，4BCPS，将 BCP 沿 BC 翻折至同一平面得到BCP，连接AP 若 APBP取得最大值时，则ACPS _ 【答案】12【分析】如图 1 中，过点 P 作 PHBC 于点 H求出 PH2，推出点 P 在 BC 的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BPBP，推出|AP

63、PB|APBP|AB4 2，推出当 A，B，P共线时，|APPB|的值最小，如图 2 中，设 BC 的中垂线交 AC 于点 M，交 AB 于点 N则 NMAMMC2，PNPP4，求出PM，即可解决问题【详解】解：如图 1 中，过点 P 作 PHBC 于点 H ABCB4，ACB90，AB2BC4 2，SBCP4，12 4PH4，PH2，点 P 在 BC 的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BPBP，|APPB|APBP|AB4 2，当 A，B，P共线时，|APPB|的值最小，如图 2 中，设 BC 的中垂线交 AC 于点 M，交 AB 于点 N则 NMAMMC2，PNPP4，PM4+26，SACP12 ACPM12 4612，故答案为：12【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点 P 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题 14（2023 秋江苏盐城九年级统考期末）ABC 中，90ACB，4ACBC，点 P 为高CD上的一个动点，连接 AP，将射线 AP 绕点 A 顺时针旋转45，交过点 P 与 AP 垂直的直线于点 Q，连接 DQ，则ADQ周长的最小值是_