专题24.16 圆章末十大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题24.16 圆章末十大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 切线的判定与性质进行计算与证明】1【题型2 圆周角定理有关的计算与证明】3【题型3 垂径定理的实际应用】4【题型4 由点与圆的位置关系求求最值】6【题型5 由圆的对称性求最短路线问题】7【题型6 三角形的内切圆与内心】9【题型7 正多边形与圆】10【题型8 圆锥侧面积的相关计算】11【题型9 动点的运动轨迹长度计算】12【题型10 动态图形的扫过的面积的计算】14【题型1 切线的判定与性质进行计算与证明】【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆

2、外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。【例1】（2023秋辽宁抚顺九年级统考期末）如图，在ABC中，ACB=90，点D是AB边的中点，点O在AC边上，O经过点C且与AB边相切于点E，FAC=12BDC(1)求证：AF是O的切线；(2)若BC=6，AB=10，求O的半径长【变式1-1】（2023秋广东珠海九年级统考期末）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦BC的中点，过点C的切线与OD的延长线相交于点E，连接BE(1)求证：BE是圆O的切线；(2)当AB=10，AC=8时，求线段BE的长【变式1-2】（2023秋湖北九年级期末）AB为O的直径，PA为O的切线

3、，BCOP交O于C，PO交O于D，（1）求证：PC为O的切线；（2）过点D作DEAB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DFFG，DF5，CG6，求O的半径【变式1-3】（2023秋浙江九年级期末）如图1，在O中，点H是直径AB上的一点，过H点作弦CDAB，点E是BAD的中点，过点E作BD的平行线交DC延长线于点F，连接BE，交CD于点G（1）求证：EF是O的切线；（2）求证：BD+EF=DF；（3）如图2，连接DE，若BDBG=k，则当k为何值时，线段DE=EF？【题型2 圆周角定理有关的计算与证明】【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同

4、弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。【例2】（2023秋北京西城九年级北京八中校考期中）如图，已知：过O上一点A作两条弦AB、AC，且BAC=45，(AB，AC都不经过O)过A作AC的垂线AF交O于D，直线BD，AC交于点E，直线BC，DA交于点F(1)证明：BE=BF；(2)探索线段AB、AE、AF的数量关系，并证明你的结论【变式2-1】（2023秋湖北九年级期末）已知ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，连接DB，DC(1)如图，当BAC=120时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式： ；(2)如图，当BAC=

5、90时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论【变式2-2】（2023秋山西朔州九年级校考期中）如图，BD是O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与O相切于点A，交DB的延长线于点F，F=30，BAC=120，BC=8(1)求ADB的度数；(2)求AC的长度；(3)判定四边形AFBC的形状，并证明你的结论【变式2-3】（2023秋江苏盐城九年级统考期中）如图，在O的内接四边形ABCD中，DB=DC，DAE是四边形ABCD的一个外角(1)若DAE=75，则DAC= ；(2)过点D作DEAB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明；(3)若AB=6、AE=2，求BD2-

6、AD2的值【题型3 垂径定理的实际应用】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧【例3】（2023秋河北石家庄九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ；“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分【变式3-1】（2023秋浙江台州九年级校考期中）我市在创建全国文明城市检

7、查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭(图1)，图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQFG，点H为垂足，FG=4m， FH=2.4m， 点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？【变式3-2】（2023春浙江台州九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，右边画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断

8、不合理的是（）A桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为210米 B桥拱正下方的桥面EF的实际长度约为500米C拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米D桥面上BF段的实际长度约200米 【变式3-3】（2023秋河北邢台九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【题型4 由点与圆

9、的位置关系求求最值】【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当dr时，点在圆外；当dr时，点在圆上，当dr时，点在圆内【例4】（2023秋江苏苏州九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,2，点B0,2+t，C0,2-t(t0)，点P在以D6,6为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则t的最小值是 【变式4-1】（2023秋山东德州九年级统考期中）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 【变式4-2】（2023秋山东泰安九年级校

10、联考期末）如图，点P(3，4)，P半径为2，A(2.5，0)，B(5，0)，点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最大值是（）A32B52C72D92【变式4-3】（2023秋河南驻马店九年级平舆县第二初级中学校考期末）如图，RtABC中，ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC,则线段CP的最小值为 【题型5 由圆的对称性求最短路线问题】【例5】（2023秋浙江杭州九年级校考期中）如图，在O中，AB是O的直径，AB=10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：BOE=60；CED=12AOD；DMCE；CM+DM

11、的最小值是10 上述结论中正确的个数是 【变式5-1】（2023秋安徽淮北九年级校考期末）如图，AB是O的直径，AB=2，点C在O上，CAB=30，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（）A22B2C1D2【变式5-2】（2023秋陕西渭南九年级统考期末）如图，A、B是半圆O上的两点，MN是直径，OBMN若AB=4，OB=5，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值为 【变式5-3】（2023秋广东广州九年级校考期末）（1）如图，在ABC中，A=120，AB=AC=5尺规作图：作ABC的外接圆O，并直接写出ABC的外接圆半径R的长（2）如图，O的半径为13，弦AB=2

12、4，M是AB的中点，P是O上一动点，求PM的最大值（3）如图所示，AB，AC、BC是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，BAC=60，BC所对的圆心角为60，新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP为了快捷、环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）【题型6 三角形的内切圆与内心】【方法点

13、拨】三角形的内切圆及有关概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心是三角形各内角平分线的交点，这点到三角形的各边的距离都相等【例6】（2023秋江苏无锡九年级统考期末）如图，ABC的内切圆O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB6，AC5，BC7，则DE的长是（）A1277B1077C977D877【变式6-1】（2023秋江苏南京九年级统考期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（）A8，8，8B4，10，10C5，9，10D6，8，10【变式6-2】（2023秋河南漯河九年级统考期末）如图，

14、O是ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且A=90，BC=5，CA=4，则O的半径是 【变式6-3】（2023秋江苏镇江九年级统考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点P是ABD的内切圆的圆心，过P作PEBC，PFCD，垂足分别为点E、F，则四边形PECF和矩形ABCD的面积之比等于（）A1：2B2：3C3：4D无法确定【题型7 正多边形与圆】【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。【例7】（2023秋山东淄博九年级统考期末）已知四个正六边形如图

15、摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（）A3-3B23-12C3+12D13-12【变式7-1】（2023秋河南驻马店九年级统考期末）如图，已知O的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG（）A32B32C23D3【变式7-2】（2023秋浙江杭州九年级校考期中）如图，正方形ABCD和正AEF都内接于O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EFGH的值是（ ）A62B2C3D2【变式7-3】（2023秋北京海淀九年级期末）如图，O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，O的半径是1，则下列四个结论中正确的是 DF的长为2；DF

16、=2OF；ODE为等边三角形；S正八边形ABCDEFGH=AEDF【题型8 圆锥侧面积的相关计算】【方法点拨】解决此类问题掌握圆锥侧面积的计算公式是关键，并且能够灵活运用.【例8】（2023秋全国九年级专题练习）小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为20cm，高为402cm的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）(1)你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？(2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？【变式8-1】（2012春湖南永州九年级阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=2,BC=6,以A为圆心，AD为半径的圆与BC 边相切

17、于点M，于 AB 交于点E，将扇形A-DME剪下围成一个圆锥，则圆锥的高为 .【变式8-2】（2023秋江苏九年级专题练习）如图是一张直角三角形卡片，ACB90，ACBC，点D、E分别在边AB、AC上，AD2 cm，DB4 cm，DEAB若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为 cm2 【变式8-3】（2023秋全国九年级专题练习）如图，在一张四边形ABCD的纸片中，ABDC，AD=AB=BC=22，D=45，以点A为圆心，2为半径的圆分别与AB、AD交于点E、F(1)求证：DC与A相切；(2)过点B作A的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)若用剪下的扇形AEF

18、围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？【题型9 动点的运动轨迹长度计算】【例9】（2023春黑龙江大庆九年级校考阶段练习）四边形ABCD中，B=D=90，DAB=135，且AB=2，AD=42以B为圆心，BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为弧EC上的动点，过点Q作QHBC于点H，设点I为BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 【变式9-1】（2023秋江苏连云港九年级校考阶段练习）如图，已知ABC=90，AB=10，BC=5，半径为2的O从点A出发，沿ABC方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是

19、【变式9-2】（2023秋江苏徐州九年级校考阶段练习）如图，有一块长为4cm、宽为3cm的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为AA1A2，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30角，则点A翻滚到点A2的位置经过的路径长为（）A10cmB3.5cmC4.5cmD2.5cm【变式9-3】（2023浙江温州校考三模）图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后作两次旋转移动垃圾桶，实现对垃圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢图2，图3是该装置的侧面示意图，AB与地面所成的锐角为60，AB=110cm, BC=303cm,CD=30cm

20、第一次转轴BC绕点B把竖直放置垃圾桶旋转，转轴转至BC1，使A，B，C1共线，在此转动过程中，转轴BC与转轴DE所成锐角为30保持不变第二次转轴D1E1绕点C1旋转至D2E2，使D2,E2，B，A共线当转轴外端点D到达最高处时，点D2离地面的距离为 cm垃圾桶从举起到倒掉垃圾的整个过程中，转轴外端点D所经过的路径长为 cm【题型10 动态图形的扫过的面积的计算】【例10】（2023秋江苏盐城九年级校考阶段练习）如图，已知A、D是O上任意两点，且AD=6，以AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 【变式10-1】（2023秋江苏九年级专题练习）如图，半圆O的直径A

21、B=4，弦CD=22，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为_【变式10-2】（2023黑龙江鸡西校考三模）在平面直角坐标系中，已知A2,0，B3,1，C1,3；(1)将ABC沿x轴负方向平移2个单位至A1B1C1，画图并写出C1的坐标_；(2)以A1点为旋转中心，将A1B1C1逆时针方向旋转90得A1B2C2，画图并写出C2的坐标_；(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为_【变式10-3】（2023秋浙江九年级专题练习）如图所示，扇形OAB从图无滑动旋转到图，再由图到图，O=60，OA=1(1)求O点运动的路径长；(2)求O点走过路径与射线l围成的面积