专题24 特殊四边形(解析版).docx

1、专题24 特殊四边形 【专题目录】技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题【题型】一、矩形的性质【题型】二、证明四边形是矩形【题型】三、矩形性质与判定的综合【题型】四、探索正方形的性质【题型】五、证明四边形是正方形【题型】六、探索菱形的性质【题型】七、证明四边形是菱形【题型】八、直角三角形斜边中线计算问题【考纲要求】1、掌握平行四边形与矩形、菱形的关系2、掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质3、灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.【考点总结】一、矩形矩形矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质1）矩形具有平行四边形的所有

2、性质；2）矩形的四个角都是直角；几何描述：四边形ABCD是矩形 BAD=ADC=BCD=ABC=903）对角线相等；几何描述：四边形ABCD是矩形 AC=BD推论：1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。矩形的判定1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；2）对角线相等的平行四边形是矩形；3）有三个角是直角的四边形是矩形。【考点总结】二、正方形正方形正方形的定义四条边都相等，四

3、个角都是直角的四边形叫做正方形.正方形的性质1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。3、正方形对边平行且相等。4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.正方形的判定1）有一个角是直角的菱形是正方形；2）对角线相等的菱形是正方形；3）一组邻边相等的矩形是正方形；4）对角线互相垂直的矩形是正方形；5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.正方形的面积公式：面积=边长边长=12对角线对角线

4、【考点总结】三、菱形菱形菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质1、 菱形具有平行四边形的所有性质；2、菱形的四条边都相等；几何描述：四边形ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。几何描述：四边形ABCD是菱形 ACBD,AC平分BAD, CA平分BCD，BD平分CBA，DB平分ADC3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。菱形的判定1、A对角线互相垂直的平行四边形是菱形。2、四条边相等的四边形是菱形。3、一组邻边相等的平行四

5、边形是菱形。菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S底高，S【技巧归纳】技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题【类型】一、利用矩形的性质巧求折叠中的角1当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；(2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求AFE的度数来源:学,科,网【类型】二、利用矩形的性质巧求折叠中线段的长2图为

6、长方形纸片ABCD，AD26，AB22，直线L，M皆为长方形的对称轴今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图，最后将图的五边形展开后形成一个八边形，如图，且八边形的每一边长恰好均相等(1)若图中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长(2)请求出图中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程【类型】三、利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系3如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE.求证：(1)BFDF；(2)AEBD.【类型】四、利用矩形的性质巧求折叠中线段的比4如图

7、，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CMCN；(2)若CMN的面积与CDN的面积比为31，求的值来源:学科网参考答案1解：设折叠后，点A的对应点为点A，点B的对应点为点B，如图，由折叠的性质得AEFAEF，BEAAEB，BABE，BEBE，AEEA.BABABE90，BEB90.BEAAEB45.又BEAAEFFEA180，FEA67.5.ADBC，AFEFEA67.5.2解：(1)分别延长HI与FE，相交于点N，如图HNAD13，NFAB11，HIEFx，NIHNHI13x，NENFEF11x.剪下的直角三

8、角形的勾长为11x，股长为13x.来源:学.科.网Z.X.X.K (2)在RtENI中，NI13x，NE11x，EI.八边形的每一边长恰好均相等，EI2HI2x，整理得：x224x1450，(x5)(x29)0，解得：x5，或x29(舍去)来源:学。科。网Z。X。X。KEI2510.故八边形的边长为10.3证明：(1)由折叠的性质可知，FBDCBD.因为在矩形ABCD中，ADBC，所以FDBCBD.所以FBDFDB.所以BFDF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABDC，ADBC.由折叠的性质可知，DCEDAB，BCBEAD.又因为AEAE，所以AEBEAD.所以AEBEAD.所以AEB(

9、180AFE)由(1)知DBEBDF，所以DBE(180BFD)而AFEBFD，所以AEBDBE.所以AEBD.4(1)证明：由折叠的性质可得点A，C关于直线MN对称，ANMCNM.四边形ABCD是矩形，ADBC.ANMCMN.CMNCNM.CMCN.(2)解：过点N作NHBC于点H，则四边形NHCD是矩形，HCDN，NHDC.CMN的面积与CDN的面积比为31，3.MC3DN3HC.MH2HC.设DNx，则HCx，MH2x.CM3xCN.在RtCDN中，DC2x，NH2x.在RtMNH中，MN2x.2.技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题【类型】一、平行四边形中的动点问题1如图，在ABC

10、D中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BEDF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由【类型】二、菱形中的动点问题2如图，在菱形ABCD中，B60，动点E在边BC上，动点F在边CD上(1)如图，若E是BC的中点，AEF60，求证：BEDF；(2)如图，若EAF60，求证：AEF是等边三角形【类型】三、矩形中的动点问题3在矩形ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长来源:Z_xx_k.Com(2)如图，动点P，Q分别从

11、A，C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周，即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值【类型】四、正方形中的动点问题4如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AEBFCGDH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由参考答案1解：AECF，AECF.理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.ABECDF.又BEDF，ABECDF.A

12、ECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180，AEDCFB.AECF.2证明：(1)连接AC.在菱形ABCD中，B60，ABBCCD，BCD180B120，ABC是等边三角形又E是BC的中点，AEBC.AEF60，FEC90AEF30.CFE180FECBCD1803012030.FECCFE.ECCF.BEDF.(2)连接AC.由(1)知ABC是等边三角形，ABAC，ACBBACEAF60.BAECAF.BCD120，ACB60，ACF60B.ABEACF.AEAF.AEF是等边三角形3解：(1)四边形ABCD是矩形，ADBC.OAEOCF，AEOCFO.EF垂直平分AC，垂足为O，

13、OAOC.AOECOF.OEOF.四边形AFCE为平行四边形又EFAC，四边形AFCE为菱形设AFCFx cm，则BF(8x)cm，在RtABF中，AB4 cm，由勾股定理得42(8x)2x2，解得x5，AF5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不可能构成平行四边形因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PCQA.点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，PC5t cm，QA(1

14、24t)cm.5t124t，解得t.以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t.4(1)证明：四边形ABCD为正方形，AABCCADC90，ABBCCDAD.AEBFCGDH，BECFDGAH.AEHBFECGFDHG.EHEFFGGH，12.四边形EFGH为菱形1390，12，2390.HEF90.四边形EFGH为菱形，四边形EFGH是正方形(2)解：直线EG经过一个定点理由如下：如图，连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点BE DG，四边形BGDE为平行四边形BD，EG互相平分BOOD.点O为正方形的中心直线EG必过正方形的中心【题型讲解】【题型】一、矩形的性质例1、如图，矩

15、形ABCD中，且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是ABCD【答案】C【提示】如图，过点D作，垂足为G，则，首先证明，由全等三角形的性质可得到，设，则，在中依据勾股定理列方程求解即可【详解】如图所示：过点D作，垂足为G，则，设，则，在中，解得：，故选C【题型】二、证明四边形是矩形例2、如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF（1）求证：BDEFAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形【答案】（1）见解析；（2）见解析【提示】（1）首先根据平行线的性质得到AFE=DBE，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的

16、判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到ADC=90，于是得到结论【详解】（1）证明：AFBC，AFE=DBE，E是线段AD的中点，AE=DE，AEF=DEB，（AAS）；（2）证明：，AF=BD，D是线段BC的中点，BD=CD，AF=CD，AFCD，四边形ADCF是平行四边形，AB=AC，ADC=90，四边形ADCF为矩形【题型】三、矩形性质与判定的综合例3、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BFAE交AE于点F，则BF的长为（）ABCD【答案】B【提示】根据SAB

17、E=S矩形ABCD=3=AEBF，先求出AE，再求出BF即可【详解】如图，连接BE四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，D=90，在RtADE中，AE=，SABE=S矩形ABCD=3=AEBF，BF=故选B【题型】四、探索正方形的性质例4、如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）ABCD【答案】D【提示】利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出B，BC的长度，进而得出C点的坐标即可【详解】解：O，D两点的坐标分别是，OD6，四边形是正方形，OBBC，OB=BC=6C点的坐标为：，故选：D【题型】五、证明四边形是正方形例

18、5、已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且CBE：BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【提示】（1）首先证得ADECDE，由全等三角形的性质可得ADE=CDE，由ADBC可得ADE=CBD，易得CDB=CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；（2）由BE=BC可得BEC为等腰三角形，可得BCE=BEC，利用三角形的内角和定理可得CBE=180 =45

19、，易得ABE=45，可得ABC=90，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形【详解】（1）在ADE与CDE中，ADECDE，ADE=CDE，ADBC，ADE=CBD，CDE=CBD，BC=CD，AD=CD，BC=AD，四边形ABCD为平行四边形，AD=CD，四边形ABCD是菱形；（2）BE=BC，BCE=BEC，CBE：BCE=2：3，CBE=180 =45，四边形ABCD是菱形，ABE=45，ABC=90，四边形ABCD是正方形【题型】六、探索菱形的性质例6、如图，在菱形ABCD中，AB5，AC6，过点D作DEBA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）ABC4D【答案】D【提示】

20、利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可【详解】解：记AC与BD的交点为，菱形, 菱形的面积 菱形的面积 故选D【题型】七、证明四边形是菱形例7、如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）A3.5B4C7D14【答案】A【分析】首先根据菱形的性质求出边长并得出，然后利用三角形中位线的性质即可求出答案【详解】菱形的周长为28，为边中点，是的中位线，故选：A【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键【题型】八、直角三角形斜边中线计算问题例8、如图，在RtABC中，ACB90，CD为中线，

21、延长CB至点E，使BEBC，连结DE，F为DE中点，连结BF若AC8，BC6，则BF的长为（）A2B2.5C3D4【答案】B【提示】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是CDE的中位线，则BF=CD【详解】解：在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，AB10又CD为中线，CDAB5F为DE中点，BEBC，即点B是EC的中点，BF是CDE的中位线，则BFCD2.5故选：B特殊四边形（达标训练）一、单选题1如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，则菱形的周长为（）A8B4CD【答案】A【分析】如图所示，连接BD，利用

22、菱形的性质得到ACBD，然后解直角OAB求出AB的长即可得到答案【详解】解：如图所示，连接BD，四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，AB=BC=CD=AD，O为BD中点，且ACBD，BAC=30，菱形的周长为AB+BC+CD+AD=8，故选：A【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟知菱形的性质是解题的关键2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EFBD，EGAC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（）ABCD【答案】B【分析】连接OE，根据菱形的性质可得OA=OC=5，OB=OD=12，ACBD，再由勾股定理可得AD=

23、13，再根据E是边AD的中点，可得OE=6.5，再证得四边形EFOG为矩形，即可求解【详解】解：连接OE，四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，OA=OC=5，OB=OD=12，ACBD，在RtAOD中，AD= =13，又E是边AD的中点，OE= AD= 13=6.5，EFBD，EGAC，ACBD，EFO=EGO=GOF=90，四边形EFOG为矩形，FG=OE=6.5故答案为：B【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键3如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若DEF70，则1的

24、度数是（）A70B55C40D35【答案】C【分析】根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质以及平角的定义即可求解【详解】解：四边形是矩形，DEF70，折叠的性质，1故选：C【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，平行线的性质，掌握折叠的性质与平行线的性质是解题的关键4如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接若，则的长为（）A3BCD【答案】B【分析】根据矩形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可【详解】解：四边形是矩形，垂直平分，是等边三角形，是等边三角形，故选：B【点睛】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，根据矩形的性质得

25、出，是解题的关键5如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；（2）分别以点B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在BAD的内部交于点G，连接AG并延长交BC于点F若AB5，BE6，则AF的长是（）A4B6C8D10【答案】C【分析】设AF交BE于H，证明四边形AEFB是菱形，利用勾股定理求出AH即可【详解】解：设AF交BE于H，由题意得AB=AE，AF平分BAD，BAF=EAF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EAF=AFB，BAF=AFB，AB=BF，BF=AE，AEBF，四边形AEFB是平行四边形，AB=EF，AB=AE=EF=BF，四边形AE

26、FB是菱形，AH=FH，BH=HE=3，AFBE，AH=，AF=2AH=8，故选：C【点睛】此题考查了角平分线的作图，菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，正确理解角平分线的作图是解题的关键二、填空题6如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点且，连接、，则的最小值为_【答案】【分析】连接AE，利用转化线段BF得到,则通过作点A关于BC的对称点H，连接DH交BC于点E，利用勾股定理求出DH的长即可【详解】解：连接，如图，四边形是正方形，又， 所以最小值等于最小值作点关于的对称点点，如图，连接，则A、B、三点共线，连接，与的交点即为所求的点根据对称性可知，所以 在中，最小值为故答案为： 【点

27、睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段7如图，在中，点F为射线CB上一动点，过点C作于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是_【答案】1【分析】取AC的中点T，连接DT、MT，利用三角形的中位线定理求出DT的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出MT，并确定点M的运动轨迹，然后由即可获得结论【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT、MT，D是AB的中点，T是AC的中点，点F为射线CB上一动点， ，即，点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，DM的最小值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了点与圆的位

28、置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题三、解答题8如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足其中对应对应对应(1)求证：(2)若，求的值【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由相似可得，再由矩形的性质得，从而可求得，则有，即可求得的度数；（2）结合（1）可求得，再由相似的性质求得，即可求的值（1），四边形是矩形，即，在中，；（2）由（1）得，即，由（1）得：，则，在中，【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得特殊四边形（

29、提升测评）一、单选题1菱形不具备的性质是（）A四条边都相等B对角线一定相等C对角线平分内角D是中心对称图形【答案】B【分析】根据菱形的性质逐一判断即可【详解】解：A、菱形的四条边都相等，故本选项不合题意；B、菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；C、菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意；D、菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质以及中心对称图形，掌握菱形的性质是解答本题的关键2如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（）A8B15C16D24【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AO=CO，AOE=

30、COF,根据平行线的性质得出EAO=FCO,根据ASA推出AEOCFO，由全等得到OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EFAC即可推出四边形是菱形，根据垂直平分线的性质得出AF=CF，根据勾股定理即可得出结论【详解】连接AF，CE，EF是AC的垂直平分线，AO=CO，AOE=COF=90，四边形ABCD是矩形，ADBC，EAO=FCO，在AEO和CFO中，,AEOCFO（ASA），OE=OF，又OA=OC，四边形AECF是平行四边形，EFAC，平行四边形AECF是菱形，AE=CE，设AE=CE=x，EF是AC的垂直平分线，AE=CE=x，DE=16-x，在RtCDE中，,，解得，AE=,

31、=10,EF=2OE=15,故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形AECF是菱形是解题的关键3如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出在菱形ABCD面积的是（）ABCD【答案】D【分析】根据菱形的性质求解即可判断【详解】解：四边形ABCD是菱形，AEBC，菱形ABCD面积的是AEBC，选项A错误，不符合题意；四边形ABCD是菱形，AFCD，菱形ABCD面积的是AFCD，选项B不正确，不符合题意；四边形ABCD是菱形，AC、BD是菱形的对角线，菱形ABCD面积的是ACBD，选项C错误，不符合题意；四边形ABCD是菱形，DGBC，菱形A

32、BCD面积的是DGBC，选项D正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质“菱形对角线相互垂直”是解题的关键4菱形两条对角线的长分别为和，则该菱形的边长为（）ABCD【答案】B【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得到对角线一半的长度，再根据勾股定理即可求出边长【详解】因为菱形的对角线互相垂直平分，且两条对角线长分别为2、4，所以对角线的一半分另为1、2，边长=，故选 ：B【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键5如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点若，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】先利用互余计算出，再根据平行线的性质得，接着根据折叠

33、的性质得，于是得到结论【详解】解：四边形为矩形，又，矩形沿对角线折叠，故选：B【点睛】本题考查图形的变换折叠，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质等知识理解和掌握折叠的性质是解题的关键二、填空题6如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D落在BAC的内部，若CAD=33，则CAE的度数为_【答案】6#6度【分析】设CAE=，根据折叠的性质列式+33+=45，解之可得答案【详解】解：设CAE=，根据折叠的性质知DAE=DAE=CAE+DAC=+33，四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线，CAD=45，即DAE+CAE=+33+=45，解得：=6，CAE的

34、度数为6，故答案为：6【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题7如图，在菱形ABCD中，已知BD8，AC6，则菱形ABCD的边长为_【答案】5【分析】由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AOBO，由勾股定理求出AB【详解】解：如图，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，OA=OC=3，OB=OD=4，AOBO，在RtAOB中，由勾股定理得：，菱形ABCD的边长为5，故答案为：5【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键三、解答题8如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上

35、，且，连接和相交于点求证： 【答案】证明见解析【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，ABE=BCF=90，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案【详解】证明：四边形ABCD为正方形，AB=BC=CD，ABE=BCF=90，又CE=DF，CE+BC=DF+CD即BE=CF，在BCF和ABE中， （SAS），AE=BF【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键9已知：如图，在中，点、分别在、上，且平分，/求证：四边形是菱形【答案】见详解【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得ABAE，可得结论【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，又EFAB，四边形ABFE是平行四边形，BE平分ABC，ABEFBE，ADBC，AEBEBF，ABEAEB，ABAE，平行四边形ABFE是菱形【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质等知识，证明ABAE是解题的关键