专题26 【重点专训】立体几何大题专项训练（理科）（学生版）.docx

1、专题26 立体几何大题训练（理科）题型一、三棱锥的相关证明及角度问题1（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四面体中，E为的中点(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值2（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，(1)求证：/平面；(2)若，求三棱锥的体积3（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小4（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值

2、 5如图，在三棱锥中，记二面角的平面角为(1)若，求三棱锥的体积；(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围6（2023届贵州省联合考试（五）理科数学试题）如图，在三棱锥中，O为AC的中点(1)证明：平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值题型二、直三棱柱的相关证明及角度问题1（2022年全国新高考I卷数学试题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值2（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二

3、面角的正弦值最小?3（2022年北京市高考数学试题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分4（2020年天津市高考数学试题）如图，在三棱柱中，平面 ，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值5如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.

4、6如图，在三棱柱中，且，底面，为中点,点为上一点.（1）求证： 平面； （2）求二面角 的余弦值；（3）设，若，写出的值（不需写过程）.7如图，在直三棱柱中，侧棱，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN(1)证明：平面；(2)若BA=BC=2，求二面角的平面角的大小题型三、斜三棱柱的相关证明及角度问题1（2019年浙江省高考数学试题）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.2（2023届广东省二模数学试题）在三棱柱中，.(1)证明:；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.3在三棱柱中中，为中点，平面平面.(1)求证：平面；(2)求直线与平面

5、所成角的正弦值.题型四、三、四棱台的相关证明及角度问题1（2023届浙江省（二模）数学试题）如图，在三棱台中，.(1)求证：平面平面；(2)若四面体的体积为2，求二面角的余弦值.2（2023届湖北省调研数学试题）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.(1)证明：直线平面；(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.3如图，在四棱台中，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点(1)求证：平面；(2)若四边形ABCD为正方形，平面ABCD，求二面角的余弦值4如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点（1）证明：；（2）记二面角的大小为，

6、时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围5（2023年浙江省联考数学试题）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.(1)求证：；(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.6（2023年浙江省教学质量检测数学试题）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，且平面(1)求点到平面的距离；(2)若，且平面平面， 求二面角的余弦值题型五、四棱锥的相关证明及角度问题1（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在四棱锥中，底面(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值2（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方

7、形，若（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值3（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值4（2020年新高考全国卷数学高考试题（山东）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值5（2021年浙江省高考数学试题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.6（2020年新高考全国卷数学考试题文档版

8、（海南卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为（1）证明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值7（2023届黑龙江省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，PAD为等边三角形，平面平面ABCD，(1)求点A到平面PBC的距离；(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值8（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底

9、面，是的中点（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值9（2023届广东省调研数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，且，底面ABCD是边长为2的菱形，(1)证明：平面PAC平面ABCD；(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值题型六、底面是平行四边形的四棱柱的相关证明及角度问题1（2023年新课标全国卷数学真题）如图，在正四棱柱中，点分别在棱,上，(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求2（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，

10、BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值3（2021年天津高考数学试题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值（III）求二面角的正弦值4（2021年北京市高考数学试题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值5（2020年北京市高考数学试题）如图，在正方体中， E为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值题型七、摆放不正的几何体相关证明及角度问题1（2022年全国新高考II卷数学试题）如图，是三

11、棱锥的高，E是的中点(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值2（2022年高考天津卷数学真题）直三棱柱中，D为的中点，E为的中点，F为的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值3（2023届广东省教学质量检测数学试题）如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值题型八、圆柱、圆锥、圆台的相关证明及角度问题1（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值2（2023届安徽省、云

12、南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；(2)设点F在线段AP上，求二面角的余弦值3（2022届广东省一模数学试题）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线. (1)证明：平面DEF；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.4（2023届江苏省二模数学试题）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且， 为异于的一条母线(1)若为的中点，证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值5如图，四边形是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧，上的一点，点H为线段

13、的中点，且，点G为线段上一动点.(1)试确定点G的位置，使平面，并给予证明；(2)求三棱锥的体积.5如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线(1)求证：OAPB；(2)若C底面圆上一点，且，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值6如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线(1)证明：；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值；7（2023届湖北省模拟（二）数学试题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.8已知圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍（

14、1）求圆台两底面的半径；（2）如图，点为下底面圆周上的点，且，求与平面所成角的正弦值题型九、翻折图形形成几何体的相关证明及角度问题1（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.2（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面

15、BCGE；（2）求图2中的二面角BCGA的大小.3如图所示，长方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图的四棱锥(1)求四棱锥的体积的最大值；(2)若棱的中点为，求的长；(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值4（2023届重庆市适应性月考（一）数学试题）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.5已知ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，沿MN将AMN折起到的位置，使(1)求证：平面MBCN；(2)在线段BC上是否存

16、在点D，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，设，求的值；若不存在，说明理由6（2023届湖北省调研数学试题）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点(1)证明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值7如图1，在ABC中，DE是ABC的中位线，沿DE将ADE进行翻折，使得ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F(1)证明：平面ABC(2)若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值8如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将ADE沿DE翻折到MDE的

17、位置并使得平面MDE平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点(1)当EN平面MBD时，求的值；(2)试探究：随着值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小题型十、其它几何体的相关证明及角度问题1（2023年新课标全国卷数学真题）如图，三棱锥中，E为BC的中点(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值2（2022年浙江省高考数学试题）如图，已知和都是直角梯形，二面角的平面角为设M，N分别为的中点(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值3（2018年全国卷理数高考试题）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂

18、直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值4（2023届广东省一模数学试题）如图多面体中，四边形是菱形，平面，(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.5如图，在四棱锥E-ABCD中，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点(1)求证：平面ABE；(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值6如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.(1)设平面平面，证明：；(2)设D为OH

19、的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.7（2019年天津市高考数学试卷（理科）如图，平面，.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长.8（2023届广东省模拟数学试题）如图所示的在多面体中，平面平面，平面平面，点分别是中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.9（2023届湖南省新高考适应性考试数学试题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且平面平面 (1)设 为棱 的中点，证明：四点共面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦

20、值10（山东2022届高考考前热身押题数学试题）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.(1)求证：；(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.11（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）如图，已知多面体均垂直于平面（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值12（2023届辽宁省联合考试数学试题）如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面与所截后剩余部分，且满足，(1)当多长时，证明你的结论；(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值13（2023年辽宁省联合考试数学试题）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.(1)证明：；(2)若，求三棱柱的高.