专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题(解析版).docx

1、专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题 【模型展示】特点等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年都以中考压轴题的形式出现，在分析的过程中要有分类讨论的思想，再结合图形的动态变化过程。已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类 如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB 三种情况 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？ 如果ABC 的A（的余弦值）是确定的，夹A 的两边

2、AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法 如图 1，如果 ABAC，直接列方程； 如图 2，如果 BABC，那么 1/2 ACAB cos A ； 如图 3，如果 CACB，那么 1/2 ABAC cos A 图 1 图 2 图 3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来结论等腰三角形的性质并能灵活应用【题型演练】一、单选题1如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，

3、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为（）A7B8C9D10【答案】D【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案【详解】EF是AC的垂直平分线，点A与点C关于EF对称连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使CDM周长最小时的位置点D是底边BC上的中点，且ABC是等腰三角形，BC4，MAMC，CDM的周长MC+MD+CDAD+DC8+210故选：D【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键2如图，已知ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、

4、C），过点D作DEAB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE，当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：DEF一定为等腰三角形；CFG一定为等边三角形；FDC可能为等腰三角形其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个【答案】C【分析】根据中垂线的性质，以及等边三角形的判定进行判断即可；【详解】解：是的中垂线，为等腰三角形，故正确；是等边三角形，DEAB，FGDE，CFG为等边三角形，故正确；，若FDC为等腰三角形，则：FDC为等边三角形，CFG为等边三角形，FDC不可能为等腰三角形，故错误；综上正确的个数有2个；故选C【点睛】本题考查了中垂线的性质，等边三角形的性质

5、和判定解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方法3如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当APD为等腰三角形时，AP的长为（）A或B1或C或D或1【答案】B【分析】当APPD时，P点在AD的垂直平分线上，可得BPD为等边三角形，可得APBPAB，当APAD时，勾股定理求得AD即可求解【详解】解：当APPD时，P点在AD的垂直平分线上，ABC为等边三角形，AD是BC边上的中线，ADBC，B60，BAD30，BDBC1，APDP，ADPBAD30，BPD30+3060，BPD为等边三角形，BPDP，APBPAB1；

6、当APAD时，ADB90，AB2，AD，AP当ADPD时，不合题意，综上，AP的值为1或故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键4如图，在ABC中，ABAC，B40，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作ADE40，DE交线段AC于点E以下四个结论：CDEBAD；当D为BC中点时，DEAC；当BAD30时，BDCE；当ADE为等腰三角形时，EDC30其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到B=C=40，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到BA

7、D=CDE；故正确；根据等腰三角形的性质得到ADBC，根据三角形的内角和即可得到DEAC，故正确；根据全等三角形的性质得到BD=CE；故正确；根据三角形外角的性质得到AED40，求得ADEAED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到BAD=60，故错误【详解】解：AB=AC，B=C=40，BAD=180-40-ADB，CDE=180-40-ADB，BAD=CDE，故正确；D为BC中点，AB=AC，ADBC，ADC=90，CDE=50，C=40，DEC=90，DEAC，故正确；BAD=30，CDE=30，ADC=70，CAD=180-70-40=70，DAC=ADC，CD=AC，AB=AC，

8、CD=AB，ABDDCE（ASA），BD=CE；故正确；C=40，AED40，ADEAED，ADE为等腰三角形，AE=DE，DAE=ADE=40，BAC=180-40-40=100，BAD=60，故错误；综上分析可知，正确的有3个，故C正确故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键5如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB4，EF2，设AEx当，PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，P点最多有（）A8个B10个C12个D14个【答案】A【分析】分别以E、F为圆心，E

9、F的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，观察圆和垂直平分线与正方形边的交点个数即可【详解】解：在正方形ABCD中，AB4， EF2，当时，点E，F在AC上，如图，分别以E、F为圆心，EF的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，观察图象得：PEF是等腰三角形时，P点最多有8个故选A【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是准确画出图形6如图，在正方形中，对角线上的有一动点，以为边作正方形在点运动过程中，点始终在射线上；在点运动过程中，可能为135；若是的中点，连接，则的最小值为；为等腰三角形时，的值为或以上结论正确是（）ABCD【答案】A【分

10、析】由“SAS”可证DPHFPC，可得PHDPCF135，可证点B，点C，点F三点共线，故正确；由三角形的外角可得CPD不可能为135，故错误；由DPNDGE（SAS），可得EGPN，当NPAC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为或，故正确，即可求解【详解】解：连接CF，过点P作PHPC交CD于H，如图所示：四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，PDPF，DPFHPC90，ACBACD45，DPHCPF，PCHPHC45，PHPC，PHD135，DPHFPC（SAS），PHDPCF135，ACBPCF180，点B，点C，点F三点共线，故正确；CPDC

11、ADADP，CAD45，CPD135，ADP90，则点P与点C重合，此时CPD不存在，故错误；取AD的中点N，连接PN，如图所示：点N是AD的中点，点E是CD中点，ANDEDN2，ADCPDG90，ADPGDE，又DPDG，DPNDGE（SAS），EGPN，点P是线段AC上一点，当NPAC时，NP有最小值为，EG有最小值为，故正确；ADCD4，当点P是AC中点时，APPDPC，则PCD是等腰三角形，当CPCD4时，PCD是等腰三角形，故正确；综上分析可知，正确，故A正确故选：A【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形

12、是解题的关键7如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，且为等腰三角形时点的长为（）A或BC或D【答案】D【分析】先根据，且为等腰三角形，可知为等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，设，表示出点坐标，代入直线解析式，求出的值，即可求出的长【详解】解：如图所示：，且为等腰三角形，为等腰直角三角形，轴，为等腰直角三角形，设，根据勾股定理，得，代入直线，得，解得，代入直线，得，此方程无解综上所述：故选：D【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键8如图，在中，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：；若，则；当时

13、，则为中点；当为等腰三角形时，其中正确的有个()A个B个C个D个【答案】C【分析】根据三角形外角的性质即可得到；当时，；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到【详解】，由三角形内角和定理知：故正确；，由知：，故正确；为中点，故正确；，为等腰三角形，或，当时，故不正确故选：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键9如图，已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD11，BC13，AB12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ2DP.线段PQ

14、与BD相交于点E，过点E作EFBC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DPx.下列说法正确的有几个（）（1）四边形PQCD为平行四边形时，x；（2）；（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；（4）当PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x、2或A1B2C3D4【答案】D【分析】（1）由平行四边形的性质即可求值；（2）由平行线分线段成比例即可求解其比值；（3）点P在AD上运动时，由相似三角形的判定与性质可得EF与QG的比始终是1：3，且BQCG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；（4）以线段PQ为腰，则可能是PQPG，也可能是PQQG，所以分情况求解即可【详解】解：（

15、1）PD=x，BQ2DP，BC13，QC=BCBQ=132x，ADBC，即PDQC，当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形，x=132x，PDx，故（1）正确；（2）在梯形ABCD中，ADBC，BQ2DP，EFBC，故（2）正确；（3）在BCD中，EFBC，DEFDBC，BC13，EF，又PDCG，CG2PD.CGBQ，即QGBC13作DNBC，垂足为点N，过E作EMBC于M，EMDN，DN=AB=12，BEMBDN， ，EM8.S四边形EFGQ，故（3）正确；（4）作PHBC，垂足为点H，则PH=AB=12，BH=AP=11x，（i）当PQPG时，QHGHQG，2x+11x，解得x，（i

16、i）当PQGQ时，PQ，解得x2或x，综上，当PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或，故（4）正确，正确的结论有4个故选：D【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了平行线分线段成比例的性质、相似三角形的判定与性质、以及梯形的面积的求解、等腰三角形的性质、勾股定理、解方程等知识，能够利用所学知识熟练求解是解答的关键二、填空题10如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM的周长的最小值为_【答案】8【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的

17、长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论【详解】解：连接，是等腰三角形，点是边的中点，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，的周长最短故答案为：8【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键11如示意图，在ABC中，ACBC，AEBC于点E，过点B作ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在ABC外部，连接ADC2ADB，当ADG为等腰三角形，则C的度数为_【答案】90或108【分析】设ADBx，则C2x，从而可求得EABx，ABFABC45x，所

18、以AGDEAB+ABFx+45x45+x，再分三种情况：当ADDG时，DAGDGA；当ADAG时，ADGAGD；当AGDG时，GADADGx，分别求解即可【详解】解：设ADBx，则C2x，ACBC，CABCBA90x，AEBC，AEB90，EABx，BF平分ABC，ABFABC45x，AGDEAB+ABFx+45x45+x，ADG为等腰三角形时，存在三种情况：当ADDG时，DAGDGA，即x+45+x+45+x180，x45，C90，当ADAG时，ADGAGD，x45+x，x90，C180（不符合题意，舍去），当AGDG时，GADADGx，2x+45+x180， x54，C108， 综上，C的

19、度数为90或108【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键12如图，已知AGCF，ABCF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_【答案】或【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)

20、，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0t3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，根据PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，ABCF，ABAG，GAB=ABF=90，D点为AB中点，AD=BD，结合ADP=BDE可得APDBED，AP=BE，AP=2t，BE=2t，E点坐标为(2t,0)，AB=BC=3，CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,

21、3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-3,0)，Q点在线段BC上，P点不与A点重合，0t3，BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，根据PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），综上所述：t的值可以为，故答案为：，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键解答时，需注意分类讨论的思想13如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂

22、直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM的周长的最小值为_【答案】8【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形的性质可知AD垂直BC，则根据ABC的面积即可求出AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，即有AM=BM，即有BMMD=AMMD，即当A，M，D三点共线时，BMMD的值最小，最小为AD的长，进而即可求解【详解】解：如图，连接AD，AM，ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，BC=4，ABC的面积为12,，AD6，EF是线段AB的垂直平分线，点B关于直线EF的对称点为点A，AM=BM，BMMD=AMMD，即当A，M，D三

23、点共线时，BMMD的值最小，AD的长为BMMD的最小值，BDM的周长最短为BM+MDBDADBDADBC6+2=8，故答案为：8【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键三、解答题14已知：如图，在中，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；（2）由题意可得：，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分

24、别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答（1）解：在中， （2）解：当时，点与点重合，即；当时，如下图所示：，解得：综上：当为直角三角形时，或；（3）解：当时，如下图所示：，即当时，如下图所示：；当时，如下图所示：则，在中，即，解得： 综上：当为轴对称图形时，或或【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键15如图，在中，C=90，=5cm，=3cm，动点P从点C出发，沿的路线运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒(1)=_cm；(2)出发0.5秒后，求的周长；(3)当t为何值时，为等腰三角形？(4)另有一动点Q，从点C出发

25、，沿向终点A运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？【答案】(1)4(2)()cm(3)或3或(4)2【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案（2）根据路程=速度时间求出、的长，再利用勾股定理求出的长，即可求解（3）分三种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质分别列出方程即可求解（4）根据题意列出方程，解方程即可求解（1）C=90，=5cm，=3cm，(cm)，故答案为：4（2）动点P从点C出发，沿的路线运动，且速度为每秒2cm，s时，cmcm在RtACP中，由勾股定理，得(cm)（3）当时，如图1，则， ，解得；当时，如图2，则，解得；当时，如图

26、3，作于点D，则cm，由勾股定理，得cm，cm，解综上所述，当t=或3或时，为等腰三角形；（4）由题意，得，解得，即当时，直线把的周长分成相等的两部分【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质及判定、三角形面积的计算；熟练掌握等腰三角形的判定与性质进行分类讨论是解决本题的关键16如图，在四边形中，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运劲，设运动的时间为t（秒）(1)当t为何值时，以B，Q，D，P为顶点的四边形为平行四边形？(2)当

27、t为何值时，以B，D，P为顶点的三角形为直角三角形？(3)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1），当时四边形是平行四边形，得，计算即可求出t；（2）分二种情况进行讨论，当为直角时，可证得四边形为矩形，得，即，计算即求出t；当为直角时，得，计算即可求出t；（3）分三种情况进行讨论，若，在中，由，将各数据代入，可将t求出；若，在中，将各数据代入，可将t求出；若，由得，将各数据代入，可将t求出（1）解：如下图， ，当时四边形是平行四边形，由题意可知：， 即 ，解得：， 时，四边形BQDP是平行四边形；（2）解：如下图，作，为锐角，只能或

28、者为直角，t的范围为，当为直角时， ，四边形为矩形，；当为直角时， ， 综上所述，或时，以B、D、P为顶点的三角形是直角三角形；（3）解：如下图：由上图可知，若以B、 P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 若，在中，由得，解得；若，在中，由得，即 ， 此时， 所以此方程无解，若，由得得（不符合题意，舍去）， 综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是注意分情况讨论17如图，在RtABC中，ABC，AB20，BC15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停

29、止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度(1)当t2时，CD ；AD ；(2)当t为何值时，CBD是等腰三角形？并说明理由【答案】(1)(2)或或9秒【分析】（1）先由勾股定理求解的长，再由速度乘以时间可得 从而可得的长度；（2）分三种情况讨论：当CD=BC时，CD=15，当CD=BD时，当BD=BC时，过点B作BFAC于F，结合等腰三角形的性质可得答案（1）解：RtABC中，ABC，AB20，BC15， 由题意可得： 当t=2时，CD=4,DA=21.故答案为：（2）当CD=BC时，CD=15，； 当CD=BD时，如图，C=DBC， C+A=DBC+DBA=90， A=

30、DBA， BD=AD， CD=AD=， ； 当BD=BC时，如图，过点B作BFAC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF； 则CF=DF， CD=2CF=92=18， t=182=9 综上所述，t=或或9秒时，CBD是等腰三角形 故答案为：或或9秒【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键18如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点(1)求和的值；(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）设点的运动时间为秒若点在线段上，且的面积为10，求的值；是否存在的

31、值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)，(2)；存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；（2）由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；由分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可（1）解：将点代入，直线过点C，解得；（2）解：，直线解析式为，直线与x轴交点A为，与y轴交点B，由题意可知P点的坐标为，解得；存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：A，P，当时，解得或；当时，解得（舍或（舍；当时，解得；综上所述：的值为或或4【点睛】本题考查一次函数的图象及

32、性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键19已知，在中，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且，射线OE交射线BA于点D(1)如图1，如果，求的值；(2)联结AO， 如果是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；(3)当点E在边AC上时， 联结， 求线段OC的长【答案】(1)0.09(2)或(3)【分析】（1）先证明，求出，再证明，利用面积比等于相似比的平方即可得解；（2）分当点E在线段上和当点E在线段的延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质和线段的转化，得到，再利用，列比例式求解即可；（3）证明，得到，设，根据，求出，再代入到即可得解（1）解：

33、， ，； ，（2）当点E在线段上， 是以为腰的等腰三角形，设，由（1）得，解得，； 则的长是为；当点E在线段的延长线上时，如图2，是等腰三角形，由(1）可知：，综上所述：为或；（3）由（1）得，A、B、O、E四点共圆，设，解得，解得，（舍去），则的长是为【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质通过已知条件推出三角形相似，利用相似三角形的对应边对应成比例列式计算是解题的关键20如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，边、（）的长分别是方程的两个根，是上的一动点（不与、重合）(1)填空：_，_(2)若动点满足与相似，求直线的解析式(3)若动点满足，且点为射线上一个动点，当是等腰三角形时，直

34、接写出点的坐标【答案】(1)；(2)(3)，【分析】（1）根据边、（）的长分别是方程的两个根，即可得到，；（2）分两种情况：和，由相似三角形的对应边成比例求得点的坐标，由待定系数法求得直线的解析式；（3）在没有指明等腰三角形的哪一边为腰时，需要分类讨论根据是等腰三角形，分种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别根据等腰直角三角形的性质，求得点的坐标（1）解：，、（）的长分别是方程的两个根，故答案是：；（2）解：若，则，即；若，可得（与题意不符，舍去）设直线解析式为，则，直线的解析式为：（3）解：如图所示，当是等腰直角三角形时，点的坐标为，理由如下：，又，是等腰直角三角形，根据是等腰三角形，分种

35、情况讨论当时，点的坐标为；当，过作轴的垂线，垂足为，则，是等腰直角三角形，点的坐标为；当时，是等腰直角三角形，过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，点的坐标为；当时，过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，点坐标为，综上所述，当是等腰三角形时，点的坐标为，故答案是：，【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式的综合应用，解题时注意：当PAD是等腰三角形时，需要分情况讨论，解题时注意分类思想的运用解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形21如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，

36、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结，点D是的中点(1)_；点D的坐标为_；(2)若点E在线段上，直线DE把矩形面积分成为2：1两部分，求点E坐标；(3)如图2点P为线段上一动点（含线段端点），连接；以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点P从点B运动到点A时，点Q也随之运动，当成为以为底的等腰三角形时，直接写出Q点的横坐标【答案】(1)；(2)或(3)【分析】（1）在中，解直角三角形求出即可求出点C坐标，再根据中点定义求出点D坐标；（2）分两种情况讨论：当梯形的面积与梯形的面积之比是时，当梯形的面积与梯形的面积之比是时；分别求解即可；（3）当点P在线段上运动时，点Q在线段上运动，根据等边三

37、角形性质求出点M、N坐标，从而可求得直线的解析式为，取中点E，过点E作垂线，交x轴于F，求得直线解析式为，然后联立两解析式，求得两直线交点横坐标即可（1）解：如图1中，四边形是矩形，点D是的中点，故答案为：；（2）解：如图1中，设分两种情况讨论：当梯形的面积与梯形的面积之比是时，由题意，解得：，；当梯形的面积与梯形的面积之比是时，解得：；综上，点E坐标或；（3）解：如图，当点P与点B重合时，点Q在点M处，当点P与点A重合时，点Q在点N处，当点P在线段上运动时，点Q在线段 运动，如图，等边，同理 ， 直线的解析式为：， 取中点E，过点E作垂线，交x轴于F，则，直线解析式为：，是以为底的等腰三角形

38、，点Q是直线与直线的交点，联立直线与直线的解析式，得，解得：，点Q的横坐标为【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，待定系数法求一欠函数解析式，两直线交点问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，本题综合性较强，属中考压轴题目22如图，在直角坐标平面内有点，点分别为线段和射线上的动点，点以2个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，点以5个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，交于点(1)求证：为定值；(2)若与相似，求的长；(3)若是等腰三角形，求的长【答案】(1)证明见解析(2)(3)为或或【分析】（1）过点N作轴于点H，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN：NP为定值（2）当与

39、相似时，当点M在上时，只可能是，所以所以 ， 所以，即；当点M在上时，只可能是，所以，根据题意可以判定不成立，所以（3）由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即三种情况进行讨论（1）证明：过点N作轴于点H，设，得： 当点M在上时，点N在线段上时： ，当点M在上时，点N在线段的延长线上时：，；为定值（2）当与相似时：当点M在上时，只可能是， ， ，解得：当点M在上时，只可能是， ，矛盾，不成立；综上所述：的长为（3）或当点M在上时，（）当时，解得：，（）当时，则，矛盾，不成立；（）当时，则，MNA为等腰三角形，当点M在上时，（）当时，解得（）当或时，不成立综上：当为等腰三角形时，为或或

40、【点睛】本题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形-分析图形-数形结合-解决问题，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的应用，难度较大23如图1，在等腰中，点E，F分别为的中点，H为线段上一动点（不与点E，F重合），将线段绕点A逆时针方向旋转90得到，连接(1)证明：；(2)如图2，连接交于点Q证明：在点H的运动过程中，总有；若，当EH的长度为多少时，为等腰三角形？【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析，或2【分析】（1）由，可得，进而命题得证；（2）同理(1)可得，从而得出，进而命题得证；分为三种情形分析：当时，得出，从而得出H是的中点；当时，得出，当时，点H和点F重合，从而得出结果（1）证明：即：在中，（2）证明：点E，F分别为的中点，是等腰直角三角形同理(1)可得：即：解：当时，=2当时，当时，此时点H与点F重合，不符合题意或2【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形分类等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型