专题24.11 弧长和扇形的面积【十四大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题24.11 弧长和扇形的面积【十四大题型】【沪科版】【题型1 求弧长】1【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】5【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】8【题型4 求某点的弧形运动路径长度】11【题型5 直接求扇形面积】15【题型6 求图形旋转后扫过的面积】18【题型7 求弓形面积】24【题型8 求其他不规则图形的面积】29【题型9 求圆锥侧面积】34【题型10 求圆锥底面半径】37【题型11 求圆锥的高】41【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】44【题型13 圆锥的实际问题】47【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】51【知识点 弧长和扇形的面积】设O的半径为R，n圆心角所对弧长为l

2、，弧长公式：l=nR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：S扇形=n360R2=12lR母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。圆锥体表面积公式：S=R2+Rl（l为母线）【题型1 求弧长】【例1】（2023河北石家庄石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于O，E是DC延长线上一点，如果O的半径为6，BCE=60，那么BCD的长为（）A6B12C2D4【答案】D【分析】连接OB、OD，由圆内接四边形的性质得出A=BCE=60，由圆周角定理得出BOD=2A=120，再由弧长公式即可求出BCD的长【详解】解连接OB、OD，如图所示四边形ABC

3、D内接于O，A=BCE=60，BOD=2A=120，BCD的长=1206180=4故选 D【点睛】此题综合考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质、弧长公式；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键【变式1-1】（2023四川成都校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉现依次取边长为1，1，2，3，5的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”那么前五个正方形内形成的曲线ABCD

4、EF的长度是 【答案】6【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的14圆弧构成，计算出每个正方形的边长，再根据圆的周长公式即可求解【详解】解：由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的14圆弧构成，故前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是：1421+1+2+3+5=6，故答案为：6【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长【变式1-2】（2023春山西长治九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，以AB为直径的O与AD相交于点E，与BD相交于点F，DF=BF，已知AB=2，C

5、=40，则FB的长为（）A3B23C9D29【答案】D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可【详解】如图，连接AF,OF，AB为O的直径，AFBD，DF=BF，DAF=BAF=12BAD，平行四边形ABCD，C=40，DAF=BAF=12BAD=12C=20，BOF=2BAF=40，AB=2，OB=12AB=1，FB=401180=29，故选D【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，平行四边形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式，圆周角定理是解题的关键【变式1-3】（2023河南濮阳统考一模）如图，在扇形AO

6、B中，圆心角AOB=60，AO=2，分别以OA，OB的中点E，F为圆心12OA的长为半径作半圆，两个半圆相交于点C，则图中阴影部分的周长为 【答案】23+2【分析】如图所示，连接CE，CF，证明四边形OECF是菱形，得到OEC=120，再利用弧长公式求出CF、CE的长即可得到答案【详解】解：如图所示，连接CE，CF，由题意得， OE=CE=CF=OF=12OA=12OB=1，四边形OECF是菱形，OEC=180-EOF=120，CF=121201180=3，同理CE=121201180=3，图中阴影部分的周长为1+1+3+3=23+2，故答案为：23+2【点睛】本题主要考查了求弧长，菱形的性质

7、与判定，正确做出辅助线是解题的关键【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】【例2】（2023春山西九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若P=60，水平面上点M与点B之间的距离为4，则AMB所在圆的半径是（）A3B6C9D12【答案】B【分析】如图：过A、B作PA,PB的垂线交于点O，O即为圆心；再根据题意可得AOB的度数，然后可得得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可【详解】解：如图：过A、B作PA,PB的垂线交于点O，设圆的半径为r

8、PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B，O为圆心，P=60，AOB=120，MOB=120，水平面上点M与点B之间的距离为4，MB=41202r360=4，解得：r=6故选B【点睛】本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点，解答本题的关键是求出优弧MB的圆心角【变式2-1】（2023春黑龙江哈尔滨九年级统考期末）若弧长为4cm的扇形的面积为8cm2，则该扇形的半径为 cm.【答案】4【分析】由一个扇形的弧长是4cm，扇形的面积为8cm2，根据扇形的面积等于弧长与半径积的一半，即可求得答案【详解】设半径是rcm，一个扇形的弧长是4cm，扇形的面积为8cm2，8=124r，解得r=4故答案为

9、：4【点睛】此题考查了扇形面积公式此题比较简单，解题的关键是熟记扇形的公式【变式2-2】（2023春湖北黄石九年级统考期末）如图，ABC是O的内接三角形，BAC=60，BC的长是43，则O的半径是 【答案】2【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；【详解】连接OB、OCBOC=2BAC=120，BC的长是43，120r180=43，r=2故答案为2【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式【变式2-3】（2023辽宁盘锦统考一模）如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，若CE的长为

10、2，则A的半径为 【答案】8【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得出ADBC，ABCD，求出DAC=45，根据弧长公式求出即可【详解】连接AC，CD切A于C，ACCD，ACD=90，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，BAC=ACD=90，DAC=ACB，AB=AC，ACB=B=45=DAC，CE的长为2，45AC180=2，解得：AC=8，即A的半径是8，故答案为8【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长公式等知识点，能求出DAC的度数是解此题的关键【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】【例3】（2023春云南红河九年级校考阶段练习）将一个圆分割成三个扇形，它们

11、的面积之比为2:3:4，则这三个扇形的圆心角的度数为（）A80、120、160B60、120、180C50、100、150D30、60、90【答案】A【分析】根据一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，可得这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，可设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3x,4x，从而得到2x+3x+4x=360，即可求解【详解】解：一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3x,4x，根据题意得：2x+3x+4x=360，解得：x=40，这三个扇形的圆心角的度数分别为80,12

12、0,160故选：A【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4是解题的关键【变式3-1】（2023吉林统考一模）图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的圆心角的度数是（）A45B60C90D180【答案】D【分析】根据题意BC的长就是边BC的长，由弧长公式nR180即可求解【详解】解：设AB=BC=x，CBC=x，nx180=x，解得：n=180，圆心角的度数为：180故选：D【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键【变式3-2】（2

13、023内蒙古呼伦贝尔统考二模）如图1，点C是半圆AB上一个动点，点C从点A开始向终点B运动的整个过程中，AC的弧长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C运动至5秒时，AOC的度数为（）A15B30C45D60【答案】C【分析】根据图像可知半圆的周长为10进而得到半圆的半径为10，再根据题意得到弧长l与时间t（秒）的函数关系式及弧长公式即可解答【详解】解：设半圆的半径为R，AOC=n，根据图像可知半圆的周长为10，R=10，R=10，设弧长l与时间t（秒）的函数关系式：l=ktk0,图像经过20，10，k=2，弧长l与时间t（秒）的函数关系式为l=2t,当x=5秒时，l=52,根据弧长公式

14、可知：n10180=52,n=45,故选C【点睛】本题考查了一次函数与几何图形关系，弧长公式，一次函数图像与性质，掌握一次函数与几何图形关系是解题的关键【变式3-3】（2023黑龙江哈尔滨统考三模）一个扇形的面积为10，弧长为103，则该扇形的圆心角的度数为 【答案】100/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S=12lR，求出R，再根据扇形面积公式求解.【详解】一个扇形的弧长是103，面积是10，S=12lR，即10=12103R，解得：R=6，S=10=n62360，解得：n=100，故答案为：100【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算熟记公式，理解公式间的关系是关键.【题型

15、4 求某点的弧形运动路径长度】【例4】（2023春全国九年级专题练习）如图，OAOB，C，D分别是射线OA，OB上的动点，CD的长始终为8，点E为CD的中点，则点E的运动路径长为 【答案】2【分析】根据垂直的定义可知AOB是直角三角形，再根据直角三角形的性质可知OE=CE=DE=12CD，最后利用弧长公式即可解答【详解】解：连接OC，OAOB，AOB=90，AOB是直角三角形，CD=8，OE=CE=DE=12CD=4，点E的运动路径长为弧GD，弧GD的长度：904180=2，故答案为2【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关键【变式4-1】（20

16、23春浙江金华九年级校联考阶段练习）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合（AB=6），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 【答案】2【分析】首先连接OE，由ACB=90，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数【详解】解：连接OE，ACB=90，A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，点E，A，B，C共圆，ACE=320=60，AOE=2ACE=120点E在量角器上运动路径长=1203180 =2，故答案为：2【点睛】本题

17、考查的是圆周角定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用【变式4-2】（2023河南信阳校考三模）如图，把一个含30角的直角三角板ABC在桌面上沿着直线l无滑动的翻滚一周，若BC=1，A=30，则点A运动的路径长是 【答案】8+336【分析】根据题意，可知点A的运动路径为AD和AD，然后根据含30度角的直角三角形的特点求出CD，BD的长，进而利用弧长公式求出答案即可【详解】解：根据题意，可知点A的运动路径为AD和AD，ACD=90，DBA=120，在RtABC中AB=2BC=2，AC=3BC=3AC=CD=3，DB=AB=AB=2，点A运动的路径长为901803+12018

18、02=8+336，故答案为：8+336【点睛】本题主要考查了求动点的运动轨迹长，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，确定出点A的运动轨迹是解题的关键【变式4-3】（2023春四川广元九年级校考阶段练习）如图，ABC中，ACB=90，AC=BC=4，点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点，点P是EF上一动点，连接PC，点M为PC的中点当点P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为 【答案】23/23【分析】令AB、AC、BC的中点分别为点O、G、H，连接OP、OC、OG、OH、OM，易证COP为等腰三角形，根据三线合一可得，则点M的运动路径为以GH中点为圆心，以12GH为半径，圆心角为60

19、的弧长，即可求解【详解】解：令AB、AC、BC的中点分别为点O、G、H，连接OP、OC、OG、OH、OM，AB为O直径，点O为AB中点，OA=OP，ACB=90，点O为AB中点，OC=12AB=OA=OP，COP为等腰三角形，点M为PC的中点，OMPC，则OMC=90，点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点，点M的运动路径为以GH中点为圆心，以12GH为半径，圆心角为60的弧长，点G、O、H、分别为AC、BC、AB中点，AC=BC=4，GOBC，GO=12BC=2，OHAC，OH=12AC=2，ACB=90，四边形GCHO为正方形，GH=22+22=22，OC=GH,GOH=90，点M的运

20、动路径长为601802=23故答案为：23【点睛】本题主要考查了求点的运动轨迹，解题的关键是正确作出辅助线，根据等腰三角形的性质，正方形的性质以及圆周角确定点M的运动轨迹为以GH为直径的半圆【题型5 直接求扇形面积】【例5】（2023云南临沧统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于O，其半径为1，作OFBC交O于点F，则图中阴影部分的面积为（）A3B25C310D35【答案】C【分析】连接OA、OB、OC，求出AOF，再利用扇形公式进行计算【详解】解：连接OA、OB、OC，正五边形ABCDE，AOB=BOC=3605=72，OB=OC， OFBC，BOF=12BOC=36，AOF=108，S=

21、108360=310，故选：C【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出AC所对的圆心角度数是解题的关键【变式5-1】（2023吉林九年级校联考学业考试）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OAB是等边三角形，AB=4，分别以点B，D为圆心，AO长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）【答案】83【分析】由矩形ABCD，OAB是等边三角形，AB=4，可得ABC=90，ABO=60，OB=AB=4，则OBC=30，根据S阴影=23042360，计算求解即可【详解】解：矩形ABCD，OAB是等边三角形，AB=4，ABC=90，ABO=60，OB=A

22、B=4，OBC=30，S阴影=23042360=83，故答案为：83【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，扇形面积解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用【变式5-2】（2023春江苏连云港九年级校考阶段练习）如图，已知半径为1的O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，ADO=85，CAB=20，则阴影部分的扇形OAC面积是 【答案】536/536【分析】根据三角形外角的性质得到C=ADO-CAB=65，根据等腰三角形的性质得到AOC=50，由扇形的面积公式即可得到结论【详解】解：ADO=85，CAB=20， C=ADO-CAB=65， OA=OC， OAC=C=65， AOC=5

23、0， 阴影部分的扇形OAC面积=5012360=536， 故答案为：536【点睛】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出AOC=50是解题的关键【变式5-3】（2023春江苏九年级专题练习）如图，四边形ABCD是长方形，以BC为直径的半圆与AD边只有一个交点，且AB=x，则阴影部分的面积为 【答案】x24【分析】作OFAD，则三角形BOP与三角形DEP全等，那么阴影部分的面积=扇形BOF的面积依此根据面积公式计算【详解】解：作OFADOB=DFFDB=OBDFPD=BPODFPBOPSDFP=SBOP根据扇形面积公式得：阴影部分面积=90x2360=x24故答案为：x

24、24【点睛】本体考查了求不规则图形的面积，解题的关键是看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的然后根据面积公式计算【题型6 求图形旋转后扫过的面积】【例6】（2023春江苏盐城九年级校考阶段练习）如图，已知A、D是O上任意两点，且AD=6，以AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 【答案】9【分析】如图所示，连接OD、OC，过点O作OEAD于点E，延长OE交BC于点F则BC边扫过的面积为以OC为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出DE=AE=3，进而可得出CF=DE=3，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出BC边扫过的面积【详解】解：如图所示

25、，连接OD、OC，过点O作OEAD于点E，延长OE交BC于点FAD为弦，OEAD，由垂径定理可得DE=AE=12AD=3四边形ABCD为正方形，BCAD，AD=BC=6，CDA=90，CFO=DEO=90，四边形DEFC为矩形，CF=DE=3AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，圆环面积为S=OC2-OF2=OC2-OF2=CF2=9故答案为：9【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AD边的旋转，找出BC边旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关键【变式6-1】（2023全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点

26、A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6OA5交x轴于点A6；按此规律，则S2022的值为 【答案】22018【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn=2n-3，依此规律即可得出结论【详解】由题意A1OA2、A3OA4、A5OA6、都是等腰直角三角形，OA2=2，OA4=2， OA6=22，S1=4512360=

27、18， S2=45(2)2360=14， S3=4522360=12， S4=45(22)2360，；Sn2n-4，S202222018，故答案为：22018【点睛】本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解题的关键是找出规律Sn=2n-3【变式6-2】（2023春山东临沂九年级统考期中）在平面直角坐标系中，ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）(1)画出ABC关于原点对称的A1B1C1；(2)将ABC绕点B逆时针旋转90，画出旋转后得到的A2BC2，并求出此过程中线段BA扫过的区域的面积（结果保留）【答案】(1)见详解(2)见详解，134【

28、分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点对称的对称点，再顺次连接可得；（2）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90得到的对应点，再顺次连接可得A2BC2；利用扇形面积公式列式计算可得答案【详解】（1）解：如下图，A1B1C1即为所求；（2）如图，A2BC2即为所求，由图可知，AB=32+22=13，则线段BA扫过的区域的面积为S=90360(13)2=134【点睛】本题主要考查了作图中心对称变换和旋转变换、勾股定理以及扇形面积公式等知识，解题的关键是根据中心对称和旋转的性质作出变换后的对应点【变式6-3】（2023江苏南京统考二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒

29、不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计方案1：将小棒绕AB中点O旋转180到BA，设小棒扫过区域的面积为S1(即图中灰色区域的面积，下同)；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60到AC，再绕C逆时针旋转60到CB，最后绕B逆时针旋转60到BA，设小棒扫过区域的面积为S2(1)S1=_，S2=_；(结果保留)比较S1与S2的大小(参考数据：3.14，31.73)(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形补全方案3的示意图；设方案3中

30、小棒扫过区域的面积为S3，求S3(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由【答案】(1)4，8-83；S1S2(2)见解析；S3=1633(3)见解析【分析】（1）利用圆的面积公式计算S1，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60且半径为4的扇形面积减去两倍ABC的面积计算S2；利用参考数据计算近似值再比较即可；（2）依题意补全方案3的示意图即可；利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可；（3）作等边ABC，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上，运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到ACAB边，接着两次同样的方式旋

31、转到BCAB边和ABBA边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明S411.28，S1S2；（2）依题意补全方案3的示意图如下：连接EM，M为切点，则AA的中点，EM=4设AM=x，则AE=2x，由勾股定理得：AM2+EM2=AE2，即x2+42=4x2，解得：x=433，AA=AE=2x=833，S3=12AAEM=128334=1633（3）设计方案4：如下图，ABC是等边三角形，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到ACAB边，接着两次同样的方式旋转到BCAB边和ABBA边，最终小

32、棒扫过的区域是如下图所示对于第一次旋转，当旋转AB旋转到DH时，此时DHBC，又作DE平行AB，则SCDE=S3=SABC+S梯形ABEB依题意得：阴影部分比等边三角形ABC多三块全等的图形，记每块面积为a，则有aSADF，F为AB的中点，SADFSGDF，SADF12SGDAF=14S梯形ABEB，aSADF14S梯形ABEB，S4=SABC+3aSABC+34S梯形ABEBSABC+S梯形ABEB=S3【题型7 求弓形面积】【例7】（2023山东东营统考中考真题）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，BDCE于点D，BC平分ABD(1)求证：直线CE是O的切线；(2)若ABC=30,O的半

33、径为2，求图中阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)43-3【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及BC平分ABD推导出OCB=DCB，即可得出BDOC，从而推出OCDE，即证明得出结论；（2）过点O作OFCB于F，利用S阴影=S扇形OBC-SOBC即可得出答案【详解】（1）证明：连接OC，如图，OB=OC，OBC=OCB，BC平分ABD，OBC=DCB，OCB=DCB，BDOC，BDCE于点D，OCDE，直线CE是O的切线；（2）过点O作OFCB于F，如图，ABC=30，OB=2，OF=1，BF=OBcos30=3，BC=2BF=23，SOBC=12BCOF=12231=3，BOF=9

34、0-30=60，BOC=2BOF=120，S扇形OBC=12036022=43，S阴影=S扇形OBC-SOBC=43-3【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键【变式7-1】（2023春九年级课时练习）如图，AB是O的直径，CD为弦，ABCD，若CD=23，CB2，则阴影部分的面积是 【答案】23-3【分析】连接OC，设CD与AB的交点为E，利用垂径定理、勾股定理判定OBC是等边三角形，运用扇形的面积减去OBC的面积即可【详解】连接OC，设CD与AB的交点为E，AB是O的直径，ABCD，CD=23，CB2，CE=3，

35、BE=22-(3)2=1，ECB=30，CBE=60，CO=BO，OBC是等边三角形，BOC=60，OC=OB=2，S阴影=6022360-1223=23-3，故答案为：23-3【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键【变式7-2】（2023全国九年级专题练习）如图，将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移2cm，得到扇形OAB，若AOB=90，则阴影部分的面积为 cm2【答案】25+102-274【分析】设AB分别与OA、OB交于F、E，延长OO交AB于G，根据S阴影=S扇形AOB-SEOF2进行求解即可【详解

36、】解：设AB分别与OA、OB交于F、E，延长OO交AB于G，由题意得OE=OF=OG=OG-OO=5-2cm，AOB=AOB=90，S阴影=S扇形AOB-SEOF=9052360-5-222=25+102-274cm2，故答案为：25+102-274【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，平移的性质，正确理解题意得到S阴影=S扇形AOB-SEOF是解题的关键【变式7-3】（2023湖北恩施统考一模）如图，已知O的半径为1，ABC内接于O，ACB=150，则弓形ACB（阴影部分）的面积为 （结果保留或根号）【答案】6-34【分析】在弦AB把O分成的优弧上取一点D，连接OA，OB，AD，BD，过

37、点O作OEAB于E根据圆内接四边形的性质和圆周角定理确定AOB=60，进而求出扇形OAB的面积，根据等边三角形的判定定理和性质求出AB的长度，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出OE的长度，进而根据三角形面积公式求出OAB的面积，最后用扇形OAB的面积减去OAB的面积即可求出弓形OAB的面积【详解】解：如下图所示，在弦AB把O分成的优弧上取一点D，连接OA，OB，AD，BD，过点O作OEAB于E四边形ACBD内接于O，ACB+ADB=180ACB=150，ADB=180-ACB=30AOB和ADB分别是AB所对的圆心角和圆周角，AOB=2ADB=60O的半径是1，OA=OB=1OAB是等边三角形

38、，S扇形OAB=6012360=6AB=OA=1OEAB，AE=BEAE=12OA=12OE=OA2-AE2=32SOAB=12ABOE=34S弓形OAB=S扇形OAB-SOAB=6-34故答案为：6-34【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定定理和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键【题型8 求其他不规则图形的面积】【例8】（2023山西长治统考模拟预测）如图，在ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段A

39、C的三等分点时，图中阴影部分的面积为（）A82-2B162-4C82-4D162-2【答案】A【分析】连接CD，由等腰三角形的性质可得CDAB，AD=BD=2，由题意可得AC=BC=3AD=6，由勾股定理可得CD=42，再由S阴影=SABC-S扇形ADF-S扇形CEG-S扇形BDH代入进行计算即可【详解】解：如图，连接CD，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，CDAB，AD=BD=2，分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，点E、F是线段AC的三等分点，AC=BC=3AD=6，CD=AC2-AD2=62-22=42，S阴影=SABC-S扇形ADF-

40、S扇形CEG-S扇形BDH=12ABCD-FAD22360-ECG22360-DBH22360，=12442-22360FAD+ECG+DBH=82-4180360=82-2，故选：A【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式是解题的关键【变式8-1】（2023春全国九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，ABC=90,BC=6，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转30至ABCD处，则旋转过程中，边BC所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为 【答案】3【分析】根据直角三角形的性质求出AN及AB的长，再由三角形的面积公式求出ABC的面积，由扇形的面积公式得出扇形BAB及扇形CAC的面积，由S阴影=S1+S2即可得出结论【详解】解：连接AC,BC在四边形ABCD中，ABC=90,BC=6，BAC=30，AC=12，AB=122-62=63，SABC=12663=183，BAB=30360632=9，S1=183-9SABC=SABC=183，S扇形CAC=30360122=12，S2=12-183，